高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
2sin 72° cos 72° sin 144° 1 ＝ ＝ ＝ . 4sin 36° 4sin 36° 4
解析答案
1 2 2 (2) － cos 15° ； 3 3 解 1 2 2 1 1 3 2 － cos 15° ＝－ (2cos 15° －1)＝－ cos 30° ＝－ . 3 3 3 3 6
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
解
已知
π π π 1 sin ＋xsin －x＝ ，x∈ ，π ，求 6 4 4 2
tan 4x 的值.
π π ∵sin ＋xsin －x 4 4
π π π ＝sin ＋xsin[ － ＋x] 2 4 4
求下列各式的值.
π 2π (1)cos cos ； 5 5
解
π π 2π 2sin cos cos π 2π 5 5 5 cos cos ＝ 5 5 π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin cos 2sin cos sin 5 5 5 5 5 1 ＝ ＝ ＝ ＝ . π π π 4 2sin 4sin 4sin 5 5 5
解析答案
π 5π (2)sin sin ； 12 12 解 π π 2sin cos π 5π π π 12 12 sin sin ＝sin cos ＝ 12 12 12 12 2
π sin 6 1 ＝ ＝ . 2 4
解析答案
1 3 (3) ＋ . sin 50° cos 50°
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 解 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2 2sin 80° 2sin 80° ＝1 ＝1 ＝4. sin 100° sin 80° 2 2
答案
知识点二
二倍角公式的变形
1.公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝
1 sin 2α 2
，
cos α－sin α＝ cos 2α
2 2
2tan α ， 2 ＝tan 2α. 1－tan α
答案
2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：
2α 2cos 1＋cos 2α＝ ，1－cos 2α＝
2
1－tan 75° (3) ； tan 75° 解 1－tan 75° 1－tan 75° 1 ＝2 ＝2 ＝－2 3. tan 75° 2tan 75° tan 150°
2 2
解析答案
1 3 (4) － . sin 10° cos 10° 解 cos 10° － 3sin 10° 1 3 － ＝ sin 10° cos 10° sin 10° cos 10°
π 5 π sin －x＝ ，0<x< ，求 13 4 4
又 cos
π π π 5 12 120 2x＝sin2－2x＝2sin4－xcos4－x＝2×13×13＝169，
π π π π 5 cos(4＋x)＝sin2－4＋x＝sin4－x＝13， 120 169 24 ∴原式＝ 5 ＝13. 13
sin 2x ∴tan 2x＝ ＝－2 2. cos 2x
－4 2 4 2 2tan 2x ∴tan 4x＝ ＝ . 2 ＝ 7 1－tan 2x 1－8
2α
2sin2α ，
2α
1＋cos α＝ 降幂公式：
2cos
2
,1－cos α＝
2sin
2
，
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 cos α＝ ，sin α＝ . 2 2
2
答案 返回
题型探究
类型一 给角求值
பைடு நூலகம்
重点难点 个个击破
例1 求下列各式的值：
(1)cos 72°cos 36°；
解 2sin 36° cos 36° cos 72° cos 36° cos 72° ＝ 2sin 36°
π π 1 π ＝sin ＋xcos ＋x＝ sin ＋2x 2 2 4 4
1 1 ＝ cos 2x＝ 2 6
1 ∴cos 2x＝ . 3
π ∵x∈ ， π ，∴2x∈(π，2π)，∴sin 2
2 2 2x＝－ . 3
解析答案
类型二 给值求值问题
cos 2x 例 2 已知 π 的值. cos ＋x 4 π π π π π 5 12 解 0＜x＜ ，∴ －x∈(0， ).又∵sin －x＝ ，∴cos －x＝ . 4 4 4 13 13 4 4
1.sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ，令β＝α，得sin 2α＝ 2sin αcos α
.
