(04)第4章 参数估计
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
统计学教程(含spss)四参数估计
从一批灌装产品中，随机抽取20灌，得样本方差为0.0025。试以95%的置 信度，估计总体方差的存在区间。
n 1 s2 2 n 1 s2
2 2
2 1 2
n 1 s2
2 0.025
2
n 1 s2
2 0.975
19 0.0025 2 19 0.0025
32.8523
8.90655
自正态总体抽样时，总体均值与总体中位数相同，而中位数的 标准误差大约比均值的标准误差大25%。因此，样本均值更有效。
x 的抽样分布
M e的抽样分布
____
X
有效性
一致性
如果 lim
P
1(为任意小数，n
为样本容量）
n
则称 为的满足一致性标准的点估计量
ˆ1的抽样分布 ˆ2的抽样分布
x s 2 p 均为一致性估计量
X～N， 2
x__
～
N
， 2 n
__
Z x ～N 0,1
n
P Z
Z Z
1
2
2
P Z
2
__
x n
Z
1
2
显著性水平
22
2
Z 2
置信度
1
0
P_x_ Z
2
n
__
x Z 2
1
n
2
Z 2
显著性水平α下，μ在1- α置信水平下的置信区间：
__
x
Z
2
__
n , x Z 2
f x
x
n
x 2
f x
1
e 2 2 x
2
x
抽样分布
E(x)
袁卫《统计学》配套题库【章节题库】第4章~第6章【圣才出品】
【解析】记总体的一阶原点矩和二阶原点矩分别为 E（X）＝µ，E（X2）＝D（X）＋
（E（X））2＝µ2＋σ2，最后可求得µ的矩估计为
σ2 的矩估计为
n
xi
x i1 n
n
(xi x)2
i 1
n
使用似然函数，最后可求得µ的极大似然估计为
σ2 的极大似然估计为
n
xi
2．设 X1，X2，X3，X4 是来自总体 X 的样本，EX＝μ，则（ ）是μ的最有效估计。
[山东大学 2017 研]
A．
ˆ
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
B．
ˆ
1 5
X1
2 5
X
2
1 5
X
3
1 5
X
4
C．
ˆ
1 9
X1
2 9
X
2
1 9
X3
1 9
X4
1 / 78
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D．
ˆ
1 3
X1
1 3
X2
1 6
X
3
1 6
X4
【答案】A
【解析】最有效估计即在无偏估计里方差最小的估计。A
∧
项，Eμ＝μ，
D
ˆ
1
2
；
4
∧
B 项，Eμ＝μ， D
ˆ
7
2
；C
项，
Eˆ
5
，不是µ的无偏估计；D
∧
项，Eμ＝μ，
25
9
D ˆ 5 2 。经比较，在所有无偏估计中，A 项方差最小，因而是最有效估计。
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
第四章中心极限定理与参数估计
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
第四章 中心极限定理与参数估计
例 1、对敌人的防御工事进行 80 次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹 数目的数学期望为 2，方差为 0.8，且各次轰炸相互独立，求在 80 次轰炸中有 150 颗～170 颗炸弹命中目标的概率。 解：第 i 次轰炸命中目标炸弹的数目 X i (i 1,2,,80) 都是离散型随机
根据随机变量数学期望的性质，计算数学期望
80
80
80
E( X ) E( X i ) E( X i ) 2 160
i 1
i 1
i 1
第四章 中心极限定理与参数估计
由于离散型随机变量变量 X 1 , X 2 ,, X 80 相互独立，根据随机
变量方差的性质，计算方差
80
80
80
D( X ) D( X i ) D( X i ) 0.8 64 82
分大时，离散型随机变量 X 近似服从参数为 np, npq ( p q 1)
的正态分布，即近似有离散型随机变量 X ～ N(np, npq) 定理4.22表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可 以利用该定理来计算二项分布的概率.
