试题一及参考解答

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1992数学一答案

，求
3
f (x 2)dx.
1
解：令 x 2 t ，则原式 = 1 f (t)dt 1
0 (1 t2 )dt 1etdt
1
0
7 1 3e
……2 分 ……4 分 ……5 分
四、(本题满分 6 分)
求微分方程 y 2y 3y e3x 的通解.
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准
数学（试卷一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
(1) 设函数 y y(x) 由方程 exy cos(xy) 0 确定, 则
dy y sin xy e xy dx = e x y x sin xy .
九、(本题满分 7 分)
设三阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 3,对应的特征值向量依次为
1 1 1
1
1 1, 2 2,3 3. 又向量 1.
1 4 9
3
(1) 将用1 , 2 , 3 线性表出；(2) 求 A n (n 为自然数).
三、(本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分)
(1) 求 lim e x sin x 1. x0 1 1 x 2
解：原式 = lim x0
ex
sin x
1 2
x2
1
lim ex cos x
x0
x
1.
(2) 设 z f (ex sin y, x2 y2) , 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求 2 z .
(B)
(A) 只有 1 条
(B) 只有 2 条 (C) 至少有 3 条 (D) 不存在

人教版一年级数学下册期末真题卷(含答案) (14)

2022-2023学年陕西省汉中市勉县一年级（下）期末数学试卷一、认真填空。

（每空1分，共15分）1．（2分）看图写数。

2．（3分）59﹣12＝，在这个算式里，被减数是，减数是。

3．（6分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。

65 6212﹣3 1010+20 3055﹣28 2724﹣6 1518+25 464．（4分）按规律填一填。

（1）55，60，65，70，，。

（2）50，48，46，44，，。

二、仔细判断。

（对的画“V”，错的画“x“）（每小题1分，共5分）5．（1分）7个十和3个一是37。

（判断对错）6．（1分）用2个完全相同的小正方形可以拼成1个大正方形。

（判断对错）7．（1分）如果一个加数是51，另一个加数是2，那么它们的和是71。

（判断对错）8．（1分）比16小7的数是9。

（判断对错）9．（1分）丁丁有35本故事书，借给同学17本后，还剩18本。

（判断对错）三、细心计算。

（共32分）10．（12分）直接写出得数。

12﹣6＝17﹣8＝14﹣7＝13﹣9＝66﹣4＝35﹣20＝12+40＝36+42＝44﹣13＝25+3＝80﹣30﹣40＝10+20+50＝11．（12分）用竖式计算。

32+25＝67﹣22＝28+6＝40﹣4＝76+15＝52﹣17＝12．（8分）看图列式并计算。

（1）共有15个。

（2）小红和小林共有多少枚邮票？（3）女孩浇了多少棵小树？（4）买一个书包和一个排球共多少元？四、图形乐园。

（共20分）13．（4分）数一数，填一填。

个数正方形三角形圆长方形14．（4分）想一想，填一填。

（填“少一些”“少得多”“多一些”或“多得多”）蝴蝶的只数比小猫的，小鸡的只数比小燕子的，小猫的只数比蜜蜂的，蝴蝶的只数比蜜蜂的。

15．（6分）想一想，请你接着画下去。

（1）。

（2）。

16．（6分）他们分别看到的是什么？连一连。

五、解决问题。

（共28分）17．（3分）捐图书．还要捐多少本图书？18．（3分）“家长学校”开班了，来了13位家长代表，同学们搬来7把椅子，每位家长一把椅子，还差几把椅子？19．（3分）小灰摘了16个松果，小黑摘了8个松果，小灰比小黑多摘了几个松果？20．（3分）小明家一共有36只鸭和鸡，其中鸡有20只，鸭有多少只？21．（6分）为庆祝六一儿童节，学校举行歌唱比赛，一（1）班参赛的学生有32名，一（2）班参赛的学生比一（1）班少5名，一（3）班参赛的学生比一（1）班多9名。

