陕西师范大学2003年研究生入学考试高等代数试题
考研数学二历年真题(2003—2012)题目
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a的值；将f化为标准形.(II) 求正交变换x Qy2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),zf x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xFx f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**AB，分别为A 、B 的伴随矩阵。
陕西师范大学有机化学考研历年真题及标准答案
陕西师范⼤学有机化学考研历年真题及标准答案陕西师⼤2003年有机化学试卷⼀、写出下列化合物的结构或名称（10分） 1. 2-甲基螺【3.4】⾟烷 2. (1R,2S)-⼆氯环⼰烷 3. NBS 4. DMSO 5. 5-甲基-1-萘磺酸 6.α–D-(+)-吡喃葡萄糖的构象式7.8.CH=CH 2CH 3HC ≡CH 9.SO 3HCl3H 2N10.N=C=N⼆、按要求完成（20分）1. ⽤化学⽅法鉴别：A 1-戊醇 B 2-戊醇 C 甲基仲丁基醚 D 2-戊酮 E 3-戊酮2. 已知：H ONa 2CO 3Me 2CCH=CH 2 Me 2CCH=CH 2 + Me 2C=CHCH 2A(85%) B(15%)Cl OH OHH ONa 2CO 3Me 2C=CHCH 2 Me 2CCH=CH 2 + Me 2C=CHCH 2A(85%) B(15%)Cl OH OH简答：（1）为什么两个反应中原料不同却⽣成相同的产物？（2）为什么都⽣成两种产物⽽不是⼀种？（3）为什么A 占85%，⽽B 仅占15%？3. 如何检查和除去⼄醚中的少量过氧化物？4. 填空：某学⽣将 CH 3CH ?CHCOOH 的构型表⽰为：OH BrA B C D 3H 333这⼏个异构体中，（1）相同的是：（2）互为对映异构体的是：（3）互为⾮对映异构体的是：（4）题中所给的分⼦式应该有⼏种构型异构体？（5）该同学漏写的构型式是：三、单项选择题（共20分）1. 下列化合物中酸性最强的是A HOAcB HC ≡CH C PhOHD PhSO 3H2. 下列化合物与硝酸银醇溶液反应的活性次序为：A i>ii>iiiB i>iii>iiC ii>iii>iD ii>i>iiii ii iii CHBrCH 3CH 2CH 2BrBrA B C 3. 发⽣消除反应的主要产物是：3323CH 3CH 3334. 分⼦CH 2=CH-Cl 中含有（）体系。
陕西师范大学(已有10试题)
陕西师范大学政治经济学院马克思主义哲学（原理、原著）2005西方哲学史（含现代外国哲学）2005中国哲学史2005西方哲学（西方哲学史、西方哲学史原著、现代西方哲学）2005伦理学（原理、原著）2005西方伦理学史（含现代外国伦理学）2005政治学原理2005世界政治经济与国际关系2005中共党史2005毛泽东思想与邓小平理论（含原著）2005中国革命和建设史2005社会学概论2005社会现代化概论2005行政管理学原理2005综合（含管理学、政治学）20052003年马克思主义哲学、中国哲学、外国哲学、科学技术哲学专业复试试题2003级硕士研究生马克思主义理论与思想政治教育专业复试试题2003年社会学研究生复试试题2003年政治学理论专业研究生复试试题2003年政治学理论专业同等学力研究生加试试题一：科学社会主义2003年政治学理论专业同等学力研究生加试试题二：马克思主义理论国际商学院西方经济学2005管理学20052003年国际商学院政治经济学硕士研究生复试试题2003年国际商学院国民经济学硕士研究生复试试题教育科学学院现代教育学（包括教育原理、中外教育史）2005心理学（普通心理学、教育心理学）2005心理学理论（含普通心理学、心理学史）2005心理学研究方法（含实验心理学、心理测量学）2005普通心理学2000——2002实验心理学2000——2001中外心理学史2001（此份不完整，缺题）教育学原理2005中国教育史2005外国教育史2005教育心理学2005学前教育学2005教育管理学2005社会心理学（含普通心理学）2005普通教育学（包括教育管理）2005中外教育史（包括普通心理学）2005课程与教学论（现代教学论）专业2003硕士研究生复试试题教育学原理专业2003硕士研究生复试试题教育硕士（教育管理）专业2003硕士研究生复试试题教育史专业2003硕士研究生复试试题教育经济与管理专业2003硕士研究生复试试题基础心理学专业2003硕士研究生复试试题教育经济与管理专业2003硕士研究生（同等学力考生）加试《普通心理学、教育管理学》试题教育经济与管理专业2003硕士研究生（同等学力考生）加试《教育学》试题新闻与传播学院教育技术学（含教学设计）2005计算机网络（含程序设计）2005，2010（2010为回忆版）新闻传播理论与新闻史2005新闻业务（采、写、编、评、广播电视）2005新闻传播理论与历史2010（回忆版）新闻传播实务2010（回忆版）2003年教育技术学专业硕士生复试综合试题体育学院教育学2005运动生理学2005体育概论2005体育社会学基本理论2005运动生物化学2005运动训练学20052003年硕士研究生运动人体科学专业运动生理学复试试题2003年运动人体科学运动生物化学复试试题2003年研究生体育教育训练学专业《运动训练学》复试题2003年研究生体育教育训练学专业运动生理复试题2003年教育硕士《学校体育学》复试试题文学院文学综合(含中国古代文学、中国现当代文学、世界文学、文艺理论)2010（回忆版）语言综合(含古代汉语、现代汉语)2010（回忆版）美学原理2005中外美学史2005宗教学原理2005中外文化史2005教育学2005语文教学论2005文学理论2005中外文学史（中国部分只考古代，外国部分全部）2005语言学概论2005现代汉语2002，2005（其中2002年试卷内容不完整）中国播音学2005综合考试（新闻理论、语言学、语法）2005古代汉语（汉语言文字学专业）2005古代汉语（中国古代文学专业）2005古典文献学2005中国古代文学与古代汉语2005中国古代文学史2005中国现当代文学2005文学理论与外国文学2005文学理论（含比较文学理论）2005中国文学2005文学理论与比较文学2005世界文学2005现代文学2003当代文学2003文艺理论2003外国文学2003先秦两汉六朝文学2001文化理论2001中西哲学史2001，2010（2010为回忆版）文史哲经典文献知识2001元明清文学20012003年比较文学与世界文学硕士研究生同等学力加试考题2003年比较文学与世界文学硕士研究生专业课世界文学复试（笔试）考题2003年中国古典文献学专业研究生复试试题2003年硕士研究生语文教学论复试试卷2003年汉语言文字学专业硕士研究生复试题2003年语言学与应用语言学专业语言学概论专业复试题2003年文艺学专业复试试题2003年中国古代文学专业复试试题2003年中国古代文学专业同等学力加试试题一2003年中国古代文学专业同等学力加试试题二2003年硕士研究生复试《美学》专业试题2003年硕士研究生复试同等学力《美学》专业加试试题一2003年硕士研究生复试同等学力《美学》专业加试试题二2003年中国现当代文学专业硕士研究生复试题（笔试）外语学院二外日语2005——2006二外法语2005二外俄语2005二外德语2005专业英语（教育硕士专业）2005基础英语（教育硕士专业）2005基础英语（英语语言文学、外国语言学及应用语言学专业）2005综合课A（语言学、教学法、英汉互译）2006综合课A（英美文学、西方文化、英汉互译）2005综合课B（语言学、英语教学法）2005教育学20052003年外国语言学及应用语言学硕士研究生入学考试复试试题2003年英语教育硕士复试试题艺术学院教育学2005音乐教育学2005中外音乐史2005中外声乐史2005音乐分析及和声复调2005中国古代音乐文献2005中外舞蹈史2005舞蹈教学法（包括芭蕾教学法、中国民间舞教学法、中国古典舞教学法）2005 