第13章 虚位移原理及拉格朗日方程
理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
虚位移
虚功（ ： 二、虚功 • 虚功（virtual work)：δ W = F • δ r 作用于质点( 作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。 上的力在虚位移上所作的功。
F = Fx i + Fy j + Fz k
δr = δxi + δyj + δzk
例：若OA杆的虚位移为 δθ ， 杆的虚位移为 OA＝R ，求力 的虚功。 求力F 的虚功。
A
B
δθ
δr2
F2
1 2a δ r1 = δ r2 = δθ 3 3 F1δ r1 + F2δ r2 − M Aδθ = 0
2a + 2 aF2 − M A )δθ = 0 3 1 Qδθ ≠ 0 MA = 2a( F + F2 ) 1 3 ( F1
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 ， 提出的 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 由 拉格朗日 完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理，它 虚位移原理是静力学的普遍原理， 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • • • 什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件
C1 M mg θ m2 g 1 O
θ = 90 0
C2
ϕ
B F
m3g
解：1、分析主动力作用点的虚位移；2、求主动力的虚功之和 、分析主动力作用点的虚位移； 、
δrA
δθ
A
∑ F • δr = 0
δr C
M
m2 g
i =1 i i
2
n
δr C
[δ r A ] AB = [δ rB ] AB
1
mg 1
十虚位移原理
F1 E
a
A
2a B
F 2a C
G
H
F2
2a
D
`例13-9A 拱架构造,F1=2kN，F2=1kN，求:支架D,C处反力。 解： 1.求：FyD F1a A F2a D FyD 2a D 0,
D A FyD 1.5kN ,
F1
E
B
r FF
a
rE
A
A
2a B
rB 2a C
G
H
rG
F2
D
sin 1 1
yB
l
cos 1
l 2
cos 2
,yB
l
sin1 1
l 2
1
sin22 ,
P
A
2
B
F
P
xC l sin1 l sin 2 ,
y
C
xC l cos1 1 l cos 2 2
(
P
3 2
lsinθ1
Flcosθ1
M)θ1
(
l 2
sinθ2 P
Flcosθ2
)δ 2
0
因:
1 0, 2 0,
FA tan .
FB
FB x
例13-2 图示平面缓冲机构,各杆旳重量和摩擦不记,弹簧原长为l,
刚性系数为k.求:平衡时P与之间关系.
解： FxA F' xB PyC 0, 解析法 y
P
F k 2l sink
C
xA l sin ,xA l cos , xB l l sin , xB l cos ,
动力学
第十三章.虚位移原理 §13-1 约束方程、广义坐标
一.约束分类 1.几何约束,运动约束.
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
第13章-虚位移原理及拉格朗日方程
２、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。
３、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。
４、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。
５、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。
第
在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。
13.1主要内容
13.1.1虚位移的基本概念
FQh＝0h＝1,2,…,k
直角坐标系下的广义力表达式为
用几何法表示为
势力场中的广义力表示为
h＝1,2,…,k
即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。
13.1.5动力学普遍方程及拉格朗日方程
在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
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第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
拉格朗日运动方程
拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程（Lagrange’s equations of motion）是经典力学中的一种重要工具，用于描述质点或者刚体在给定势能函数下的运动。
它由意大利数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于18世纪提出，被广泛应用于各个领域的物理问题求解中。
1. 背景知识在介绍拉格朗日运动方程之前，我们需要先了解一些基础概念。
1.1 广义坐标和广义速度对于一个具有n个自由度的力学系统，我们可以引入n个广义坐标q1,q2,...,q n来描述系统的状态。
这些广义坐标可以是位置坐标、角度等。
同时，对于每个广义坐标q i，我们可以定义相应的广义速度q i。
1.2 势能函数和拉格朗日函数对于一个力学系统，在给定外力和内力作用下，我们可以定义一个势能函数V(q)来描述系统的势能。
势能函数通常与广义坐标有关。
而拉格朗日函数L(q, , t)则定义为系统的动能T(q, )减去势能函数V(q)：L(q, , t) = T(q, ) - V(q)其中，T(q, )表示系统的动能，与广义坐标和广义速度有关。
1.3 原理和目标拉格朗日运动方程的目标是通过对拉格朗日函数进行变分，得到描述系统运动规律的微分方程。
这些微分方程被称为拉格朗日运动方程。
2. 拉格朗日运动方程的推导为了推导拉格朗日运动方程，我们首先需要引入一个重要概念——虚位移。
2.1 虚位移虚位移是指系统在某一时刻由于广义坐标的微小变化而发生的微小位移。
我们用δq i来表示第i个广义坐标的虚位移。
