第1章1.3.1第2课时同步训练及详解

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高中数学必修一同步训练及解析
1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( )
A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
解析：选C.
画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．
由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.
2．函数y ＝1
x －1在[2,3]上的最小值为( )
A ．2
B.12
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C.13
D ．－12
解析：选B.函数y ＝1
x －1在[2,3]上为减函数，
∴y min ＝1
3－1＝12. 3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14
，则b ＝________. 解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，
∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14， ∴b ＝4.
答案：4
4．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．
解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，
∴y ＝2x 2＋2≥4，
即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1.
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答案：4
[A 级 基础达标]
1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( )
A ．－1
B ．0
C ．3
D ．－2
解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.
2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )
A ．10、6
B ．10、8
C ．8、6
D ．以上都不对
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解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.
3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )
A ．9
B ．9(1－a )
C ．9－a
D ．9－a 2
解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9.
4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．
解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：2
5．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.
解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，
则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0， 解得b ＝±2.
答案：±2
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6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x
2 －12≤x ≤11x 1＜x ≤2，求f (x )的最大、最小值．
解析：当－12
≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0； 当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x
，得f (2)≤f (x )＜f (1)， 即12
≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.
[B 级 能力提升]
7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为
( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
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解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A ．90万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．120.25万元
解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为
L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )
＝－x 2＋19x ＋30
＝－(x －192)2＋30＋1924
， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．
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9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.
解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1.
综上：a ＝1.
答案：1
10．已知函数f (x )＝1a －1x
(a >0)． (1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若f (x )的定义域、值域都是[12
，2]，求实数a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0，
则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1
) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1
x 1x 2.
∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，
实用文档 ∴x 2－x 1x 1
x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)．
∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12
，2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f
12＝1a －2＝12，f 2＝1a －12＝2，
∴a ＝25
. 11.
如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的
材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？
解：设总长为b ，
由题意知b ＝30－3x ，
实用文档 可得y ＝12
xb ， 即y ＝12
x (30－3x ) ＝－32
(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)． 当x ＝5时，y 取得最大值37.5，
即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.。