五年级上册奥数第十五讲 综合题选讲_通用版(例题含答案)
第1页/共12页 第十五讲 综合题选讲
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 ①逻辑关系较复杂的问题；
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简第2页/共12页 单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。 ②数与形相结合的问题；
③较复杂的应用题；
④较灵活的组合、搭配问题；
⑤与“最多”、“最少”有关的问题。
解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。
例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？
分析 对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：
有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5； 第3页/共12页 有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；
有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；
有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；
有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；
有2种形成6的和：1+5=2+4；
有2种形成5的和：1+4=2+3；
有2种形成12的和：4+8=5+7；
有2种形成13的和：5+8=6+7；
此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。
首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。
再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。 第4页/共12页 如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。
如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是
（9+7+8+10）×3=102，
（9+8+10+11）×3=114，
（9+7+10+11）×3=111，
（9+7+8+11）×3=105。
它们都与棱上所有数之和应当是（1+2+…+8）×3=108矛盾.这说明棱上的数不可能是3个“9”以及7、8、10、11中某3个各出现3次。
如果在12条棱的中点出现4个“9”以及另外三种数，那么另外三种数应各出现3、3、2次.出现3次的只能是7、8、10、11中的两个.出现两次的则是5、6、12、13中的一个或者是7、8、10、11中未被用了3次的两个中的一个.设出现两次的棱的中点数为a，出现3次的为b或c，则因为
4×9+3×（b+c）+2a=108， 第5页/共12页 所以b+c必须为偶数.在7、8、10、11中取两数b、c，使其和为偶数，只有7、11及8、10这两种可能.无论哪种情形，都有b+c=18，因此2a=108-36-3×18=18，a=9.与12条棱有4个9矛盾.这说明上述情况不能出现。
综上所述，棱中点不可能仅有四种不同数。
棱中点可以有五种不同数值，这可由右图看出：棱中点共出现4个“9”、3个“10”、3个“8”、1个“6”、1个“12”。
这说明棱的中点最少能标出5种不同数值。
例2 一组互不相同的自然数，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中，寻找出使得组内各数之和最大及最小的数组，并求这组数之和的最大值、最小值。
分析 很自然猜想并容易验证数组1，2，3，…，24，25符合题目要求，显然这个数组的和是最大的，这个最大的和是1+2+3+…+24+25=325。
困难在于搜寻最小的数组。
把数组中的数由小到大排起来，容易看出：
1后边的数一定是2；2后边可以是3，也可以是4；3后边可能是4、5、6；4后边可能是5、6、8.把它们列出来就是 第6页/共12页 1，2，3，4，…，25；
1，2，3，5，…，25；
1，2，3，6，…，25；
1，2，4，5，…，25；
1，2，4，6，…，25；
1，2，4，8，…，25。
25是奇数，它只能是另外两个数之和，容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数，也就是说，在上述六种数列的每个“…”中，至少要再加入两个数.而且，还推知后加入的数中至少有两个数，这两个数的和不小于25.理由是，如果后加入的任意两个数之和都小于25，那么就不可能得到最后的25这个数。
根据以上理由，我们应当先考虑1，2，3，4，…，25这一列数.看看是否能只加入两个数，且加入的两个数之和是25。
25=5+20=6+19=7+18=8+17=9+16
=10+15=11+14=12+13。
在1，2，3，4，…，25中的“…”处可加入5，但是不能有20（20不是1、2、3、4、5中任何一数的两倍，也不是其中任何两数之和）；可加入6但不能在6后写19；可加入7，但不能在7后写18，可加入8，但第7页/共12页 不能在8后写17.另一方面，紧接1，2，3，4之后不可加入9、10、11、12.这表明1，2，3，4，…，25中的“…”处仅加入两个数，且这两个数之和是25是办不到的。
接着考察1，2，3，5，…，25：是否可以在“…”中仅加两个数，得到符合题意的数组.
