立体几何的动态问题翻折问题
立体几何15种归类
立体几何大题的15种归类可能包括以下几种：
1. 垂直问题：证明两条直线或平面垂直，或求线面角、二面角的大小。
2. 平行问题：证明两条直线或平面平行，或求线面角、二面角的大小。
3. 距离问题：求两条直线或两个平面之间的距离。
4. 面积问题：求一个平面或一个几何体的面积。
5. 体积问题：求一个几何体的体积或表面积。
6. 角度问题：求两个平面或两个几何体之间的角度大小。
7. 截面问题：用一个平面去截一个几何体，求截面的形状和大小。
8. 轨迹问题：求一个动点的轨迹方程。
9. 翻折问题：将一个平面或一个几何体翻折后，求翻折后的形状和大小。
10. 旋转问题：将一个几何体旋转一定角度后，求旋转后的形状和大小。
11. 对称问题：求一个平面或一个几何体的对称图形。
12. 最值问题：求一个平面或一个几何体中的最值问题，如最短距离、最大角度等。
13. 体积求法问题：给定一个几何体，如何计算其体积。
14. 表面积求法问题：给定一个几何体，如何计算其表面积。
15. 空间向量问题：利用空间向量解决立体几何中的角度、距离等问题。
以上分类仅供参考，具体的题目可能涉及多种类型的问题。
在解决立体几何问题时，需要灵活运用相关的定理和公式，并结合实际情况进行分析和计算。
2018届高三数学一轮复习课件-立体几何的动态问题之——翻折问题(26张PPT)优品课件PPT
E( 1 , 3 cosq , 3 sinq )
44
4
F
C
y
BE ( 3 ,
3 cosq ,
3 sinq ), FC (0,
3B ,0)
44
4
2
cos BE, FC
3 cosq
8
3 cosq
8
1 cosq
93* 3 16 16 2
3 4
2
q [0, ]cos BE, FC [ 1 , 1]
过 程 中 ， 令 二 面 角 A -B D -C 的 平 面 角 为 ， 则 （ ） A . E 'F K B . E 'F K C . E 'D K D . E 'D K
D E A
F
B
E'
C
K
A'
E'
D
F C
K B
①特例法
当 0时，EFK 0
E'DK
当 180 时， EFK 180 EDK 故答案为 B.
]
，
但异面直线
BE 与
CH
所成角的范围是（ 3
, ]
2
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向量法：建立空间直角坐标系
A
设二面角 A BD C 的大小为q ，
E
则D( 1 ,0，0),C(0， 3 ,0), A(0， 3 cosq , 3 sinq )
D
2
2
2
2
B(1 ,0，0) 2
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、（2016 联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB=
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC的中点为M，点P在正方体的表面DCC1D1上移动，且满足∠APD=∠MPC。
求三棱锥P-BCD的体积的最大值。
2.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把四面体OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，求四棱锥P-BCFE的体积。
3.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，且EF//BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
求四棱锥P-BCFE的体积的最大值。
4.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面。
若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则求球O的表面积。
5.已知A、B、C、D四点均在半径为R(R为常数）的球O的球面上运动，且AB=AC，AB⊥AC，AD⊥BC。
若四面体ABCD的体积的最大值为V，求V的值。
6.已知A、B、C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60°，且三棱锥O-ABC的体积为V。
求V的值。
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=√3.求三棱锥C1-ABC的体积。
8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称。
求三棱锥C'-ABD的体积。
1.删除该题，因为这明显是一道数学计算题，没有文章可言。
2.球O的表面积为4π，则球O的体积为(4/3)π。
立体几何中的折叠、展开与动点问题
２ 尽
于是
得
由余 弦定理可求得 ＡＣ＝ ５ ｚ
Ｃ
Ａ ＋ Ｄ ＝ Ｄ ， Ｂ Ｂ ２ Ａ
Ａ Ｂ上Ｂ Ｄ．
又平面 Ｅ Ｄ上平面 Ａ Ｄ， 面 Ｅ Ｄ ｎ平 面 Ａ Ｄ＝ Ｂ Ｂ 平 Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ，Ｂｃ平 面 Ａ Ｄ， Ａ Ｂ 得 Ｂ上平 面 Ｅ Ｄ 由 Ｄ Ｂ． Ｅｃ平
Ｂ＝ ０ ， ６ 。得
例 １ 一 张正 方形 的 纸 Ａ Ｃ Ｂ 是对 角线 ， Ｂ Ｄ， Ｄ 过 Ａ Ｃ 的中点 Ｅ， Ｂ，Ｄ Ｆ的线段交 Ｂ Ｄ于点 ０， Ｅ 以 Ｆ
・
３ ・ ０
中 学教 研 （ 学 ） 数
／ ＿Ａ１ ＝ １ ５。， Ｃ１ Ｃ ３
ＢＤ＝ 、Ａ ＋Ａ ／Ｂ Ｄ 一２ Ｂ ・ Ｄｃ ｓ＿Ｄ Ｂ ＝ Ａ Ａ ｏ／ Ａ
性 和交 汇性． 立体 几何 中 的轨迹 问题将立体几何 与 解析几何 有机地结合 起来 ， 解决 此类问题 的关 键是
把空 间问题转化 为平 面问题 ， 然后 再根据 曲线 的定
√ 芎 ／ 。 ２ ＋ ａ ． ｎ
又在 ＡＢ Ｄ中 ， Ｏ 由余 弦定 理可得
ｃ ｓ ＢＯＤ ＝ ｏ ２ ２ ２ ２ ６
问题 ， 常把几何体 的侧面 展开转化 为平面 图形 中 通 的两点距离 问题．
在 Ｒ △ ｔ 培Ｅ中 ， 由
解析 几何 与立体几何 的知识交 汇处设 计图形 ， 仅 不
能考查 立体几何点 、 、 线 面之 间的位置关系 ， 而且 能
△Ｃ Ｄ沿 Ｂ Ｂ Ｄ折起 到 △船 Ｄ
Ｃ
巧妙地考 查求轨迹 的基本 方 法． 由于知 识点 多 ， 数 学思想 和方法 考查 充分 ， 因此 笔 者预 计 ２ １ 高 ００年
立体几何的动态问题翻折问题