2.2 虚功原理根据虚功原理（D’Alembert’s principle），对于一个力学系统，在平衡状态下，任意时刻系统所受外力对于任意虚位移所做的功之和等于零。
用数学表达式表示为：∑F ini=1⋅δq i=0其中，F i表示第i个广义坐标对应的力。
2.3 拉格朗日方程的推导根据虚功原理，我们可以将每个力分解为广义坐标和广义速度的函数：F i=Q i(q1,q2,...,q n,q1,q2,...,q n,t)其中，Q i表示第i个广义坐标和广义速度对应的力。
理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
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·1·第13章 虚位移原理及拉格朗日方程在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。
法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。
并且进一步导出了拉格朗日方程。
13.1 主要内容13.1.1 虚位移的基本概念1、约束和约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。
用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。
2、约束的分类在虚位移原理中，将约束分为4类：a 、几何约束和运动约束，b. 定常约束和非定常约束，c. 完整约束和非完整约束，d. 双面约束和单面约束。
约束方程的一般形式应为()f x y z x y z j i i i 1110,,,,,, = i ＝1,2,…,n ， j ＝1,2,…,s 3、自由度a 、设某质点系由n 个质点、s 个完整约束组成。
则自由度数k 为k ＝3n –s若质点系为平面问题，则k ＝2n –sb 、设某质点系由n 个刚体、s 个完整约束组成。
则自由度数k 为k ＝6n –s若为平面问题，则为k ＝3n –s4、广义坐标用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。
在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。
此系统任一质点M i 的坐标可以表示为广义坐标的函数，即()r r q q q i i k =12,,, i ＝1,2,…,n 这是用广义坐标q i 表示的质点系各质点位置的表达式。
13.1.2 虚位移 虚功1、虚位移在给定的位置上，质点系为所有约束所容许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。
虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所容许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用δr i 表示，以区别于实位移d r i 。
这里的“δ”是等时变分算子符号，简称变分符号。
在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。
2、虚功作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功，则虚功的表达式为 r F δ⋅=δF W·2·3、理想约束在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。
则理想约束的条件可以表示为01=δ⋅=δ∑=i i N ni F W r F例如：①光滑面约束；②光滑铰链约束；③对纯滚动刚体的固定面约束；④无重钢杆(二力杆)约束；⑤不可伸长的绳索约束。
都是理想约束。
13.1.3 虚位移原理及应用1、虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
即 0=δ∑F W 虚位移原理的矢量表达式为01=δ⋅∑=iini rF在直角坐标系的投影表达式为()01=δ+δ+δ∑=i i z i i y i ix ni z F y F x F以上各式也称为虚功方程。
2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。
a 、已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。
b 、已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。
在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待求的内力或约束力“转化”为主动力。
从而使此系统获得相应的自由度，为使系统发生虚位移创造条件。
13.1.3 用广义力表示质点系的平衡条件具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力均等于零。
F Qh ＝0 h ＝1,2,…,k直角坐标系下的广义力表达式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∑=h i i z h i i y hi i x ni h Q q z F q y F q x F F 1用几何法表示为jFj Q q W F δδ=势力场中的广义力表示为hQh q VF ∂∂-= h ＝1,2,…,k 即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。
13.1.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。
·3·()i nii i i Fm a r =∑-⋅=1这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔—拉格朗日方程）。
写成直角坐标系上的投影式为()()()[]01=δ-+δ-+δ-∑=i i i i z i i i iy i i i ix ni z z m F y y m F x x m F在动力学普遍方程中不包含约束力。
由此可知，将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日方程，以实现用最少数目的方程来描述动力系统，即h Q hh F q Tq T t ∂∂-∂∂ d d h =1,2,…,k 这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。