2020考研数学一真题参考2011答案解析

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121PP -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x-→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=-==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=-=-= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=-=-=- 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=-=-=- (3)()y x P x ''=-，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=-∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=-∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)．【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂-''''==⋅=-=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''-=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>． (4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<．故正确答案为(B)．(5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP-=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．(9)【答案】(ln 1．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )xe x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x -=．(11)【答案】4．【解析】2sin 1()F xyy x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂-⋅=⋅∂+，故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +-=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅-+-+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=--+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x-→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+--=2ln(1)limx x xx e →+-=22201()2lim x x x o x x x e→-+-=22201()2lim x x o x x e→-+=12e -=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则d2z dxdy|x1 y 1f1(1,1) f11(1,1) f12(1,1) ．(17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x 0 为方程一个实根．当 x 0 时，令 f x x k,arctan xf x arctanx1x x2 arctan x 2．令gxarctanx1x x2xR ， gx1 1 x21 x2 x2x 1 x2 22x 2 1 x22 0，即 x R, g x 0．又因为 g 0 0 ，即当 x 0 时， g x 0 ；当 x 0 时， g x 0 ．当 x 0 时， f ' x 0 ；当 x 0 时， f ' x 0 ．所以当 x 0 时， f x 单调递减，当 x 0 时， f x 单调递增又由 lim f x lim x k 1 k ，x0x0 arctan xlim f x lim x k ，xx arctan x所以当1 k 0 时，由零点定理可知 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内各有一个零点；当1 k 0 时，则 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内均无零点．综上所述，当 k 1时，原方程有三个根．当 k 1 时，原方程有一个根．(18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设fxln1 x,x0,1 n 显然f(x)在0,1 n 上满足拉格朗日的条件，f 1 n f0ln1 1 n ln1ln1 1 n 1 11 n, 0,1 n 所以 0,1 n 时，1 1 11 n1 11 n1 1 01 n，即：1 n 11 11 n1 n，n亦即：1 n 1ln1 1 n 1 n．结论得证．（II）设 an11 21 3 1 ln n n 1 ln n ．nk 1 k先证数列an 单调递减． an1 an n1 k11 k ln n 1 n k 11 k ln nn1 1ln n n 11 n 1ln11 n ，利用（I）的结论可以得到1 n 1ln(1 1) n，所以1 n 1ln1 1 n 0得到an1an，即数列an 单调递减．再证数列an 有下界． ann k 11 k lnnn k 1ln 11 k lnn， nk 1ln1 1 k lnn k 1 k1 k ln 2 13 24 3n n1 lnn1， ann k 11 kln nn k 1ln 11 k lnnln n1 lnn0．得到数列an 有下界．利用单调递减数列且有下界得到an 收敛．(19)(本题满分 11 分)【解析】 I 1xdx01 0yf'' xy(x,y)dy1xdx01 0ydf' x(x,y) 1 0xdx yfxx,y |101 0f' x x,y dy 1xdx0f' x(x,1)1 0f' x(x,y)dy．因为f(x,1)0 ，所以f' x(x,1)0． I1xdx01 0f' x(x,y)dy1dy01 0xf' x(x,y)dx 1dy0 xf(x,y)|101 0f(x,y)dx1 0dy f(1,y)1 0f(x,y)dx fdxdy a ． D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示，对 (1, 2 , 3,1,2 ,3) 进行初等行变换：1 1 3 1 0 1 (1, 2 , 3,1,2,3) 1 2 4 0 1 31 3 a 1 1 51 1 3 1 0 1 1 1 3 1 0 1 011112 011112 ． 0 2 a 3 0 1 4 0 0 a 5 2 1 0 当 a 5 时，r(1, 2 , 3) 2 r(1, 2, 3,1) 3 ，此时，1 不能由 1, 2 , 3 线性表示，故1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示．(II)对 (1,2 ,3, 1, 2 , 3 ) 进行初等行变换：1 0 1 1 1 3(1,2,3,1,2,3) 013124 1 1 5 1 3 5 1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3 013124 013124 0 1 4 0 2 2 0 0 1 1 0 2 1 0 0 2 1 5 0104210 ， 0 0 1 1 0 2故 1 21 42 3 ， 2 1 22 ， 3 51 102 23 ．(21)(本题满分 11 分) 1 1 1 1 【解析】(I)由于A 00 00 ，设11,0, 1T,21, 0,1T，则 1 1 1 1 A1,2 1,2 ，即 A1 1, A2 2 ，而 1 0,2 0 ，知 A 的特征值为 1 1, 2 1，对应的特征向量分别为 k11 k1 0 ， k22 k2 0 ．由于 r A 2 ，故 A 0 ，所以 3 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 3 0 对应的特征向量为3 x1, x2, x3 T ，则12TT33 0, 0,即 x1 x1 x3 x3 0, 0．解此方程组，得3 0,1, 0T ，故 3 0 对应的特征向量为 k33 k3 0 ．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：1 1 11 21, 0, 1T, 22 21 21, 0,1T,33 3 0,1, 0T ． 1令Q1,2,3，则QTAQ 1 ，0 A QQT2 2 0 2 22 2 02 20 1 0 1120 2 2 2 000 12 222 02 2 02 22 2 02 220 2 02 20 000 12 2 2 2 0 0 0 10 0 010 ．0 （22）（本题满分 11 分）【解析】(I)因为 P X 2 Y 2 1 ，所以 P X 2 Y 2 1 P X 2 Y 2 0 ．即 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 P X 1,Y 0 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到P X 0,Y 0 P X 0 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ．3即 X ,Y 的概率分布为X-101001/3011/301/3(II) Z 的所有可能取值为 1, 0,1 ．PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 0 1 PZ 1 PZ 1 1 ．3 Z XY 的概率分布为Z-101P1/31/31/3(III)因为 XY Cov XY E XY E X E Y ，D(X ) D(Y )D(X ) D(Y )其中E XY E Z 1 1 0 1 1 1 0 ， E Y 1 1 0 1 1 1 0 ．3 333 33所以 E XY E X E Y 0 ，即 X ，Y 的相关系数 XY 0 ．（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x) x ．(I) 似然函数1e ， (x0 2 2)22 nn L( 2 ) f (xi; 2 ) [i 1i 11e ] (2 ) e (xi 0 2 2)22n 2； 12 2n( xi 0 )2i12 取对数： ln L( 2 ) n ln(2 2 ) n (xi 0 )2 ；2i1 2 2 求导：dln L( 2 ) d ( 2 )n 22n i 1(xi 0 )2 2( 2 )21 2( 2 )2n[(xi 0 )2 2 ] ．i 1 令dln L( 2 ) d ( 2 )0 ，解得21 nn i 1( xi0 )2． 2 的最大似然估计量为 21 nn i 1(Xi 0 )2．(II) 方法 1： X i~N (0 , 2 ) ，令YiXi 0~N (0, 2 ) ，则 21 nnYi 2i 1． E( 2 )E(1 nn i 1Yi2 )E(Yi2 )D(Yi ) [E(Yi )]22． D( 2 )D( 1 nnYi2 )i 11 n2D(Y12 Y22 Yn2 )1 nD(Yi2 )1 n{E(Yi4)[E(Yi2 )]2}1 n(344)2 n4．方法 2： X i~ N (0, 2)，则Xi 0 ~ N (0,1)，得到 Yn i1 Xi 02 ~2n，即n 2Y Xi 0 2 ． i 1E 2 1 nE n i1(Xi0)2 1E n 2Y 1 2E Y 1 2 n 2 ．nn D 2 1 n2n D i1 ( Xi0)2 1 n2D 2Y1 n24D Y1 n24 2n2 n4．。

奥数资料--五年数学测试题一参考答案

奥数资料--五年数学测试题一参考答案----c3269a9a-715a-11ec-a5de-7cb59b590d7d五年级数学兴趣小组测试题一（2021.3）参考答案与试题分析一．填空题（共18小题）1.计算：3999+999×99=。

解：3999+999×99=3999+999 × （100﹣1）=3999+999×100﹣999，=（4000﹣1）+99900﹣（1000﹣1），=4000+99900﹣1000﹣1+1，=102900．2．三天打鱼、两天晒网，按照这样的方式，在100天内打鱼的天数是三天打鱼、两天晒网，5天中有3天打鱼，由此求解．解决方案：100÷5×3=60（天）3．一根绳子对折三次，用剪刀在中间剪断，可以得到9段．一把绳子对折一次，从中间剪断。