立体几何的动态问题之二———翻折问题立体几何动态问题的基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论.D F A E ⊥一线：垂直于折痕的线即五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D H F D H F ''∠）是二面角的平面角；3D D F '）在底面上的投影一定射线上；二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，CD=CB=且A D A B ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A B D ∆，则在'A B D ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以ta n '3A CB ∠=【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误12进行分析，找出错误的原因。
2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。
现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是DABECDABC4) ''D H D H 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5A D 'E A E .）面绕翻折形成两个同底的圆锥CA.(,)63ππB. (,]62ππC. (,]32ππD. 2(,)33ππ分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：222254c o s 243F HF CC HF H C C HF H F C+-∠==-，有344C H ≤≤11c o s ,22C F H ⎡⎤∴∠∈-⎢⎥⎣⎦异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]32ππ 方法三：向量基底法：111()()222B E FC B A BD F C B A F C B F F A F C=+==+111c o s ,c o s ,,222B E F C F C F A ⎡⎤<>=<>∈-⎢⎥⎣⎦方法四：建系：3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则 （ B ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≥D. A CB α'∠≤方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。
例说立体几何中的动态问题
例说立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置关系是不确定的，可变的一类开放问题。
对学生来说，解决这类问题，对其空间想象能力，逻辑推理能力的要求更高，难度一般比较大。
但又因为这类问题是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。
这类问题往往把立体几何知识和其他部分的知识有机地结合起来，解决问题的关键就是转化与化归，把空间问题转化为平面问题来解决。
本文归纳了几类动态问题，希望对大家解决立体几何中的动态问题有所启发。
一、与轨迹有关的动态问题例1：如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（）A ．线段 B．圆 C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分解析：连结，可证，即，即点E是体对角线上的定点，直线AE也是定直线．，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选A例2：在正方体中，点是侧面内一个动点，它到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分解析：本题是立体几何与解析几何相结合的一道题目，学生难在空间问题如何转化为平面问题，即解析几何问题。
这里动点到直线的距离易作出，难在到直线的距离的距离是什么。
因垂直平面，所以，即点到点的距离与到直线的距离相等。
所以动点在侧面内的轨迹是一段抛物线。
评注：动点轨迹主要是把空间的关系转化为平面内动点所具有的特性。
这类问题综合了平面几何、立体几何、解析几何等知识，渗透了数形结合思想，转化与化归思想，分类讨论思想，对第一次碰到此类问题的学生有较好的检测功能。
二、与距离有关的动态问题例3：如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界），若平面，则的最小值是（）A．B．C．D．解析如图，在上取中点，在上取中点，连接，且，易知平面平面，则动点的轨迹是（不含两点）又平面，则当时，取得最小值此时，评注：本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.例4：长方体中,且一只小虫子从，点沿长方体的表面爬到点处，则小虫子的最短行程是多少?解析：当小虫子沿侧面与侧面到时，将二侧面展开铺平，在平面内，连即为最短行程，记为。
高中教案：高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题
高考数学难点突破八----立体几何中的翻折问题一、知识储备翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。
核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。
二、应用举例例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为(C )ABCD例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则( D ) A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ<<例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ D ）A. ,2a ββγ>>B. ,2a ββγ><C. ,2a ββγ<>D. ,2a ββγ<<例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4B π=，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ B ） A ．52B ．255C ．355D ．253例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB =，沿直线BD 将ABD ∆ 折成'A BD ∆，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. αθβ<<B. βθα<<C. βαθ<<D. αβθ<< 【答案】DQ DPCBA【解析】分析：由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．