二进制数的算术运算
二进制无符号减法
二进制无符号减法在计算机科学中，二进制无符号减法是一种基本的算术运算。
它用于计算两个二进制数的差值，而不考虑负号。
以下是如何进行二进制无符号减法的步骤：1. 位数对齐在进行二进制无符号减法之前，首先要确保两个数的位数相同。
如果两个数的位数不同，那么需要将它们对齐。
例如，我们有两个8 位二进制数 A 和B，其中A 是11010011，而B 是00110010。
在对齐后，我们可以将A 的最高位（即符号位）去掉，得到A' = 1101001。
同样地，我们也可以去掉B 的最高位，得到B' = 0011001。
2. 逐位相减在对齐后，我们就可以开始逐位相减了。
从最高位开始，将对应位的数字相减。
如果结果为负数（即借位），则需要将借位传递到下一位。
例如，在上面的例子中，我们可以从最高位开始相减，得到1 - 0 = 1，然后将借位传递到下一位，得到1 - 1 = 0（没有借位）。
继续这个过程，我们得到0 - 0 = 0，0 - 1 = 1（没有借位），1 - 0 = 1（没有借位），最后得到1 - 1 = 0（没有借位）。
3. 求借位在逐位相减的过程中，如果出现了借位，则需要计算总的借位数。
这个借位数将被用于下一步的计算。
例如，在上面的例子中，我们在逐位相减的过程中出现了两次借位（即 1 - 1 和0 - 1），因此总的借位数为2。
4. 得到结果最后一步是将所有相减的结果组合起来得到最终的结果。
我们将从最高位开始组合，如果某一位有借位，则需要在前面加上这个借位数。
例如，在上面的例子中，我们将第一位的借位数（即2）加上第二位的得数（即0），得到2 + 0 = 2。
继续这个过程，我们得到最终的结果为200（十进制）。
总结一下，二进制无符号减法的步骤是：首先对齐位数，然后逐位相减并计算借位数，最后根据所有结果和借位数得到最终的结果。
这个方法可以用于任何二进制数的无符号减法运算。
2.2 二进制数的算术运算
1
数字逻辑设计及应用 ( Digital Logic Design and Applications )
2.2.1 二进制加法运算
(Binary Addition )
•进位输入(Carry in): C in • 进位输出 (Carry out) C out • 本位和 (Sum): S
谢谢!
1011 1110 + 1000 1101
2
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表2-2-1 一位二进制加法真值表
输入
输出
被加数X 加数Y 输入进位Cin
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
3
1
1
1
和S 进位输出Cout
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
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2.2.2 二进制减法运算
(Binary Subtraction )
• 借位输入 (Borrow in): Bin • 借位输出 (Borrow out): Bout • 本位差 (Difference bit): D
1010 1010 – 0101 0101
4
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二进制十进制算法
在一种数制中，只能使用一组固定的数字符号来表示数目的大小，具体使用多少个数字符号来表示数目的大小，就称为该数制的基数。
例如：1.十进制（Decimal）基数是10，它有10个数字符号，即0，l，2，3，4，5，6，7，8，9。
其中最大数码是基数减1，即9，最小数码是0。
2.二进制（Binary）基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。
这就是说，如果在给定的数中，除0和1外还有其它数，例如 1012，它就决不会是一个二进制数。
3.八进制（Octal）基数是8，它有8个数字符号，即0，l，2，3，4，5，6，7。
最大的也是基数减1，即7，最小的是0。
4.十六进制(Hexadecilnal)基数是16，它有16个数字符号，除了十进制中的10个数可用外，还使用了6个英文字母。
它的16个数字依次是0，l，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。
其中A至F分别代表十进制数的10至15，最大的数字也是基数减1。
既然有不同的进制，那么在给出一个数时，需指明是什么数制里的数。
例如：(1010)2，(1010)8，(1010)10，(1010)16所代表的数值就不同。
除了用下标表示外，还可用后缀字母来表示数制。