容易看出1，2，3，5，10，15，25是符合题意的一组数.因为在“…”中加入的两个数，不论怎么加，它们的和的最小值是25，现在加入10和15，其和恰是最小值25.所以这数组的和最小.因此，所求的最小和是
1+2+3+5+10+15+25=61。
例3 观察下面的减法算式
其中□□□□表示四位数，□□□表示三位数，□□表示两位数，□表示一位数.问：这样的正确算式共有几种？
分析 换成加法算式，就是要回答共有多少种形如
的正确算式？可以从两方面考虑：
①如果□□□+□□是个三位数.那么这个和再加上一个一位数应该是四位数，容易看出
991+9=1000，
992+9=1001，992+8=1000， 第8页/共12页 993+9=1002，993+8=1001，993+7=1000，
999+9=1008，999+8=1007，…999+1=1000，这些和都是四位数，另一方面，
991=892+99=893+98=894+97=…=981+10；
992=893+99=894+98=895+97=…=982+10；
999=900+99=901+98=902+97=…=989+10.
可见，由一个三位数与一个两位数之和形成的符合题意的三位数是991、992、…、999.此时符合题意的算式共有90×（1+2+…+9）=4050（种）。
②如果□□□+□□是个四位数，那么这个四位数一定是“1□□□”形的数。
容易看出：满足上述限定条件的最小的三位数是901.这时901+99=1000是个最小的四位数。
902+99，902+98是四位数；
903+99，903+98，903+97是四位数；
990+99，990+98，990+97，…，990+10是四位数，
991+99，991+98，991+97，…，991+10是四位数， 第9页/共12页 999+99，999+98，999+97，…，999+10是四位数.可见，使□□□+□□是四位数的算式有
1+2+3+…+90+90×9=4905（种）。
注意到每一个形如□□□+□□是个四位数的算式中，再加上1、2、3、…、9后仍然是四位数，因此当：□□□+□□是四位数时，不同的算式
□□□□-□□□-□□=□共有
4905×9=44145（种）。
把①，②两种情况结合起来知共有
44145+4050=48195种合乎题目要求的算式。
说明：这三个例题虽然涉及的具体内容不同，但是有一个共同特性是都要分成几类较简单的情形，逐一回答较简单的情形的问题，最后解决原来提出来的问题，这种解题方法叫做“分情况解决问题”.通过用分情况的方法解题，可以提高同学们思维的条理性，培养分析问题的好习惯。
例4 桌上放着100个已经涂了色的小球.其中有红球、白球、黄球.允许你对它们改色，办法是：取出两个不同色的球，把它们涂上与它们颜色都不同的另一种颜色（例如你取出一个白球一个黄球，就把它们都改涂为红第10页/共12页 色），然后放回桌上，这叫“一次操作”，问：经过有限次操作后，你能否把所有球都改为同一种颜色？说明你的理由。
分析 100不是3的倍数，设原有红球、白球、黄球各x、y、z个.那么x、y、z不都是3的倍数，也不可能出现这样的情形：x、y、z三个数被3除后的余数互不相同（否则x+y+z=100就应该是3的倍数）.可见，x、y、z中有两个被3除的余数相同，另一个被3除的余数与它们不同。
设y、z被3除之后的余数相同，x被3除后的余数与它们不同。
如果y=z，那么可以用一白一黄变两个红球的方式经过有限步骤把所有的球都变为红色。
如果y≠z.比如说y＜z，z-y必是3的倍数.那么可以先进行“1白1黄变2红”的改色，直到把白球用完，这时桌上的球只有2种：红球和黄球.而此时黄球数目z-y是3的倍数.把黄球3个一组进行分组，黄球被分成若干组，取出一组（3个）黄球和1个红球，对这一组（4个球）进行改色，办法是：
高斯小学奥数五年级上册含答案_数字谜综合一
第二十讲 数字谜综合一
在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相应的数字谜问题．
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例题1. 已知“BADBADGOOD”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？
「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？
练习1. 在算式“路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知刘吉吉是8的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？
例题2．
从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．
952
「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法．
练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．
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高斯小学奥数含答案二年级(下)第15讲 整数分拆综合
第十五讲 整数分拆综合
前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲
后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲
把里面的人物换成相应红字标明的人物． 好想吃啊！
5和10打不开！6和9也打不开！3和12还打不开！呃呃呃……不行了！这个密码到底有多少种可能啊？
密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15. 密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.
