第10章达朗贝尔原理及虚位移原理
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第10章达朗贝尔原理及虚位移原理
sA
3 11 1 FA F1 F2 M 8 14 8
解:
(1) 给虚位移 rA , rB ,
由 rB cos rA sin ( rA , rB 在 A ,B 连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rA FB rB 0
Fi ri 0
FA rB cot FB rB
y
A
rA
O
rB
M
B
x
实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、 主动力以及运动的初始条件有关 .
实位移
dr , dx, d
等
10.3.3 虚功
力在虚位移中作的功称虚功.
W F r
W M
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为理想约束.
s 2 h
F
F'
s
W
F
FN s 2 Fl 0
FN
FN h 2 Fl 0 WF 2
因 是任意的
FN h 2 Fl 0 2
4 l FN F h
例10-6 已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆 重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 求：主动力FA与 FB 之间的关系。
mg FT FI 0
b
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
FT
v
mg 1.96 N cos
FT l sin 2 2.1 m s m
达朗贝尔原理 理论力学
J z mi ri m
2
2 z
－刚体对z轴的转动惯量。
ρ：回转半径
J z J ZC md
2
J z mi ri m
2
2 z
－平行移轴公式
例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）
解：由转动惯量的定义：
Jc
1 dx x x 3
2
l 2
l 2 l 2
a A R A R O
A O
A O 2( M P sinR )
(Q 3P ) R
2
FIA
g
FN
例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其 质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求： 圆柱体A的角加速度。
(2)
FgC2 MgC2
A
FAX
C2 mg
B
4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状 态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解题分析
以整体为研究对象，画受力图。
？确定惯性力大小
求解惯性力就是求解运动； 求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）
在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便
3.质点系的达朗伯原理
一 原理描述
质点i:
质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：
作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力 系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗伯原理。
2 i i z
结论
平面刚体做定轴转动
如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
14.达朗贝尔原理
FIR = − mac
16
17
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动， 过Mi点， FIi = −mi ai 空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化： 主矢： 主矩： O
FIR = −maC
M IO = ∑ mO ( FIi ) + ∑ mO ( FIi )
例3 已知： 飞轮质量为m,半径为Ｒ,以匀角速度 已知： 飞轮质量为 半径为 以匀角速度 的影响. 的影响 求:轮缘横截面的张力. 轮缘横截面的张力.
ω 定轴转动，设 定轴转动，
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上 不考虑重力 轮辐质量不计 质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 质量均布在较薄的轮缘上
因
ϕ =ωt,得
Fy = (m + m )g + m eω cosωt 1 2 2
2
F = −m2eω2 sinωt x
M = m2gesin ωt +m2eω2hsin ωt
例6 已知：如图所示,电动绞车安装在梁上 梁的两端搁在支座上, 电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上 已知：如图所示 电动绞车安装在梁上 梁的两端搁在支座上 绞车与梁共重为P.绞盘半径为 绞盘半径为R,与电机转子固结在一 绞车与梁共重为 绞盘半径为 与电机转子固结在一 转动惯量为J 质心位于O 绞车以加速度a提升质 起,转动惯量为 ,质心位于 处.绞车以加速度 提升质 转动惯量为 质心位于 绞车以加速度 量为m的重物 其它尺寸如图. 的重物,其它尺寸如图 量为 的重物 其它尺寸如图 受到的附加约束力. 求：支座A，B受到的附加约束力 支座 ， 受到的附加约束力
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
2 达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。
达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。
即：δW =∑(F i +I i )∙δr i =0i(1)其中I i 为惯性力，I i=−m i a i 。
F i 为粒子所受外力，δr i 为符合系统约束的虚位移。
设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数：r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t)则虚位移可以表示为：δr i =∑ðr i ðq jjδq j(2)粒子的速度v i=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t) 可表示为：取速度对于广义速度的偏微分：(3)首先转化方程 (1) 的加速度项。
将方程 (2) 代入：应用乘积法则：注意到的参数为，而速度的参数为，所以，。
因此，以下关系式成立：(4) 将方程 (3) 与 (4) 代入，加速度项成为代入动能表达式：，则加速度项与动能的关系为(5) 然后转换方程(1)的外力项。
代入方程 (2) 得：(6) 其中是广义力：将方程(5) 与 (6) 代入方程(1) 可得：(7) 假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。
由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程 (7) 成立：(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得：定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：3哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为：21ttLdtδ=⎰在等时变分情况下，有()dq q dt δδ•=2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有L LL q q qqδδδ••∂∂=+∂∂(2)其中第一项可化为：()()()LL d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•••••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂(3)将(3)代入(2)得()()d L d L LL q q qdt dt qq q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)将(4)代入(1)得2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt qqq δδδ••∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰(5)在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为21(())0t t d L Lq q dt dt qq δδ•∂∂-=∂∂⎰(6)即21[(())]0t t d L Lq dt dt qq δ•∂∂-+=∂∂⎰(7)q 是独立变量，所以 拉格朗日方程：4欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数和：其中是自变量。