绳子分成3段，即2+1=3段；把它对折两次，从中间剪下来，2绳子变成5段，即2+1=5段；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪断后，绳子变成n2+1段．3解决方案：2+1=9（截面）4．鸡与兔共100只，鸡的脚比兔的脚多26只．那么，鸡有71只．解：设鸡有x只，则兔就有100﹣x只，根据题意可得方程：2x﹣4 × （100﹣x） =262x﹣400+4x=26，6x=4265．某个两位数的个位数字和十位数字的和是12，个位数和十位数字交换后所得两位数比原数小36，则原数是84．解决方案：如果一位数字是x，那么十位数字是12-x，那么原来的两位数字是10（12-x）+x，交换位置后的新两位数字是10x+12-x；根据问题的含义，可得出以下方程式：10（12﹣x）+x﹣（10x+12﹣x）=36，18x=72十位数字：12﹣4=8，6.众所周知，A班有40名学生，A班和B班有25名男生，所以A班女生比B班男生多15名解：由已知得：a班男生+a班女生=40人，…①A班男生+B班男生=25，。

营养(初级(士)108)相关专业知识卫生专业技术资格考试试题及解答参考(2025年)

2025年卫生专业技术资格考试营养(初级(士)108)相关专业知识自测试题及解答参考一、A1型单项选择题（本大题有30小题，每小题1分，共30分）1、以下哪种营养素对维持细胞膜的结构和功能具有重要作用？（）A、蛋白质B、碳水化合物C、脂肪D、矿物质答案：A解析：蛋白质是细胞膜的主要成分，对于维持细胞膜的结构和功能具有重要作用。

2、以下哪种营养素摄入过多会导致肥胖？（）A、蛋白质B、碳水化合物C、脂肪D、维生素答案：C解析：脂肪是一种高能量的营养素，摄入过多容易在体内积累，导致能量过剩，从而引起肥胖。

3、人体必需氨基酸中，对于儿童来说除了成人所需的8种之外，还应该包括哪种氨基酸？A. 色氨酸B. 组氨酸C. 异亮氨酸D. 苯丙氨酸答案：B. 组氨酸解析：在必需氨基酸中，对于生长发育期的儿童而言，组氨酸也被认为是必需的，因为它在儿童体内不能够被充分合成，而其他选项中的氨基酸无论是对成人还是儿童都是必需的。

4、下列哪种维生素缺乏会导致夜盲症？A. 维生素AB. 维生素B1C. 维生素CD. 维生素D答案：A. 维生素A解析：维生素A（视黄醇）对于视觉至关重要，尤其是在弱光条件下。

维生素A缺乏时，视网膜上感光细胞活动减弱，导致夜盲症。

其他选项中的维生素缺乏会引起不同的健康问题，但不是夜盲症的直接原因。

5、题干：某患者因慢性肾衰竭入院，医生建议其采用低蛋白饮食。

以下关于低蛋白饮食的说法，正确的是：A、低蛋白饮食的蛋白质摄入量应低于0.6g/kg/dB、低蛋白饮食的蛋白质摄入量应控制在1.0g/kg/d以内C、低蛋白饮食的蛋白质摄入量应控制在1.2g/kg/d以内D、低蛋白饮食的蛋白质摄入量应控制在1.5g/kg/d以内答案：B解析：对于慢性肾衰竭患者，低蛋白饮食的蛋白质摄入量通常建议控制在0.6g/kg/d以下，但对于某些患者，可能需要更低的摄入量，如1.0g/kg/d以内。

因此，选项B正确。

6、题干：以下关于膳食纤维的说法，不正确的是：A、膳食纤维可以降低血糖水平B、膳食纤维可以降低胆固醇水平C、膳食纤维可以增加粪便体积，缓解便秘D、膳食纤维的摄入量过多会导致营养素吸收不良答案：D解析：膳食纤维的摄入对健康有益，包括降低血糖、降低胆固醇、缓解便秘等作用。

小学数学一年级上册竞赛模拟提高试题(附答案解析)

小学数学一年级上册竞赛模拟提高试题（附答案解析）1．请你把0、1、2、3、4、5 这六个数字填在苹果里，使算式成立，每个数字只能用一次。

2．按规律填上括号里的数。

2，5，8，11，( )，17，20。

3．按规律填出空缺的项。

1，9，2，8，3，( )，4，6，5，5。

4．把一根粗细均匀的木头锯成6段，需要锯( )次。

如果锯一次需要2分钟，一共要锯( )分钟。

5．大牛从1楼走到5楼需要4分钟，那么用同样的速度，他从1楼走到8楼需要( )分钟。

6．雁雁有10颗巧克力，旦旦有8颗巧克力。

雁雁给旦旦一些巧克力后，旦旦有15颗巧克力，那么此时雁雁有( )颗巧克力。

7．计算：10＋9－8＋7－6＋5－4＋3－2＋1＝_______。

8．小军喝一杯牛奶，第一次喝了半杯，用水加满，第二次喝了半杯后又用水加满，然后全部喝完。

小军一共喝了( )杯牛奶，( )杯水。

9．有一个教室里的桌子上放着9支蜡烛，点着了3只，突然一阵风吹来，吹灭了2支，过了一天后教室里还有( )支蜡烛。

10．有16位小朋友在玩游戏，后来有3位小朋友加入，又有6位小朋友回家去了，现在有__位小朋友在玩。

11．下面五角星里的数字都是按一定规律排列的，你能填出“？”里的数吗？12．小华和爸爸、妈妈为植树节义务植树，小华植了1棵，爸爸植了5棵，妈妈比爸爸少植2棵，妈妈植了多少棵，他们一共植了多少棵？13．下面每幅图中各有几个小正方体？( )个 ( )个14．同学们排队做操，从前面数，小明排第4，从后面数，小明排第5，这一队一共有多少人？15．小红有9只铅笔，小明有5只铅笔，小红给小明( )支铅笔两人的铅笔同样多。