和 和 3 12 萱萱
萱萱 萱萱 萱萱
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整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．（0除外）
在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．
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例题1
（1）猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴妈和猴爸，并且猴妈和猴爸都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？
（2）猪八戒拔了15根萝卜．如果猪八戒把这些萝卜分成2堆，那么共有多少种不同的分法？
提示：分给2人与分成2堆有什么不一样？
练习1
小虎有9块积木，他要把这些积木分成2堆，一共有多少种不同的分法？
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五年级下册数学试题-五升六讲义第15讲行程问题(奥数板块)北师大版
1 第十五讲 行程问题
板块一、相遇问题
===总路程速度和相遇时间相遇问题速度和总路程相遇时间相遇时间总路程速度和
例1、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？
跟踪训练1：
1、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米？
2、张、李两人同时从甲地出发去乙地，李骑自行车每分钟行200米，张步行每分钟走80米，李到达乙地后立即按原路返回，当他与张相遇时，张离乙地还有多远？
例2、小李和小张同时从甲乙两地相对走，已知小张骑摩托车的速度是小李骑自行车速度的3倍，当两人相遇时，小张比小李多行了12千米，甲、乙两地的距离是多少千米？
跟踪训练2：
李、王两人同时从相距900米的A、B两地相对出发，已知李骑摩托的行驶速度是王步行速度的8倍，那么两人相遇时，各行了多少千米？
2、轿车和货车同时从甲乙两城的中点处，向相反的方向行驶，4小时后轿车到达甲城，此时货车离乙城还有140千 2 米，已知轿车的速度是货车的2倍，两城相距多少千米？
例3、 甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？
跟踪训练3：
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米。又行3小时，两车又相距120千米。A、B两地相距多少千米？
2、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，匀速前进。如果各人按原定速度前进，4小时相遇；如果两人各自比原计划少走1千米，则5小时相遇。A、B两地相距多少千米？
板块二、追及问题
===路程差速度差追及时间追及问题速度差路程差追及时间追及时间路程差速度差
2024年五年级上册常考的88道奥数题
第1页 共9页 2024年五年级上册常考的88道奥数题
五年级上册常考的奥数题（1-44道）
1、765×213÷27+765×327÷27
2、(101+103+……+199)-(90+92+……+188)
3、9×17+91÷17-5×17+45÷17
4、(9999+9997+……+9001)-(1+3+……+999)
5、9039030÷43043
6、(873×477-198)÷(476×874+199)
7、12+16+111112+20+30+42
8、99999×22222+33333×33334
9、1000+999-998+997+996-995+……+106+105-104+103+102-101
10、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？
11、两个整数相除，商是4，余数是8。已知被除数比除数大59，求被除数。
12、一个整数除以15余2，被除数、商和余数的和是100，求被除数和商。
13、减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少?
14、甲、乙两数之和加上甲数是220，加上乙数是170，甲、乙两数之和是多少?
15、两个自然数相除，商是4，余数是15，被除数、除数、商、余数之和是129。请写出这个带余数的除法算式。
16、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。问：被除数、除数、商及余数之和是多少? 第2页 共9页 17、两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31。求这两个数。
18、小明做两个整数的加法，他把万位上的8看成了3，百位上的7看成了9，个位上的5看成了6，算得的结果是49920。问：正确的结果是多少?
小学五年级数学必考奥数题型汇总带答案(共10题)锻炼提高
小学五年级数学必考奥数题型汇总带答案（共10题），锻炼提高！
01
在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(下图)，求这个立体图形的表面积。
【答案】这个立体图形的表面积为214平方分米。
分析：我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：
上下方向：
大正方体的两个底面：
5×5×2=50(平方分米) 侧面：
小正方体的四个侧面和大正方体的四个侧面
5×5×4=100(平方分米)
4×4×4=64(平方分米)
这个立体图形的表面积为：
50+100+64=214(平方分米)
02
一项工程，由甲先做，再由甲乙两队合作，又做了16天完成。已知甲乙两队的工效比是2：3，甲乙两队独立完成这项工程各需多少天？
解：甲乙的工作效率和=（1-）÷16=÷16=
甲的工作效率=÷（2+3）×2=
乙的工作效率=-=
那么甲单独完成需要1÷=50天
乙单独完成需要1÷=天=33天
03
一项工程甲独完成要10天,乙独做需15天,丙队要20天,3队一起干，甲队因事走了，结果共用了六天，甲队实际干了多少天?
解：乙丙的工作效率和=
乙丙都做6天，完成
甲完成全部的
那么甲实际干了天
04
一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在乙队先做5天后，剩下的由甲、乙两队合作，还需要多少天完成？
解：乙5天完成5× 甲乙合作的工作效率=
那么还需要（1-）÷=5天
05
一批零件，甲乙两人合做5.5天可以超额完成这批零件的0.1，现在先由甲做2天，后由甲乙合作两天，最后再由乙接着做4天完成任务，这批零件如果由乙单独做几天可以完成？
解：将全部零件看作单位1
那么甲乙的工作效率和=（1+0.1）÷5.5=
整个过程是甲工作2+2=4天
乙工作2+4=6天
五年级奥林匹克起跑线电子教材(最新整理)
奥数教材
五年级数学上下册 1目 录◆第一讲 消去问题（一） ………………………2◆第二讲 消去问题（二） …………………… 7◆第三讲 一般应用题 …………………………12 ◆第四讲 盈亏问题（一）………………16 ◆第五讲 盈亏问题（二） …………………………… 17◆第六讲 流水问题 ………………………… 19◆第七讲 等差数列 …………………………23 ◆第八讲 找规律 ……………………………26 ◆能力测试（一）……………………………26◆第九讲 加法原理 ………………………28◆第十讲 乘法法原理 ………………… …31◆第十一讲 周期问题（一）……………………………35◆第十二讲 周期问题（二） ……………………………37◆第十三讲 巧算（一） …………………………… 39◆第十四讲 巧算（二） ……………………40 ◆第十五讲 数阵问题（一） …………………… 45 奥数教材
五年级数学上下册 2◆第十五讲 数阵问题（二） …………………… 45 ◆能力测试 （二） ……………………………………63◆第16讲 平面图形的计算（一） ……………◆第17讲 平面图形的计算（二） ……………◆第18讲 列方程解应用题（一） ………………◆第19讲 列方程解应用题（二）………………◆第20讲 行程问题（一）…………………………◆第21讲 行程问题（二）………………………… ◆第22讲 行程问题（三） ………………… ◆第23讲 行程问题（四）……………………◆阶段测试（一） ……………………◆第24讲 平均数问题（一）………………………◆第25讲 平均数问题（二） …………… …◆第26讲 长方体和正方体（一） ………………◆第27讲 长方体和正方体（二）……………………◆第28讲 数的整除特征 …………………………… ◆第29讲 奇偶性问题…………………… ◆第30讲 最大公约数和最小公倍数………………… ◆第30讲 分解质因数（一） …………………… ◆第31讲 分解质因数（二） …………………… 奥数教材
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十五讲 应用问题(二)(无答案)全国通用
160 第十五讲 应用问题（二）
一、要善于借助线段图和枝形图解应用题
应用题的已知条件和所要求的问题常可用图形来表示，由于图形直观，容易看出数量间的关系，往往能比较快地找出解题的线索。因此，借助图形解题是非常重要的。下面，举出线段图和枝形图的例子。
1．线段图
例 1 果品公司运来苹果 75 筐，香蕉比苹果多 15 筐，香蕉比桔子少 20 筐。运来水果共多少筐？
本题在说明三种水果筐数之间的关系时，用了“比……多”，“比……少”， 如果用图来表示，可以明显地看出它们筐数的多和少。（见图 15－1）
161 分析与解：已知香蕉比桔子少 20 筐，可以说成是桔子比香蕉多 20 筐。
（1）香蕉的筐数：75＋15＝90（筐）
（2）桔子的筐数：90＋20＝110（筐）
（3）三种水果的总筐数：75＋90＋110＝275（筐） 答：运来水果共 275 筐。
例 2 学校运来一批杨树苗，第一天栽了总数的一半零 10 棵，第二天栽了余下的
一半零 5 棵，还剩下 20 棵没有栽。求这一批杨树苗共有多少棵？
分析与解：从图 15－2 中可以看出，（20＋5）棵是第二天没有栽之前树苗棵数的
一半，也就是第一天栽过之后所余棵数的一半。这样，余下的棵数为（20＋5）×
2。
已知第一天栽了总数的一半零 10 棵，这 10 棵应该属于后一半。因此，把第
二天没有栽之前树苗的棵数加上 10 棵，就是总数的一半，这样，树苗总棵数即可求得。
（1）第一天栽过之后余下的树苗棵数：
（20＋5）×2＝50（棵） 162 （2）杨树苗的总棵数：
（50＋10）×2＝120（棵）
综合算式：[（20＋5）×2＋10]×2
＝[50＋10]×2
＝120 棵
答：这一批杨树苗共 120 棵。
通过以上两个例题，可以看出，用线段图来表示题意，直观明了，容易引出解题的思路。
画线段图时要注意以下几点：
（1）认真读题，全面理解题意，所画的图要与题目的条件相符。
高斯小学奥数含答案三年级(下)第15讲 长度计算
6
要知道一个图形的长度，直接测量是日常生活中最常用的方法．而对于数学问题，我们最常用的有两个公式： 第十五讲
长度计算
7 4222正方形周长边长长方形周长长宽长宽
在几何问题中，经常有一些条件隐藏在图形中，需要细心观察才能发现.
例题1．如图，用一个边长是4厘米的正方形和4个一样大的小长方形，一起拼成一个边长是20厘米的大正方形．请问小长方形的长和宽分别是多少厘米？
「分析」图中一共有大小共两个正方形和四个一样的长方形，看看这些长方形的长和宽与正方形的边长有些什么关系呢？
练习：
1. 如图，用4个完全相同的长方形拼成了一个长是20厘米的长方形，请问小长方形的长和宽分别是多少厘米？
上面的问题虽然是几何的形式，但是其中用到了和差倍应用题的方法.数学中的很多问题，都是像这样互相有关联的，因此我们学习时，要注意融会贯通.
几何问题中，我们经常遇到一些不太规则的图形求周长的问题，这类问题应该怎么处理呢？
例题2．如图，把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层，那么摆成的图形周长是多少厘米？
8 「分析」每个长方形的长和宽都是已知的，可以慢慢算出周长，有没有快一些的方法呢？
练习：
2. 把长为5厘米、宽为3厘米的5个长方形摆成两层，请问：摆成的图形的周长是多少厘米？
例题2可以用很多方法做，但是比较之后我们发现，平移法是相对比较简便的方法.通过平移，将原先要求的周长转化为长方形的周长，使得问题简化.这种转化的思想是非常重要的.
使用平移转化时，一定要注意平移后的图形周长和平移前一致.