它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若引入拉格朗日函数：V T L -=则),1,2,( 0 (d d k j q L qL t j j ==∂∂-∂∂ 称为保守系统的拉格朗日方程。
它们是一个方程组，方程的数目等于该系统的自由度数（或广义坐标数）。
13.2 基本要求１、对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。
２、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。
３、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。
理解动力学普通定理的基本概念。
４、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。
５、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。
13.3 重点讨论用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学中功的概念，求解静力学问题，对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束按主动力处理的约束力）。
所以能够容易地求解出平衡时所受主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。
用虚位移原理解题，在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题是找出质点系中各力作用点相应的虚位移之间的关系。
一般情况下，若系统发生虚位移时，有点的合成运动、刚体的平面运动，则运用虚速度法求解(例13-1、例13-2)。
若系统发生虚位移以后，几何关系比较明确，则利用几何法求各点虚位移之间的关系较好(例13-3)。
若系统各点的位置能较容易写出它们的坐标与广义坐标的关系，则应用变分法求解(例13-4)。
动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。
拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式，其它问题就是严格的数学求解问题了。
它为解决多自由度动力学问题，提供了简便的方法。
13.4 例题分析例13-1 椭圆规机构如图所示，连杆AB长l，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。
解：研究整个机构。
系统的所有约束都是完整、定常、理想的。
1、虚速度法：使A发生虚位移为A rδ，B的虚位移为B rδ，则由虚位移原理，虚功方程为0=δ-δ=δ∑BAFrQrPW虚位移关系（投影定理）cossinϕ⋅δ=ϕ⋅δBArr代入虚功方程得)tg(=δ⋅ϕ-ArQP由于0≠δAr得ϕ= tgQP2、变分法由于系统为单自由度，取ϕ为广义坐标。
ϕ=ϕ=sincos lylxAB变分的ϕδϕ=δϕδϕ-=δcossin lylxAB由虚位移原理（直角坐标投影形式）0=δ-δ-=δ∑B xQyPWAF将虚位移关系代入虚功方程得)sincos(=δϕϕ+ϕ-lQP由于0≠δϕ，故ϕ= tgQP·4··5·例13-2 不计各杆件的自重，机构如图所示，求在图示位置平衡时，力F 1与F 2的关系。
解 由于系统发生虚位移时，A 点是点的合成运动关系，所以应用虚速度求解。
设AB 杆的A 点为动点，OC 杆为动系，A 、C 两点的虚位移如图所示，则几何关系为ϕδδδϕδδcos cos lar a OA r r r r e eC A e === 虚功方程为0 012=δ-δ=δ∑C A Fr F r F W将虚位移关系代入得0)cos (212=δϕ-A r laF F由于0≠δA r ，故0cos 212=ϕ-laF F 解出ϕ221cos a lF F =例13-3 多跨静定梁如图所示，求支座B 处反力。
1F 2F 1F 2F BF 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）·6·解：将支座B 处的约束解除，代入相应的约束力F B ，并发生虚位移。
根据虚位移原理（几何法）：0δΣ=F W 0211=δθ-δ-δ+δ-m r P r F r P C B B 得BB C B B r mr r P r r P F δδθ+δδ+δδ=211由虚位移几何关系(几何法)811 , 211=δδ=δδB C B r r r r96118111211121614 =⨯=δ⋅δ=δ⋅δ=δ⋅δ=δδθB C B E B G B r r r r r r r 代入解得m P P F B 961181121 21++=几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。
例13-4 机构如图所示，各杆之间均用铰链连接，杆长AE ＝BD ＝2l ，DH ＝EH ＝l 。
D 、E 之间连一弹簧，弹簧刚度系数为k ，弹簧的原长为l 。
杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。
今在铰链H 上施加一铅直向下的力F H ，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力F H 与杆件、水平线的夹角θ之间的关系。
解：这是一个单自由度系统。
取θ为广义坐标。
因为弹簧 DE 不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力F 、F '代替，并视之为主动力，如图所示。
此题用解析法求解。
由虚位移原理在直角坐标系的投影表达式 0'0Σ=δ-δ-δ=δH H E D F y F x F x F W 以固定点A 为原点，建立静坐标系Axy 。
主动力作用点的坐标为 θθsin 3cos 20l y l x x H E D === 变分得θδθ=δθδθ-=δ=δcos 3sin 20l y l x x H E D弹簧DE 在图示位置的长度为2l cos θ，其原长为l ，伸长量∆＝2l cos θ –l ＝(2cos θ –1)l ，于是弹簧作用于D 、E 上的拉力的大小为·7·()F F k kl ='==-∆21cos θ由于虚位移是假想中的位移，它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。