课时跟踪检测(十二) 圆周运动

课时跟踪检测（十二）圆周运动

[A级——基础小题练熟练快]

1.(2019·浙江十校联盟3月适应性考试)如图所示是一种古老的舂米

机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处

固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起。

然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落，

稻谷变为大米。已知OC>OB，则在横梁绕O转动过程中()

A．B、C的向心加速度相等

B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC

C．B、C的线速度关系满足v B

D．舂米锤击打稻谷时对稻谷的作用力大于稻谷对舂米锤的作用力

解析：选C由题图可知，B与C属于共轴转动，则它们的角速度是相等的，即ωC＝ωB，向心加速度a＝ω2r，因OC>OB，可知C的向心加速度较大，选项A、B错误；由于OC>OB，由v＝ωr可知C点的线速度大，选项C正确；舂米锤对稻谷的作用力和稻谷对舂米锤的作用力是一对作用力与反作用力，二者大小相等，选项D错误。

2.如图为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示

意图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B

点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m。学员和教练

员(均可视为质点)()

A．运动周期之比为5∶4

B．运动线速度大小之比为1∶1

C．向心加速度大小之比为4∶5

D．受到的合力大小之比为15∶14

解析：选D汽车上A、B两点随汽车做匀速圆周运动的角速度和周期均相等，由v＝ωr可知，学员和教练员做圆周运动的线速度大小之比为5∶4，故A、B均错误；根据a＝rω2，学员和教练员做圆周运动的半径之比为5∶4，则学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为5∶4，故C错误；根据F＝ma，学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则学员和教练员受到的合力大小之比为15∶14，故D正确。

3．(多选)(2019·齐鲁名校联考)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项

目，简化后如图所示。已知飞椅用钢绳系着，钢绳上端的悬点固定在顶

部水平转盘的圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳(含游客)与转轴在同一竖直平面内。图中P 、Q 两位游客悬于同一个圆周上，P 所在钢绳的长度大于Q 所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2。不计钢绳和飞椅的重力。下列判断正确的是( )

A ．P 、Q 两位游客的线速度大小相同

B ．无论两位游客的质量分别有多大，θ1一定大于θ2

C ．如果两位游客的质量相同，则有θ1等于θ2

D ．如果两位游客的质量相同，则Q 的向心力一定小于P 的向心力

解析：选BD 设钢绳延长线与转轴的交点到游客所在水平面的距离为h (这是一个巧妙的参量，将会使推导大为简化——由圆锥摆而受到的启发)，钢绳延长线与竖直方向的夹角

为θ，由mg tan θ＝mω2h tan θ，所以h ＝g ω

2，与游客的质量无关，即h P ＝h Q (这是一个非常重要的结论)。而h ＝L cos θ＋r tan θ

，其中r 为转盘半径，L 为钢绳的长度，分析可知，L 越大则θ越大，θ1一定大于θ2，选项B 正确，C 错误。圆周运动的半径为R ＝r ＋L sin θ，可得R P >R Q ，根据v ＝ωR ，则v P >v Q ，选项A 错误。由向心力公式F n ＝mω2R 可知，如果两位游客的质量相同，则Q 的向心力一定小于P 的向心力，选项D 正确。

4.(多选)如图所示，半径为R 的内壁光滑的圆管固定在竖直平面内，

直径略小于圆管内径的两质量均为m ＝0.1 kg 的小球在圆管内转动，当

小球A 以v A ＝2gR 的速度通过最高点时，小球B 刚好以v B ＝3v A

的速度通过最低点，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2。

则下列说法正确的是( )

A ．小球A 在最高点时，对管内壁的压力大小为1 N

B ．小球A 在最高点时，对管外壁的压力大小为1 N

C ．小球B 在最低点时，对管外壁的压力大小为7 N

D ．小球B 在最低点时，对管外壁的压力大小为6 N

解析：选BC 小球A 在最高点对圆管作用力为零时，由mg ＝m v 02

R ，解得v 0＝gR 。由于小球A 在最高点的速度v A >gR ，故小球A 与圆管的外壁有力的作用，则由小球A 所

受的合力提供所需向心力得F A ＋mg ＝m v A 2R ，又v A ＝2gR ，联立并代入数据解得F A ＝1 N ，

由牛顿第三定律可知，此时小球A 对管外壁的压力大小为1 N ，A 错误，B 正确。小球B 在

最低点时，受圆管外壁向上的作用力，则由小球B 所受的合力提供所需的向心力得F B －mg

＝m v B 2R

，又v B ＝3v A ，联立并代入数据解得F B ＝7 N ，由牛顿第三定律可知，此时小球B 对管外壁的压力大小为7 N ，C 正确，D 错误。

5.(2019·南通第一次模拟)如图所示，长为L 的细绳，一端拴一质量为

m 的小球，另一端悬挂在距光滑水平面H 高处(L >H )。现使小球在水平桌

面上以角速度为ω做匀速圆周运动，则小球对桌面的压力为( )

