虚位移原理 第二章(格式整齐)
分析力学第二章虚功原理及应用
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
第十五章 虚位移原理(2)
第十五（1）章 虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。
本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。
§15-1 约束·虚位移·虚功1．约束及其分类在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。
为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
我们从不同的角度对约束分类如下。
（1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图15-1所示单摆，其中质点M 可绕固定点O 在平面Oxy 内摆动，摆长为l 。
这时摆杆对质点的限制条件是：质点M 必须在以点O 为圆心、以l 为半径的圆周上运动。
若以x ，y 表示质点的坐标，则其约束方程为222l y x =+。
又如，质点M 在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M 的约束方程，即()0,,=z y x f又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB 所受约束有：点A 只能作以点O 为圆心，以r 为半径的圆周运动；点B 与点A 间的距离始终保持为杆长l ；点B 始终沿滑道作直线运动。
这三个条件以约束方程表示为()()0222222==-+-=+B A B A B A A y l y y x x r y x上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。
在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。
例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A 始终与地面保持距离为r 的几何约束r y A =外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0=-ϖr v A上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
虚位移原理
k 2l (sin sin 0 )xO1 k 2l (sin sin 0 )xO2 k 2l (sin sin 0 )xO2 k 2l (sin sin 0 )xH PxH 0
其中：
xO1 l sin xO2 3l sin xH 5l sin
P 8kl (sin sin 0 ) 5
§2 虚位移原理
（1）虚功 作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。
δ w F δr
主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样。 理想约束力的虚功： 理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。 n FN i δ ri 0
i 1 (a) δ ri 0 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等； (b) FNi δ ri 即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等。
解析法：
δ w ( Fxi δ xi Fyi δ yi Fzi δ zi ) 0
i 1
n
1
确定自由度数，选广义坐标。 1 2 3 4
确定自由度数，选广义坐标。 设定直角坐标。 主动力投影，列写相关力作用 点位置坐标，随后变分。 列写方程，解方程。
2 给虚位移，画虚位移图。 3 列写方程。 4 找虚位移之间关系，解方程。
例1：已知 OA=L，试求
系统在图示位置平衡时，
力偶矩M与力F的关系 （不计摩擦）。 基本步骤：
A
C1
M
C2
90
பைடு நூலகம்
m1g
O
m2g
B
F
m3g
1.确定系统是否满足原理的应用条件 2.分析主动力作用点的虚位移
2虚位移原理及达朗伯原理
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
.
.. ri qk
qk
k
a1
ri qa
qa
(i 1,2,n)
29
设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有
主动力的元功之和：
A F i n 1 F ir i i n 1 F ia k 1 q r a i q a a k 1 (i n 1 F i q r a i)q a
由虚位移原理： M F r r 0
18
即 M F 0 . 3 ： st e ) a c 0 （ n
0
M F 0 . 3 s t e a 0 c n
M 4 ...5 si0 c (n 1 3 o c s o)s(N m )
方法二：解析法
x y D D 0 0 ..3 3 m t,a ,x n D y D 0 0 .3 se 2 c
而 rCa, rBrDrA2a
代入上式后，得：
( F c 2 o a P 1 a s s i P 2 2 n a s) i n 0
0 ， () 0
得tan 2F
P12P2
14
例3 多跨静定梁，
求支座B处反力。
解：将支座B 除
去，代入相应的
约束反力 RB 。
由虚位移原理：
若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反 力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解 除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。
27
2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦
力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。
理论力学(哈尔滨工业大学)课件28.3 虚位移(虚功)原理
FN
直接由 δφ与 δs 之间的几何关系：
δϕ 2π
=
δs
h
∑ 代入虚功方程得到： δW F =
2Fl
−
FN h
2π
δϕ = 0
因δφ是任意的，故：
3、虚位移(虚功)原理
2Fl
−
FN h
2π
=
0
FN
=
4πl h
F
－－直接法（几何法）
虚位移（虚功）原理
3、虚位移（虚功）原理
虚位移（虚功）原理
质点系处于平衡,有:
Fi + FNi = 0 Fi ⋅ δri + FNi ⋅ δri = 0
∑ ∑ Fi ⋅ δri + FNi ⋅ δri = 0
∑ 理想约束,有: FNi ⋅ δri = 0
FN i
m
i
δr
i
Fi
∑ Fi ⋅ δri = 0
∑ 或记为: δWFi = 0
求：机构平衡时加在被压物体上的力.
3、虚位移(虚功)原理
虚位移（虚功）原理
解: 1、以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究 对象，画出主动力。
2、理想约束系统，依主动力性质施加虚位
移 δφ与 δs。F AFra bibliotek2lB
δφ F'
3、列虚功方程。
∑δWF = F 2l ⋅ δϕ − FN ⋅ δs = 0
δs
4、消去不独立的虚位移变量。
∑ 解析式为： (Fxiδxi + Fyiδyi + Fziδzi )= 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的 所有主动力在任何虚位移上所作的虚功的和等于零.
