第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理
金融工程无套利均衡分析方法课件
❖ 对于企业的非金融性资产而言, 由于资产组 合到一起会产生组合效应, 所以对于投资项 目的评估要求净现值大于零。企业的价值是 用其负债和权益的市场价值来度量。
❖ 企业的价值减去其各项资产的市场价值的加 总后的差, 就是企业的资产组合起来所创造 的净现值。
举例说明市场完全性
❖ 某位职员在工作状态下有一份特定数目的收 入,但他面临未来失业的可能性,而失业则意 味着完全没有收入.显然这个职员未来面临着 两种可能性:工作或失业.
❖ 考虑到失业产生的痛苦,该职员宁愿降低工作 状态下的消费量,将一部分收入转移至失业状 态.
❖ 如果存在保险公司提供失业保险服务,那么, 职员就可以购买保险契约,将工作状态下的部 分收入(保险费)转换为失业状态下可供消费 的资源(保险赔偿)
无套利的价格是什么:
❖ 无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样 一种境地: 他通过套利形成的财富的现金价 值，与他没有进行套利活动时形成的财富的 现金价值完全相等，即套利不能影响他的期 初和期末的现金流量状况 。
套利及无套利定价的思想
❖ 在现代金融学中, 无套利均衡分析方法最早 体现在莫迪格里亚尼和米勒研究资本结构和 企业价值之间的关系的重要成果（MM理论） 中。
❖ 如果市场是有效率的话, 市场价格必然由于 套利行为作出相应的调整, 重新回到均衡的 状态。这就是无套利的定价原则。
❖ 根据这个原则, 在有效的金融市场上, 任何 一项金融资产的定价, 应当使得利用该项金 融资产进行套利的机会不复存在。
套利及无套利定价的思想
❖ 换言之, 如果某项金融资产的定价不合理, 市场必然出现以该项资产进行套利活动的机 会, 人们的套利活动会促使资产的价格趋向 合理, 并最终使套利机会消失。
【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理
【干货】关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理我很早就觊觎股市期市和汇市了，但是自己手里一直没有钱。
到了澳大利亚后有了奖学金，于是终于可以自己自由的玩这个东西了。
我选择了外汇保证金。
本来这个东西，打算在赚到钱之前不写什么东西的。
但是近的一系列醍醐灌顶的感觉让我觉得还是有必要记录一下最近的心理活动。
去年7月份入市以来，现在已经半年过去了，我总共亏损了2000美元。
不过相对于我得到的东西，我觉得这已经是相当值得的一个投入产出比了。
这半年来，我一直采用迷你帐户操作，爆仓四次。
在这个过程中，我经历了各种剧烈的心理变动，贪婪，恐惧，不确定。
自己的人性的各种丑陋的一面被暴露的淋漓尽致。
我同时也成了一个疯狂的技术研究者。
我疯狂的搜集各种资料，研究各种交易系统，指标，等等等等。
我先后尝试了均线，RSI，woodies CCI系统，KDJ和布林线相结合的短线抓震荡的系统，日本蜡烛图技术。
等等等等，也自己尝试写了很多自动交易程序，测试各种策略。
也求助过各种付费服务。
当然，结果，就像各个汇市老手所说的一样，必然是亏钱。
在交易了四五个月之后，我开始逐渐的真正开始理解“资金管理”的含义。
以前我一直用mini帐户，等于是毫无资金管理可言，而且我所做的事情，正象很多汇市老手描述的一样：“我认为我比别人聪明，因此我听不进老手的建议，我觉得我能找到一套完美的系统，然后使用他盈利，因此我使用极高的杠杆，过度交易，别人说我疯了，但是我自己一点也不这样认为，因为我觉得我比别人聪明”。
于是，我一点也没能逃过预言，越来越大的亏损接踵而至。
前几个星期里，我经历了第四次250美元涨到1200美元，然后直接亏到0。
四次了。
长期的亏损让我已经对亏钱麻木，心理承受能力也大大的增强了。
我开始反思自己的做法。
当我意识到我永远不可能寻找到一种完美的方法来预测市场的时候，“资金管理”的概念便开始真正的被我开始理解了。
于是我开始疯狂的搜索根资金管理和交易哲学的有关的东西。
无套利均衡原理-概念术语
第七章无套利均衡原理
绝对定价法
就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。
相对定价法
基本思想就是利用标的资产价格与衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生品价格。
套利
是在某项金融资产的交易过程中，利用一个或多个市场存在的价格差异，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。
卖空
指交易者能够先卖出当时不属于自己的资产（俗称做空头），待以后资产价格下跌后再以低价买回，即所谓“先卖后买”。
复制技术的要点
是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。
复制技术定价的原则
构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。
无套利的定价原则
在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。