16．小化过生日，请来5个小朋友一起吃饭。

每人一个饭碗，2人一个菜碗，3人一个汤碗，请你算一算，他们一共用了( )个碗。

17．一只小猫5分钟吃完一条小鱼，5只小猫同时吃5条同样的小鱼要( )分钟。

18．一根电线，对折后从中间剪开，剪开的电线一共有( )段。

2024年一级建造师考试机电工程管理与实务试题及解答参考

2024年一级建造师考试机电工程管理与实务自测试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有20小题，每小题1分，共20分）1、建筑电气绝缘电阻测试仪宜选用（）绝缘电阻表。

A、500VB、1000VC、2500VD、5000V2、以下不属于机电工程专业常用的特种设备是（）。

A、起重机械B、锅炉C、压力管道D、轿车3、建筑电气工程中，电线电缆敷设的方式主要有（）。

A、直线敷设B、环形敷设C、垂直敷设D、水平敷设4、关于电气设备的防雷接地施工，以下说法正确的是（）A. 防雷接地施工应按照设计要求选用合适的接地体材料B. 接地体材料应优先选择价格低的材料C. 接地系统的接地电阻应由专业人员进行测试并符合规定要求D. 接地线的连接应采用焊接，但焊接后可不会进行外观检查5、在设备安装过程中，下列设备首选采用B类偏差控制方式的是（）A. 空压机B. 冷却水泵C. 中低压锅炉D. 预制构件6、在安装电气设备的接地系统时，以下哪种接地类型符合规范要求（）A. 防雷接地、工作接地和防静电接地共用同一接地系统B. 防雷接地和工作接地共用同一接地系统C. 工作接地和防静电接地共用同一接地系统D. 防静电接地和工作接地共用同一接地系统7、关于机电工程设备安装工程量清单计价的编制，以下哪项说法是正确的？A、设备安装工程量清单计价应按照设备安装的实物工程量计算B、设备安装工程量清单计价应按照设备安装的施工图净面积计算C、设备安装工程量清单计价应按照设备安装的设计图数量计算D、设备安装工程量清单计价应按照设备安装的设备预算价格计算8、在机电工程施工过程中，下列哪项不属于施工组织设计的主要内容？A、施工进度计划B、施工质量控制措施C、施工安全措施D、施工成本预算9、关于机电工程项目的竣工验收，以下哪项说法是错误的？A、竣工验收应在工程完成全部合同内容后进行B、竣工验收应由建设单位组织，相关单位参与C、竣工验收合格后，方可投入使用D、竣工验收不合格的工程，应立即停工整改，直至合格10、在工业安装工程中，设备高程控制的主要依据是（）。