随机变量 X 的取值在数学期望 E(X ) 附近的密集程度越低。
第四章 中心极限定理与参数估计
（3）在使用切贝谢夫不等式时，要求随机变量 X 的数学期望 E( X ) 与方差 D( X ) 一定存在，这时无论随机变量 X 的概率分布已知或未
知，都可以对事件 X E(X ) 发生的概率进行估计。 2、切贝谢夫不等式的应用举例 例1、 已知电站供电网有电灯 10000 盏，夜间每一盏灯开灯的概率 皆为 0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜 晚同时开灯的灯数在 7800 盏～8200 盏之间的概率。
第四讲参数估计PPT课件
均数 的均 数
4.99
5.00
均数标准差
0.2212 0.1580
5.00 0.0920
n
0.2236 0.1581 0.0913
由表1可见，从同一总体中随机抽取样本含 量n=10的若干样本，各样本算得的样本均 数并不等于相应的总体均数，且各样本均 数也不完全相同。这种由于随机抽样而造 成的来自同一总体的样本均数之间及样本 均数与相应的总体均数之间的差异，称之 为均数的抽样误差。
总体均数可信区间的计算
Hale Waihona Puke 总体均数可信区间的计算 需考虑： （1）总体标准差 是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1）t分布法
（2）u分布法
1. 单一总体均数的可信区间 (1) 未 知 ： 按 t 分 布 。
双 侧 1 可 信 区 间 则 为 ：
X t 2 , S X < X t 2 , S X ( X t S 2 , X , X t 2 , S X )
由于样本均数与相应的总体均数之间存在着 差异，由数理统计推理可知：从正态总体中 随机抽取样本含量为n的样本，每抽取一个 样本可计算一个样本均数，重复100次抽样可 得到100个样本均数。
这些样本均数服从均数为
，方差为
2 x
的正态分布.其中 x 为样本均数的总
体标准差，计算公式为： / n X
2. 两总体均数之差的可信区间: 从相 等，但 不等的两个正态总体 N(1, 2)和 N(2, 2)进行随机抽样。则两总体均数之差
( 1 2 )的双侧1 可信区间为
(X 1X2)t/2,SX1X2
( n 1 1 ) ( n 2 1 ) n 1 n 2 2
S X1X 2
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤引言：参数估计是统计学中一项重要的任务，它用于根据样本数据来推断总体参数的值。
参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
本文将详细介绍参数估计的一般步骤，并以人类的视角进行描述，使读者更好地理解和应用这些步骤。
一、确定估计方法在参数估计中，首先需要确定合适的估计方法。
估计方法可以分为点估计和区间估计两种。
点估计方法通过单个数值来估计参数的值，例如最大似然估计和矩估计。
区间估计方法则通过一个区间来估计参数的范围，例如置信区间估计。
选择合适的估计方法是参数估计的第一步。
二、选择样本在确定了估计方法后，接下来需要选择合适的样本进行参数估计。
样本应当具有代表性，能够反映总体的特征。
为了保证样本的代表性，可以使用随机抽样方法来选择样本。
通过合理选择样本，可以减小估计误差，提高参数估计的准确性。
三、计算估计值在选择好样本后，需要计算参数的估计值。
对于点估计方法，可以使用最大似然估计或矩估计等方法来计算参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间估计来计算参数的范围。
计算估计值时，需要根据样本数据和估计方法进行相应的计算，确保估计结果的准确性。
四、进行推断在计算得到估计值后，需要进行推断，即根据估计值对总体参数进行推断。
对于点估计方法，可以直接使用估计值作为总体参数的估计值。
对于区间估计方法，可以使用置信区间来表示总体参数的范围。
通过推断可以了解总体参数的可能取值范围，帮助做出正确的决策和预测。
总结：参数估计的一般步骤包括确定估计方法、选择样本、计算估计值和进行推断。
在进行参数估计时，需要选择合适的估计方法和样本，计算出估计值，并进行相应的推断。
参数估计在统计学中扮演着重要的角色，它帮助我们根据样本数据来推断总体参数的值，从而更好地了解和应用统计学。
通过本文的介绍，希望读者能够更好地理解和应用参数估计的一般步骤。
《参数估计方法》课件
目录
• 参数估计方法概述 • 点估计 • 区间估计 • 最大似然估计法 • 最小二乘估计法 • 贝叶斯估计法
01
参数估计方法概述
参数估计方法的定义
参数估计方法的定
义
参数估计方法是一种统计学中的 方法，它通过分析样本数据来估 计未知的参数值。这些参数可以 描述总体特性的程度，如平均值 、方差等。
使得它容易进行统计推断。
最小二乘估计法的应用场景
线性回归分析
最小二乘估计法是线性回归分析中最常用的 参数估计方法，用于预测一个因变量与一个 或多个自变量之间的关系。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘估计法可用于拟合和 预测时间序列数据，例如ARIMA模型。
质量控制
在质量控制中，最小二乘估计法可用于拟合 控制图，以监测过程的稳定性和预测异常情 况。
区间估计
区间估计是一种更精确的参数估计方法，它给出未知参数的一个置信区间，即有较大的把握认为未知参数落在这个区 间内。例如，用样本均值和标准差来估计总体均值的置信区间。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它根据先验信息和样本数据来推断未知参数的后验 概率分布。贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出更加准确的参数估计结果。
贝叶斯估计法的性质
01
02
03
贝叶斯估计法是一种主观概率估 计方法，因为它依赖于先验信息 的可信度和准确性。
先验信息的不确定性可以通过引 入一个先验分布来表达，该分布 描述了先验信息中未知参数的可 能取值及其概率。
贝叶斯估计法的后验概率分布可 以用于推断未知参数的估计值和 不确定性程度。
贝叶斯估计法的应用场景
3
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（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
统计学
STATISTICS
t0.025(14)=2.1448。
x t
2
s 4.1 12 2.1448 n 15 12 2.27 ( 9.73,14.27 )
平均办理时间的95%的置信区间是(9.73,14.27)分 (2)1- = 99%， =0.01 ， t0.005(14)=2.9768。 s 4.1 x t 2 12 2.9768 n 15 5 - 32 12 3.15 ( 8.85,15.15)