2.cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ，令β＝α，得cos 2α＝ cos2 α－sin2α
＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α .
tan α＋tan β 2tan α 2 1 － tan α tan β 1 － tan α . 3.tan(α＋β)＝ ，令 β＝α，得 tan 2α＝
1 2 cos 2 3 10° － sin 10° 2 sin 10° cos 10°
＝
4sin 30° cos 10° －cos 30° sin 10° ＝ 2sin 10°cos 10° 4sin 20° ＝ ＝4. sin 20°
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1
第三章
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公
式变形运用.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 二倍角公式
新知探究 点点落实
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修
2
sin
2
2
cos2 sin2
=2
2=
cos
=右边.
1 2cos sin 1 sin
22
所以 tan( π - )= cos . 4 2 1 sin
题型四 易错辨析 [例 4] 化简: 1 sin - 1 sin (θ∈(0,π)).
错解:原式= sin2 cos2 +2sin cos - sin2 cos2 2sin cos
2
= 1 (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) 2
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(2)法一 左边=cos2θ(1- sin2 ) cos2
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ(1- sin2 )=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
1 tan2 π
解:原式= 12 =-2·
12 =-2×
1
tan π
2 tan π
tan π
12
12
6
= 2 =-2 3 . 3 3
题型二 利用二倍角公式给值求值
[例 2] 已知 sin( π -x)= 5 ,0<x< π ,求 cos2x 的值.
4 13
4
cos
π 4
x
解:因为 0<x< π ,所以 π -x∈(0, π ).
cos 2
名师点津
对二倍角公式的理解 (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修4(2)
21
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪
些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
业
疑
难
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18
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
35
.
二倍角的正弦
36
(1)－tan 2θ
[原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nt2aθn－θ1＝－1－2tatnanθ2θ
＝－tan 2θ.]
37
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1123，
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x 22cos x－sin x
＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x
＝2143.
29
1．若本例(2)中的条件不变，则sisninπ4＋2xx的值是什么？
30
[解]
sinπ4－x＝
2 2 cos
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案含解析新人教A版必修
学习资料3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式内容标准学科素养1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第78页［基础认识］知识点二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132～133，思考并完成以下问题能利用S(α±β)，C（α±β），T(α±β）推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？（1)在公式Sα＋β中，如果β＝α，有怎样的结果？提示:当β＝α时,sin（α＋β)＝sin 2α＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α。
（2）在公式Cα＋β中，如果β＝α，有怎样的结果?提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，当β＝α时，cos 2α＝cos2α－sin2α.（3)在Tα＋β中,如果β＝α，有怎样的结果？提示:T（α＋β）＝tan(α＋β)＝错误!，当β＝α时，tan 2α＝错误!.知识梳理三角函数公式简记正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2αC2α正切tan 2α＝错误!T2α思考在cos 2α＝提示：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
［自我检测］1．已知cos x＝错误!,则cos 2x等于()A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案:D2．sin 15°sin 75°的值是()A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!答案：C授课提示：对应学生用书第79页探究一二倍角公式的正用［教材P133例5、例6]方法步骤：（1)求“单角"的函数值．(2)用“单角”表示“倍角”,代入公式．[例1］化简1＋cos 2α＋错误!（α为第二象限角）．[解析］原式＝1＋2cos2α－1＋错误!＝错误!｜cos α｜＋错误!｜sin α|＝错误!（sin α－cos α)＝2sin错误!.方法技巧直接将S2α、C2α、T2α变为单角“α”的表达形式．跟踪探究已知sin α＝错误!，α∈错误!,求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解析：∵sin α＝错误!，α∈错误!，∴cos α＝－1－sin2α＝－错误!＝－错误!，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝－错误!，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×错误!错误!＝错误!，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－错误!.探究二二倍角公式的逆用、变形用［教材P135练习5(4）题]求2cos2 22.5°－1. 解析：原式＝cos 45°＝错误!。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教版必修4
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝sin26 ＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
所以
cos2α＋π4
＝
22－2245－275＝－3150
2 .