A ．mg

B ．mg －mω2H

C ．mg ????1－H L

D ．mgH L

解析：选B 对小球受力分析，如图：根据牛顿第二定律，水平

方向：T sin θ＝mω2·L sin θ，竖直方向：T cos θ＋N ＝mg ，联立得：N

＝mg －mω2·L cos θ＝mg －mω2H ，根据牛顿第三定律：N ′＝N ＝mg

－mω2H ，故B 正确，A 、C 、D 错误。

6.(2019·临沂模拟)如图所示，手持一根长为l 的轻绳的一端在水

平桌面上做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动，绳始终保持与该

圆周相切，绳的另一端系一质量为m 的小木块，木块也在桌面上做匀

速圆周运动，不计空气阻力，则( )

A ．木块受重力、桌面的支持力和绳子的拉力作用

B ．绳的拉力大小为mω2l 2＋r 2

C ．手对木块不做功

D ．手拉木块做功的功率等于mω3r (l 2＋r 2)l

解析：选D 木块受重力、桌面的支持力和绳子的拉力、桌面摩擦力作用，故A 错误；手握着细绳做的是匀速圆周运动，所以细绳的另外一端木块做的也是匀速圆周运动，设大圆半径为R ，由图分析可知R ＝r 2＋l 2，设绳中张力为F T ，则F T cos φ＝mRω2，cos φ＝l R ，

故F T ＝mω2R 2l ，所以B 错误；绳子拉力对木块做功，则手的拉力对木块做功，故C 错误；

手拉木块做功的功率P ＝F T v sin φ＝mω2R 2l ·ωr ＝mω3r (r 2＋l 2)l

，故D 正确。 7.(2019·湖南怀化联考)质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻

质细杆的B 点和A 点，如图所示，绳a 与水平方向成θ角，绳b 在水平方向且长为l ，当轻杆绕轴AB 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )

A ．a 绳的张力可能为零

B ．a 绳的张力随角速度的增大而增大

C ．当角速度ω> g cot θl

时，b 绳将出现弹力 D ．若b 绳突然被剪断，则a 绳的弹力一定发生变化

解析：选C 由于小球m 的重力不为零，a 绳的张力不可能为零，b 绳的张力可能为零，选项A 错误；由于a 绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a 绳的张力随角速度的增大不变，b 绳的张力随角速度的增大而增大，选项B 错误；若b 绳中的张力为零，设a 绳中的张力为F ，对小球m ，F sin θ＝mg ，F cos θ＝mω2l ，联立解得：ω＝

g cot θl ，即当角速度ω> g cot θl ，b 绳将出现弹力，选项C 正确；当ω＝ g cot θl

时，b 绳突然被剪断，a 绳的弹力不发生变化，选项D 错误。

8．(2019·鞍山调研)用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于

水平地面上，其中ABC 为圆轨道的一部分，CD 为倾斜直轨道，二

者相切于C 点。已知圆轨道的半径R ＝1 m ，倾斜轨道CD 与水平

地面的夹角为θ＝37°。现将一小球以一定的初速度从A 点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求小球通过倾斜轨道CD 的最长时间(结果保留一位有效数字)。

解析：小球通过倾斜轨道时间若最长，则小球到达圆轨道的最高点的速度为0，从最高点到C 点：

对小球由动能定理可得：mgh ＝12

m v C 2 由几何关系得：h ＝R －R cos θ

小球在CD 段做匀加速直线运动，由位移公式得：

L ＝v C t ＋12

at 2 CD 的长度为：L ＝R (1＋cos θ)sin θ

对小球利用牛顿第二定律可得：

mg sin θ＝ma

代入数据联立解得：t＝0.7 s。

答案：0.7 s

[B级——增分题目练通抓牢]

9.(2020·长春质检)如图所示，一个菱形框架绕过其对角线的竖直轴匀速

转动，在两条边上各套有一个质量均为m的小球A、B，转动过程中两小球

相对框架静止，且到竖直轴的距离相等，则下列说法正确的是()

A．框架对球A的弹力方向一定垂直框架向下

B．框架对球B的弹力方向可能垂直框架向下

C．球A与框架间可能没有摩擦力

D．球A、球B所受的合力大小相等

解析：选D球在水平面内做匀速圆周运动，合外力指向圆心，对A进行受力分析可知，A受重力，静摩擦力方向沿框架向上，框架对A的弹力方向可能垂直框架向下，也可能垂直框架向上，故A错误。对B受力分析可知，要使合力水平向右，框架对B的弹力方向一定垂直框架向上，故B错误。若A与框架间没有摩擦力，则A只受重力和框架对A的弹力，两个力的合力方向不可能水平向左，故C错误。A、B两球匀速转动的角速度相等，半径也相等，根据F＝mω2r，可知两球的合力大小相等，故D正确。