中外美术史2005中国画历代名作评析2005美术评论（名家名作评析：中国近现代部分、外国近代部分）2005艺术设计史2005设计作品分析2005美学原理新编20052003年攻读音乐学硕士学位研究生复试题民族器乐理论与演奏（陕西秦筝乐派）2003年攻读音乐学硕士学位研究生复试题音乐教育学（声乐艺术）2003年攻读音乐学硕士学位研究生复试题音乐教育学（中国古代音乐文献）环发中心中国通史2005中国自然地理2005中国地理学史20052003年历史地理专业硕士生入学复试试题西北民族中心民族学概论2005中国民族史2005艺术学概论20052003年中国少数民族史专业硕士研究生复试试题（综合）2003年中国少数民族史专业硕士研究生（同等学力）加试试题历史文化学院中国古代史（考古学及博物馆学专业）2005中国考古学2005中国古代史（史学类各专业）2004——2005古汉语与古文献知识2005历史文选2005中国近现代史2005世界通史2005世界近现代史2005古籍知识2003年复试试题中国古代史2003年复试试题文化史、思想史、经济史2003年复试试题历史学概论2003年复试试题中国古代文化史综合题2003年复试试题世界史2003年复试试题数学与信息科学学院教育学2005数学分析与高等代数2005数学分析2003，2005（答案有：2003）高等代数2005——2006数科院2003年研究生各专业复试试题物理学与信息技术学院教育学2005普通物理（力学、电磁学部分）2005高等数学（微积分与线性代数）2005热力学、统计物理2005量子力学（凝聚态物理、生物物理学专业）2005量子力学（光学专业）2005普通物理2005电磁学2005普通生物学2005物理学2005生物化学2005细胞生物学2005光学2005综合课（微机原理、C程序设计）20052003年光学、光学工程、天体物理专业硕士生复试试题（量子力学）2003年课程与教学论（物理）研究生入学复试《物理教学论》试题2003年声学专业硕士生复试《理论力学》试题化学与材料科学学院教育学2005化学教学论2005物理化学（含结构化学）2005分析化学（含仪器分析）2005有机化学2005普通物理2005普通化学20052003年硕士研究生复试无机化学试题2003年分析化学专业硕士研究生复试试题2003年硕士研究生复试物理化学试题2003年硕士研究生复试有机化学试题旅游与环境学院教育学2005中国地理（含自然地理和人文地理）2005高等数学2005自然地理学2005人文地理学2005地理信息系统2005环境学概论2005地貌学2005生态学2005旅游学（含旅游管理学、旅游资源与开发）20052003年自然地理专业硕士入学复试题2003年人文地理硕士复试《旅游资源学》笔试题2003地图学与地理信息系统专业《遥感与地图学》试题2003年旅游管理专业研究生面试试题2003年环境科学专业硕士生入学复试题2003年（地理）教育硕士复试题生命科学学院教育学2005生物教学论2005植物学2005生物化学2005动物学2005细胞生物学2005动物生理学2005普通生物学2005生态学20052003生科院研究生各专业复试细胞生物学试题2003生物课程与教学论硕士研究生复试试题食品工程系高等数学2005食品微生物学20052003年食品工程系硕士复试考试题（果品蔬菜加工学试题）2003年食品科学专业同等学力考生加试试题一:食品工程原理2003年食品科学专业同等学力考生加试试题二：营养与食品卫生学计算机科学学院高等数学2005数据结构20052003年硕士生入学复试数据结构试题继续教育学院现代教育学（包括教育原理、中外教育史）2005成人教育学（成人教育学、成人教育管理学）2005新闻出版科学研究所（学报）传播学（传播学理论、编辑出版学）2005综合课（新闻学原理含中国编辑出版史）2005。
2003年全国硕士研究生入学考试(数学二)试题及答案解析
2003年全国硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 .【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim412=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x .于是，根据题设有 14141limsin )1(lim22412=-=-=-→→a xaxxx ax x x ，故a=-4.【评注】 本题属常规题型.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342，将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是!)2(l n n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)0()(n fn【详解】 因为 2ln 2x y ='，2)2(ln 2x y =''，nx x y)2(ln 2,)(= ，于是有n n y)2(l n )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn =【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-aeaπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可.【详解】 所求面积为 θθθρπθπd ed S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a ea)1(414-aeaπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα，则 ααT= 3 .【分析】 本题的关键是矩阵T αα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21 .【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 202010100=-=-E A , 所以 =B 21 .【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nn n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取na n 2=，1=n b ，),2,1(21 ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa nn nn n +=⎰+-12311, 则极限n n na ∞→lim 等于(A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为dx x xa nn nn n +=⎰+-12311=)1(1231nn nn x d x n++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++nn n nn n nx n，可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n nn【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xx y ln =是微分方程)(y x x yy ϕ+='的解，则)(yxϕ的表达式为 （A ） .22xy -(B) .22xy(C) .22yx - (D) .22yx [ A ]【分析】 将xx y ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(yxϕ.