例如 ZA4EH，FEEDH，BADH(最后的字母 H表示是十六进制数)，与(ZA4E)16，(FEED)16，(BAD)16的意义相同。
进制和位权在数制中，还有一个规则，这就是，N进制必须是逢N进一。
对于多位数，处在某一位上的“l”所表示的数值的大小，称为该位的位权。
例如十进制第2位的位权为10，第3位的位权为100；而二进制第2位的位权为2，第3位的位权为4，对于 N进制数，整数部分第 i位的位权为Ni-1，而小数部分第j位的位权为N-j。
l.十进制数的特点是逢十进一。
例如：(1010)10 ＝1× 103＋0× 102＋1× 101＋0× 1002.二进制数的特点是逢二进一。
二进制运算法则
1.2 微型计算机运算基础1.2.1 二进制数的运算方法电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。
1．二进制数的算术运算二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。
（1）二进制数的加法根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：0＋0＝00＋1＝1＋0＝11＋1＝0 （进位为1）1＋1＋1＝1 （进位为1）例如：1110和1011相加过程如下：（2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0＝01－1＝01－0＝10－1＝1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。
但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。
二进制数乘法的法则为：0×0＝00×1＝1×0＝01×1＝1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。
某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。
可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。
再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110＝110余10。
2．二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。
BIN(二进制)算术运算指令
4.2.4 F23（D＋）
F23（D＋）为32位数据相加存储在指定单元的指令，其功能是 将由S1指定的32位常数或32位数据存储单元中的数据（S1为低16 位，S1＋1为高16位）与由S2指定的32位数据存储单元（S2为低 16位，S2＋1为高16位）中的数据相加，结果存在数据存储单元D 和D＋1中，如图4-13所示。指令格式及操作数范围如表4-18所示。
表4-21 指令格式及操作数范围
4.2.8 F28（D－）
F28（D－）为32位数据相减存储在指定单元的指令，其功能是
将由S1指定的32位常数或32位数据存储单元中的数据（S1为低16 位，S1＋1为高16位）与由S2指定的32位数据存储单元（S2为低16 位，S2＋1为高16位）中的数据相减，结果存在数据存储单元D和D ＋1中，如图4-17所示。指令格式及操作数范围如表4-22所示。
图4-21 除法指令的功能
表4-26 指令格式及操作数范围
4.2.13 F35（＋1）
F35（＋1）为16位数据加1指令，其功能是将D指定的16位 数据加1，结果仍存储在D中，如图4-22所示。指令格式及操 作数范围如表4-27所示。
当触发信号X1接通时，数据寄存器DT1中的数据加1，结果 仍存储在DT1中。若DT1＝HFFFF，则指令执行一次后DT1＝ H0。如果计算结果出现溢出（R9009接通），可使用F36（D ＋1）指令（32位数据加1），此时要先用F89（EXT）指令将 16位数据转换成32位数据。
。 存器DT2、DT1中的数据相乘，结果存储在DT8、DT7、DD中
图4-19 指令的功能
表4-24 指令格式及操作数范围
4.2.11 F32（%）
F32（%）为16位数据的除法指令，其功能是将S1指定的16位数 除以S2指定的16位数，商存储在D中，余数存储在特殊数据寄存器 DT9015中，如图4-20所示。指令格式及操作数范围如表4-25所示。
二进制算术运算和逻辑运算
１、二进制的算术运算二进制数的算术运算非常简单，它的基本运算是加法。
在计算机中，引入补码表示后，加上一些控制逻辑，利用加法就可以实现二进制的减法、乘法和除法运算。
（1）二进制的加法运算二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位)例：计算1101+1011的和由算式可知，两个二进制数相加时，每一位最多有三个数：本位被加数、加数和来自低位的进位数。
