形函数的性质
三角函数的基本性质知识点总结
三角函数的基本性质知识点总结一、正弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，其对边与斜边之比，即sin A = 对边/斜边。
2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA，对称轴为原点。
4. 周期性：正弦函数的周期是360°或2π，即sin(A + 360°) = sinA。
5. 正弦函数的图像：根据正弦函数的性质，可以绘制出正弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动。
二、余弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，其临边与斜边之比，即cos A = 临边/斜边。
2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA，对称轴为y轴。
4. 周期性：余弦函数的周期是360°或2π，即cos(A + 360°) = cosA。
5. 余弦函数的图像：根据余弦函数的性质，可以绘制出余弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动，与正弦函数的图像相似但形状相对位移。
三、正切函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，其对边与临边之比，即tan A = 对边/临边。
2. 定义域和值域：正切函数的定义域是除去所有使得临边等于零的实数，值域是全体实数集。
3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-A) = -tanA，对称轴为原点。
4. 周期性：正切函数的周期是180°或π，即tan(A + 180°) = tanA。
5. 正切函数的图像：根据正切函数的性质，可以绘制出正切函数的图像，在0°到180°的范围内，图像呈现周期性的波动。
有限元法与ANSYS技术-形函数的性质
形函数的性质
在上节中，提出了形函数的概念，即
其中
Ni
1 2
ai
bi x ci y
1 xi yi 2 1 x j y j
1 xm ym
（i , j , m轮换）
现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列 式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代 数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列） 的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和 为零，并注意到（3-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、
2
aj
bj xi
cj
yi
bjx
xi
bmc j cm
x
xi
1 2
b j cm bmc j
cm
x
xi
(h)
故有
N j x, y
x xi x j xi
(g)
另外，由（3-22）可以求得
Ni x, y
1
Nj
Nm
1
Li =1/4
为了在以后讨论问题中能够比较
m Li =0
方便地确定单元中任意一点处的 o
x
形函数数值，这里引入面积坐标的概念。 图3-4
在图3-4所示的三角形单元ijm中， 任意一点P(x , y)的位置可
以用 以下三个比值来确定
Li
i
Lj
j
Lm
m
(3-24)
式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角形
形函数矩阵刚度矩阵性质1
CD, EF----不配, 2 节点边缘 ~ 一个3节点边缘.
GH----边节点不与角节点连接
性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分
公式为
A
A Nidxdy 3
1
ij
Ni dl
ij 2
式中 ij 为 ij 边的长度。
(1-23）
3维情况—体积坐标 3D case ---- Volume coordinates
§4. 自然坐标的高阶形式
对于第 j 节点，自然坐标为：
采用 Lagrange interpolation, 第 i 自由度的形函数为 Obviously
（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。
条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
与 Lagrange interpolation 相同. 当 m=2, 可以考虑梁的弯曲 beam bending. 则需要考虑 2m=4 阶函数
Solve simultaneous eqs for
§3. 自然坐标 Natural Coordinates
局部无量纲坐标体系 基于单位几何特性定义称为自然坐标
一般而论，位移函数选取会影响甚至严重 影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选 取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元 中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定 为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。 这正是有限单元法具有的重要优势之一。
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
有限元分析基本理论问答基础理论知识
有限元分析基本理论问答基础理论知识1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
4. 有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。
7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。
形函数的性质
？？？
4
Ni =1 i
j
i m
Nj =1 j
i m
j
Nmm =1
N
（I，j，m）
y
Ni =1
i
Nj =1 j
Nm =1 m
x
图1-4
也可利用行列式代数余子式与某行或列元素
乘积的性质（等于行列式值或0）证明。
5
性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有
Ni (x,
y)
1
x xi x j xi
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nm(x, y) 0
证
N
y
Ni(x、y)
j (xj，yj)
1 i(xi，yi), y) 1
x x j xi x j
Ni (x,
y)
x xj xi x j
x
xi
图1-5
x xi xi x j xi x j
3
利用Ni
1 2A
(ai
bi x
ci y)和ai、bi、ci公式证明
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m
N
（i，j，m）
y Ni =1
i
m
图1-3
j
x
性质2
在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对
于本单元，有
Ni (x, y) N j (x, y) Nm (x, y) 1
n 0
Ni
(x,
y)
1
x xi x j xi
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nk (x, y) 0 边界ij上位移： u Niui N ju j
形函数
用结点位移 代入并求解 ,
(5.103)
得到
(5.104)
上式等号右端第一项矩阵即为形函数。
（5）一维三次四结点单元（Lagrange型）
图3-11一维三次四结点单元模型
位移函数为三次方程
(5.105)
需要四个结点参数才能唯一地确定其中的常系数。这四个结点可以分别取两个端点和两个三分点。类似地，可以得到如下形函数方程
第六章
在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。
选择多项式位移模式时，还应考虑多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外结点的自由度数。通常取项数与单元的外结点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。
simplify(factor(N))
（7）二维一次四结点单元（平面四边形单元或矩形单元）
用形函数表达的位移方程如下
(5.113)
其中形函数矩阵的元素为
，i=1,2,3,4(5.114)
对于平面四边形单元和矩形单元,可用局部坐标系统很好地加以解释。局部坐标的范围定义为-1~+1,四个结点的值固定。局部坐标系下的形函数为
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度