【详解】将x x y ln =代入微分方程)(yxx yy ϕ+='，得)(l n ln 1ln1ln 2x x xx ϕ+=-，即 xx 2ln1)(ln -=ϕ.令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(yx ϕ=.22x y- 应选(A). 【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（5）设⎰=41tan πdx xx I ,dx xx I ⎰=42tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0. 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是1tan >xx ，1tan <xx ，从而有4t a n 41ππ>=⎰dx xx I ， 4tan 42ππ<=⎰dx xx I ，可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：rααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即 ).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx axxx ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim)(lim )00(303-=-+==----→→→=113lim 1113lim22022--=----→→xax xaxx x=.6213lim22a xaxx -=--→ 4sin1lim )(lim )00(2x x ax x ex f f axx x --+==+++→→=.4222lim 41lim4222+=-+=--+++→→a xa x aexax x eaxx axx令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a .当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由tet ttedt dy tln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=，得,)ln 21(24ln 212t e t t etdtdx dt dy dxdy +=+==所以dtdx dxdy dtd dxy d 1)(22==ttt e412)ln 21(122⋅⋅+-⋅=.)ln 21(422t t e+-当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edxy d t x五 、（本题满分9分） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xex⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant.【详解】 设t x tan =，则dx x xex⎰+232arctan )1(=tdt t t e t2232sec )tan1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰--=tdt e t e t e t t t sin sin cos ⎰-+-， 故.)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e tt+-=⎰因此dx x xex⎰+232arctan )1(=C xxx ex++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xex x++-【评注】本题也可用分布积分法：dx x xex⎰+232arctan )1(=xdexx arctan 21⎰+=dx x exxexx⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=xxdexxxearctan 22arctan 111⎰+-+=dx x xexex xexxx⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得dx x xex⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xex x++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x.六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dydx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.【分析】 将dydx 转化为dxdy 比较简单，dydx =y dxdy '=11，关键是应注意：)(22dydx dyd dyx d ==dydx y dxd ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-.然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dydx '=1，于是有)(22dydx dyd dyx d ==dydx y dxd ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-.代入原微分方程得.s i n x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21x x e C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y s i n c o s *+=， 代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是.s i n 2121*x eC e C y Y y xx-+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.s i n 21x ee y xx--=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4，则有 .)1(l n 4)(3xx x x +-='ϕ 4-k不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. O 1 x当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k -=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln[ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln[ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ，故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 )(1x X y y Y -'-=-，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=，故Q 点的坐标为).,0(y x y '+由题设知0)(21='++y x y y ，即 .02=+xdx ydy积分得 C y x =+222 (C 为任意常数).