万有引力与航天公式集锦
必修二万有引力与航天知识点总结完整版
第六章 万有引力与航天知识点总结一. 万有引力定律：①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
即： 其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 2 ②适用条件（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。
（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。
③运用（1）万有引力与重力的关系：重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：（1）物体随地球自转的向心力：F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。
（2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，所以R m RGMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m RGMm 22自ω>>，所以2R GM g =。
地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。
如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。
如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。
在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g +=。
强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。
2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。
即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2122m m F Gr =2R Mm Gmg =一、人类认识天体运动的历史1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德）2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容推论：开普勒第二定律：v v >远近开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的环绕星体才可以列比例，太阳系： 333222===......a a a T T T 水火地地水火a---半长轴或半径，T---公转周期 三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。
2023年物理万有引力与航天知识点解析解题方法考点突破例题分析达标测试老师多年经验总结办
万有引力与航天【知识点精析】一. 万有引力定律：1. 内容：宇宙间有质量旳物体之间都是互相吸引旳，两个物体之间旳引力大小，跟它们质量旳乘积成正比，跟它们距离旳平方成反比。
公式：F =G ·m 1·m 2/r 2其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 22. 条件：合用于质点，或可视为质点旳均匀球体。
二. 重力和地球旳万有引力：1. 地球对其表面物体旳万有引力产生两个效果：（1）物体随地球自转旳向心力：F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。
由于纬度旳变化，物体做圆周运动旳向心力不停变化，因而表面物体旳重力随纬度旳变化而变化。
（2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，因此R m RGMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m RGMm 22自ω>>，因此2R GM g =。
地球表面旳物体所受到旳向心力f 旳大小不超过重力旳0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。
假如有些星球旳自转角速度非常大，那么万有引力旳向心力分力就会很大，重力就对应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。
假如星球自转速度相称大，使得在它赤道上旳物体所受旳万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要旳向心力，那么这个星球就处在自行瓦解旳临界状态了。
在地球旳同一纬度处，g 随物体离地面高度旳增大而减小，即21)('h R Gm g +=。
强调：g =G ·M /R 2不仅合用于地球表面，还合用于其他星球表面。
2. 绕地球运动旳物体所受地球旳万有引力充当圆周运动旳向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。
即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2三. 天体运动：1. 开普勒行星运动规律：（1）所有旳行星围绕太阳运动旳轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆旳一种焦点上。
万有引力与航天
万有引力与航天一. 万有引力定律：1. 内容：宇宙间有质量的物体之间都是相互吸引的，两个物体之间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
公式：F =G ·m 1·m 2/r 2其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 22. 条件：适用于质点；均匀球体或球壳对球外物体的引力等效于球体或球壳质量集中于球心。
二.重力和地球的万有引力：1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：（1）物体随地球自转的向心力：F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。
（2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，所以R m RGMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。
地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。
如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。
如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。
在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g +=。
2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力。
即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2三. 天体运动：1. 开普勒行星运动规律：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
（2）对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。
万有引力与航天公式总结归纳
万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223πGM K K T R ==k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比.⑵.数学表达式:r F Mm G 2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b.当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c.认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出 ②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1.万有引力提供向心力：F F向万=即：222224n Mm v F G ma m mr mr r r T πω=====万 2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力： 即2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：①地面物体的重力加速度：R GM g 2=≈9.8m/s 2 ②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g 9.8m/s 2 ③关系:22')(h R g R g +=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
(完整版)万有引力与航天公式总结
万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223πGM K K T R == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rF MmG2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：F F 向万= 即：222224n Mm v F Gma m mr mr r r Tπω=====万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：g m R MmG=2即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g9.8m/s 2③关系:22')(h R gRg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
专题一 12 万有引力与航天