详解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则，∴A′C=1，说明O为当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′=1，则A D'=，要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，<，而A′C的最小值为1，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E=13∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故答案为：D点睛：本题主要考查二面角的平面角和直线与平面所成的角，考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.例6、（嘉兴市2020年1月期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．22π分析：设 AC ,FC 的中点为 M , N ，CP 的中点G 的轨迹是以 MN 为直径的半圆．例7、（宁波市2020年1月期终）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD △沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CDB '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则（ ）A ．γδβ<<B ．γαβ<<C ．αδβ<<D ．γαδ<<例8、（柯桥一中2020年1月期终）已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ C ） A．5B.5C.4例9、（名校合作体2020年3月）已知C 为ABD Rt ∆斜边BD 上一点，且ACD ∆为等边三角形，现将ABC ∆沿AC 翻折至C B A '∆，若在三棱锥ACD B -'中，直线B C '和直线B A '与平面ACD 所成角分别为βα，，则（ ）A. βα<<0B.βαβ2≤<C.βαβ32≤≤例10、（2020年1月嘉兴期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．分析：取DE 中点O ，连CO PO ,，则点G 的轨迹是以CO 的中点为圆心，2221=PO 为半径的半圆，轨迹长为22ππ=r例11、（2020年4月温州模拟）如图，在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，将ABN ∆沿着AM 翻折成M B A '∆，且点B '不在平面AMC 内，点P 是线段C B '上一点，若二面角B AM P '--与二面角C AM P --的平面角相等，则直线AP 经过C B A '∆的（ A ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D.外心G PFD B A例12、（2020年嘉兴一模）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF 的取值范围为 （ ）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ． 11[,]24-例13、(2020年5月暨阳联考）如图:ABC ∆中，︒=∠⊥90,ACB BC AB ，D 为AC 的中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与BC 直线所成的最大角，最小角分别记为11βα，，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22βα，，则有（ D ）A. ββαα≤<121,B. 2121ββαα><，C. 2121ββαα≤≥，D.2121ββαα>≥，分析一：翻折到180时，,AB BC 所成角最小，可知130β=，,AD BC 所成角最小，20β=，翻折0时，,AB BC 所成角最大，可知190α=，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以,AD BC 所成最大角290α=，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒==分析二:对角线向量定理例14、（2020年4月台州二模）如下图①，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠=∠DAB CDB ABC ， 30=∠BCD ，4=BC ，点E 在线段CD 上运动，如下图②，沿BE 将BEC ∆折至C BE '∆，使得平面⊥'C BE 平面ABED ，则C A '的最小值为 .⇒例15、（2020年嘉兴市基础知识测试）如图，矩形ABCD 中，2,1==BC AB ，点E 为AD 中点，将ABE ∆沿BE 折起，在翻折过程中，记二面角B DC A --的平面角大小为α，则当α最大时，=αtan （ ） A. 22 B. 32 C. 31 D.21例16、（2020学年温州中学高二上期中）等边三角形ABC 边长为4，N M ,为AC AB ,的中点，沿MN 将AMN ∆折起，当直线AB 与平面BCMN 所成的角最大时，线段AB 的长度为（ ）A.6B. 22C. 10D.32例17、(2020学年杭外高二上期中）如图，在菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成的角的取值范围是（ ）A.），（36ππ B.⎥⎦⎤26ππ，（ C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛323ππ，例18、（2020学年杭四中高二上期中）如图，矩形ABCD 中，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A 1∆，若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个选项中正确的是 （填写所有的正确选项）.（1）BM 是定值；（2）点M 在某个球面上运动；（3）存在某个位置，使C A DE 1⊥；（4）存在某个位置，使//MB 平面DE A 1.例19、（2020学年杭师大附中高二上期中）如图，在矩形ABCD 中，6=AB ，4=BC ，E 为DC 边的中点，沿AE 将ADE ∆折起至E D A '∆，设二面角B AE D --'为α，直线D A '与平面ABCE 所成角为β，若︒︒<<9060α，则在翻折过程中（ ）A. 存在某个位置，使得βα<B. 存在某个位置，使得︒<+90βαB. ︒>45β D.︒︒<<4530β例20、（2020学年台州市高二上期终）如图，在ABC ∆，1=AC ，3=BC ，2π=C ，点D 是边AB （端点除外）上的一动点，若将ACD ∆沿直线CD 翻折，能使点A 在平面BCD内的射影A '落在BCD ∆的内部（不包括边界）且37='C A ，设t AD =，则t 的取值范围是 .