椭圆第一定义的相关应用

|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
∵A,B两点在椭圆上，
∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始终成立
所以三角形的周长不会发生变化。
变式：已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且a=2c，过
F1的直线l脚椭圆于AB两点，且三角形ABF2
（2）当2a<2c时,点M的轨迹不存在
（3）当2a>2c时,点M的轨迹是为椭圆
椭圆的标准方程：
定 义 P={M||MF1|+|MF2|=2a｝ (2a>2c>0)
y
y
M
图 形
F2
M x
F1
o
F2 x
o
F 1
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 注:
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
的周长为16，那么椭圆的标准方程是？
应用3：
x2 y2 例题 例3.已知椭圆 25 16 1
的左右焦点为F1，F2。
点P是椭圆上任意一点，求|PF1|.|PF2|的最大值。
解：由椭圆方程可知，a=5，
∴ |PF1|.|PF2| ≤(|PF1|+|PF2|)2／4=25
当且仅当|PF1|=|PF2| =5时等号成立。
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2
所以 又因为
a 10 .
,所以
c2
b a c 10 4 6.
2 2 2
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 10 6
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
∴ b2=a2－c2=52－32=16 x 2 y 2 1 ∴顶点A的轨迹方程为 25 16
y
A
B
o
C
x
( y 0)
思考：焦点建在 Y轴上的椭圆的标准方程呢？
练习：已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A 的轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C 两点的坐标分别为(-4,0)､(4,0).
椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 记：平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （即|MF1|+|MF2|=2a），两焦点的距离为2c。
（1）当2a=2c时, 点M的轨迹为线段F1F2
焦点三角形面积公式： S△ F1 PF2 b 2 tan F1 PF 2
2 2 2 2
256 3
) 2 100
应用4：
例题 例：已知点A（-2，0），B 是圆F（x-2）2+y2=64 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动 点P的 轨迹方程.
变式：已知点A（-1/2，0），B 是圆F（x-1/2）2+y2=4 上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动 点P的 轨迹方程是什么？
F(±c，0)在Ｘ轴上
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(0，±c)在Ｙ轴上
c2=a2-b2
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
应用1：
例题 例1.已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解：以BC的中点为原点，BC所在的 直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭 圆的定义知所求轨迹方程是椭圆， 且焦点在x轴上，所以可设椭圆的标 x2 y2 准方程为 ： a 2 b 2 1(a b 0) ∵ 2a=10, 2c=6 ∴ a=5, c=3
又∵A,B两点在椭圆上
∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a（椭圆定义）
x2 y2 ∵椭圆方程为 25 16 1
∴ a2=25
a=5
∴ |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10 ∴三角形的周长为20。 （2）三角形AF1B的周长不会发生变化。
三角形AF1B的周长=
∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,
∴|AB|+|AC|=12>|BC|, ∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆(除去与
x轴的交点).
且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是 (y≠0).
x2 y 2 1 36 20
定义法
变式1：在三角形ABC 中 ，B(-3,0)，C(3,0),且三边长 |AC|, |BC| , |AB|成等差数列，求顶点
所以|PF1|.|PF2| 的最大值为25
x2 y2 变式 例3：P是椭圆 1上的一点，F1 , F2是两个焦点 100 64 若F1 PF2 600 求 （ 1 ）三角形F1 PF2的面积 （2） PF 1 PF 2 的最大值
P
解：由椭圆定义知PF1 PF2 20， (1) 在△F1 PF2中由余弦定理知 PF1 PF2 - 2 PF1 PF2 cos600 122 PF1 PF2 PF1 PF2 144 ( PF1 PF2 ) 2 3 PF1 PF2 144 202 3 PF1 PF2 144 PF1 PF2 1 64 3 S PF1 PF2 sin F1 PF2 2 3 (2) a 10，又 PF1 PF2 20， PF1 PF2 2 PF1 PF2 PF1 PF2 ( PF1 PF2 2 当且仅当PF1 PF2 时“”成立 PF1 PF2 的最大值为 100
变式：习题2.1A组第7题
应用5： 相关点法求椭圆方程
例题 例、在圆
x y 4上任取一点P，过点P作x轴的
2 2
y
垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段 PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
x o
变式：已知圆 x y 9, 从这个圆上任意一点 P向x轴作
2 2
垂线段 PP ' ,点M在PP ' 上，并且 PM 2MP', 求点M的轨迹。
y P
x 2 y 1 9
2
M
o P’ x
变式：已知点M在椭圆x2+4y2=36上，MP0垂直于椭圆 焦点所在直线，垂足为P0，且M为线段PP0的中点， 求点P的轨迹方程。 2 2
x +y =36
变式：习题2.1B组第1题
应用6： 交轨法求椭圆方程
例 4：如图，设A、B的坐标分别为（ 5,0）， 例题 (5,0).直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率 4 之积是 - ，求点M的轨迹方程。 9
8， 且 经 过 点 （ 0,2 6 )
且经过 A( 3 ,2), B(2 3 ,1)
y2 x2 变式 3：求与椭圆 1共焦点，且过点（ 2， 3）的椭圆方 9 4
求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型， （2）用待定系数法求a 、b
的右焦点F2作垂直于 x轴的直线AB交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点。 （1）求三角形AF1B的周长 y 的周长 （2）如果AB不垂直于x轴，三角形AF1B A 有变化吗？为什么？ 解（1）∵三角形AF1B的周长为
F1
o
F2
x
B
|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
①
求椭圆标准方程的解题步骤：
2 2 解得 a 10 ， b a 6 （3）用待定系数法确定 、b的值，
写出椭圆的标准方程 x y .
2
因此, 所求椭圆的标准方程为
10

2
6
1.
变 式1： 已 知 椭 圆 的 焦 距 为 求 椭 圆 的 标 准 方 程 。
变式2：求以对称轴为坐标轴 两点的椭圆的标准方程 。
x2 y2 2 1 (a b 0). 2 a b
又 焦点的坐标分别是 (2,0), (2,0) c 2
2 3 2 (5 ) ( ② 2 2 ) （1）确定焦点的位置； 又由已知 2 2 1 a b （2）设出椭圆的标准方程；
a b 4
2 2
联立①②,
A的轨迹方程。 变式2：在三角形ABC中，B（0，-3），C（0，3）且
sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。 变式3：在三角形ABC中，BC=24，AC,AB边上的中线 长之和等于39，求三角形ABC的中心的轨迹方程。
应用2：
x2 y2 例题 例2. 已知经过椭圆 25 16 1
y M
变式：36页练习第四题
B x
A
o
应用7： 给定条件求椭圆方程
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0并 ， 求它的标准方程. x2 y2 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 2 1 (a b 0). 2 a b
由椭圆的定义知
Байду номын сангаас
5 3 且经过点 ( , ) 2 2