立体几何旋转折叠问题

图形的折叠与旋转
1．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，F 为BC 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =．
（1）求证：;PO ABCE ⊥面 （2）求二面角E-AP-B 的余弦值．
2．如图，平行四边形ABCD ，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到
EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD
（I ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积.
3、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的
点
,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥
A BCDE '-,
其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦
值.
4．如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，平面ADE ⊥平面
BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，4AC =，设AE 、CD 的中点分别为P 、Q ，
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD （2）求证：ABC PQ 平面// （3）求平面ABC 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。

.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
A
D E
C B
5．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.
（Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
图形的折叠与旋转（答案）
1．试题分析：（1）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥， ……2分 BC 的中点为F ，连OF ，PF ，∴OF ∥AB ，∴OF ⊥BC 因为PB=PC ，∴BC ⊥PF ，所以
BC ⊥POF ， ……3分 从而BC ⊥PO ， ……4分 又BC 与AE 相交，可得PO ⊥ABCE. ……5分
（2）作OG ∥BC 交AB 于G ，∴OG ⊥OF 如图，建立直角坐标系[;,,
],O OG OF OP
A （1，-1，0），
B （1，3，0），
C （-1，3，0），P （
0，0
(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)AC AP AB =-=-= ……6分 设平面PAB 的法向量为
(,,n x y z =4n AP x n AB y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩1(2,0,1)n ⇒= ……8分
同理平面PAE 的法向量为
2(1,1,0),n = ……9分
……11分 ……12分
2．（I ）证明：在ABD ∆中，由2
22AB AD BD =+，所以 DE AB ⊥
又
平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD
平面,ABD BD AB =⊂平面ABD
AB ∴⊥平面EBD
DF ⊂平面,EBD AB DE ∴⊥
（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DB DE ⊥
在Rt DBE ∆中，2DB =23DE ⋅=又
AB ⊥平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥
BE BC =,DE BD ⊥平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD
而AD ⊂平面综上，三棱锥E ABD -的侧面积，
3、
(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===
连结,OD OE ,
在OCD ∆中,由余弦定理可得
OD
==来源:Z,xx,]
由翻折不变性可知A D '=,
所以2
2
2
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD
OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '-
-的平面角.
结合图1可知,H 为AC 中点,
故
2
OH =
,从而
2A H '=
所以cos 5OH A HO A H '∠
=
=',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为.
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示则(A ',()0,
3,0C
-,()1,2,0D -
所以(CA '=,(1,DA '=-
C D O
B
E
'A
H
设(),,n x y z =
为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,
即3020
y x y ⎧+=⎪⎨
-++=⎪⎩,
解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,
得(1,n =- 由(Ⅰ) 知
,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,[来源:学科网ZXXK]
所以cos
,3n OA n OA n OA '⋅'
=
=='
,即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为
4．（1）证明:Q 平面ADE ⊥平面BCDE ,交线为DE , AD DE ⊥, ∴AD ⊥平面BCDE .
Q DE DC ⊥, ∴,,AD DC DE 两两互相垂直，
以D 为原点建立空间直角坐标系, ……2分 因为∆ABC 为等腰直角三角形，且4AC =，则2,4DC BC ==， 则(0,0,0)D ,(2,0,0)C ，(0,0,2)A ，(0,2,0)E ，(2,4,0)B .
∴)0,4,0(-=BC ,)2,0,0(=DA ,)0,0,2(=DC ,
∴0,0BC DA BC DC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
,∴,,BC DA BC DC DA DC D ⊥⊥=I ,
∴BC ⊥平面ADC ,又BC ⊂平面ABC
∴平面ABC ⊥平面ACD . ……5分
（2）,P Q Q 分别为,AE CD 的中点,(0,1,1),(1,0,0,)P Q ∴,)1,1,1(--=∴PQ . 设平面ABC 的法向量),,(z y x n =,由于)0,4,0(-=BC )2,4,2(--=BA
则0,0
n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu u r 即⎩⎨
⎧=+--=-0242,04z y x y ,0y =,令1x =，则1z =, ∴)1,0,1(=n . 0PQ n ∴⋅=u u u r r
, 即n PQ ⊥∴PQ //平面ABC . ……9分
（3）由（2）可知平面ABC 的法向量)1,0,1(=n ，由于平面ADE 的法向量为)0,0,2(=DC , 设平面
ABC 与平面ADE 所成锐二面角为θ，则
……14分
5.（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ， ，所以ABE ∆为等边三角形，
又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ， ……2分
所以四棱锥1B AECD -的体积……5分
（Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ， 因为AECD 为菱形，所以OE OD =， 又F 为1B D 的中点，所以FO ∥1B E ， 因为FO ACF ⊂平面,BE ACF ⊄平面,
所以1B E ∥面ACF . ……9分 （Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
……10分 设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=r ，则
令1x '=，则
设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =r ，则 令1x =，则……12分
……14分。