概率论与数理统计A第6章

2)
n 1 x
x2 e 2
0
其中伽玛函数( x)通过积分
x0 x0
(x) ett x1dt, x 0 0
来定义.
注
已知
2
(1)就是
1 2
,2
分布.由定义X
2 i
~
2 (1),
即X
2 i
~
1 2
,2
.再由可加性知
2
n
X
2 i
i 1
~

n 2
,2 .
2分布的性质
1. 设 X1, X2, , Xn相互独立, 都服从正态分布
t (n)
t分布的上分位点的性质： t1 (n) t (n)
t分布的左侧分位点t (n)可查表 求得，例t0.975 (15) 6.262.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似
t (n) u
3、F分布
定义: 设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ),U 与V 相互
独立，则称随机变量
定理3
E(X) , D( X ) 2 n,
E(S2) 2
事实上
E(S 2 )
E
1
n
1
n i 1
Xi2
nX
2
n
1
1
n
i 1
E
(
X
i
2
)
nE( X
2 )
n
1
1
n
i 1
2
2
n 2
n
2
2
当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布 定理.
定理 4 (样本均值的分布)
设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
则经验分布函数Fn( x)的观察值为
0, Fn( x) 1kn,,
若x x(1) 若x(k) x x(k1) , (k 1,2, , n 1)
若x x(n)
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小 值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。
6.2 几个重要分布
2分布 t 分布 F 分布
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有 lim h(t ) 1 et2 2 .
n
2
近似
即当n足够大时，t ~ N (0,1).
3. t分布的分位点
对于给定的，0 1, 称满足条件
pt t (n)
的点t (n)为t(n)分布的上分位数。如图所示.
定义 经验分布函数为
Fn (
x)
1 n
s(
x)
x
例 设总体F具有一个样本值1，1，2，则经验分布函数
F3( x)的观察值为
0, 若x 1
F3
(
x)
132,,
若1 x 若x
2 2
一般，设x1, x2 , , xn是总体的一个容量为n的样本
值.将它们按大小次序排列如下：x(1) x(2) x(n)
解 (1) 由 0，有Xi 0.5 ~ N (0,1)，则
Y
2
1 0.52
10
X
2 i
i 1
~
2 (10)
pi101 Xi2
4
p
1 0.52
10
i 1
X
i
2
4 0.52
p Y2
16
查表求02.10 (10) 16.由此可得
(2) 由题设及定理2，
p
10
Xi2 4 0.10.
X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有
(1)
(n 1)S2
2
~
2(n 1)
(2) X与S 2独立.
n取不同值时 (n 1)S 2
2
的分布
推论1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本, X和S2 分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~ t(n 1)
Sn
1、 2 分布
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态分布
N(0,1), 则称随机变量：
2
X12
X
2 2
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 2分布.
记为 2 ~ 2(n)
2分布的密度函数为
f
( x; n)
2n
1 2 (n
N(, 2), 则
2
1
2
n
(Xi
i1
)2
~ 2(n)
2．设 X1 ~ 2(n1), X2 ~ 2(n2 ),且X1,X2相互独立，
则X1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
这个性质叫 2分布的可加性.
3．若 2 ~ 2(n),则当n充分大时,
2 2 (n) 近似正态分布 N ( 2n 1,1)
)
n1 2
(
y
)
n1 2
1
1
n1 n2
y
n1 n2 2
y
y 0
0
F分布的性质
1.F分布的数学期望为:
E(F ) n2 n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
2.F分布的分位数
对于给定的p，0 p 1,称满足条件
P F Fp (n1, n2 ) p
的点Fp (n1, n2 )为F (n1, n2 )分布的左侧p分位点.如图所示.
X1,X2,…, X n是1 来自X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是取自Y的样本, X和Y分别是这两个样本的样本均值，S12和S22 分别是
这两个样本的样本方差,则有
1、
S12 S22
12
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
2、
X Y (1 2) (n1 1)S12 (n2 1)S22
1
第六章 抽样分布
6-1 总体、样本与经验分布函数 6-2 几个重要分布 6-3 抽样分布定理
6.1总体、样本与经验分布函数
总体、个体、简单随机样本 统计量 小样问题与大样问题
有限总体
总体 研究对象的全体(整体)X。 无限总体
个体 每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。
样本 由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自 ) 某总体的样本。
i1
Z
9S2 0.52
1 0.52
10
(Xi
i 1
X )2
~
2 (9)
pi101( X i
X )2
2.85
F分布的左侧p分位点的性质：
p
Fp (n1, n2)
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
6.3 抽样分布定理
设总体X的均值为，方差为2，X1, X2 , , Xn是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
样本容量 样本中所含个体的数目n.
注 (1)样本具有二重性: 在抽样前,它是随机变量,用X1,X2,…,Xn表示; 在抽样后,它是n个样本值(随机变量的取 值)x1,x2,…,xn.
(2)样本选择方式: 有放回抽样.
特别,样本容量<<总体数量时, 无放回抽样可近似看作有放 回抽样.
简单随机样本 具有两个特点的样本: 代表性(组成样本的 每个个体与总体同分布), 独立性 (组成样本的个体间相互 独立)。
４. 若2 ~ 2(n),2分布的数学期望与方差,
E( 2 ) =n, D( 2 ) =2n.
事实上，由Xi ~ N (0,1), 故E( Xi2 ) D( Xi ) 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
E
(
X
2 i
)]2
31
2
E(2 )
n
E(Xi2)
n, D(2 )
n
D( Xi2 )
2n.
i 1
定义 设X1, X 2 , , X n是来自总体X的一个样本， g( X1, X 2 , , X n )是X1, X 2 , , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1, X 2 , , X n )称是一 个统计量.
请注意 : 设X1, X2 , Xn是来自总体X的一个样本, x1, x2 ,
25
P
X 12 0.4
1.25
1
(1.25)
0.1063
(2)
PX
12.5
P
X
12
12.5 12
PT
1.059
S 25 S 25
查自由度为24的t分布表,t0.15 (24) 1.059,即
PT 1.059 0.15. 故有PX 12.5 0.15.
例2 从正态总体N (,0.52 )中抽取样本X1, , X10. （1）已知 0，求概率pi101 Xi2 4; （2）未知，求概率pi101( Xi X )2 2.85.
1
~ t(n1 n2 2)
n1 n2 2
n1 n2
四、例题
例1设总体X服从正态分布N (12,2 ),抽取容量为 25的样本,求样本均值X大于12.5的概率.如果(1)已
知 2；（2）未止，但已知样本方差S 2 5.57.
解
(1)
PX
12.5
P