例21、（2020学年杭州七县市高二上期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别是BC AB ,的中点，将DAE ∆，EBF ∆，FCD ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体DEF A -'的四个顶点都在同一个球面上，则以DEF ∆为底面的三棱锥DEF G -的高h 的最大值是（ ） 326+ B. 346+ C.3462- D.3262-例22、（2020学年慈溪市高二上期终）如图，三棱锥BCD A -的底面BCD 在平面α内，所有棱均相等，E 是棱AC 的中点，若三棱锥BCD A -绕棱CD 旋转，设直线BE 与平面α所成角为θ，则θcos 的取值范围为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡163，B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,65 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6110， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6330，例23、（2021年2月“日知”新高考命题研究联盟高三期终）如图所示，正方形ABCD ,ADEF ，AFGH 平铺在水平面上，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角BAD E --'为︒30，再将正方形H G F A ''沿F A '折起，使二面角D F A H -'-'为︒30，则平面H G F A '''与平面ABCD 所成的锐二面角的正切值是（ ） A.42 B.37 C.43 D.26例24、（2021年2月丽水中学合作校高三联考卷）如图，在ABC ∆中，MC BM 21=，1==AC AB ，32=BM ，点D 在线段BM 上运动，沿AD 将ADB ∆折到B AD '∆，使得二面角C AD B --'的度数为︒60，若点B '在平面ABC 内的射影为O ，则OC 的最小值为 .例25、（2021年4月杭州二模第10题）如图，在长方体ABCD 中，215=AB ，1=AD ，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE ∆沿DE 折起为DE A '∆，设α=∠ADE ，二面角C DE A --'的大小为β，若2πβα=+，则四棱锥BCDE A -'体积的最大值为（ ）A.41 B.32 C. 121-15 D. 81-5例26、（2020学年之江教育联盟高二下开学考）如图，已知椭圆的长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，焦点为21,F F ，长半轴为2，短半轴为3，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，以下说法错误的是（ ）A. 12F B 与短轴21B B 所成角为6π B. 12F B 与直线22F A 所成角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，C. 12F A 与平面212B B A 所成角的最大值为6πD. 存在某个位置，使得12F B 与21F B 垂直例27、（2021年5月义务高三适应性考试第10题）如图，在等边三角形ABC 中，点ED 、分别是线段AC AB ,上异于端点的动点，且CE BD =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面⊥ADE 平面BCED ，D 从B 滑动到A 的过程中（D 与A B ,均不重合），则下列选项中错误的是（ ）A. ADB ∠的大小不会发生变化B. 二面角C BD A --的平面角的大小不会发生变化C.BD 与平面ABC 所成的角变大D.AB 与DE 所成的角先变小后变大例28、（2020年4月嘉兴二模第9题）如图，矩形ABCD 中，已知2=AB ，4=BC ，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿着BE 向上翻折至BE A '∆，记锐二面角C BE A --'的平面角为α，B A '与平面BCDE 所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（ ）A. βαsin 2sin =B.βαcos cos 2=C.βα2<D. 4πβα>-例29、（2020学年温州十校联盟高二下期终）如图，在等腰三角形ABC 中，2=BC ，︒=∠90C ，D ，E 分别是线段AB ，AC 上异于端点的动点，且BC DE //，先将ADE ∆沿直线DE 折起至DE A '，使平面⊥'DE A 平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，下列选项错误的是（ ）A. DE A '∠的大小不会发生变化B. 二面角C BD A --'的平面角的大小不会发生变化C. 三棱锥EBC A -'的体积先变大在变小D. B A '与DE 所成的角先变大再变小例30、（2020学年浙南名校联盟高二下期终第17题）如图，在矩形ABCD 中，a AB =，a BC 2=，点E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE 翻折到BE A '∆的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角B DC A --'的平面角为α，则当α最大时，αcos 的值为 .。
立体几何中的翻折问题(教案)
立体几何中的翻折问题教学目标: ◆知识与技能目标:1.使学生掌握翻折问题的解题方法, 并会初步应用。
2.通过立体几何中翻折问题的学习, 进一步掌握立体几何中求距离与求角的求法。
◆能力与方法目标:1.培养学生的动手实践能力。
2.在实践过程中, 使学生提高对立体图形的分析能力, 进一步理解“转化”的数学思想,并在设疑的同时培养学生的发散思维。
◆情感态度与价值观目标:通过平面图形与翻折后的立体图形的对比, 向学生渗透事物间的变化与联系观点。
教学重点: 了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系, 找到变化过程中的不变量。
教学难点: 转化思想的运用及发散思维的培养。
关键：层层设计铺垫, 给学生充分的探讨、研究的时间。
