4-极值和凹凸性
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。
高等数学第四章考研试题
高等数学第四章是关于微积分学的重要章节，是考研数学中的重要考点之一。
在掌握了前三章的基础上，第四章的内容将更加深入和具体。
考研数学中，第四章所考察的内容包括极值、凹凸性、曲率、峰值等方面的知识点。
一、极值问题1. 求函数 $f(x)=x^3-3x^2+5$ 在区间 $[-1,3]$ 上的极值点解：首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x$，令其等于0，得到极值点 $x\in \{-1,2\}$。
将 $x=-1$ 和 $x=2$ 代入函数，得到 $f(-1)=7$，$f(2)=3$。
由此可知，$f(x)$ 在$x=-1$ 时取得最大值7，在 $x=2$ 时取得最小值3。
二、曲率问题2. 求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的凹凸性和曲率半径解：根据椭圆的定义式，求出其一阶导数和二阶导数，得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{a^2y-b^2x^2}{a^2y^3}$由此可以得出，当 $a^2y>b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}<0$，椭圆是凹的；当$a^2y<b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}>0$，椭圆是凸的。
此外，椭圆的曲率半径为$R=\frac{a^2}{b}$。
三、峰值问题3. 求函数 $f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$ 的峰值解：首先求出函数的一阶和二阶导数：$f'(x)=4x^3-12x^2+8x$$f''(x)=12x^2-24x+8$令 $f'(x)=0$，解得 $x\in\{0,2\}$。
计算得到 $f(0)=1$，$f(2)=1$，$f(1)=-2$。
故该函数的峰值为-2，达到峰值时的横坐标为1。
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凹凸性与极值点
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
推导函数的增减性与凹凸性
推导函数的增减性与凹凸性函数是数学中的基本概念之一，它描述了变量之间的关系。
在分析函数的性质时，我们常常关注函数的增减性和凹凸性，这两个概念在微积分中具有重要的意义。
本文将介绍如何推导函数的增减性和凹凸性。
1. 导数与函数的增减性在推导函数的增减性之前，我们先回顾一下导数的概念。
对于函数f(x)，如果它在某个点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)表示函数f(x)在该点的变化率。
如果f'(x)>0，说明函数在该点附近是递增的；如果f'(x)<0，说明函数在该点附近是递减的。
当f'(x)=0时，函数可能存在极值点。
推导函数的增减性时，我们可以通过求导来得到函数的导函数，然后根据导函数的正负来分析函数的增减性。
具体而言，我们可以按照以下步骤进行推导：（1）求导函数f'(x)。
（2）找到导函数f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
（3）根据导函数f'(x)的正负情况，确定函数f(x)的增减性。
当f'(x)>0时，函数递增；当f'(x)<0时，函数递减；在f'(x)=0的点上，可能存在极值点。
2. 导数与函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线在不同部分的弯曲情况。
对于函数f(x)，如果它在某个区间上是凹函数，那么它的曲线在该区间上呈现向上的弯曲；如果它在某个区间上是凸函数，那么它的曲线在该区间上呈现向下的弯曲。
推导函数的凹凸性时，我们可以通过求导函数的导函数来进行分析。
具体而言，我们可以按照以下步骤进行推导：（1）求导函数f'(x)。
（2）对导函数f'(x)再次求导，得到二阶导函数f''(x)。
（3）对二阶导函数f''(x)进行分析。
当f''(x)>0时，函数f(x)为凸函数；当f''(x)<0时，函数f(x)为凹函数；在f''(x)=0的点上，可能存在拐点。
高等数学I(软件)D4_4单调性凹凸性极值与最值
例3 确定函数 f (x) (x 5) 3 x2 的单调区间. 2
解 (1) 定义域 ,
(2) f (x) 3 x2 (x 5) 2 1 5 x 1 2 3 3x 3 3x
令 f ( x) 0 , 得 x1 1, 当 x2 0 时, f ( x)不存在,
(3) 列表:
1
因此
从而
证明 目录 上页 下页 返回 结束
* 证明 x tan x 0
令
则
(x) 1 sec2 x
tan2 x 0,
x
(0,
2
)
从而
即
x tan x 0,
x
(0 ,
2
)
例5 证明不等式 2 x 3 1 (x 1)
x
证明 令 f (x) 2 x (3 1)
x
f (x)
1 x
1 x2
1 x2
(x
x 1)
当 x 1 时, f (x) 0 , 即 f (x)在 [1, )上单增,
当 x 1 时, f (x) f (1) 0,
即 x 1时，2 x 3 1 x
例5 证明:方程 xex =2在(0,1)内有且仅有一个实根
证明 设f (x) xex -2,因f (x)在[0,1]上连续， 且f (0) 2 0, f (1) e 2 0.由零值定理，
o
x
y
y x3
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1) 确定函数 y f ( x) 的定义域;
(2) 求 f (x), 找使 f (x) 0 的点(驻点)和 f (x) 不存在的点;
(3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
函数的凹凸性与极值探讨
函数的凹凸性与极值探讨函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
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x5 b
x
4
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
A
B
o
x
26
微分中值定理
作业
习题3.1 (111页)
1.(2)(3) 4.(2) 6.(2) 8.(1)
27
证 令 f (t ) t lnt , (t 0).
f (t ) lnt 1,
f ( t ) 1 0 t
所以曲线在 (0, ) 上是严格向下凸的.
x, y (0,), x y, 有
f ( x) f ( y) x y f 2 2
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
23
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.
(2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势.
(3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
和拐点.
(4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
1 ,0 5
0
不 存 在
(0, )
0
拐点
1 凹的
凹的
18
凸的
1 , 6 3 5 5 25
不是 拐点
x y x y 例5 证明 x ln x y ln y ln , ( x 0, y 0, x y ). 2 2
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 或x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
2 1
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
3
例如
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
函数的极值是函数的局部性质.
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
1 2(5 x 1) 5 2 2 3 3 , ( x 0) y x x , y 4 3 3 3
9x 在 x 0 处, y, y均不存在 ; 令 y 0, 得 x 1 . 5
x
f ( x )
f ( x)
1 1 , 5 5
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
25
x y y y
4) 求渐近线
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
y
1 2
lim y 0
x
y
1 2
e
x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
24
例. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
设函数 y f ( x ) 在 x0的某邻域 U ( x0 )内连续，
在空心邻域 U ( x0 ) 内 f ( x ) 存在,
(1) 若在x0两侧f ( x)异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
(2) 若在x0两侧f ( x)同号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
(4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
5
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 处取得极大值. 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ' f 有 ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
10
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定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数 , 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
且 lim [ f ( x ) ax] b.
x
则 y ax b 就是曲线y f ( x)的一条斜渐近线 .
22
注意: 如果
f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a , 但 lim [ f ( x ) ax] 不存在; x x x
15
定理3.7 设 f ( x )在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则
(1) 若在 (a, b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x )在[a, b]上是凹的; (2) 若在 (a, b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x )在[a, b]上是凸的.
即
x y x y x ln x y ln y ln . 2 2
19
3.4.3 函数图形的描绘
当曲线 y f ( x ) 上的一动点P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点P到某定直线L 的距离
y f ( x )的 趋向于零, 那么直线L 就称为曲线
一条渐近线.
20
若
(或 x , 或 )
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
( x0 , f ( x0 ))是 若 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则点
曲线 y f ( x ) 的拐点.
17
例4 求曲线 y ( x 1) x 的拐点及凹凸区间.
3 2
解 函数在其定义域 (,) 内连续.
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
6
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
7
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
（2）求可疑点，即求驻点和导数不存在的点；
(3) 检查 f ( x) 在可疑点左右的正负号 , 判断极值点 ;
21
斜渐近线
如果 或
x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0,
x
lim [ f ( x ) (ax b)] 0, (a , b 为常数)
那么y ax b 就是 y f ( x)的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法
f ( x) a, 若 lim x x
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
故极大值 f ( 4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
12
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 ,
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
9
练习. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 3 x ( x 1) 2 3
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
11
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解