由2122==x y知C=1，故曲线y=f(x)的方程为.1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为 .c o s 12c o s 1222dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,s i n 22,c o st y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=22222sin121cos 21sin ππ，令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=2222cos 121)(cos 121ππ=.4222l l =【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u yϕϕπ上式两边对y 求导，得 )()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'=解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2, 故所求曲线方程为.26yex π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f ab ba=-⎰；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f aa b f .)(2))((22ξξη【分析】 (1) 由ax a x f ax --+→)2(lim存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f ax --+→)2(lim存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f ax 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=> (2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x xa baaadt t f x dtt f dt t f ab a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即)(2)(22ξξf dxx f ab ba=-⎰.(3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dxx f ab ba-'=-⎰ξηξ，即有 ⎰-=-'badx x f aa b f .)(2))((22ξξη【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论： ⎰-=-'badx x f aa b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dxx f ab ba-'=-⎰ξηξ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ） ))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ， 可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分） 若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=6028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(6280222---=------=-λλλλλλaA E=)2()6(2+-λλ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-000001200480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ当23-=λ时， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--00100012800480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a cc bb a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b aca cbc b aA 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a baca c bcb a A ---++++=---= =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cbb a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中.323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b aca c bc b aA 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a baca c bcb aA ---++++-== =])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cbb a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
陕西师范大学考研试题2003年现当代复试
anziyi 出品陕西师范大学
二○○○○三三年招收攻读硕士学位研究生入学考试年招收攻读硕士学位研究生入学考试复试复试复试试题
试题适用专业名称：
中国现当代文学考试科目名称：
现当代文学
注意事项：1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。
2、除答题纸上规定的位置外，不得在卷面上出现姓名、考生编号或其
它标志，否则按违纪处理。
3、本试题共1页，满分150分，考试时间180分钟。
一、回答下列著作的作者并做简要解释（40分）
1.《宋元戏曲考》
2.《饮冰室诗话》
3.《中国新文学史稿》
4.《1844年哲学经济学手稿》
5.《知识考古学》
6.“新批评”
二、分析论述臧克家的作品《老马》（15分）
总得叫大车装个够，它横竖不说一句话，
背上的压力往肉里扣，它把头沉重地垂下！
这刻不知道下刻的命，它有泪只往心里咽，
眼里飘来一道鞭影，它抬起头望望前面。
1932.4
三、从现当代文学史中选择你熟悉的两位作家，就他们的文学创作及各自的艺术特点，进行比较分析和论述（15分）
四、简述17年小说题材的状况并试析其原因（15分）。
五、试评新时期以来的主要“诗潮”（15分）。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案详解