无套利价格
在市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。
一价法则
金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格。
无套利定价原理总结
摩擦成本与无套利定价的挑战
要点一
摩擦成本
要点二
挑战
在实际操作中，套利策略往往面临摩擦成本，如交易 费用、融资成本、税收等。这些成本会侵蚀套利利润 ，甚至使一些看似有吸引力的套利机会变得不经济。
摩擦成本的存在使得无套利定价原理在实际应用中受 到限制。套利者需要综合考虑成本因素，以确定是否 值得进行套利操作。此外，市场的不完美性和非有效 性也可能导致套利策略的难度增加。
无套利定价与金融市场效率
提高市场效率
无套利定价原理促进了市场价格发现的功能，使资产价格更趋近于 其真实价值，从而提高金融市场的效率。
增强市场流动性
套利行为的存在会增加市场的交易量，从而增强市场的流动性。
降低市场风险
通过消除套利机会，无套利定价有助于降低市场的系统性风险，维 护金融市场的稳定。
02
无套利定价的数学基础
概率论与数理统计
基础概念
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，数理统计则是基于数据进行推断的学科，两者提供数学基础和分析 工具。
在无套利定价中
用于描述和理解金融市场的随机性和不确定性，构建概率模型来刻画资产价格的动态变化。
随机过程与伊藤引理
基础概念
随机过程是一系列随机变量的集合，伊藤引理是描述随机过程函数性质的重要定理。
通过大量模拟，计算期权预期 收益的统计特征，并根据无风 险利率进行贴现，从而得到期 权的无套利价格。
04
无套利定价原理的实证研究与挑战
实证研究方法与结果
方法
在实证研究中，通常使用历史数据来检验无 套利定价原理的有效性。研究者会收集资产 价格、收益率等数据，并运用统计方法和计 量经济学模型进行分析。
无套利均衡定价法名词解释
无套利均衡定价法1. 概述无套利均衡定价法（Arbitrage-free pricing）是金融学领域中一种重要的定价方法，用于确定金融资产的合理价格。
该方法的核心思想是通过排除套利机会来确定资产价格，以保证市场的有效性和公平性。
在金融市场中，套利是指通过买入低价资产并卖出高价资产来获取风险无关的利润。
无套利原理认为，在一个没有交易成本和信息不对称的完美市场中，不存在可以同时获得正收益且没有风险的投资机会。
因此，通过应用无套利原理，可以确定金融资产的公平价格。
2. 基本原理2.1 无套利条件在进行无套利定价时，需要满足以下几个基本条件：•市场完全竞争：市场上有足够多的买家和卖家，并且不存在垄断力量。
•无交易成本：买卖双方可以自由地进行交易，并且交易过程中不会产生额外费用。
•没有限制：没有任何法律或制度上的限制限制交易活动。
•无信息不对称：市场上的所有参与者都拥有相同的信息，并且可以自由获取和利用这些信息。
2.2 无套利定价方法无套利定价方法可以分为两类：静态定价方法和动态定价方法。
2.2.1 静态定价方法静态定价方法是指在某一时刻，通过考虑市场上所有相关资产的价格和现金流量，来确定特定资产的价格。
常用的静态定价方法包括：•均值方差法（Mean-Variance approach）：基于投资者对风险和回报之间的权衡关系，通过计算资产组合的期望收益率和方差来确定资产价格。
•CAPM模型（Capital Asset Pricing Model）：基于风险与回报之间存在正相关关系的假设，使用市场风险溢酬率来确定资产价格。
•市场多空组合法（Market-neutral portfolio approach）：通过构建多空组合，使得该组合在市场波动下保持稳定收益，并通过收益率计算出资产价格。
2.2.2 动态定价方法动态定价方法是指通过考虑未来市场条件和预期变化，来确定特定资产的价格。
常用的动态定价方法包括：•期权估值模型（Option pricing model）：通过考虑未来的风险和回报，来确定期权的价格。
简析等价鞅测度及其应用
式 5;05"IJC)
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个特征阐明了在不丧失一般性条件下! 为什么可将人们的注意力限定在隐含锥 空间 % 的特殊概率测度类型上 $ 重要的 是 要 指 出 ) 鞅 概 率 测 度 (: 不 是 为 了 将 股 票价格实际波动观测值模型化而外生引 入的 $ 相反的是 ! 它应该被看作是衍生证 券套利估价中非常有用的技术工具 $ 评价 ! 鞅测度 & 或风险中性概率 ’ 概 念本质上取决于基数资产的选择 $ 可以 确 认 相 对 股 票 价 格 ?:0? > 5 的 唯 一 鞅 测 度为 C 类 的 唯 一 因 子 ( ! 且 ( 与 C 的 以 下值一致 )C0C0) 3 % 3 + 79 $
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-王 俊
罗 猛