按照加法运算法则可得到本位加法的和及向高位的进位。
（2）二进制数的减法运算二进制数的减法运算法则也只有四条： 0-0=0 0-1=1(向高位借位) 1-0=1 1-1=0例：计算11000011 00101101的差由算式知，两个二进制数相减时，每一位最多有三个数：本位被减数、减数和向高位的借位数。
按照减法运算法则可得到本位相减的差数和向高位的借位。
（3）二进制数的乘法运算二进制数的乘法运算法则也只有四条： 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1例：计算1110×1101的积由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全0。
部份积的个数等于乘数的位数。
以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。
累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。
（4）二进制数的除法运算二进制数的除法运算法则也只有四条：0÷0 = 00÷1 = 01÷0 = 0 (无意义) 1÷1 = 1例：计算100110÷110的商和余数。
由算式可知，(100110)2÷(110)2得商(110)2，余数(10)2。
但在计算机中实现上述除法过程，无法依靠观察判断每一步是否“够减”，需进行修改，通常采用的有“恢复余数法”和“不恢复余数法”，这里就不作介绍了。
二进制间的运算
二进制间的运算二进制是一种由0和1组成的数字系统，与我们日常所使用的十进制系统相比，兼容性更强。
在计算机科学中，二进制常常用于表示和存储信息。
在处理二进制数据时，我们可以使用不同的运算来实现逻辑操作、算数运算等。
一、逻辑运算：1.与运算（AND）：当两个二进制位都为1时，结果为1；否则为0。
如：1 AND 0 = 0，1 AND 1 = 1。
2.或运算（OR）：当两个二进制位中至少一个为1时，结果为1；否则为0。
如：1 OR 0 = 1，1 OR 1 = 1。
3.非运算（NOT）：将二进制位中的0变为1，1变为0。
如：NOT 0 = 1，NOT 1 = 0。
4.异或运算（XOR）：当两个二进制位不同时，结果为1；相同时为0。
如：1 XOR 0 = 1，1 XOR 1 = 0。
二、算数运算：1.加法运算：二进制加法与十进制加法类似，只需注意进位的处理。
0+0=0，1+0=1，1+1=0（进位1）。
例如： 101+ 110------1011运算结果为1011（十进制为11）。
2.减法运算：二进制减法与十进制减法类似，也需要考虑借位的情况。
0-0=0，1-0=1，1-1=0。
例如： 101- 110-------1因为二进制数中没有负数的概念，所以无法表示-1，但可以借用补码来表示。
3.乘法运算：二进制乘法也是基于十进制乘法的原理，只需注意进位的处理。
0×0=0，1×0=0，1×1=1。
例如： 101× 110------0000101+10111110运算结果为11110（十进制为30）。
4.除法运算：二进制除法也遵循十进制除法的原理，只是结果只包含0和1。
0÷1=0，1÷0=无穷大，1÷1=1。
例如： 10110÷ 11------111----11101运算结果为101（十进制为5）。
三、位移运算：1.左移运算（<<）：将二进制位向左移动指定的位数，并在右侧补0。
二进制算术加法运算
二进制算术加法运算
二进制算术加法运算是计算机中常见的操作之一，也是计算机进行数值计算的基础。
二进制加法运算的规则和十进制加法运算的规则类似，只是需要注意二进制中的进位和溢出。
二进制加法的规则是：对于两个二进制数的相应位，从右往左依次相加。
如果相应位相加的和为2，则向左进1，保留余数，如果相应位相加的和为3，则向左进1，余数为1。
最后得到的结果就是二进制加法的结果。
例如，对于二进制数1011和1101进行加法运算，过程如下： 1011
+1101
-----
11000
从右往左相加，得到的结果为11000，但是这个结果是5位二进制数，比原来的两个数多了一位，这就是进位。
因此，最终的结果是100000，需要去掉多余的一位，得到的结果是10010。
在进行二进制加法运算时，还需要注意溢出的情况。
当两个正数相加得到的结果超过了二进制数的最大值，或者两个负数相加得到的结果超过了二进制数的最小值时，就会发生溢出。
此时，计算机不会报错，而是会把结果截断并返回一个错误的结果。
总之，二进制算术加法运算是计算机中基本的数值计算操作，掌握其规则和注意事项对于计算机编程和软件开发都非常重要。
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0 1 0 +00111 1 1
