数学第三册教案

数学第三册教案

郭萍2018年9月

第9章立体几何

一．教学目标：

1.能正确画出空间四边形的示意图，理解平面的概念，理解平面的基本性质；

2.了解直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系；

3.理解直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定与性质；

4.理解直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质；

5.理解空间中的角，会求异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角。

6.通过本章学习，培养学生的空间想象能力，进一步发展学生的推算，计算，画图能力。

二．教学重点：

1.平面的基本性质，

2.直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定与性质；

3.直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质

4.异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角的计算。

三．教学难点：

1.空间概念的建立，空间性质的逻辑关系及其推理

2.异面直线的概念，异面直线所成角，二面角的平面角；

3. 平面与平面平行与垂直的判定和性质

第9章立体几何

9.1平面的基本性质

9.1.1平面

一．教学课时：1

二.导入：

1.观察平静的水面、液晶电视机的面板、黑板面、桌面等都有共同的特征：

平坦、光滑，给我们一种平面的印象.

三．教学内容：

1.平面定义：数学中的平面是指平坦、光滑，可以无限延展的图形.

平静的水面、液晶电视机的面板、黑板面、桌面等都是平面的一部分.

2.平面的画法：直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．

3.平面的表示：用小写的希腊字母来表示不同的平面．

4.平面的画法：当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐用画成，横边水平并画成邻边的2倍长。当平面正对我们竖直放置时，通常把平面画成矩形.

9.1.2平面的基本性质

一．教学课时：1

二．导入：

建筑工人铺地砖时，会检查地砖表面是否平整的，通常在各个方向上将直尺放在物体表面上，看直尺边缘与物体表面有没有缝隙.如果都不出现缝隙，那么这个表面就是平的.如果出现缝隙，

地砖表面就是不平的.

三．教学内容：

1. 如果一个面上任意两点所在的直线全部在这个面上，那么它是一个平面.图中的面不是一个平面，因为直线AB不全在那个面上.

2. 基本性质1 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

这时，我们就说，直线在平面内或平面经过直线。

几何图形都可以看成点的集合，因此通常借助于集合符号来表示几何图形之间的关系.

如图所示，基本性质1可表示为：

利用这个性质，可以判断一条直线是否在一个平面内.

注意：画直线在平面内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部.

3.基本性质2：

观察教室里墙角的一个点，它是相邻两个墙面的公共点。可以发现，除这个点外，两个墙面还有其它公共点，并且这点公共点组成两个墙面的交线.在用裁纸刀时，一开始裁纸刀与纸面的边缘接触，然后裁纸刀沿它所在的面运动下来时，就能把纸切开。

基本性质2 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。如图所示：基本性质2可以表示为：

在画两个平面相交时，当其中一个平面被另一个平面遮住时，应把遮住的部分画成虚线或不画.

3.导入；

在空间中，给定不共线的三点A，B，C作直线AB，BC，CA,再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可看到这些直线编织成一个平面。

结论:基本性质3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

例如，照相机可用三条腿的架子支撑在地面上，就是根据这个性质。

基本性质3也就是，不共线的三点确定一个平面.过不共线三点的A，B，C的平面，通常记作平ABC.

由平面的基本性质，还可以得到下面的推论：

推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面（图1）

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图2）

两条直线a与b相交于点P，通常记作

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（图3）

机场的行李传送带下方是一排平行的滚轴，营业圆用彩带交叉捆扎礼品盒，建筑工人用直棍在不平的沙土上左右抹几下，沙土就会平整，运用的就是上述的性质.

如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内，那么我们就说它们共面.

四．作业

书本第7页

9.2空间中的平行关系

9.2.1空间中的平行直线

一．教学课时：

二．导入：

在平面几何中，我们把平面内不相交的两条直线叫做平行线.在立体几何中能不能找到一些平行线呢？

在正方体里，AA与BB 平行，AA与CC平行，AA与DD平行，除此还有其它平行线，可见在立体几何中也有平行关系的.

三．教学内容：

1.我们把同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.