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
虚位移原理(下)
F1a A F2 a D 2aFDx D 0
rE 2a A 2a B rF 2aCFG rG 2a D
D A
FDx 1.5kN
E a
F1
rE
B rB
rF F
D G rG H
F2
FDx
A A 2a
Q j [ Fix
i 1 n
——以广义力表示的质点系平衡条件
xi y z Fiy i Fiz i ] q j q j q j
2、几何法
w Q1q1 Q2q2 Qk qk
取一组除 q j 0，其余广义坐标变分均为零的虚位移，则
w j Q j q j
20
§16-5 势力场中质点系的平衡条件及平衡稳定性
一 、势力场中质点系的平衡条件
V Fix , x i
n
V Fiy , y i
V Fiz z i
xi yi zi Q j ( Fix Fiy Fiz ) q j q j q j i 1
M
1
P
A
C1
x
l yC1 cos 1 2
yC 2
l l cos 1 cos 2 2
2
y P
C2
F
B
xB l sin 1 l sin 2
3 Q1 P l sin 1 Fl cos 1 M 0 2
l Q2 P sin 2 Fl cos 2 0 2
V xi V yi V zi V ( ) , xi q j yi q j zi q j q j
势力场中质点系的平衡条件为：
V Qj 0 q j
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(drA)AB (drB )AB
dr
dt
(rA )AB (rB )AB
A B
drB
drA
优质材料
A B rB
rA
12
求机构上点A,B,C的虚位移之间的关系
优质材料
13
rD D
rE
E
rA sin rB
rD rE 2rB
rB
优质材料
6
2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定
常约束。
x2 y2 l0 vt2
优质材料
7
3 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能 表成有限形式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）,约束 方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束） 。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束
A
B
φφ
O
rA
O’
优质材料
14
虚功
比照力的功，我们定义力的虚功
W
F
r
虚功同虚位移一样，是假想的。
r
F
1,力是真实的，位移是虚位移
2, 真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是 虚功。
优质材料
15
M
F 求M ,F的虚功
给关键点 (有力的点 )的虚位移
优质材料
16
例 计算单摆重力的虚功
记为
WN
Ni
ri
0
理想约束的典型例子如下：
1、光滑支承面
WN N r 0
优质材料
18
2、光滑铰链
WN N r N 'r 0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索
优质材料
19
§14-2 虚位移原理
受理想约束的杆 在平衡力系作用下
Pl1 Ql2
给受理想约束的杆 杆一个虚位移
l1 P
P
l2 Q
Q
Pr1 Qr2 Pl1 Ql2 (Pl1 Ql2 ) 0
优质材料
20
拉格朗日--意大利数学家， Josepb Louis Lagrange 研究变分法,第一位提出 （1736---1813） 虚位移原理。
y o
θl
几何法
W
mg
rrlmgl
sin
解析法
W Fxx Fyy Fzz
r
W mg (l cos )
x
M(x，y)
mgl sin
352页思考题15-4
优质材料
17
理想约束
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的 虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束
将约束解除，代之相应的约束反力，并视
为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
优质材料
23
解题类型
一,求出主动力(具有理想或非理想约束的机构)
二,求约束力(具有理想或非理想约束的结构)
解题步骤
1，以受力系作用而平衡的质点系为研究对象 2，把质点系改变为具有理想约束的机构
3，受力图 （主动力，非理想约束，要求的一个约束力）
优质材料
2
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
优质材料
3
1, 几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
优质材料
4
x
虚位移原理
具有理想约束的质点系(整体机构)，平衡的必要 与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主
Hale Waihona Puke 动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之
和等于零。即
WF
M
Fi ri 0
优质材料
F
21
1 几何法 (在图中调整正负号)
WF Fi ri 0
2 解析法 ((1),在方程中调整正负号 (2)保证机构上点的坐标任意性)
优质材料
8
三 虚位移和虚功
虚位移
非自由质点系:受到约束的质点系,运动不可 能完全自由的.
虚位移:在某一瞬时, 质点系
在约束允许的条件下, 可能
M
实现的任何无限小的位移.
可以是线位移,也可以是
角位移, 用 (变分符号)
表示. 优质材料
9
只画关键点的虚位移
y
AxA, yA
r
l
BxB, yB
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
yB 0
fi x1, y1, z1,, xn , y , z n优质材n料 0
i 1,2,, s 5
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
vA r 0 xA r 0
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
优质材料
1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
(Fxixi Fyiyi Fzizi ) 0
优质材料
22
虚位移原理 对具有理想约束的质点系可
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
x
优质材料
10
虚位移与实位移的关系:
oy
实位移除了与约束条件有 关外,还与时间,主动力,及
θl
初始条件有关,而虚位移只
M(x，y)与约束条件有关.
x
在定常约束下, 实位移是虚位
移 中的一个.
在非定常约束下, 实位移不一
定是虚位移 中的一个.
优质材料
11
真实位移和虚位移都满足位移投影定理。
(A)AB (B )AB
4，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量
优质材料
24
一,求出主动力(具有理想约束的机构)
例 图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L，滑块Ａ，Ｂ
与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力FA与FB 之间的关系。
优质材料