学法指导: 渗透指导、点拨指导、示范指导教学方法: 探究法, 演示法、例1（2012广州调研试题）已知正方形的边长为2, . 将正方形沿对角线折起, 使, 得到三棱锥, 如图所示.（1）当时, 求证: ；（2）当二面角的大小为时, 求二面角的正切值．变式训练: 1.（2013年广州二模）等边三角形ABC的边长为3, 点D.E分别是边AB.AC上的点, 且满足(如图3).将ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置, 使二面角成直二面角, 连结 (如图4).(1) 求证: A1D丄平面BCED;(2) 在线段BC上是否存在点P, 使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在, 求出PB的长；若不存在, 请说明理由2（2013年广东高考）、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.. C O BD E AC D O B E 'A 图1 图2作业: 【2012高考湖北理19】如图1, , , 过动点A 作 , 垂足D 在线段BC 上且异于点B, 连接AB, 沿 将△ 折起, 使 （如图2所示）.（Ⅰ）当 的长为多少时, 三棱锥 的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥 的体积最大时, 设点 , 分别为棱 , 的中点, 试在棱 上确定一点 , 使得 , 并求 与平面 所成角的大小．【2012高考北京理16】如图1, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, BC=3, AC=6, D, E 分别是AC, AB 上的点, 且DE ∥BC, DE=2, 将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置, 使A1C ⊥CD,如图2.(I)求证: A1C ⊥平面BCDE ；(II)若M 是A1D 的中点, 求CM 与平面A1BE 所成角的大小；(III)线段BC 上是否存在点P, 使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？ 说明理由D A B C A CD B 图2 图1 ME . ·。
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立体几何的动态问题之二———翻折问题立体几何动态问题的基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论.DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角；3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，AD=AB=2，CD=CB= 5,且AD AB ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3tan '3A CB ∠=。
【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误12进行分析，找出错误的原因。
2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。
现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是DABE CDABC4) ''D H DH点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕翻折形成两个同底的圆锥ECA.(,)63ππ B. (,]62ππ C. (,]32ππ D. 2(,)33ππ分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：222254cos 243FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==-，有32144CH ≤≤11cos ,22CFH ⎡⎤∴∠∈-⎢⎥⎣⎦异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]32ππ 方法三：向量基底法：111()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC=+==+111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ⎡⎤<>=<>∈-⎢⎥⎣⎦方法四：建系：3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则 （ B ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≥D. A CB α'∠≤方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。
方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。
4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程E FBDCA H中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( A )A ．(0，3] B.⎝⎛⎦⎤22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4] 方法一：利用特殊确定极端值方法二：在DAB ∆中利用余弦定理转化为BDA ∠的函数求解。
方法三：取BC 的中点E,连接EA,ED 在DEA ∆中利用两边之和大于第三边求解。
（二）翻折之后的求值问题5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD ，E 是边AB 的中点，将ADE △沿DE 折起至DE A '，如图所示，若A CD '为正三角形，则ED 与平面DC A '所成角的余弦值是6、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为 ( D ) A ．45 B ．56 C ．67 D ．78三、课后练习1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将ABD ∆沿矩形的对角线BD所⇒B在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直2（2009年浙江17）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC,在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是__1(,1)2_____.3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点， 现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H 在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点H 所形成轨迹的长度为___π___.4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，432====FD AF EB AE ．