华师大版八年级数学上学期《直角三角形三边的关系》PPT课件 2
2002年在北 京召开的国际数学 家大会（ＩＣＭ２ ００２）。在那个 大会上，到处可以 看到一个简洁优美 的图案在流动，那 个远看像旋转的纸 风车的图案就是大 会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
c 1. 直角三角形三边的关系
a
b
测量你的两块直角三角尺 的三边的长度，并将各边的长 度填入下表：
C
总统证法
a
D
c c
b
A
b
E
a
B
∵S梯 形 ABCD= a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵S梯 形 ABCD=S AED +S EBC +S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比较上 面二式得 c2=a2+b2
1
CED
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
ห้องสมุดไป่ตู้
c a
┏
b
a2+b2=c2
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系
三角尺 1 2
直角边a
直角边b
斜边c
关系
请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系
。
P A
C
Q B
R
P 、 Q 、 R 的面积有什么关系？
P+Q=R
直角三角形三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
?
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边 形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按 照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，
？
2.16
根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ
2
＝ ５ ４１ 2 －２１６ . .
2
≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
一个3m长的梯 子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移 0.5m吗?
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成 如图所示的图形．
(a+b) 大正方形的面积可以表示为 ab 2 c 又可以表示为 4 ． 2 对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
2
。
(a+b)2= 2 c
ab 2 4 C 2
2+ a 2 b
=
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图 所示的图形．
弦 勾
股
图1-1
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A C
O
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B ＝90°． （1） 已知a＝6， b＝10， 求c； （2） 已知a＝24， c＝25， 求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米? 3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=______
x 6 2 2 2 32 4 2
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144
2 2
z
169
Y=169-144 Y=5
625
576
2
X=81+144 X=15
Z=625-576 Z=7
①
②
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
勾a ┏
股
b
a2+b2=c2
例 如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角 形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远?
解
如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中， AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
正方形P的面积＝
9
平方厘米；
正方形Q的面积＝ 16 平方厘米；
正方形R的面积＝ 25 1 平方厘米．
R 3 4 4 1 2 正方形P、 Q、 R的面积之间的关系 25 P+ Q= R 是 ．
（每一小方格表示1平方厘米）
直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间 存在关系 AC2+BC2=AB2 ．
根据勾股定理可得
ＡＢ＝ ＝
AC 2 BC 2
160 2 128 2
＝96（米）． 答： 从点A穿过湖到点B有96米．
24m
9m
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
分“割”成若干个直角边 为整数的三角形。 在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方也成立！
52+122= 325 252=
25
12
5
在方格图中， 325 成立 用三角尺画出两条 直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形， 然后用刻度尺量出 斜边的长，并验证 关系“两直角边的 平方和等于斜边的 平方”对这个直角 三角形是否成立．
S3
S4
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
S2
S1 S5
S6
S7
3.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，
ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
c (b a) 大正方形的面积可以表示为
2
2
。
又可以表示为
1 4 ab 2
．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股 定理的结论．
c (b a)
2
2
=
1 4 ab 2
a b c
2 2
2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
c 1. 直角三角形三边的关系
a
b
测量你的两块直角三角尺 的三边的长度，并将各边的长 度填入下表：
C
总统证法
a
D
c c
b
A
b
E
a
B
∵S梯 形 ABCD= a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵S梯 形 ABCD=S AED +S EBC +S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比较上 面二式得 c2=a2+b2
1
CED
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
ห้องสมุดไป่ตู้
c a
┏
b
a2+b2=c2
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系
三角尺 1 2
直角边a
直角边b
斜边c
关系
请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系
。
P A
C
Q B
R
P 、 Q 、 R 的面积有什么关系？
P+Q=R
直角三角形三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
?
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边 形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按 照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，
？
2.16
根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ
2
＝ ５ ４１ 2 －２１６ . .
2
≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
一个3m长的梯 子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移 0.5m吗?
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成 如图所示的图形．
(a+b) 大正方形的面积可以表示为 ab 2 c 又可以表示为 4 ． 2 对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
2
。
(a+b)2= 2 c
ab 2 4 C 2
2+ a 2 b
=
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图 所示的图形．
弦 勾
股
图1-1
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A C
O
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B ＝90°． （1） 已知a＝6， b＝10， 求c； （2） 已知a＝24， c＝25， 求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米? 3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=______
x 6 2 2 2 32 4 2
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144
2 2
z
169
Y=169-144 Y=5
625
576
2
X=81+144 X=15
Z=625-576 Z=7
①
②
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
勾a ┏
股
b
a2+b2=c2
例 如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角 形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远?
解
如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中， AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
正方形P的面积＝
9
平方厘米；
正方形Q的面积＝ 16 平方厘米；
正方形R的面积＝ 25 1 平方厘米．
R 3 4 4 1 2 正方形P、 Q、 R的面积之间的关系 25 P+ Q= R 是 ．
（每一小方格表示1平方厘米）
直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间 存在关系 AC2+BC2=AB2 ．
根据勾股定理可得
ＡＢ＝ ＝
AC 2 BC 2
160 2 128 2
＝96（米）． 答： 从点A穿过湖到点B有96米．
24m
9m
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
分“割”成若干个直角边 为整数的三角形。 在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方也成立！
52+122= 325 252=
25
12
5
在方格图中， 325 成立 用三角尺画出两条 直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形， 然后用刻度尺量出 斜边的长，并验证 关系“两直角边的 平方和等于斜边的 平方”对这个直角 三角形是否成立．
S3
S4
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
S2
S1 S5
S6
S7
3.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，
ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
c (b a) 大正方形的面积可以表示为
2
2
。
又可以表示为
1 4 ab 2
．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股 定理的结论．
c (b a)
2
2
=
1 4 ab 2
a b c
2 2
2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
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华师大版-数学-八年级上册-《直角三角形三边的关系》教学课件
答案: 27 13 3
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
华东师大版数学八年级上册直角三角形三边的关系PPT精品课件2
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12
米,则AB为
(A )
A.5米 B.12米 C.10米 A D.13米
13
?