自从 !" 世纪 #" 年代后数理分析工 具广泛应用于金融分析领域 ! 其中最为 知名的当属 $%$ 定 理 "&’$( 以 及 无 套 利 )’(*+ 定 理 和 鞅 等 价 定 理 等 # 在 这 当 中 ! 鞅等价定理直至目前仍然是金融分 析中的前沿课题 $ 并且 ! 等价鞅测度定理 还是人们在分析金融产品定价 % 消除金 融投机套利机会 " 降低金融产品投资风 险的主要工具 $ 等价鞅测度定理在金融 市场分析中的很多领域都可以得到应 用 $ 剖析等价鞅测度定理及其应用无疑 对掌握金融产品定价方法 " 优化金融产 品投资组合 " 降低金融产品投资风险将 有所裨益 $ 一 ! 鞅的定义及含义 一个关于 ,!-.-"" 适应的过程 /0)/-+-"" 称 为 一 个 & 关 于 ,!-.-"" 的 ’ 鞅 ! 如 每 个 /可 积 ! 且 /-01)/-23 4 !-+ !-0"!3 ### &3 ’ 称 为 一 个 上 鞅 ! 如 式 &3 ’ 换 为 /-$1)/-23 4 量族 !3! ( ( (!!* 生成而致 ! 从 而 更 精 确 而 言 !B; 0B &!"!!3!( ( (!!;’! &; )* ! 等 式 中
第七章 利率期限结构
1 R t,T ln Et e t T t
T
r s ds
可见，只要给定瞬时利率在 时刻的初始值及其动态过程，我们就可以推知 时刻的任意期 限的即期利率（或者说可以推知 时刻的利率期限结构）及其动态的时变特征，从而可以推 出利率产品的价格。 与瞬时利率相近的一个概念是瞬时远期利率 （ 表示， 指的是在 时刻， 从未来某一时刻 也可以表示为瞬时远期利率的函数， ） ， 我们用
其中
t ~ N 0,1 ，也就是说，每个瞬间的 t 都是服从标准正态分布的一个随机值；
， dz t 的值相互独立，也就是说，遵循标准布朗运
同时，对于任何两个不同的时间间隔 动的变量具有独立增量的性质。 只要 r
r t , t 和 r t , t 已知， t 是标准正态分布中的一个随机值，运用式
的某个函数，
r t , t r t ，其中 与 为常数。在实际应用时，还需要估计出合理的
参数值，例如 与 的具体数值。这些都将在后面几节加以介绍。 （三）动态利率模型的分析框架 在构建瞬时利率或瞬时远期利率的动态模型之后，如何由此推断整条利率曲线的动态 模型， 并为复杂的利率产品定价呢？我们仍然以瞬时利率为例， 概述动态利率模型分析的基 本框架。 由于零息债价格
根据数学家 是瞬时利率 r t 的函数， 且 dz t 为标准布朗运动时，
提出的伊藤引理 （
） ，当 r t 服从式
将服从
dB B (r , t , T )dt B (r , t , T )dz t B
其中，
B (r , t , T ) B (r , t , T )
《无套利定价原则》课件
无套利定价原则是现代金融学的核心原则之一，它基于市场 有效性假设，认为市场价格反映了所有可获得的信息，因此 任何投资者都无法通过买卖资产获取超额收益。
无套利定价原则的重要性
市场有效性
无套利定价原则是市场有效性的 重要体现，它保证了市场价格的 公正性和合理性，避免了市场操
纵和过度投机。
资源配置
无套利定价原则有助于实现资源的 有效配置，使得资金流向更有价值 的领域，提高了市场的整体效率。
无套利定价的核心在于确保市 场价格与成本之间的合理关系 ，以防止套利行为的发生。
数学模型
数学模型用于描述无套利定价的 原理，通过建立数学方程来表达
市场价格与成本之间的关系。
常见的数学模型包括随机过程模 型、期权定价模型等，这些模型 为无套利定价提供了理论基础和
计算方法。
数学模型的应用有助于精确地预 测市场价格，并为企业决策提供
后等。
模型精度问题
无套利定价原则的精度受到多种 因素的影响，如数据质量、模型 参数设定等，需要进一步提高模
型的预测精度。
风险控制不足
在无套利定价原则的实际应用中 ，风险控制是一个重要的问题， 需要建立完善的风险管理体系，
以降低市场风险。
解决方案与建议
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加强数据管理
通过加强数据管理，提高 数据的质量和获取效率， 为无套利定价原则的应用 提供更好的数据支持。
详细描述
金融机构可以利用无套利定价原则对 各种金融产品进行合理定价，并根据 市场情况及时调整风险敞口。这有助 于降低潜在的损失，提高金融机构的 风险管理能力。
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无套利定市场环境变化
随着市场环境的变化，无套利定 价原则的应用面临诸多挑战，如 数据获取难度加大、模型更新滞
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第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件：（1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。
（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{012、等价鞅测度的定义随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件：（1）S （t ）在t φ信息结构下已知。
（2）+∞<|)(|t S E（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。