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
s 4.1 12 2.0227 n 40 12 1.31 (10.7,13.3)
(3) n=40， t0.025(39)=2.0227
x t 2
5 - 33
统计学
STATISTICS
作业
P145——5
5 - 34
n n 是估计总体均值时的允许误差，或称估计误差 n
x z /2
x z 2
若 5 - 20 未知，可以用样本标准差s代替。
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
【例】保险公司从投保人中随机抽取36人，计算得36人的平 均年龄 x 39.5 岁，已知投保人年龄近似服从正态分布，标 准差为7.2岁，试求全体投保人平均年龄的置信水平为99%的 置信区间
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄均值的90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 36
35 42
39 46
27 43
36 31
44 33
42
34 39 34
5 - 22
53
28 49 39
5-3
统计学
STATISTICS
点估计与区间估计
统计学
STATISTICS
参数估计的方法
估 计 方 法
点
估
计
区间估计
5-5
统计学
STATISTICS
点估计
(point estimate)
ˆ 用样本估计量 的值直接作为总体参数 的估 计值
例如：为了考察下岗职工再就业的比例，随 机抽取200名下岗职工进行跟踪调查，得到 再就业率为68%，以此作为全国下岗职工再 就业率的估计。
45
39 38 45
54
36 34 48
47
44 48 45
24
40 50 32
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%， 查表得z/2=1.645。 根据样本数据计算得： x
39.5 s 7.77
x z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 ( 37.37, 41.63)
5 - 35
p(1 p) p(1 p) p z 2 n n
统计学
STATISTICS
总体比率的区间估计
(例题分析)
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96 p (1 p ) p z 2 n
【 例 4.4】 某 城 市想要估计下岗 职工中女性所占 的比率，随机地 抽 取 了 100 名 下 岗职工，其中65 人为女性职工。 试以95%的置信 水平估计该城市 下岗职工中女性 比率的置信区间
查表得 t0.025(15)=2.1315。
x t
2
s 24.77 1490 2.1315 1490 13.2 n 16
5 - 29
即（1476.8，1503.2），该种灯泡平均使用寿命 95%的置信区间为（1476.8，1503.2）小时。
统计学
STATISTICS
样本均值的置信区间
置信度为 1- 的置信区间也就是以1- 的可能性包含了 未知总体参数的区间
常用的有0.01，0.05，0.10
相应的置信水平值为 99%, 95%, 90%
5 - 17
统计学
STATISTICS
4.2 一个总体参数的区间估计
4.2.1 总体均值的区间估计 4.2.2 总体比率的区间估计 4.2.3 总体方差的区间估计
B A
较小的样本容量
5 - 13
ˆ
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
样本平均数作为总体平均数的估计量、样 本比例作为总体比例的估计量，都具有上 述三个优良性质。
5 - 14
统计学
STATISTICS
考试题
、 、
1.评价估计量好坏的三个标准是 和 。
2.在参数估计中，要通过样本的估计量来估计总体 参数，评价估计量标准之一是使估计量的标准 差越小越好。这种评价标准称为（ ）。 A. 无偏性 C. 一致性 B. 有效性 D. 充分性
没有给出估计值接近总体参数程度的信息
5-6
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
假设我们想估计一个总体参数，如总体均值µ，可 以用一个样本统计量进行估计，如，用样本均值 或是样本中位数m。哪一个较好？ 什么样的估计量才算是一个好的估计量呢？需要有 一定的评价标准。
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
参数估计：用样本统计量去估计总体的参数
估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例如: 样本均值x就是总体均值 的一个估计量
ˆ 总体参数笼统地用 表示，估计量用 表示
估计值：估计参数时计算出来的估计量的具体值
都是总体均值的无偏估计量。但
D( x ) D( x1 )
所以 x 是比 x1 更有效的估计量
5 - 12
统计学
STATISTICS
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来 越接近被估计的总体参数。即一个大样本给出 的估计量更接近总体的参数。
ˆ P( )
较大的样本容量
5 - 24
1.96 x
图4.1 区间估计示意图
1.65 x 2.58 x 1.96 x
x
统计学
STATISTICS
作业
P144——1、2、3 样本均值的抽样标准误差即样本均值的标准 差.
5 - 25
统计学
STATISTICS
小样本的估计方法
总体必须服从正态分布，此时，样本均值 x 也服从 正态分布。 若总体方差２已知，则总体均值的置信区间为
样本均值是总体均值的无偏估计量，样本 比率是总体比率的无偏估计量。 总体方差的无偏估计量为
1 2 ˆ ( xi x ) n 1 i 1
2
n
而样本二阶中心矩不具备无偏性，所以通 常把上式右端定义为样本方差 S2
5 - 10
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
5-8
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：是指估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数。 ˆ 如果 E ( ) ，称 为θ 的无偏估计量。 ˆ ˆ P( )
无偏 有偏
A
B
5-9
ˆ
统计学
STATISTICS
无偏性 (unbiasedness)
投保人平均年龄90%的置信区间为37.37岁~41.63岁
5 - 23
统计学
STATISTICS
68.27% 95.45% 99.73%