C 12 B
12
3、（中考链接）已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
归纳定理： 勾股定理(毕达哥拉斯定理)
对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么一定有
勾a
c弦
股b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方.
强调：勾股定理反映了直角三角形三边 勾
之间的关系。
股
自学指导二
请同学们用5分钟时间自学课本P110-P111 内容，并思考下列各题。 1、你会用弦图验证勾股定理吗？ 2、你能用图14.1.5验证勾股定理吗？
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
3、直角三角形的三边之间有什么关系 ？
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12
米,则AB为
(A )
A.5米 B.12米 C.10米 A D.13米
13
?
C 12 B
12
3、（中考链接）已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
归纳定理： 勾股定理(毕达哥拉斯定理)
对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么一定有
勾a
c弦
股b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方.
强调：勾股定理反映了直角三角形三边 勾
之间的关系。
股
自学指导二
请同学们用5分钟时间自学课本P110-P111 内容，并思考下列各题。 1、你会用弦图验证勾股定理吗？ 2、你能用图14.1.5验证勾股定理吗？
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
3、直角三角形的三边之间有什么关系 ？
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
华东师大版数学八年级上册直角三角形三边的关系课件
3、直角三角形的三边之间有什么关系 ？
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
2直角三角形的性质PPT课件(华师大版)
1 AB
2
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD =
1 CE =
2
1 2
AB.
归纳
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形
∴BC=BD=
1 2
AB
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特殊 性来揭示直角三角形中直角边与斜边的数量关系 的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用 (1) 在直角三角形中求角时，常用“直角三角形的两个锐
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE
垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD
解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m.
在△ADB中，
∵AB⊥DB，∠ADB＝30°，
AB＝1 AD＝1 13＝6.5m．
2
2
总结
在含30°角的直角三角形中求线段的长度，要注 意利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 一半的性质．
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
解：由题可得
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
华东师大版八年级上册(新)数学14.1.1直角三角形三边之间的关系(2)(9张PPT)
例1．如图，一个3m长的梯子AC,斜靠在一竖直的 墙AB上,这时AB的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿 墙下滑0.5m,那么梯子底端C也外移多少米?
例2．如图所示，沿CE折叠矩形，点B恰好落在AD 边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EA的 长。
A E
F
D
B
C
1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分 别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火 柴棒( C ) (A)14根 (B)20根 (C)24根 (D)30根 2.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为 ( D )(A)5 (B) (C) (D)55 或 7 7 3.如图所示,点E在正方形ABCD内,满足 ∠AEB=90°,AE=6,BE=8, 则阴影部分的面积是( C ) (A)48 (B)60 (C)76 (D)80
直角三角形三边之间 的关系（二）
修订：李运动
已知两边，能够运用勾股定理列式求第三边，并能应 用勾股定理解决实际问题。
• • • • 1、内容：111页和112页的内容。 2、时间：5分钟。 3、方法：前4分钟自学后1分钟小组讨论自学所遇到的问题。 4、要求：自学后能独立完成下面表格：
Rt△ABC
∠C＝900 ∠C＝900a6 5b8c
13
∠C＝900
∠A＝900 ∠B＝900 3 5
4
4 13
6
1、一直角三角形的两条边分别为6、8，则第三边的 长为 10或。28 2、在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，BC边上的
14或4 。 高AD=12，则BC的长为
3、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则 以底边为边长的正方形的面积为多少？
八年级数学(华教版)上册课件-【1.直角三角形三边的关系】
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C， 则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8， 所以AB= 62 82 =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离 是10千米.
C
课堂小结
勾股定理
定理 验证 应用
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的 三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
AR
P CQ B
那么在一般的直角三 角形中，两直角边的 平方和是否等于斜边 的平方呢？
SP+SQ=SR 直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的 平方和等于斜边的平方.
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
1.直角三角形 三边的关系
新课导入
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002) 吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋 转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多 年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾
股定理的弦图.
边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
c
这种关系我们称为勾股定理.
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古 代的数学成就.
勾 股
勾 a
14.1.1.直角三角形三边的关系课件华东师大版数学八年级上册
【对点小练】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边
c的长为 ( B )
A.15 B.13 C.12 D.10
2.在△ABC中,∠A=90°,则不成立的是 A.BC2=AB2+AC2 B.AB2=AC2+BC2
(B)
C.AB2=BC2-AC2 D.AC2=BC2-AB2
3.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形
【技法点拨】 利用勾股定理求直角三角形的边长的三个步骤 1.分:分清哪条边是斜边,哪些边是直角边; 2.代:代入a2+b2=c2(c为斜边长); 3.开方:即代入后的式子适当变形后,通过开方求得算术平方根. 特别提醒 若条件中没有明确斜边、直角边,则要分类讨论.
【举一反三】
(传统数学文化)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”,它由4个全等的直角三角形
状,使点A,E,D在同一条直线上,利用此图的面积
关系可以得到一个关于a,b,c的代数恒等式,则
这个恒等式是____a_2_+_b_2_=_c_2__.
重点 典例研析
【举一反三】 (2024·成都质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a∶b=3∶4,∴设a=3x,则 b=4x. ∵a2+b2=c2,即(3x)2+(4x)2=102, 解得x=2或x=-2(舍去), ∴a=3x=6,b=4x=8; (2)若c-a=4,b=16,求a的值. 【解析】(2)∵△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∴a2+b2=c2, ∵c-a=4,b=16, ∴a2+256=(a+4)2,解得a=30.