沿直线EF 将AEF ∆翻折成EF A '∆，使平面EF A '⊥平面BEF ．点N M ,分别在线段BCFD ,上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，则线段FM 的长为________5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2，AD =4，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. (Ⅰ)求证: CD ⊥BE ;A M FE D CB N'A D ACB EA B B DC A'(Ⅱ)求线段BH 的长度；(Ⅲ)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.17.解：（1）由于⊥BH 平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ，∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：⎩⎨⎧-++=+=⇒⎩⎨⎧++=+=+=22222222222222)2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得⎩⎨⎧==12k h ， ∴线段BH 的长度为2.（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的31，∴点A 到平面EFCD 的距离为32，而13=AF ，直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为39132. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>z y z y B ，由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，∴⎩⎨⎧=+-+=+9)2(4,52222z y z y 解得⎩⎨⎧==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. （3）从而)2,1,2(--=FB ，故)32,31,32(31--==FB EA ，)32,37,38(--=+=EA FE FA ，FCABDEHA EFCDB设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=n ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则39132sin =⋅⋅=nFA n FA θ.立体几何的动态问题之三———最值、范围问题1、（2006年浙江·理14）正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .A BP2、（2008年浙江·理10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为4、（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，M 为正方形ABCD 对角线的交点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM 与直线MP 所成角为45°，则点P 形成的轨迹为 ( ) A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．双曲线的一部分D . 圆的一部分5（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)6（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支式题 （1）如图，平面α的斜线AB 交α于B 点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点C 满足∠BAC ＝π6，若动点C 的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________．(2)在正四面体ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是棱CD 上的一个动点，若直线MN 与BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是________．7、(2014年7月浙江学考第25题)在棱长为1的正方体 1111ABCD-A B C D 中，E 、F 分别是棱1111A D C D 、的中 点，Ｎ为线段1B C 的中点，若Ｐ、M 分别为1D B 、EF 的动O ABC DABC D· BA CDMP点，则PM+PN 的最小值为8、（16届嘉兴一模·文15）边长为1的正方体1111D C B A ABCD -将其对角线1AC 与平面α垂直，则正方体1111D C B A ABCD -在平面α上的投影面积为 ．9、（16届高考模拟卷·理）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是 ．10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．6622- B ．6632- C ．32232- D ．33223-11、（16届宁波一模·理14）在ABC ∆中，10,30BAC ACB ∠=︒∠=︒ ，将直线BC 绕AC 旋转得到1B C ，直线AC 绕AB 旋转得到1AC ，则在所有旋转过程中，直线1B C 与直线1AC 所成角的取值范围为____ ．12、（16届金华十校一模·理14）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD =6，BC =2，且==2AB ACBD CD ，则V 四面体ABCD 的最大值为A . 6B .211C .215D .813、（15年上海高考题改编）在四面体ABCD 中，已知B C AD ⊥，2BC ,6AD ==， [)),7t (t CD AC BD AB +∞==+=+，则ABCD V 四面体最大值的取值范围是 A. [)+∞,72 B.[)+∞,3 C. [)+∞,22 D. [)+∞,2【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，在A NP '∆中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯。