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《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
乘法公式ppt课件
感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
乘法公式ppt课件
巴依老爷
阿凡提与财主
现在这块地跟原来那块正方形的 地相比，一边加5米，一边减5米，
你看你也不吃亏。
巴依老爷，您这可就是欺负人了 啊，背信弃义不说，还过来蒙我！
大伙评评理，我要去告官！
阿凡提
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
运用平方差公式进行相关计算。
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
动脑想一想
多项式和多项式怎样相乘？
(a+b)(m+n)
动脑想一想
计算： (-x+2y)(-x-2y)
• 解：原式=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
−x是同号项 2y是异号项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同号项的平方减异号项的平方
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
动脑想一想
计算：(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
• 解：原式= y2−22−(y2+4y−5) = y2−4−y2−4y+5 = −4y + 1
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简 化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。
乘法公式 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
归纳
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.
例1 计算：
(1) (x+3y )2；
(2)
1 3
ab
cm
2
;
(3) (－4a－3b)2 .
解：(1) (x+3y )2 = x 2+2x (3y )+(3y )2 =x 2+6xy+9y 2 .
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并
同类项；对于(2)可以把底数(a－b)、(a＋b)分别
看成一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算； 对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积， 再利用完全平方公式进行计算．
解：(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1) ＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1 ＝－5x 2－10x；
m
2
；
(6)
2 x
1 3
2
y
.
解： (1)(1＋a)2＝1＋2a＋a 2.
(2)(2a－1)2＝4a 2－4a＋1.
(3)(3a＋b)2＝9a 2＋6ab＋b 2.
(4)
2n
1 4
2
4n2
n
1 16
.
(5)
2n
2 3
2
m
4n2
8 3
n
4 9
m2.
(6)
2 x
1 3
y
2
4x2
4 3
b
形成四块实验田，以种植
不同的新品种(如图).
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巧记
特别 提醒
首平方,尾平方,积的2倍在中央
(1)公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可表示单项式或多项式. (2)运用完全平方公式计算时,要注意2ab项的符号,更不能漏掉该项. (3)运算时要注意公式的变形巧用.如(-a-b)2=(a+b)2,(-a+b)2=(a-b)2
14.2 乘法公式
例2 运用完全平方公式计算: (1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2; (3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).
2
14.2 乘法公式
栏目索引
题型三 利用完全平方公式变形求值 例3 (2019湖北武汉江汉期中)已知x2+y2=25,x+y=7,求xy和x-y的值.
分析 先根据完全平方公式求出xy的值,再根据完全平方公式求出(x-y)2 的值,最后求x-y的值.
解析 ∵x2+y2=(x+y)2-2xy, ∴25=72-2xy,∴xy=12, ∴(x-y)2=x2-2xy+y2=25-2×12=1, ∴x-y=±1.
(1)公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可表示单项式或多项式.公式中的a与b不是单 个数或字母时,运用公式计算时要加括号. (2)运用平方差公式的关键是确定公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a和b,完全相同的项是a,符号 相反的项是b,确定a和b后套用公式即可
14.2 乘法公式
栏目索引
例1 下列两个多项式相乘,哪些可以用平方差公式计算,哪些不能?能 用平方差公式计算的,写出计算结果. (1)(2a-3b)(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b); (3)(-2a+3b)(-2a-3b);(4)(2a+3b)(2a-3b); (5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b).
14.2 乘法公式
栏目索引
知识点二 完全平方公式
公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们 的积的2倍
特征
公式的左边是两个相同的二项式相乘(即二项式的平方);公式的右边是一个三项式,首尾两项分别是 二项式两项的平方,中间一项是二项式两项积的2倍
解析 (1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2 =a2+6ab+9b2. (2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2×3y·x+x2 =9y2-6xy+x2. (3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2. (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9) =-4x2-12x-9.
解析 (2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算. (1)(6)不能用平方差公式计算. (2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2. (3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.
解析 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1=216.故选D. 答案 D
14.2 乘法公式
栏目索引
题型二 先利用乘法公式化简,再求值
14.2 乘法公式
栏目索引
知识点一 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差
特征
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一ห้องสมุดไป่ตู้完全相同,另一项互为相反数; (2)右边是两项的平方差,即相同项的平方减去互为相反数项的平方
巧记 特别 提醒
两数和乘两数差,等于两数平方差
栏目索引
14.2 乘法公式
栏目索引
知识点三 添括号法则
添括号 法则
知识详解
内容
字母表示
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里 的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括 到括号里的各项都改变符号
a+b+c=a+(b+c); a-b-c=a-(b+c)
(1)添括号与去括号是互逆的,符号的变化是一致的,在掌握添括号法则时,可与去括号法则相 比较,括号前为正号,括到括号里的各项都不改变符号;括号前为负号,括到括号里的各项都改 变符号,不可只改变部分项的符号.添括号是否正确可用去括号检验. (2)无论怎样添加括号,原式的值都不能改变,添括号法则在利用乘法公式进行计算的题目中应 用较多
14.2 乘法公式
栏目索引
例3 在括号内填上适当的项.
(1)a-2b+c+d=a-(
);
(2)-a-3b+c=-( (3)x2-2y2+2x-3y=( (4)x2-y2-x-y=x2-x-(
); )+2x-3y; ).
解析 所添括号前面是“+”,括到括号里的各项都不改变符号;所添括 号前面是“-”,括到括号里的各项都改变符号.
14.2 乘法公式
栏目索引
点拨 a+b,a-b,ab,a2+b2四个量中,只要知道其中两个量,就可以求出另外 两个量.将完全平方公式进行变形可得到一些新的公式,主要有:a2+b2=(a ±b)2∓2ab;(a±b)2=(a∓b)2±4ab;(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab, 解题时,可以充分利用这些公式.
答案 (1)2b-c-d (2)a+3b-c (3)x2-2y2 (4)y2+y
14.2 乘法公式
栏目索引
题型一 平方差公式的重复运用 例1 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是 ( ) A.1 024 B.28+1 C.216+1 D.216
分析 先在原式前面配上(2-1)这个因数,再依次利用平方差公式计算即可.
例2 (2018湖南邵阳中考)先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中 a=-2,b= 1 .
2
分析 先利用平方差公式以及完全平方公式运算,再合并同类项得出化 简结果,最后代入求值.
解析 原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab, 当a=-2,b= 1 时,原式=-4.