即∑===k i t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。
则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。
根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。
为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。
假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。
若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。
这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。
实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定：100*)]1(90*110[5.01.0=-+⨯-P P eP*=0.7564根据风险中性定价原理，我们就可以算出该期权的价值：5975.3)2436.007564.05(5.01.0=⨯+⨯=⨯-e f二、从实例考察等价鞅测度的存在性和唯一性参阅《金融工程原理》P,108-P112例1. 通过等价鞅概率求期望值（1）先求各状态下该奇异期权的价值奇异期权：合约结构不标准而且很复杂，而不是说很罕见、很少交易或高风险的期权。
可分为三种类型：合同条件变更型期权（改变期权的某些条件）、路径依赖型期权（最终结算根据基础资产价格在一段时间内的变化路径来决定）、多因素期权（最终结算根据两种或两种以上基础资产的价格来决定）。
[](){}1212max 2(2)(2)142min (),(),0x s s s t s t =+-+⎡⎤⎣⎦所以1()max{[2149142min(10,11,14,10,9,9)],0}x ω=⨯+--=28+9-14-18=5同理可求得92,1),(1 =i x ω，如以下图示：（2）求出所有的等价鞅测度由等价鞅测度的条件3可知：)(}/)({*s s t S S E ξξ=Φ所以：10)0()/)1((*101==ΦS S E 10)0()/)1((*202==ΦS S E 如果记)/(*01Φ=B P p )/(*02Φ=B P q则一定有1-p-q=)/(*03ΦB P由上两式可知：⎩⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 解此方程组可得唯一解：p=q=1/3同理可求得：)/(*1j B P ω i=1,2,…9 j=1,2,3因为所有解都可求出，而且是唯一的，所以由无套利均衡第二基本定理可知该模型是有生存性的，所有的衍生证券均可通过无套利均衡来定价。
（3）求奇异买权的价格∑====∏912167.1)(*)()(*ˆi i i P x x E ωω 例2. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：10)0()/)1((*101==ΦS S E记)/(*01Φ=B P p 则1-p 20*(/)P B =Φ可得方程组：⎩⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 即⎩⎨⎧==1223p p 所以此方程组无解，故不存在等价鞅测度，该模型无生存性，不是一个均衡模型。
例3. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：10)0()/)1((*101==ΦS S E记)/(*01Φ=B P p q )/(*02Φ=B P则一定有1-p-q=)/(*03Φ=B P11p+10q+8(1-p-q)=10即3p+2q=2显然，上面这个方程有无数组解。
同理，由11)1()/)2((*111==S B S E 也可以解得无数个解，所以等价鞅测度有无数个，从而该模型有生存性，但是并非所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。
因为衍生证券的价格x 要保证为一个常数才有意义，所以应该有一定的限制条件。
我们虽然得不到唯一的等价鞅测度，但由等价鞅测度的条件3我们可以得到以下关系式：10201121425273833*(/)2*(/)22*(/)2*(/)12*(/)2*(/)13*(/)2*(/)2P B P B P B P B P B P B P B P B ωωωωωωΦ+Φ=⎧⎪-=-⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩ （*） 我们需要保证：∑==91)(*)()(*i i i P x x E ωω是一个常数.)