例题3．如图所示，在一个长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形．
（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？
（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？
「分析」你能求出每条线段的长度吗？如果能请求出来，如果不能就想想如何通过平移来解决．
高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一
第十五讲数论综合提高
本讲知识点汇总：
一. 整除
1. 整除的定义
如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数， 我们就说a能被
b整除，也可以说 b能整除a，记作b|a .
如果除得的结果有余数，我们就说 a不能被b整除，也可以说 b不整除a.
2. 整除判定
(1) 尾数判断法
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被 2或5整除；
能被4、25整除的数的特征：末两位能被 4或25整除；
能被& 125整除的数的特征：末三位能被 8或125整除.
(2) 截断求和法
能被9、99、999及其约数整除的数的特征.
(3) 截断求差法
能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.
(4) 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如 63、72等，可以把它们分拆成互
质的整数，分别验证整除性.
3. 常用整除性质
(1) 已知 a | b、a |c，则 a | b c 以及 a| b c . ( b>c)
(2) 已知 ab |ac，则 b |c .
(3) 已知 a | bc 且 a,b 1，则 a | c •
(4) 已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .
4. 整除的一些基本方法：
(1) 分解法：
① 分解得到的数有整除特性；
② 两两互质.
(2) 数字谜法：
① 被除数的末位已知；
② 除数变为乘法数字谜的第一个乘数 . (3) 试除法：
① 除数比较大；
② 被除数的首位已知
(4) 同除法：
① 被除数与除数同时除以相同的数；
② 简化后的除数有整除特性 •
二、质数与合数
1. 质数与合数的定义
质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了 1和它本身之外，还能被其它数整除
的数.
2. 分解质因数
分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口： 100 22 5 , 28 0 23 5 7 •
典型题型
一.整除
1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是 9和11这种常见数字；
(完整)五年级上册数学竞赛试题奥数经典例题一人教新课标
第 1 页 五年级奥数精典例题一
例1：
甲乙两车同时分别从两地相向而行。甲车每小时行72千米，乙车每小时行64千米。两车相遇时距全程的中点20千米。两地之间相距多少千米？
解答：20×2÷（72-64）=40÷8=5（小时）……相遇时间
（72+64）×5=136×5=680（千米）
答：两地之间相距680千米。
解析：在相同的时间内，甲的速度快，行的路程多，比全程的一半多20千米，而乙则比全程的一半少20千米，所以甲应该比乙多行20×2=40(千米)。而甲1小时比乙多行72-64=8(千米)，多少小时甲比乙多行40千米呢?40÷8=5(小时)，这就是他们行驶的时间，即相遇时间。
例2：
甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟遇到甲，A、B两地相距多远？
解答：（50+70)×2=240(米)
240÷(60一50)=24(分钟)
(60+70)×24=3120(米)
答:A、B两地相距3120米。
解析：丙与乙相遇时，甲与丙还相距一段路程，这段路程甲、丙还要行2分钟相遇，说明甲、丙还相距(50+70)X2=240(米)。由于乙、丙相遇处在同一位置，所以240米也是甲、乙相距的路程，即甲、乙的路程差，根据路程差÷速度差=时间，列式240÷(60-50)=24(分)，这也是乙、丙的相遇时间，就可求出全程。
例3：
3头牛和4只羊一天共吃草77千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。每头牛、每只羊每天各吃草多少千克?
解答：（77×2-130)÷(4×2-5)=24÷3=8(千克)
(77-8×4)÷3=45÷3=15(千克)
答：每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克
解析：本题中，牛的头数和羊的只数都不相同，这样比较时不能直接消去一个量。我们观察比较发现，后面条件中的6头牛是前面条件中3头牛的两倍。把前面的牛的头数和羊的只数各扩大2倍得6头牛和8只羊，吃的草也扩大2倍是154千克。这样再与后面比较就可以消去牛吃的草。