1987考研数学一、二、三真题+答案【无水印】

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数学（试卷Ⅰ）一、填空题（每小题3分，满分15分. 只写答案不写解题过程）(1) 与两直线 112x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及 121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程是 50x y -+=(2) 当x =1/ln 2-；时，函数2xy x =取得极小值.(3) 由ln y x =与两直线(1)y e x =+-及0y =围成图形的面积= 3 / 2 (4) 设L 为取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分dy x xdx y xy L)4()22(2-+-⎰的值是π18- .(5) 已知三维线性空间的一组基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα，则向量α＝(2, 0, 0)在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本题满分8分）求正的常数a 与b ，使式1sin 1lim220=+-⎰→dt ta t x bx x x 成立. 解：假若1b ≠，则根据洛必达法则有2200011lim lim(01sin cos x x x bx x b x →→==≠--⎰，与题设矛盾，于是1b =.此时2222100002111lim lim(lim(sin 1cos x x x x bx x x x →→→===--⎰，即1=，因此4a =.三、（本题满分7分）(1) 设函数,f g 连续可微，(,),()u f x xy v g x xy ==+，求,.u vx x∂∂∂∂ 解：1212()u x xy f f f y f x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+⋅∂∂∂；()(1)v x xy g y g x x∂∂+''=⋅=+⋅∂∂.(2) 设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，其中A =301110014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B .解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.四、（本题满分8分）求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解.其中常数0a >.解：由特征方程3222(9)0r r a r +++=，知其特征根根为12,30,3r r ai ==-±. 故对应齐次方程的通解为33123cos sin x x y C C e x C e x --=++ ，其中123,,C C C 为任意常数.设原方程的特解为*()y x Ax =，代入原方程可得A =219a+. 因此，原方程的通解为*33123()cos sin x x y x y y C C e x C e x --=+=+++219a+x . 五、选择题（每小题3分，满分12分） (1) 设常数0k >，则级数21)1(n nk n n+-∑∞= （C ）(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 收敛与发散与k 的值有关.(2) 设)(x f 为已知连续函数，⎰=t sdx tx f t I 0)(，0,0s t >>，则I 的值（D ）(A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s 、t 、x(C) 依赖于t 和x , 不依赖于s (D) 依赖于s , 不依赖于t (3) 设1)()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则在点x a =处(B)(A) ()f x 导数存在,0)(≠'a f (B) ()f x 取得极大值(C) ()f x 取得极小值(D) ()f x 的导数不存在.(4) 设A 为n 阶方阵, 且0≠=a A , 而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(C)(A) a(B) a/1(C) 1-n a (D) n a六、（本题满分10分）求幂级数1121+∞=∑n n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：记112n n n u x n +=，有1112lim lim (1)22n nn n n n n n x u x n u n x +++→∞→∞=⋅=+，令12x <，知原级数在开区间(2,2)-内每一点都收敛.又当2x =-时，原级数=111111(2)2(1)2n n n n n n n ∞∞++==-=-∑∑，故由莱布尼兹判别法知其收敛；而当2x =时，原级数=11111122(1)2n n n n n n n ∞∞++===-∑∑，显然发散，故幂级数的收敛域为)2,2[-. 又记111111()()()22n n n n n x S x x x xS x n n ∞∞+=====∑∑，其中111()()2n n xS x n ∞==∑，有1111()()21/2n n x S x x ∞-='==-∑，于是102()2ln()1/22x dx S x x x ==--⎰，因此幂级数的和函数为2()2ln 2S x x x=-，[2,2)x ∈-.七、（本题满分10分）计算曲面积分2(81)2(1)4SI x y dydz y dzdx yzdxdy =++--⎰⎰，其中s 是曲线 )31(01≤≤⎩⎨⎧=-=y x y z 绕Y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与Y 轴正向的夹角恒大于/2π．解：S 的方程为221y x z =++，记1S ：223,()y x z =+，知1S S +为封闭曲面，设其方向取外侧，所围区域为Ω，则由高斯公式，有12(81)2(1)4S S I x y dydz y dzdx yzdxdy +=++--⎰⎰12(81)2(1)4S x y dydz y dzdx yzdxdy-++--⎰⎰12102(1)0S dv y dydz Ω=⋅---+⎰⎰⎰⎰⎰=3212(13)yz xD D dy dzdx dzdx --⎰⎰⎰⎰⎰31(1)16234y dy ππ=-+⋅⋅=⎰.八、（本题满分10分）设函数)(x f 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每个x ，函数的值都在开区间(0,1)内，且1)(≠'x f .证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使()f x x =．证：令()()h t f t t =-，知()h t 在闭区间[0,1]上连续，又由题设知0()1f x <<，于是有(0)(0)00,(1)(1)10h f h f =->=-<. 故由零点定理，在(0,1)内有x ，使()f x x =.假若)(x f 在开区间(0,1)内有两个不同的点1x 和2x ，使得11()f x x =，22()f x x =，不妨设12x x <，则易见)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故由拉格朗日定理知，(0,1)ξ∃∈，使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，即()1f ξ'=.此与1)(≠'x f 矛盾！故在(0,1)内使()f x x =的x 只能有一个.九、（本题满分8分）问,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解？无解？有无穷多解？并求出无穷多解时的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得11110111100122101221()013200101321100010A A b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭○1 当1≠a 时，系数行列式2(1)0A a =-≠，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解； ○2 当1a =，且1b ≠-时， ()3,()2r A r A ==， ()()r A r A ≠，故原方程组无解；○3 当1a =，且1b =-时， ()()24r A r A ==<，故原方程组有无穷的解. 此时显然有 11110101110122101221()00000000000000000000A A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)T T T x c c =-+-+-，其中12,c c 为任意常数.十、填空题（每小题2分，满分6分）(1) 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1]()1(1[---+n p p n .(2) 三个箱子，第一个箱子有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个白球3个黑球，第三个箱子中有3个黑球5五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53.(3) 已知连续随机变量X 的密度为1221)(-+-=x xe xf π，则X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 .十一、（本题满分6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=它其0101)(x x f X ；⎩⎨⎧≤>=-00)(y y e y f y Y ，求随机变量Z =2X +Y 的概率密度函数()z f z .解：由题设，(,)X Y 的联合密度为01,0(,)()()0y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其它，故Z 的分布函数2()()(2)(,)z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰，○1 当0z <时，2()00z x y zF z dxdy +≤==⎰⎰，此时()00z f z '==；○2 当02z ≤≤时，200001()22z yzz z y y yz z F z dy e dx e dy ye dy ----==-⎰⎰⎰⎰，此时 011()()(1)22z y z z z f z F z e dy e -'===-⎰；○3 当2z >时，121220001()(1)1(1)2z x y x z zz F z dx e dy e dx e e -----==-=--⎰⎰⎰，此时 21()()(1)2zz z f z F z e e -'==-综上所述，Z =2X +Y 的概率密度函数为()z f z =122120(1)02(1)2zz z e z e e z ---<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩数学（试卷Ⅱ）一、（本题满分15分）【同数学Ⅰ、第一题】二、（本题满分14分） (1)（6分）计算定积分2||2(||).x x x e dx --+⎰解：因||x xe-是奇函数，||||x x e -是偶函数，故原式=22||202||226.x x x e dx xe dx e --==-⎰⎰(2)（8分）【同数学Ⅰ、第二题】三、（本题满分7分）设函数(,,),yz f u x y u xe ==，其中f 有二阶连续偏导数，求2.z x y∂∂∂解：121yz u f f f e f x x∂∂''''=⋅+=⋅+∂∂，2111312123()y y y y z f xe f e e f f xe f x y ∂'''''''''=⋅++⋅+⋅+∂∂. 