12 万有引力与航天1．万有引力(1)公式：F 万＝G Mm r 2(和库仑力F 库＝k Qqr 2具有相似规律，都和距离的平方成反比关系)(2)万有引力和向心力的关系．①天体环绕运动时，万有引力完全提供向心力，宇宙飞船中物体处于完全失重状态． ②地球赤道上的物体，随地球自转需要向心力，F 向＝G Mmr 2－mg ＝mRω自2.③地球表面的物体，由于向心力非常小，常用mg ＝G MmR 2进行代换．2．天体质量和密度的求解(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .(利用v 、r 或v 、T 或ω、r 同样可以)①由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得中心天体质量M ＝4π2r 3GT2；②若已知天体半径R ，就能得到天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.特别是当R ＝r 时ρ＝3πGT 2. 3．卫星参量与环绕半径的关系 由G Mm r 2＝mrω2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝ma ，可得a ＝GM r 2∝1r 2、v ＝GM r ∝1r、ω＝GM r 3∝1r3、T ＝2πr 3GM∝r 3，可记忆为“越高越慢”． 4．变轨问题(1)升高轨道需要点火加速(向后喷气)，降低轨道需要点火减速(向前喷气)． (2)速度比较(图1)图1①轨道交点处外轨道上速度大，即有v ⅢB ＞v ⅡB ，v ⅡA ＞v ⅠA . ②椭圆轨道上近地点速度大，即有v ⅡA ＞v ⅡB . ③两个不同圆轨道，r 越大速度越小，即有v Ⅰ＞v Ⅲ.(3)加速度比较：由G Mm r 2＝ma ，知a ＝G Mr 2，只取决于卫星距地心的距离，故a Ⅲ＝a ⅡB ，a ⅡA＝a Ⅰ，a Ⅰ＞a Ⅲ.(4)周期比较：由开普勒第三定律r 3T 2＝k (椭圆轨道r 为半长轴)，可知T Ⅰ＜T Ⅱ＜T Ⅲ.(5)机械能比较：轨道半径(或半长轴)越大，机械能越大，E Ⅰ＜E Ⅱ＜E Ⅲ. 5．第一宇宙速度的两种推导方法 (1)由G MmR 2＝m v 12R，得v 1＝GMR＝7.9 km/s (2)由mg ＝m v 12R，得v 1＝gR ＝7.9 km/s第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短约为84分钟．1．重力加速度的几种计算方法(1)地球表面处：由G Mm R 2＝mg ，得g ＝G MR 2，也适用于其他星体表面．(2)地球上空高h 处：由mg h ＝G Mm(R ＋h )2，得g h ＝G M (R ＋h )2＝R 2(R ＋h )2g .(3)地面下深d 处(质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零)：由mg d ＝G M ′m (R －d )2，得g d ＝G ρ43π(R －d )3(R －d )2∝(R －d )，故g d ＝R －dR g (g 为地球表面处重力加速度)． 2．卫星从相距最近到再次相距最近(或最远)的时间(1)卫星从相距最近到再次相距最近，如图2甲，卫星A 的周期是T 1，卫星B 的周期是T 2(T 1＞T2)，B应比A多转一圈，可由ω2t－ω1t＝2π(或tT2－tT1＝1)求得t.(2)二者开始相距最近，到再次相距最远，如图乙，B应比A多转半圈，可由ω2t－ω1t＝π(或tT2－tT1＝12)求得．图2 3．双星模型(如图3)图3 (1)三个特点①双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω2r1，Gm1m2L2＝m2ω2r2.②周期T(或角速度ω)相同．③L＝r1＋r2.由以上关系知周期T＝2πL3G(m1＋m2)，双星总质量m1＋m2＝4π2L3T2G.(2)两个结论①轨道半径与质量成反比，即m1r1＝m2r2.②速度与轨道半径成正比．示例1(同步卫星)(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A．入轨后可以位于北京正上方B．入轨后的速度大于第一宇宙速度C．发射速度大于第二宇宙速度D．若发射到近地圆轨道所需能量较少答案 D解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A 项错误；由GMm r 2＝m v 2r 知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D 项正确．示例2 (天体运动)(2020·全国卷Ⅲ·16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍．已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g .则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( ) A.RKgQPB.RPKgQC.RQgKPD.RPgQK答案 D解析 在地球表面有G M 地m R 2＝mg ，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时有G M 月m ′(KR 月)2＝m ′v 2KR 月，根据已知条件有R ＝PR 月，M 地＝QM 月，联立以上各式解得v ＝RPgQK，故选D. 示例3 (变轨问题)(多选)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案 ABC解析 在轨道Ⅱ上从A 到B ，万有引力对航天飞机做正功，故经过A 的速度小于经过B 的速度，A 正确；由轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ要减速，B 正确；根据开普勒第三定律，R 3T2＝k ，R 2＜R 1，所以T 2＜T 1，C 正确；根据a ＝GMr2，A 点的加速度相等，D 错误．示例4 (双星模型)(2013·山东卷·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 答案 B解析 双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2，G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2，并且r 1＋r 2＝L ，解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)，当双星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3kT ，故选项B 正确．。
万有引力与航天 专题
万有引力与航天专题基本知识：1．万有引力：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们之间成反比．2．公式：F＝，其中G＝N·m2/kg2，叫引力常量．3．适用条件：公式适用于间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到间的距离．4、三种宇宙速度5、同步卫星的特点1、轨道平面一定：与赤道共面。
2、周期一定：T=24h，与地球自转周期相同。
3、角速度一定：与地球自转角速度相同。
4、绕行方向一定：与地球自转方向一致。
5、 高度一定：由27322222226106.34,4)()(R m R T gR h gR GM T h R m h R MmG ≈⨯=-=⇒=+=+ππ。
6、 线速度大小一定：s m h R gR h R GM v gR GM h R v m h R Mm G/101.3,)()(32222⨯=+=+=⇒=+=+。
7、 向心加速度一定：222222/23.0)()(,)(s m h R gR h R GM a gR GM ma h R Mm G n n =+=+=⇒==+。
6.万有引力定律应用的基本方法：(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．“万能”连等式：G Mm r 2＝ma n =m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT )2r ＝m (2πf )2r（2）不考虑中心天体的自转。
黄金代换式：mg R GMm =2（表面）， ()/2mg h R GMm =+（h 高处） 【练习1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【练习2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？【练习3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）A ．运行速度大于7.9 km/sB ．离地面高度一定，相对地面静止C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等练习答案：1：AD ，2： 3:AC万有引力与航天常见的考题类型类型一：天体的质量M 、密度ρ的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G Mm r 2＝m (2πT )2r ，可得天体质量为：M ＝4π2r 3GT 2.该中心天体密度为：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3（R 为中心天体的半径）． 当卫星沿中心天体表面运行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2. （2）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 【例1】下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ）A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr r Mm G =可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2224T mr rMm G π=求得地球质量为2324GT r M π=，所以D 项正确【例2】已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。
万有引力公式
万有引力公式
1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R：轨道半径，T：周期，K：常量（与行星质量无关，取决于中心天体的质量）｝。
2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2（G＝6.67×10-11N&；m2/kg2，方向
在它们的连线上）。
3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2｛R：天体半
径（m)，M：天体质量（kg）｝。
4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝（GM/r)1/2；ω＝（GM/r3)1/2；T＝2π（r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝。
5.第一（二、三）宇宙速度V1＝（g地r地）1/2＝（GM/r地）1/2
＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s。
6.地球同步卫星GMm/(r地＋h)2＝m4π2(r地＋h)/T2｛h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝。
(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向＝F万。
(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等。
(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同。
(4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变
小（一同三反）。
(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。