=1100
1 1 01100 0 0
而显然，正确的结果应为12！ 为什么会发生错误？ 因为在4位二进制补码中，只有3位是数值位， 即它所表示的范围为-8~+7 。 而本例的结果需要4位数值位（12D=1100B）表示， 因而产生溢出。 解决溢出的办法:进行位扩展. *
11111 01101
10010
01101=(13)D 10010=(13)反 (13) 补： (25-13) D=(19)D
=10011=10010+1=(13)反+1
7
2、二进制数的补码表示:
补码或反码的最高位为符号位，正数为0，负数为1。
当二进制数为正数时，其补码、反码与原码相同。
当二进制数为负数时，将原码的数值位逐位求反，然 后在最低位加1得到补码。
1
(b)
3 ) 6 9
(d)
1 1 0 1 1 0 1 0
0
1 0 0 0
1
0 1 1 1
4位二进制补码表示的范围为-8~+7 。所以(a)(b)无 溢出； (c)(d)的运算结果应分别为+8和-9，均超过了 允许范围。
当方框中的进位位与和数的符号位（即b3位）相反 时，则运算结果是错误的，产生溢出。 *
10
溢出的判别:两个符号相反的数相加不会产生溢出， 但两个符号相同的数相加可能产生溢出
4 ) 3 7
2 ) 6 8
(c) (a)
0 1 0 0 0 0 1 1
5 ) 3 8
1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0
0
0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 0
(52)补=(5)补+(2) 补 =0101+1110
1 1 1 0
=0011 所以 52=3
1
自动丢弃 计算结果仍 保留4位
0 0 1 1
进位
*
9
4、关于溢出: 试用4位二进制补码计算5+7。
解：因为(5+0111 表示-4
00101 0 1 0 1
《数字电路与逻辑设计》
北京化工大学北方学院
主讲教师：白彦霞 E-mail：163byx@
1
二进制数的算术运算
在数字电路中，0和1既可以表示逻辑状态，又 可以表示数量的大小。 当表示数量时，可以进行算术运算。 与十进制数的算术运算相比 1：运算规则类似； 2：进位和借位规则不同 （逢二进一，借一当二）
11
小 结
无符号二进制数的算术运算：加、减、乘、除
带符号二进制数的减法运算 原码、反码、补码 二进制数的补码表示 二进制补码的减法运算 溢出
end
12
谢
谢
敬请各位老师批评指正！
13
X1 = 85 = +1010101 X2 = -85 = -1010101 [X1]原 = [X1]反 =[X1]补 =01010101 [X2]原 = 11010101 [X2]反 = 10101010 [X2]补 = [X2]反＋1= 10101011 *
8
3、二进制补码的减法运算:
减法运算的原理:减去一个正数相当于加上一个负数 AB=A+(B)，对(B)求补码，然后进行加法运算。 注意：进行二进制补码加法运算时，被加数的补 码和加数的补码的位数要相等，运算结果多出的 例: 试用4位二进制补码计算52。 高位要舍掉！ 解： 0 1 0 1
4、二进制数除法： 由右移被除数与减法运算构成。
例：计算二进制数1010和111之商。 1. 0 1 1 … 111 1010 111 11 0 0 111 1 010 111 11
*
5
二、带符号二进制数的减法运算：
二进制数的正、负号也是用0/1表示的。
最高位为符号位（0为正，1为负） 例如： +89 = （0 1011001）
特点：加、减、乘、除
全部可以用相加和移位这
两种操作实现。 ——简化了电路结构
所以数字电路中普遍采用二进制算数运算
*
2
一、无符号二进制数的算术运算：
1、二进制数加法： 运算规则： 0+0=0，0+1=1，1+1=10 向高位进一 ——逢二进一
例：计算二进制数1010和0101的和。 1010 + 0101 1 11 1 2、二进制数减法： 运算规则： 0-0=0，1-1=0，1-0=1， 0-1=1 向高位借一 ——借一当二
*
3
例：计算二进制数1010和0101的差。 1010 - 0101 0 10 1 注意：在无符号减法运算中无法表示 负数，所以，被减数必须大于减数。 1010 ×0101 1010 0000 1010 0000 110010
*
4
3、二进制数乘法： 由左移被乘数与加法运算 构成。 例：计算二进制数1010和 0101的积。
-89 = （1 1011001）
在数字电路中，为简化电路常将减法运算变为加法 运算。故引入原码、反码、补码的概念。
*
6
1、原码、反码、补码：
1) 原码：自然二进制码01101=(13)D 2) 反码：原码取反 10010=(18)D 3) 补码：N补=2n-N原=N反+1
二进制数的位数 N反=(2n –1)–N原