2003年考研数学四真题及评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= 2e .【分析】 本题属∞1型未定式，化为指数函数求极限即可.【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00e eex x x x x x ==+++→→【评注】 对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可直接用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算，因此本题也可这样求解：xx x 2)]1ln(1[lim ++→=.2)1ln(2lim 0e ex xx =+⋅→（2）dx ex x x⎰--+11)(= )21(21--e .【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有.011=⎰--dx xex【详解】dx ex x x⎰--+11)(=dx xedx ex xx⎰⎰----+1111=dx ex x--⎰11=⎰⎰---=11022xxxdedx xe=][2110dx e xex x⎰----=)21(21--e .【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(--E A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 .【分析】 应先化简，从AB=2A+B 中确定1)(--E A . 【详解】 由AB=2A+B, 知AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=---， E E B E A 2)2)((=--， E E B E A =-⋅-)2(21)(， 可见 1)(--E A =)2(21E B -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E ，写成逆矩阵的定义形式，从而确定(A-E) 的逆矩阵.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T aa E αααααααα⋅-+-11=T T T Ta a E αααααααα)(11-+- =TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += 6 .【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可.【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=⨯⨯+=⋅⋅DY DX XY ρ【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X Cov XY E ⋅+=),()(.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ D ] 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 21=-∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ A ] 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅--=--++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim311ϕϕ-=⋅---=----→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔-=ϕϕϕ 故应选(A). 【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数)()(0x x x x g ϕ-=在点0x x =处可导的充要条件是.0)(0=x ϕ（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ C ]【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--，可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).【评注】 若B A ~，则)(~)(B f A f ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质.（5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. [ B ]【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).【评注】 当P(A)0≠,P(B)0≠时，若A,B 相互独立，则一定有0)()()(≠=B P A P AB P ，从而有φ≠AB . 可见，当A,B 相互独立时，往往A,B 并不是互斥的.（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ C ] 【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(X,Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).【评注】 ① 若X 与Y 均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布. ② 若X 与Y 均服从正态分布且相互独立，则bY aX +服从一维正态分布. ③ 若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立⇔X 与Y 不相关.三 、（本题满分8分） 设],21,0(,)1(11sin 1)(∈---=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0-+→= -220sin lim 1ππππx xx x -++→ = -xxx 202cos lim 1πππππ-++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+= -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(-=f ，使f(x)在]21,0[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.完全类似例题在一般教科书上都可找到.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂，.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x eI Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x eeI Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 t d te A t s i n 0⎰-=π，则 t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【分析】 先由f(t)的导数为零确定驻点t(a)，它是关于a 的函数，再把此函数对a 求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可.【详解】 由0ln )(=-='a a a t f t ，得唯一驻点 .ln ln ln 1)(aaa t -= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(-=在a>1时的最小值. 令 0)(l n ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=--=--='a a a a aa a a t ， 得唯一驻点 .ee a =当e e a >时，0)(>'a t ；当ee a <时，0)(<'a t ，因此ee t e11)(-=为极小值，从而是最小值.【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式. 【分析】 梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x . 