10.(2019·宿迁2月调研)如图所示，半径为R的半球形容器固定

在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转

动。质量不同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和

球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β。则()

A．A的质量一定小于B的质量

B．A、B受到的摩擦力可能同时为零

C．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力

D．若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大

解析：选D当B受到的摩擦力恰为零时，受力分析如图；根据牛

顿第二定律得：mg tan β＝mωB2R sin β，解得：ωB＝g

，同理可

R cos β

，物块转动角速度与物块的质量无关，所以无法判

得：ωA＝g

R cos α

断质量的大小；由于α>β，所以ωA>ωB，即A、B受到的摩擦力不可能

同时为零；若A 不受摩擦力，此时转台的角速度为ωA >ωB ，则B 物块有向上的运动趋势，所以此时B 受沿容器壁向下的摩擦力；如果转台角速度ω>ωA ，A 和B 受沿容器壁向下的摩擦力，如果角速度增大，A 、B 受到的摩擦力都增大，故只有D 正确。

11.(2019·山东滕州一中检测)一质量为m 的小球由轻绳a 、b 分别系于一轻质木架上的A 和C 点，绳长分别为l a 、l b (且l a ≠l b )，如图所示，当木架绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时木架停止转动，重力加速度为g ，则( )

A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B ．在绳b 被烧断瞬间，绳a 中张力突然增大到mg ＋mω2l a

C ．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动

D ．绳b 未被烧断时，绳a 的拉力等于mg ，绳b 的拉力为mω2l b

解析：选D 绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C 点，对小球受力分析，受重力mg ，a 绳子的拉力F 1，b 绳子的拉力F 2，根据牛顿第二定律有F 1－mg ＝0，F 2＝mω2l b ，小球的线速度为v ＝ωl b ，绳子断开后，木架停止转动，由于惯性，小球将绕A 点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内绕A 点做完整的圆周运动，故A 、C 错误，D 正确；在最低点时有

F a －mg ＝m (ωl b )2l a ，解得F a ＝mg ＋m (ωl b )2l a >F 1，则a 绳中张力突然增大到mg ＋m (ωl b )2

l a ，故B 错误。

12．(2019·3月全国第一次大联考)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O 上，O 轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v ；O 轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O 轴受到的杆的作用力F ，若取竖直向下为F 的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F -v 2(v 为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g ＝10 m/s 2，则( )

A ．O 轴到小球的距离为0.5 m

B ．小球的质量为3 kg

C ．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s

D ．小球在最低点的初速度大小为15 m/s 时，通过最高点时杆不受球的作用力

解析：选A 小球在最高点时重力和杆的作用力的合力提供向心力，若v ＝0，则F ＝

mg ＝3 N ，解得小球质量m ＝0.3 kg ，若F ＝0，则mg ＝m v 2

R ，代入数据解得R ＝0.5 m ，选项A 正确，B 错误；杆模型中，在最高点只要小球速度大于等于零，小球即可在竖直面内做圆周运动，选项C 错误；设小球在最低点的初速度为v 0，小球能上升的最大高度为h ，

根据机械能守恒定律得12

m v 02＝mgh ，当v 0＝15 m/s 时，h ＝0.75 m<2R ，小球不能到达最高点，选项D 错误。

13.如图所示，餐桌中心是一个半径为r ＝1.5 m 的圆盘，圆盘可绕中

心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略

不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，

与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h ＝0.8 m 。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10 m/s 2。

(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？

(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R 的最小值为多大？

(3)若餐桌的半径R ′＝2r ，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L 为多少？

解析：(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有f m ＝μ1N ＝mω2r ，N ＝mg ，

联立两式可得ω＝ μ1g

r ＝2 rad/s 。

(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s ，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a ，则

a ＝f m ，f ＝μ2mg ，得a ＝μ2g ＝2.25 m/s 2，

物体在餐桌上滑动的初速度v 0＝ωr ＝3 m/s ，

由运动学公式得0－v 02＝－2as ，可得s ＝2 m ，

由几何关系可得餐桌半径的最小值为R ＝r 2＋s 2＝2.5 m 。

(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v t′，由题意可得v t′2－v02＝－2as′，

由于餐桌半径为R′＝2r，所以s′＝r＝1.5 m，

可得v t′＝1.5 m/s，

设物体做平抛运动的时间为t，则h＝1

2，

2gt

＝0.4 s，

解得t＝2h

g

物体做平抛运动的水平位移为s x＝v t′t＝0.6 m，

由题意可得L＝s′＋s x＝2.1 m。

答案：(1)2 rad/s(2)2.5 m(3)2.1 m