达朗贝尔原理
aA l1
O
1
2
A C B
aA
由加速度基点法有
A
aCA 2
B C
aC aA aCA
aA
aA aC
1 aC l1 l 2 2
(2) 取AB 杆为研究对象
FgR2
Mg2
2
B
A
9g 1 , 7l
FgR 2
3g 2 7l
FAx
l 1 m(l1 2 ) M g 2 ml 2 2 2 12
研究整体
F
解得
x
0
F Fs m1 m2 a 0
3 F m1 m2 3 g 2 3 Fs m1 g F 2
M IA
A
FN
Fs f s FN f s m1 m2 g
解得
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D m2 g
mr 2 mgr (3 4 ) 3
n gR 2
2
FgR 2mr , F 2mr , M gO
7 2 mr 3
（2）将惯性力系向质心C简化，其 主矢主矩分别为： F ma 2mr
gR C
MA
FAy
MgC
F ma 2mr
n gR n C
2
mg
例题
已知：两均质且长度为l直杆 自水平位置无初速地释放。 求： 两杆的角加速度和 O、A处的约束反力。 解: (1) 取系统为研究对象
FOx
O
A
B
FgR1
FgR2
Mg1
1
Mg2
2
B
A O
mg
达朗贝尔原理
FI mac
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
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对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空 间问题有六个平衡方程。
9
因
有
i Fi 0,
i M 0 Fi 0,
e Fi FIi 0 e M 0 Fi M 0 FIi 0
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力， 则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。 这就是质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为： 则有
e i Fi FIi 0 Fi e i M 0 Fi M 0 Fi M 0 FIi 0
解:
FI 1 m1a, FI 2 m2 a
FIit mi r mi a ,
M
由
i
O
0,
m1 g m1a m2 g m2a r mi ar 0
i
2 v FIin mi r
m ar m ar mar
m1 m2 a g m1 m2 m
也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外
力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.
例10-2
已知：如图所示,定滑轮的半径为r,质量为m均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1和m2的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求：重物的加速度.
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何
约束. 如
x y l
2 2
2
f x, y, z 0
x y r
2 A 2 A
2
2 2
xB x A
yB 0
2
yB y A l
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束.
v A r 0
A r 0 x
10.1
10.1.1惯性力
惯性力、质点的达朗贝尔原理
质点受其它物体的作用而引起运动状态变化时，由质点本身 的惯性力引起对施力物体的动反作用力，为受力质点的惯性力。
例如人用力 F 推车，使车产生加速度 a ，同时，车也
给人手一个反作用力 F ' ：
F ' F ma
力 F ' 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于 施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。
3
定义：质点惯性力 F J ma 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的
惯性反抗的总和。
① F 大小：FJ = ma ②
J
F J 方向：与 a 相反
③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。 按不同坐标系，惯性力可分解为：
Fx J ma x FyJ ma y Fz J ma z
第10章 达朗贝尔原理及虚位移原理
达朗贝尔原理和虚位移原理分别从 不同的角度分析系统的平衡问题，是研 究力学平衡问题的另一途径。两者结合 起来组成动力学普遍方程，为求解复杂 系统的动力学问题提供了另一种普遍方 法，构成了分析力学的基础。
章节简介
10.1
10.2 10.3
惯性力、质点的达朗贝尔原理
质点系的达朗贝尔原理 约束、虚位移、虚功
F J ma ——切向惯性力 Fn J man ——法............... Fb J mab 0
4
10.1.2 质点的达朗贝尔原理
非自由质点M：质量m，受主动力 F， 约束反力 N 作 用， F 、N 的 合力为 ma F FN 由牛顿第二定律： R ma 假象地将 F J 作用在M上，则
mg FT FI 0
b
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
FT
v
mg 1.96 N cos
FT l sin 2 2.1 m s m
10.2
则有
质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，
F
J
R F J ma ma 0
即： F N FJ 0 表明：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原理。
5
这样，质点的动力学问题就可以用静力学的方法来解。 但要注意：该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，
而实际上惯性力并不作用在质点上，质点并不平衡。采用
sin FB 0
i 0,
0 2 m mR 2 R 2 cos d 2 2
FA
FB 2 Nhomakorabea0
m mR 2 2 R sin d 2 2
10.3 约束 · 虚位移· 虚功
10.3.1约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束. 限制条件的数学方程称为约束方程. 1）几何约束和运动约束
2）定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称 非定常约束. 不随时间变化的约束称定常约束.
x y l0 vt
2 2
2
3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有 限形式的约束称非完整约束. 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程 中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束. 约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）. 约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）
解得
例10-3
已知：飞轮质量为m,半径为Ｒ,以匀角速度 定轴转动，设 轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响. 求:轮缘横截面的张力.
m 2 解: FIi mi a R i R 2R
n i
F
x
0,
F
Ii
cos FA 0
Ii
F
令
y
0,
F
动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学
提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也
就是：对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平
衡方程求解。
6
例10-1
已知:
m 0.1kg, l 0.3m, 60
求: 用达朗贝尔原理求解
v , FT .
v2 解: FI ma n m l sin