作业88【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

题组层级快练(八十八)1．不等式x 2－|x|－2<0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x|－2<x<2} B ．{x|x<－2或x>2} C ．{x|－1<x<1} D ．{x|x<－1或x>1}答案 A解析 方法一：当x ≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2. 当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0. 故原不等式的解集为{x|－2<x<2}．方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2. ∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2. ∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}．2．若a ，b ，c ∈R ，且满足|a －c|<b ，给出下列结论 ①a ＋b>c; ②b ＋c>a ； ③a ＋c>b; ④|a|＋|b|>|c|. 其中错误的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －c>－b ，a －c<b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b>c ，b ＋c>a ，∴①②都正确，③不正确．又|a －c|＝|c －a|≥|c|－|a|，∴|c|－|a|<b ＝|b|，∴|a|＋|b|>|c|.④正确． 3．“ab ≥0”是“|a －b|＝|a|－|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当ab ≥0，a<b 时，|a －b|≠|a|－|b|，故条件不充分． 当|a －b|＝|a|－|b|时，则ab ≥0且|a|≥|b|.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的必要不充分条件． 4．若2－m 与|m|－3异号，则m 的取值范围是( ) A ．m>3B ．－3<m<3C ．2<m<3D ．－3<m<2或m>3答案 D解析 方法一：2－m 与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m －2)(|m|－3)>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，（m －2）（m －3）>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，（m －2）（－m －3）>0.解得m>3或－3<m<2.方法二：由选项知，令m ＝4符合题意，排除B 、C 两项，令m ＝0符合题意，可排除A. 5．(2020·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k<1 B ．k ≥1 C ．k>1 D ．k ≤1答案 A解析 由题意得k<(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－(x ＋1)|＝1，所以k<1，故选A.6．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1，2] D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4， ∴a 2－3a ≥4恒成立．∴a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．7．(2020·甘肃白银一模)对任意的实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2，2] D ．[0，＋∞)答案 B解析 当x ＝0时，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a ∈R .当x ≠0时，则有a ≥－1－|x|2|x|＝－⎝⎛⎭⎫|x|＋1|x|，设f(x)＝－⎝⎛⎭⎫|x|＋1|x|，则a ≥f(x)max ，由基本不等式得|x|＋1|x|≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max ＝－2，故a ≥－2.故选B.8．(2019·潍坊期末考试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 2x ，x>0，则不等式|f(x)|≥1的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B ．(－∞，0]∪[2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞) 答案 D解析 方法一：|f(x)|≥1，即f(x)≥1或f(x)≤－1.由⎝⎛⎭⎫12x≥1，解得x ≤0；由log 2x ≥1，解得x ≥2；⎝⎛⎭⎫12x≤－1无解；由log 2x ≤－1，解得0<x ≤12.故不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)．方法二：作出函数|f(x)|的图象，如图所示，由图可知，不等式|f(x)|≥1解集为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[2，＋∞)．故选D.9．若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________． 答案 4或－6解析 f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|＝|x ＋1|＋|x －a|＋|x －a|≥|1＋a|＋|x －a|≥|1＋a| 当且仅当x ＝a 时取等号， 令|1＋a|＝5，得a ＝4或－6.10．(2019·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<4)． (1)若f(x)的最小值为3，求a 的值； (2)求不等式f(x)≥3－x 的解集． 答案 (1)1 (2)R解析 (1)因为|x －4|＋|x －a|≥|(x －4)－(x －a)|＝|a －4|， 又a<4，所以当且仅当a ≤x ≤4时等号成立． 故|a －4|＝3，所以a ＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x 即不等式|x －4|＋|x －a|≥3－x(a<4)，①当x<a时，原不等式可化为4－x＋a－x≥3－x，即x≤a＋1.所以当x<a时，原不等式成立．②当a≤x≤4时，原不等式可化为4－x＋x－a≥3－x.即x≥a－1.所以当a≤x≤4时，原不等式成立．③当x>4时，原不等式可化为x－4＋x－a≥3－x，即x≥a＋73，由于a<4时，4>a＋73.所以当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知，不等式f(x)≥3－x的解集为R. 11．(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．答案(1)略(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<13或1<x<3或x>5解析(1)f(x)＝⎩⎨⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1<x≤32，－x＋4，x>32.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f(x)＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}； f(x)<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}．12．(2019·课标全国Ⅱ·23)已知f(x)＝|x －a|x ＋|x －2|(x －a)． (1)当a ＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，1) (2)[1，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)， ∵f(x)<0，∴当x<1时，f(x)＝－2(x －1)2<0恒成立，∴x<1； 当x ≥1时，f(x)＝(x －1)(x ＋|x －2|)≥0恒成立，∴x ∈∅. 综上，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f(x)＝2(a －x)(x －1)<0成立； 当a<1，x ∈(a ，1)时，f(x)＝2(x －a)>0，不满足题意， ∴a 的取值范围为[1，＋∞)．13．(2018·课标全国Ⅰ)已知f(x)＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f(x)>x 成立，求a 的取值范围． 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>12 (2)(0，2]解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|－|x －1|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x<1，2，x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>12.(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时，|ax －1|≥1；若a>0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x<2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．14．(2020·福州市联考试卷)已知f(x)＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|x ≤－4或x ≥2} (2)(－2，2)解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧－x －4，x<12，3x －6，x ≥12，由f(x)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f(x)≥0的解集为{x|x ≤－4或x ≥2}． (2)令f(x)＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5，则函数f(x)恰有两个不同的零点可转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a<2时，函数f(x)恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2，2)．。