四、（本题满分8分）【同数学Ⅰ、第四题】五、（本题满分12分）【同数学Ⅰ、第五题】六、（本题满分10分）【同数学Ⅰ、第六题】七、（本题满分10分）【同数学Ⅰ、第七题】八、（本题满分10分）【同数学Ⅰ、第八题】九、（本题满分8分）【同数学Ⅰ、第九题】十、（本题满分6分）设12,λλ为n 阶方阵A 的特征值，12λλ≠，而21,x x 分别为对应的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.证：假若21x x +是A 的特征向量，设其对应的特征值为3λ，则有12312()()A x x x x λ+=+，即123132Ax Ax x x λλ+=+. 又由题设条件知111Ax x λ=，222Ax x λ=，故有131232()()0x x λλλλ-+-=.因21,x x 是属于不同特征值的特征向量，所以21,x x 线性无关，从而13λλ=，且13λλ=，此与12λλ≠矛盾！因此21x x +不是A 的特征向量.数学（试卷Ⅲ）一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(ax y +=, 其中a 为非零常数，则22)1(,1ax a y ax ay +-=''+='.(2) 曲线y arctgx =在横坐标为1点处的切线方程是4221-+=πx y ；法线方程是4/)8(2++-=πx y .(3) 积分中值定理的条件是()[,]f x a b 在闭区间上连续，结论是[,],()()()baa b f x dx f b a ξξ∃∈=-⎰使得(4) 32()1nn n lin e n -→∞-=+.(5)⎰='dx x f )(c x f +)(；⎰'badx x f )2(＝)2(21)2(21a f b f -. 二、（本题满分6分）求极限 011lim()1x x xe →--解：200000111111lim()lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→------=====--. 三、（本题满分7分）设⎩⎨⎧-=-=)cos 1(5)sin (5t y t t x ，求 22,.dy d y dx dx解：因5sin ,55cos dy dx t t dt dt ==-，5sin )sin 5(1cos 1cos dy t t dx t t ==--（0+），故t tdx dy cos 1sin -=，且222sin 1()1cos 5(1cos )d y d t dtdx dt t dx t =⋅=---四、（本题满分8分）计算定积分⎰1arcsin xdx x .解：2211121000111arcsin arcsin 2242x xdx x x π=-=-⎰⎰⎰，令sin x t =，有22120sin cos cos 4t tdt t ππ==⎰⎰，因此101arcsin 4248x xdx πππ=-⋅=⎰. 五、（本题满分8分）设D 是曲线sin 1y x =+与三条直线0x =,π=x ,0y =围成的曲边梯形.求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.解：223(sin 1)42V x dx ππππ=+=+⎰. 六、证明题（本题满分10分）(1)（5分）若()f x 在(,)a b 内可导，且导数)(x f '恒大于零，则()f x 在(,)a b 内单调增加. 证：12,(,)x x a b ∀∈，不妨设12x x <，则()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂，使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-. 由于)(x f '在(,)a b 内恒大于零，所以()0f ξ'>，又210x x ->，因此21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，表明()f x 在(,)a b 内单调增加.(2)（5分）若()g x 在x c =处二阶导数存在，且0)(='c g ,0)(<''c g ，则()g c 为()g x 的一个极大值.证：因()()()lim 0x c g x g c g c x c →''-''=<-，而0)(='c g ，故()lim 0x c g x x c→'<-.由极限的保号性，0δ∃>，当(,)x c c δ∈-时，有()0g x x c '<-，即()0g x '>，从而()g x 在(,)c c δ-单增；当(,)x c c δ∈+时，有()0g x x c'<-，即()0g x '<，从而()g x 在(,)c c δ-单减.又由0)(='c g 知，x c =是()g x 的驻点，因此()g c 为()g x 的一个极大值.七、（本题满分10分）计算不定积分⎰+x b x a dx2222cos sin ( 其中,a b 为不全为零的非负数 )解：① 当0a =时，原式=22211sec tan xdx x c b b =+⎰；②当0b =时，原式=22211c cot cs xdx x c a a=-+⎰；③当0ab ≠时，原式=22222(tan )sec 11arctan(tan )tan (tan )1ad x xdx a b x c a a x b ab ab bx b==+++⎰⎰.八、（本题满分15分） (1)（7分）求微分方程y x dxdyx-=，满足条件0|2==x y 的解．解：原方程即11dy y dx x+=，故其通解为11211()()2dx dx xx y e e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰. 因0|2==x y ，所以1c =-.于是所求初值问题的解为xx y 12-=.(2)（8分）求微分方程 x e x y y y =+'+''2 的通解.解：由特征方程2210r r ++=，知其特征根根为1,21r =-.故对应齐次方程的通解为12()x y C C x e -=+ ，其中12,C C 为任意常数. 设原方程的特解为*()()x y x e ax b =+，代入原方程可得a =14，b =-14. 因此，原方程的通解为*212()()x y x y y C C x e -=+=++ 14(1)x x e -. 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1).+∞<<∞=x e x x x f x-,sin )(cos 是（D ）（A ）有界函数（B ）单调函数（C ）周期函数（D ）偶函数(2). 函数()sin f x x x -(D)（A ）当∞→x 时为无穷大（B ）当∞→x 时有极限（C ）在),(+∞-∞内有界（D ）在),(+∞-∞内无界(3) 设()f x 在x a =处可导，则xx a f x a f x )()(lim--+→等于(B)（A ）)(a f ' （B ）)(2a f ' （C ）0（D ）)2(a f '(4) 【同数学Ⅰ、第五（2）题】十、（本题满分10分）在第一象限内，求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a ，则切线方程为2(1)2()y a a x a --=--，即221y ax a =-++故所围面积2312201112(1)(1)224243a a a s a x dx a a +=+--+=++-⎰. 令0s '=得驻点a =.由于0a s ''>，故所求点的坐标为2)3，其最小值为a s =23.数学（试卷Ⅳ）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 10lim xx e →=∞（ ⨯ ） (2)4sin 0x xdx ππ-=⎰（ √ ）(3) 若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散（ ⨯ ）(4) 假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且含D 的一切1r +阶子式都等于0，那么矩阵A 的一切1r +阶子式都等于0 （ √ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0（ √ ）二、选择题（每小题2分，满分10分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是(A)（A ） ()ln sin f x x x =+（B ）⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx xx f （C ）⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001)(x x xx f (2) 若函数f(x)在区间(,)a b 内可导，21,x x 是区间内任意两点，且21x x <，则至少存一点ξ，使得（C ）(A) ()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<<. (B) 111()()()(),f b f x f b x x b ξξ'-=-<<.(C) 212112()()()(),f x f x f x x x x ξξ'-=-<<. (D) 222()()()(),f x f a f x a a x ξξ'-=-<<. (3) 下列广义积分收敛的是（C ）（A ）dx xxe⎰∞+ln （B ）⎰∞+exx dx ln （C ）⎰+∞ex x dx 2)(ln （D ）⎰∞+exx dx ln (4) 设A 是n 阶方阵，其秩r < n ，那么在A 的n 个行向量中(A)(A) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量线性无关(C) 任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r 个行向量线性表示 (5) 若二事件A 和B 同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则(C)(A) A 和B 互不相容（互斥） (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件(D) P (A )=0或P (B )=0三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） (1) 求极限 xxx xe 10)1(lim +→.解：因 1ln(1)(1)x xe x xxxe e ++=，而 ln(1)x x xe xe x+ （当0x →），故 000ln(1)lim lim lim 1x x x x x x xe xe e xx →→→+===，从而 10lim(1)x xx xe e →+=.(2)已知1111ln 22++-+=x x y ，求y '.解：1)1)y =-，y '=-=212xx +. (3) 已知 y x yx arctg z -+=，求dz .解：222()()()()()()1()1()x y x y dx dy x y dx dy d x y x y dz x y x y x y x y+-+-+---==++++--22ydx xdy x y -+=+(4)求不定积分dx ex⎰-12.解：t =，有1)t t t t t e tdt te e dt te e c c==-=-+=+⎰⎰⎰四、（本题满分10分）考虑函数sin y x = )2/0(π≤≤x ，问：(1) t 取何值时，图中阴影部分的面积1s 与2s 之和21s s s +=最小？(2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：因10sin sin sin cos 1ts t t xdx t t t =-=+-⎰，22sin ()sin cos sin sin 22t s xdx t t t t t t πππ=--=+-⎰，故122sin 2cos sin 12s s s t t t t π=+=+--,(0)2t π≤≤.令0s '=，得s 在(0,)2π内的驻点4t π=.而()14s π=，()122s ππ=-，(0)1s =，因此 4t π=时，s 最小；0t =时，s 最大.五、（本题满分6分）将函数231)(2+-=x x x f 展成x 的级数，并指出收敛区间. 解：因111111()(2)(1)121212f x xx x x x x ==-=-⋅------，而011nn x x ∞==-∑，(1,1)x ∈-，且0011()2212n n n n n x x x ∞∞====-∑∑，(2,2)x ∈-，故1100111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====+=+∑∑∑，其收敛区间为(1,1)-.六、（本题满分5分）计算二重积分2x De dxdy ⎰⎰，其中D 是第一象限中由直线y x =和3x y =围成的封闭区域. 解：联立y x =和3x y =，可解得两曲线交点的横坐标 0x =和1x =，于是22231130()12xx x x Dxe e dxdy dx e dy x x e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七、（本题满分6分）已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性为 33p -=η，而市场对商品的最大需求量为1（万件），求需求函数.解：由弹性的定义，有33p dx p x dp =-，即23dxp dp x=-，于是有 3px ce -=，c 为待定常数.由题意 0p =时，1x =，故1c =，因此3p x e -=.八、（本题满分8分）解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 【123431820160x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数】解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有2143410103101130120831101000167073300000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭故原方程组与下方程组同解：132343826x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，令30x =，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T β=-. 又显然原方程组的导出组与下方程组同解：1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，令31x =，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T η=-. 因此原方程组的通解为：1234(,,,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)T T x x x x k =-+-，其中k 为任意常数.九、（本题满分7分）设矩阵A 和B 满足2AB A B =+，求矩阵B ，其中A =423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.解：因2AB A B =+，故2AB B A -=，即(2)A E B A -=，故1(2)B A E A -=-=3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭十、（本题满分6分）求矩阵A =312014101--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.解：令0E A λ-=，即2(1)(45)0λλλ-++=,可见矩阵A 只有一个实特征值1λ=.易见，线性方程组()0E A X λ-=的基础解系为(0,2,1)T ，故A 对应于实特征值1λ=的特征向量为(0,2,1)T k ，（其中k 为非零任意常数）.十一、（每小题4分，满分8分）(1) 已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，试写出X 的分布函数()F x .解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x . (2) 已知随机变量Y 的概率密度为000)(2222<≥⎪⎩⎪⎨⎧=-y y e y f a y a y , 求随机变量YZ 1=的数学期望EZ .解：222222200111()()y y a a y EZ E f y dy edy dy Yy y a --+∞+∞+∞-∞===⋅==⎰⎰⎰. 十二、（本题满分8分）设有两箱同种零件.第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装有30件，其中18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1) 先取出的零件是一等品的概率p ；(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q . 解：设i B ={取出的零件为第i 箱中的}，j A ={第j 次取出的是一等品}，,1,2i j =，显然12,B B 为正概完备事件组，故全概公式得(1) 11112121101182()()()()()2502305p P A P B P A B P B P A B ==+=⋅+⋅=； (2) 1211212122110911817276()()()()()25049230291421P A A P B P A A B P B P A A B ⨯⨯=+=⋅+⋅=⨯⨯，于是，由贝叶斯公式得q =12211()690()0.48557()1421P A A q P A A P A ===≈.数学（试卷Ⅴ）一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） (1) 【同数学Ⅳ 第一（1）题】 (2) 【同数学Ⅳ 第一（2）题】(3) 若函数()f x 在区间(,)a b 严格单增，则对区间(,)a b 内任何一点x 有()0f x '>. （ ⨯ ） (4) 若A 为n 阶方阵，k 为常数，而A 和kA 为A 和kA 的行列式，则kA k A =. （ ⨯ ） (5) 【同数学Ⅳ 第一（5）题】二、选择题（每小题2分，满分10分） (1) 【同数学Ⅳ 第二（1）题】 (2) 【同数学Ⅳ 第二（2）题】 (3) 【同数学Ⅳ 第二（3）题】 (4) 【同数学Ⅳ 第二（4）题】(5) 对于任二事件A 和B ，有()P A B -= (C)(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ (C) ()()P A P AB - (D) )()()(B A P B P A P -- 三、计算下列各题（每小题4分，满分20分）(1) 求极限1ln(1)limx x arctgx→+∞+. 解：11ln(1)lim ln(1)0lim0lim /2x x x x x arctgx arctgx π→+∞→+∞→+∞++=== (2) 【同数学Ⅳ 第三（2）题】 (3) 【同数学Ⅳ 第三（3）题】 (4) 计算定积分dxex ⎰-12112解：t =，有111111021tt t te tdt tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰(5) 求不定积分⎰++5224x x xdx.解：22422221(1)11arctan 252(1)242xdx d x x c x x x ++==+++++⎰⎰. 四、（本题满分10分）考虑函数2y x =，10≤≤x ，问：(1) t 取何值时，图中阴影部分的面积(与数学Ⅳ第四题类似)1s 与2s 之和21s s s +=最小？ (2 ) t 取何值时，21s s s +=最大？解：132223212041(1)33tts s s t x dx x dx t t t t =+=-+--=-+⎰⎰，(01)t ≤≤令0s '=，得(0,1)内的驻点12t =. 而11()24s =，1(0)3s =，2(1)3s =，因此 12t =时，s 最小；1t =时，s 最大.五、（本题满分5分）【同数学Ⅳ 第六题】六、（本题满分8分）设某产品的总成本函数为21()40032C x x x =++，而需求函数为xp 100=，其中x 为产量（假定等于需求量）,p 为价格. 试求：（1）边际成本；（2）边际收益；（3）边际利润；（4）收益的价格弹性. 解：（1）边际成本：()3MC C x x '==+；（2）收益函数：()R x p x =⋅=()MR R x'==；（3）利润函数：21()()()40032L x R x C x x x =-=--，边际利润：()3ML L x x'==--；（4）收益的价格函数：2(100)()R x p==，收益的价格弹性：2222(100)1(100)p dR p R dp p =-⋅=-. 七、（本题满分8分）【同数学Ⅳ 第八题】八、（本题满分7分）【同数学Ⅳ 第九题】九、（本题满分6分）【同数学Ⅳ 第十题】十、（本题满分8分）已知随机变量X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P X P X P X ======，试写出X 的分布函数()F x ，并求X 的数学期望与方差.解：X 的分布函数为()F x =0,0.2,0.5,1,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩332211≥<≤<≤<x x x x ， 10.220.330.5 2.3EX =⨯+⨯+⨯=；222210.220.330.5 5.9EX =⨯+⨯+⨯=222() 5.9 2.30.61DX EX EX =-=-=十一、（本题满分8分）【同数学Ⅳ 第十二题】。

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试题一及参考解答
《多媒体技术》试题一
一、填空题（每题2.5分，共25分）
1、多媒体技术具有特性：_ 、_ 、_ 及高质量等。

2、音频主要分为、语音和。

3、目前常用的压缩编码方法分为两类：____ 和_____ 。

4、多媒体应用系统的开发一般包括下列几个步骤：确定；明确；准备；集成一个多媒体应用系统。

5、、、
、符号都是视觉媒体。

6、在Windows中，最常用的图像文件格式是DIB、、、。

7、在多媒体计算机中常用的图象输入设备有、、。

8、媒体（medium）在计算机领域有两种含义，即、。

9、数字化主要包括和两个方面。

A. 数据量大和数据类型多
B. 数据类型间区别大和数据类型少
C. 数据量大、数据类型多、数据类型间区别小、输入和输出不复杂。

D. 数据量大、数据类型多、数据类型间区别大、输入和输出复杂。

7、下列关于dpi的叙述（）是正确的。

（1）每英寸的bit数（2）每英寸像素点
（3）dpi越高图像质量越低（4）描述分辨率的单位
A．（1），（3）B．（2），（4）
C．（1），（4）D．全部
8、音频卡是按（）分类的。

A.采样频率
B.采样量化位数
C.声道数
D.压缩方式
9、CD-ROM是由（）标准定义的。

A．黄皮书B．白皮书C．绿皮书D．红皮书
10、以下（）是多媒体教学软件的特点。

（1）能正确生动地表达本学科的知识内容
（2）具有友好的人机交互界面
（3）能判断问题并进行教学指导
（4）能通过计算机屏幕和老师面对面讨论问题A．（1），（2），（3）B．（1），（2），（4）
C．（2），（4）D．（2），（3）三、判断题（对的打√，错的打×，说明原因，每题2.5分，共25分）
1、（）音频大约在20KHz-20MHz的频率范围内。

2、（）用来表示一个电压模拟值的二进数位越多，其分辨率也越高。

3、（）对于位图来说，用一位位图时每个像素可以有黑白两种颜色，而用二位位图时每个像素则可以有三种颜色。

4、（）声音质量与它的频率范围无关。

5、（）在软件开发过程中，按照测试过程是否在实际应用环境中，测试可分为静态分析和动态测试。

6、（）多媒体技术中的关键技术是数据压缩技术。

7、（）熵压缩法可以无失真地恢复原始数据。

8、（）在计算机系统的音频数据存储和传输中，数据压缩会造成音频质量的下降。

9、（）在数字视频信息获取与处理过程中，正确的顺序是采样、D/A变换、压缩、存储、解压缩、A/D变换。

10、（）外界光线变化会影响红外触摸屏的精确度。

四、问答题（每题5分，共25分）
1、什么叫多媒体信息？
2、音频录制中产生声音失真的原因？
3、多媒体系统由哪几部分组成的？
4、简述Cool Edit 2000 的功能
5、多媒体应用系统与其他应用系统相比有什么特点？
参考解答
一、填空题
1、集成性、实时性、交互性
2、波形文件、音乐
3、无损压缩法、有损压缩法
4、使用对象、开发方法、多媒体数据
5、位图图像、矢量图形、动态图像
6、BMP、PCX、TIFF
7、数码照相机、彩色扫描仪、视频信号数字化仪、彩色摄象机
8、媒质、媒介
9、采样、量化
10、色调、亮度、饱和度
二、选择题
1、D
2、B
3、C
4、A
5、B
6、D
7、B
8、B
9、A
10、A
三、判断题
1、（×）音频的频率范围为20Hz-20KHz。

3、（×）二位位图的每个像素可以有四种颜色。

4、（×）声音质量与它的频率范围有关。

6、（×）多媒体技术中的关键技术是数据压缩技术、大规模集成电路制造技术、大容量的光盘存储器和计算机网络技术等。

7、（×）熵压缩法是有损压缩法，不能无失真地恢复原始数据。

9、（×）在数字视频信息获取与处理过程中，正确的顺序是采样、A/D变换、压缩、存储、解压缩、D/A变换。

其余的都是正确的。

四、问答题
1、文本、声音、图形、图像和动画等是信息的载体，它们的两个或多于两个的组合构成了多媒体。

2、产生失真的原因主要有：（1）信号频带宽，但采样频率不够高，数字音频信号发生混叠；（2）模拟音频信号幅度太大，超过了量化器范围。

3、计算机硬件、多媒体计算机所配置的硬件、多媒体I/O控制及接口、多媒体核心系统、创作系统、应用系统。

4、Cool Edit 2000 的功能：使用Cool Edit 2000 可以录制音频文件；轻松地在音频文件中进行剪切、粘贴、合并、重叠声音操作；提供有多种特效如放大、降低噪音
压缩、扩展、回声、延迟、失真、调整音调等。

使用它可以生成噪音、低音、静音、电话
信号等声音；其他功能有自动静音检测和删除，自动节拍查找等。

另外，它还可以在多种文件格式之间进行转换。

5、多媒体应用系统的特点是：（1）增强了计算机的友好性；（2）涉及技术领域广、技术层次高；
（3）多媒体技术的标准化；（4）多媒体技术的集成化和工具化。