类型三 给值求角问题 【例 3】 已知 tan α ＝13，tan β ＝－17，且 α，β ∈(0，π )，
求 2α－β 的值. 解 ∵tan α ＝13>0，
∴α ∈0，π2 ，2α ∈(0，π )， ∴tan 2α ＝12－tatnanα2α ＝1－2×13132＝34>0，
系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符
号.
【训练 2】已知 cosα
＋π4 ＝35，π2 ≤α
3π <2
，求 cos2α
＋π4
的值.
解
∵π2
≤α
3π <2
，∴3π4
≤α
＋π4
7π <4
，于是可由 cosα
＋π4
＝35得到 sinα ＋π4 ＝－45.即 22cos α － 22sin α ＝35，
高一数学人教A版必修4课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
4
2.倍角公式常用变形
(1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
(2)(sin α±cos α)2＝ 1±sin 2α ；
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)sin2α＝
2
，cos2α＝ 2 ；
(4)1－cos α＝2sin2α2 ,1＋cos α＝2cos2α2 .
方法二 在△ABC 中，由 cos A＝45，0<A<π，
得 sin A＝ 1－cos2A＝
1－452＝35.
所以 tan A＝csoins AA＝35×54＝34. 又tan B＝2，
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26
所以 tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－34＋34×2 2＝－121. 于是 tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]
＝
sin 20°
－sin 20° ＝ sin 20° ＝－1.
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19
例2 证明
3－4cos 2A＋cos 4A
求证：
＝tan4A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
3－4cos 2A＋2cos22A－1
∵左边＝ 3＋4cos
2A＋2cos22A－1
＝11＋－ccooss 22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2
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11
探究点三 三倍角公式的推导
思考 因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.
请完成三倍角公式的证明：
(1)sin 3α＝3sin α－4sin3α； 答 证明如下：
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式aa高二数学
【拓展延伸】 二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用
①S2α:2sin αcos α=sin 2α,sin α= sin 2 ,cos α= sin 2 .
2 cos
2 sin
2021/12/9
第四页，共三十四页。
②C2α:cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos 2α.
4
44
又因为 sin( π -x)= 5 , 4 13
所以 cos( π -x)= 12 .
4
13
因为 cos 2x=sin( π -2x) 2
2021/12/9
第二十页，共三十四页。
=2sin( π -x)cos( π -x)
4
4
=2cos[ π -( π -x)]cos( π -x)
24
4
=2cos( π +x)cos( π -x),
;
12 12
解析:(1)原式=cos π sin π = 1 ×2cos π sin π
12 12 2
12 12
= 1 sin π = 1 . 2 64
答案:(1) 1 4
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第十一页，共三十四页。
(2) 1 -cos215°=
;
2
解析:(2)原式= 1 (1-2cos215°)=- 1 cos 30°=- 3 .
(A)- 4 (B)- 1 (C) 1
5
5
5
(D) 4 5
4.已知α为第二象限角,sin α= 3 ,则 tan 2α=
.
5
解析:由 sin α= 3 ,且α为第二象限角得 cos α=- 4 ,
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
第三章 三角恒等变换
题型二 二倍角公式的活用 例2 求下列各式的值：
(1)(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)； (2)2cos 105°cos 15°； (3)1－tatnan1251°5°； (4)12－cos2π8.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【解】 (1)(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
精彩推荐典例展示
名师解题
破解三角函数的综合问题
例4 已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调递增区间．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
抓信息 破难点 (1)首先，运用倍角公式将 sin2x 化为1－c2os 2x，将 2sin xcos x 化为 sin 2x，将 cos2x 化为1＋c2os 2x，然后将 f(x)转化为 Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式． (2)利用 sin x 的性质研究 Asin(ωx＋φ)＋b 的性质．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得 －38π＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，即函数 f(x)的单调递增区间 为[－38π＋kπ，π8＋kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
跟踪训练
4．(2012·高考安徽卷节选)设函数 f(x)＝ 22cos(2x＋π4)＋sin2x. 求 f(x)的最小正周期．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
cos 2φ＝2cos2 φ－1＝2×(－ 33)2－1＝－13，
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值． 答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________． 答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154， 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。