我们学过平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.此公理在立体几何中也适用。

我们还学过平行线的另一条重要性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

这条性质可推广到空间：平行于同一直线的两条线互相平行.

即如果直线a∥b,c∥b, 则a∥c。上述性质通常又叫做空间平行线的传递性

2.顺次连接不共面的四点所构成的图形，叫做空间四边形，每个点叫做空间四边形的顶点。相邻顶点间的线段叫做空间四边形边，连接不相邻的顶点的线段叫做这个空间四边形的对角线。空间四边形用表示顶点的四个字母表示

例如，图1中的四边形叫做空间四边形ABCD，而图2中AC，BD是它的对角线

例1 已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

证明：连接BD，在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点

所以EH∥BD, 且EH= BD.

同理FG∥BD，且FG= BD

所以EH∥FG，EH=FG

因此四边形EFGH是平行四边形

3.在平面向何中，“如果一个角的两边与另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补”.通过观察，在空间此定理也成立.此定理可称为“等角定理”

练习：11页2，3

四．作业：

书本11页2，5

9.2.2异面直线

一．教学课时：

二．导入：

在高速公路和城市高架路上，会经常看到纵横交错的立交桥.桥上公路和桥下公路所在的两条直线既不平行也不相交.在学校的足球场上，我们能看到足球框，图中所在的红线是既不平行也不相交的直线。

显然两条直线存在除了平行和相交以外的位置关系.

三．教学内容：

观察图中正方体中的各条棱所在直线，可以看到空间两条直线除相交和平行的情形外，还有既不相交也不平行的情形.

例如，棱AA和BC所在的两条直线.如果两条直线既不相交也不平行.那么它们一定不会共面.

1.我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.如图中AA和BC是异面直线，AA

与DC是异面直线。

2.以下是一个判定异面直线的方法（如图）：连接平面内一点与平面外一点的直线和这平面

内不经过该点的任意直线是异面直线.

对空间中两条异面直线a，b, 经过空间中任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，如图，根据角平移的性质，a′与b′所成角大小和点O的选择无关。我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫做直线a , b所成的角或夹角.

如果两条直线平行，我们说它们所成的角度或夹角为0°

如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说两条异面直线互相垂直. 如图中，直线AA′与BC互相垂直. 两条异面直线a , b 互相垂直，仍记作a⊥b.

例2 如图所示，一个六角的螺帽，上、下底都是正六边形，求异面直线AB与CD所成的角.

解因为EC∥CD，所以ECD的补角为异面直线AB与CD所成的角。所以异面直线AB与CD所成的角为

练习：书本13页1，2

四．作业书本14页第三题

9.2.3直线与平面平行

一．教学课时：

二．导入：

把铅笔看作一条直线，将桌面看作平面。如果铅笔平放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有一个公共点；将铅笔平放在书本上，再把书本平放在桌面上，此时铅笔与桌面没有公共点。

根据上述观察，我们可以把直线与平面的位置关系分成三类，第一类，直线与平面有无数个公共点；第二类，直线与平面只有一个公共点；第三类，直线与平面没有公共点.

三．教学内容：

1.我们知道直线和平面的位置关系，有以下三种

⑴直线在平面内，即直线和平面有两个公共点；

⑵直线与平面相交，即直线和平面只有一个公共点，这个公共点叫做直线与平面的交点；直线l与平面α交与点A，记作l∩α=A.

⑶直线与平面平行，即直线与平面没有公共点.记作l∥α.

2.直线与平面平行的判定定理:

如果一个平面外一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与平面平行.即若

∥则l∥α

根据上述定理,画一条直线与已知平面平行，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或平行四边形内的一条线段平行.

3.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行。

如图,若l∥α，l ?β，α∩β= m，则l ∥m.

例1 已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的终点.

证明连接BD，在△ABD中，

因为E,F分别是AB，AD的中点

所以EF∥BD.

其中BD是平面ABD与平面BCD的交线.

又因为EF 平面BCD

所以由直线和平面平行的判定定理知EF∥平面BCD.

练习：16页2

作业：16页1，3

9.2.4平面与平面的关系

一．教学课时：

二．导入：

顾我们所在的教室，天花板与地板面，它们所在的平面无论怎样延展，都不会有公共点；而地面和墙面则交于一条直线，黑板所在平面与地面也交于一条直线.

根据上述观察，我们可以把平面与平面的位置关系分成两类：

第一类，平面与平面没有公共点；

第二类，平面与平面有公共点而且所有公共点构成一条公共直线.

三．教学内容：

1.平面与平面的位置关系有以下两种：

1）两个平面平行：两个平面没有公共点；平面α与平面β平行，记作α∥β

2）两个平面相交：两个平面有且只有一条公共直线.平面α与平面β交于直线l ,记作

3.两个平面平行的判定定理:

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行（如图）

4.两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行.

例1 已知空间四边形PABC，连接PB，AC，且D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点.

求证平面DEF∥平面ABC.

证明:在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点

所以DE∥AB.

又由DE 平面ABC

所以DE∥平面ABC

同理EF∥平面ABC

又因为DE EF = E

所以平面DEF∥ABC

练习：19页第1题

作业：19页2，5

9.3空间的垂直关系和角

9.3.1直线与平面垂直

一．教学课时：

二．导入：

在生活中我们会碰到很多直线与平面垂直的例子.例如：学校周一晨会升旗时，旗杆与地面的

位置关系.教室外圆型立柱与地板面的位置关系.打开的书直立在桌面上，书脊和桌面的位置关系，它都给了我们直线与平面垂直的印象.

打开的书直立在桌面上，书脊与书的每页纸跟桌面的交线是垂直的，也就给我们这样的印象，如果书脊与桌面上任何线垂直，书脊才跟桌面垂直.

三．教学内容

1.空间直线与平面垂直的定义：

如果一条直线和一个平面内的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段.

画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示。直线和平面α互相垂直，记作

2.线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直.

推论：如果在一组平行直线中，有一条垂直于平面，则另外的直线也都垂直于这个平面.

例1 已知正方体ABCD-ABCD, 求证：.

证明：,

例2 有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上C，D两点（和旗杆脚不在同一条直线上）.如果这两点都和旗杆B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解在△ABC和△ABD中，因为AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m

所以

因此∠ABC=∠ABD=90°，即AB⊥BC，AB⊥BD,

所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直

3.直线与平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行

即：若直线L ⊥平面α，若直线m ⊥平面α，则l ∥m

练习：23页第1题

作业：23页2，3

9.3.2 直线与平面所成的角

一．教学课时：

二．导入：

军事演习中，炮兵在发射炮弹时，为击中目标，需要调整炮筒与地面的角度。导弹部队根据

导弹的性能和目标的远近，也要调整导弹的发射角度.如果把炮筒和导弹看作一条线，就给我

们直线与平面成不同角的印象.

角是由一个端点引出的两条射线构成的图形，在直线与平面所成角中，除了直线自身外，还有一条线在哪？过直线与平面的交点，在平面内作不同的直线，我们发现所成的角是不一样，

如图，θ

，θ2，θ3都不相同，哪一个角是直线与平面所成角呢？

1

1.斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段。

如图所示，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段.

从斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或夹角）.如图所示，若AC⊥α，则BC为AB在平面α内的射影，∠ABC即为AB与平面α所成的角，其大小为θ。

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角为90°，如果直线与平面平行，则规定直线与平面所成的角为0°.

2.一条线段与平面所成的角，指的是线段所在直线与平面所成的角。

如图所示，设线段AB在平面α内的射影为A`B`，且AB与平面α所成的角为θ，则易证

|A`B`|=|AB|cosθ

例1 在长方体 ABCD-ABCD中，若,求对角线A`C 与底面ABCD所成的角的正切值。

解因为 A`A ⊥底面ABCD于A

所以AC是A`C 在底面ABCD上的射影

所以是直线A`C与底面ABCD所成的角

在Rt A`AC中，,

例2.如图所示，PA是平面α的斜线，PO⊥α, ,求证

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

练习：26页1，2

作业：26页3，4

9.3.3 平面与平面所成的角

一．教学课时

二．导入：

我们在日常生活中，经常可以看到两个平面成一定夹角的实例。如建筑房屋时，有时为了美观和排水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度，在使用笔记本电脑时，为了方便操作，两个面板要成一定角度.

如何刻画这些角呢？两条边分别在两个平面内的角有无穷多个，符合什么条件的角可以刻画两个平面所成的角呢？

三．教学内容；

1.二面角：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都分别叫做一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面

如图所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可以记作C-AB-D

2.在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角叫做二面角的平面角

二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角的大小是多少度，特别地，平面角是直角的二面角叫做直二面角.

例1 如图所示，在正方体 ABCD-ABCD中，求二面角的大小.

解连接D′A和C′B

由已知有AB⊥平面ADD′A′

所以 AD′⊥AB，AD⊥AB

因此∠D′AD即为二面角D′-AB-D的平面角

由于△D′AD是等腰直角三角形，因此∠D′AD=45°

所以二面角D′-AB-D的大小是45°

例2 已知二面角α-l-β的平面角为30度，平面α内有点P，它到另一平面的距离为20c m,求点P到棱l 的距离

解在平面α内，过点P作平面β的垂线PO，垂足为O，作OC⊥l于C，连PC.

则l⊥平面POC

PCO 为二面角平面角为30度

PC即为所求的距离

所以点P到棱l 的距离是40cm.

练习：29页第1题

作业：29页第2，3题

9.3.4平面与平面垂直

一．教学课时

二．导入：

我们的教室，黑板所在墙面与地板面相交但给我们垂直的印象.窗户所在墙面与地板面也给我们垂直的印象.

三．教学过程

1.平面与平面垂直的判定原理：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.

建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线拿来检查所砌的墙是否和水平面垂直.实际上就是依据这个定理.

2.平面垂直的性质定理：

由图可知，如果α⊥β，α∩β=L，又α内的直线OA⊥L，则OA垂直于平面β.

于是我们得到如下的平面于平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另一个平面.

例1 如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=L，在L上取线段AB=4，AC,BD分别在平面α和平面β内，并且垂直于它们的交线AB，另外AC=3，BD=12，求CD长.

解：连BC,CD，因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD

又BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC

所以△BAC和△CBD都是直角三角形

例2 已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边上的高，以AD为折痕使 BDC成直角.求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；

（2） BAC=60°

证明：

因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.

（2)如图（1），在Rt△BAC中，因为AB=AC=a.所以

BC=a，BD=DC= a

因为△BDC是等腰三角形，所以

BC= BD= a=a

所以AB=AC=BC.因此BAC=60°

练习：32页1，2

作业：32页3，5

第十章直线与圆的方程

一．教学目标：

1.掌握两点间的距离公式和中点坐标公式；

2.了解曲线和方程的关系，会求曲线的交点坐标；

3.理解直线的倾斜角，斜率，截距等概念；

4.掌握直线的点斜式方程，斜截式方程和直线的一般式方程；

5.理解两条直线平行和垂直的条件

6.了解点到直线的距离公式；

7.掌握圆的标准方程和一般方程

8.理解直线和圆的位置关系，了解直线与圆的位置关系在实际中的应用。二．教学重点：

1．两点间的距离公式和点到直线的距离公式

2.直线的斜率公式，直线方程的点斜式和斜截式

3.两条直线的位置关系，以两条直线平行，垂直的判定及应用为主；

4.圆的标准方程和一般方程

三．教学难点：

1.曲线和方程关系的理解

2.根据已知条件，选择直线方程的适当形式，求直线方程

3. 利用直线与圆相切的知识，解决实际问题

4．“解析法”的理解与掌握

10.1.1两个常用公式

一．教学课时：

二．导入：

问题1 如何求数轴上A、B两点间的距离.

问题2 如何求直角坐标系上点到原点的距离

问题3 对于直角坐标系中的任意两点P

1(x

1

,y

1

)，P

2

(x

2

,y

2

)，如何求点P

1

P

2

间的距离