专题3.4+二联表与独立性检验-高考数学备考之百强校大题狂练

的用户记为 B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打 分情况见茎叶图：
①从 B 类用户中任意抽取 1 户，求其打分超过 85 分的概率； ②若打分超过 85 分视为满意，没超过 85 分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为“满意度与用电量高低有关”？
月收入在 1.5,3) 中,有 5 户赞成楼市限购令, l 户不赞成楼市限购令，根据枚举法确定从中随机抽取两户所
有的基木事件数，再确定所抽取的两户都赞成楼市限购令包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式
求概率，（3）根据卡方公式求 K 2 ，与参考数据比较，确定结论.
试题解析：（Ⅰ）因为 6+10+13+11 = 4 ，
生产件数分成 5 组： 50,60),60,70),70,80),80,90),90,100 ，分别加以统计，得到如图所示的频率
分布直方图.
（1）根据“25 周岁以上组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值
（四舍五入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人
0.15
0.10
0.05
0. 025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
试题解析： （1）由题意得下表：
男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
的观测值为
.
所以有 的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的 6 名“体育达人”中有 4 名男职工，2 名女职工，
∴所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为 P = 10 = 2 . 15 3
（Ⅲ）由题意，可得如下 2 2 列联表：
非高收入族
高收入族
总计
赞成
35
5
40
不赞成
5
5
10
总计
40
10
50
∵K2 =
n(ad − bc)2
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
= 50(355 − 55)2 = 7.031 7.879 ，
(1)由以上统计数据填 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界 点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
(2)若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动．现从这 8 人中随机抽 2 人． ①抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上的概率． ②记抽到 45 岁以上的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望． 参考数据：
直方图计算出 25 周岁以上 3 名，25 周岁以下工人 2 名，利用列举法，根据古典概型的概率计算公式即可得
结果；（3）根据题意完成列联表，计算出 2 的值即可得结果.
（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上共 60 0.00510 = 3 名， 设其分别为 m1, m2 , m3 ；25 周岁以下工人共 40 0.00510 = 2 名，设其分别为 n1, n2 .记“至少抽到一名 25 周岁以下工人”为事件 A .
，其中 n＝a＋b＋c＋d. 【答案】(1) 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政 策”的支持度有差异，(2)① ②见解析
试题解析： （1）由统计数据填 2×2 列联表如下，
计算观测值
，
所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支 持度有差异； （2）①抽到 1 人是 45 岁以下的概率为 ＝ ， 抽到 1 人是 45 岁以下且另一人是 45 岁以上的概率为 ＝ ，
(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ (2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随 机抽取 3 人，设 3 人中报考“经济类”专业的人数为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布列及数学期望． 附：
的概率；
（3）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2 2 列联表，并判断是否
有 90 0 0 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？
生产能手
非生产能手
合计
25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计
P(2 k)
k
0.100 2.706
0.050 3.841
50
5
所以“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例为 4 . 5
事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有： ( A1, A2 ) ， ( A1, A3 ) ， ( A1, A4 ) ， ( A1, A5 ) ，
( A2, A3 ) ， ( A2, A3 ) ， ( A2, A4 ) ， ( A3, A4 ) ， ( A3, A5 ) ， ( A4, A5 ) ，共 10 个，
7.879
10.828
参考公式： K 2 =
n(ad − bc)2
， n=a+b+c+d .
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
【答案】（1） 4 （2） P = 2 （3）不能
5
3
【解析】试题分析：（1）根据频数与总数的比值得“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例，（2）人均
，计算查表下结论即可.
（2）① B 类用户共 9 人，打分超过 85 分的有 6 人，所以从 B 类用户中任意抽取 3 户，恰好有 2 户打分超
过
85
分的概率为 C62C31 C93
=
15 28
.
②
满意
不满意
合计
A 类用户
6
9
15
B 类用户
6
3
9
合计
12
12
24
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图 中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和． 3．第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假 结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数 分布表：
故所求概率 P＝ ＝ ； ②根据题意，X 的可能取值是 0，1，2； 计算 P（X=0）= = ，
P（X=1）=
=，
P（X=2）= = ，
可得随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
P
故数学期望为 E（X）=0× +1× +2× = ． 5．为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随 机抽取 50 名学生进行调查，得到如下 2×2 列联表：(单位：人)
收看时间（单位：小时）
收看人数
14
30
16
28
20
12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”， 请根据频数分布表补全 列联表：
男
女
合计
体育达人
40
非体育达人
30
合计
并判断能否有 的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关； （2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2 名作冬奥会知识 讲座.记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望. 附表及公式：
3，7.5，9)
9
频数
6
10
13
11
8
2
赞成户数
5
9
12
9
4
1
若将小区人均月收入不低于 7.5 千元的住户称为“高收入户”,人均月收入低于 7.5 千元的住户称为“非高 收入户”
非高收入户
高收入户
总计
赞成
不赞成
总计
（Ⅰ）求“非高收入户”在本次抽样调杳中的所占比例；
（Ⅱ）现从月收入在 1.5,3) 的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；
X 的可能取值为 0，1，2，3，由题意，得 X～B（3， ），
∴随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴随机变量 X 的数学期望 6．某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名.为了研究工人的日平均生产 量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件 数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均
所有基本事件分别为
(m1, m2 ),(m1, m3 ),(m1, n1 ),(m1, n2 ),(m2, m3 ), (m2, n1 ), (m2, n2 ), (m3, n1 ), (m3, n2 ), (n1, n2 )，共 10 个；事