两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =-'++ 当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f -=-' 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y]1[)(121C dx e xx ex f dx x dxx+⎰-⎰=---⎰ =]1[ln 2ln C dx e xx ex x+--⎰ =)1(22C dx xx x +-⎰ O C B x =.12Cx x ++当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以.)1(21)(22-=-+=x x x x f【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方法.八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【分析】 在时刻t 的剩余量y(t)可用总量A 减去销量x(t)得到; 由于y(t)随时间连续变化，因此在时间段[0,T] 上的平均剩余量，即函数平均值可用积分⎰Tdt t y T0)(1表示. 【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y -==kt A -， ].,0[T t ∈ 由kt A -=0，得TA k =， 因此,)(t TAA t y -= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为⎰=Tdt t y T y 0)(1=⎰-T dt t T AA T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A 【评注】 函数f(x)在[a,b] 上的平均值记为⎰-ba dx x f ab .)(1 本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学一、二明确提出要求，而数学三、四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑.九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量1β是否可由321,,ααα线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（1321,,βααα）为阶梯形讨论，而一组向量321,,βββ是否可由321,,ααα线性表示，则可结合起来对矩阵（321321,,,,βββααα）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-463232112110221111a a a a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--→111100112110111201a a a a .(1) 当1-≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→202000112110111201 . 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.【评注1】 涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,,321+=a ααα，06,,321≠=βββ，可见(1) 当1-≠a 时，秩3),,(),,(321321==βββαααr r ，因此三维列向量组321,,ααα与321,,βββ等价，即向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，，秩2),,(321=αααr ，而行列式04,,132≠=βαα，可见2),,(321=αααr ≠r （),,,1321βααα=3, 因此线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 即向量组（I ）与（II ）不等价.【评注2】 向量组（I ）与（II ）等价，相当于321,,ααα与321,,βββ均为整个向量组321321,,,,,βββααα的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组321321,,,,,βββααα的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论. 十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：λαα=*A ，又与伴随矩阵*A 相关的问题，应利用E A AA =*进行化简.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且λαα=*A . 两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ，由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b )3()2()1(由式(1),(2)解得1=b或2-=b ;由式(1),(3)解得a=2. 由于42311121112=-==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bbA +=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ； 当2-=b 时，.4=λ【评注】 本题若先求出*A ，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂. 一般来说，见到*A ,首先应想到利用公式E A AA =*进行化简.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x = k1β + k2 (α + β ) 且 k1 + k2 = 1 。
四（20 分）设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性相关，向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 证明： （1） α1, 能由 α 2 , α 3 线性表示。 （2） α 4 不能由 α1,α 2 , α 3 线性表示。 五 （16 分） 对于行列式为零的 n 阶矩阵 A ， 证明： 存在非零的 n 阶矩阵 B ， 使得 AB = CA = 0 。 六（20 分）设 α = ( x1 , x2 , , xn ), β = ( y1 , y2 , yn ) 为实数空间 R 中的任意两个向量，
n
A = (aij ) 为 n 阶矩阵。证明： R n 对于内积 (α , β ) = α Aβ '
做成欧氏空间的充分且必要条件是 A 是正定矩阵。 七（20 分）证明：多项式 g ( x ) = 1 + x + x 2 + + x 2 n 能整除 f ( x ) = 1 + x1 + x 3 + + x 4 n 的 充分且必要条件是 n 为偶数。 八（20 分）设 A 为 n 阶实对称矩阵， B 为 n 阶实矩阵。证明：如果 AB + BA 的特征值全
Tianshui1001
陕西师范大学 2003 年研究生入学考试高等代数试题
一 （18 分）设
12 30 n A= ,求 A 。 5 13
二 （16 分）计算行列式
1 a D= 2 a a4
1 b b2 b4
1 c c2 c4
1 d 。 d2 d4
三（20 分）设 A 是秩为 n 1 的 m × n 矩阵， β 是非齐次线性方程组 Ax = b 的特解，α 是对 应齐次线性方程组 Ax = 0 的一个非零解。证明： （1） β 与 α + β 是 Ax = b 的线性无关的解向量。 （2） Ax = b 的解都可以表示为