/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(**)()/(*)/(*)()(*033990338803377022660225502244011330112201111Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P P x B P B P x x E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω（书上的表达方式不太准确）由上式和方程组（*）经过推导可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=---+-----+---=---=---=--23)()]()(3/2)([)]()([2/1)()]()(3/2)([)]()([212/3)]()(/[)]()([1)]()(/[)]()([1)]()(/[)]()([997664997331989765643231ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (**) （**）方程组就是使我们寻找的限制条件，在这一条件下E *（x ）在任何等价鞅测度下都为一常数。
由方程组（*）可求得两个等价鞅测度P*和Q*（书111页），从而算得 ∑∑=====9191)(*)()(*)(*)()(*i i i i i i Q x x E P x x E ωωωω总结：（1）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数大于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中一定存在套利机会。
（如例2）（2）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数等于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价，或者说，对每种衍生证券来说，市场都是完全的。
（如例1）（3）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数小于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场并非所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。
市场只对其期末价值满足一定比例关系式的衍生证券才是完全的。
（如例3）（**）三、用鞅方法推导B ～S 模型（1）鞅：对于{X t t ≤T}，EX T =X t 称X t 是鞅。
（2）资产S ，服从几何布朗运动： dz dt s dsσμ+=在风险中性世界，且无“股利”支付时： dz rdt s dsσ+=解上面方程得：)())(22(t Z t Zt T r e S S t T -+--=σσ （上式积分求解）∵ES T =S t e r(T-t)(上式两边求期望) ∴{S t , t ≤T}本身不是鞅但折现之后就变为鞅，即e -r(T-t)S t 是鞅。
因为： e -r(T-t) ES t = S t e r(T-t)e -r(T-t)Ee -r(T-t)S T =S t（3）下面用期望折现，即鞅方法定价，（为期权定价）根据欧式期权定义：C T =max(S T -x ，0),因为e -r(T-t)S T 是鞅，所以e -r(T-t)C T 也是鞅，则Ee -r(T-t)C T =C t C t =e -r(T-t)EC T∴+-----=-=)(}0),{max()()(x S E e x S E e C T t T r T t T r t =+------)[()())(2()(2X e e S E e t T Z Zt T r t t T r σσ =⎰⎰⋅-∞+∞--+-----t T t T Z Z Z Z t T r t t T r dx x X e e S e )()()())(2()(2σσ 令t T Z Z y tT --=则y ～N （0，1）∴上式 =dy e X e S e e y yt T t t T r t T r 2))(2()(2221)(-+⨯-∞+∞------⎰πσσ求临界值y i ，即等于0时的y 值 由X e e S y t T t T r t =⨯---σσ))(2(2解出12))(2(lny t T t T r S X y =----=σσ 故dy e e e S e C y y y t T t T r t t T r t 2))(2()(21221-∞+⨯-----⎰=πσσdy e X e S y y t T r t 2)(2121-∞+--⎰-π(进行配方))](1[211)(22)(2122y N Xe dy e e S t t r y yt Ty t T t --⎰=--∞+⨯-----σσπ )](1[211)(2)()(2)(212222y N Xe dy e e S t T r y t T t T y t T y t T t --=--∞+---+-----⎰σσσσπ )](1[211)()(21)(21)(21222y N Xe dy e e e S t t r y t T y t T t T t --=--∞+------⎰σσσπ(令m=t T y --σ))](1[1)(2)(21)(21222y N e X dm e e e S t T r t T y m t T t T t --=--∞+------⎰σσσ∴ =)()(2)(1d N Xe d N S t T r t --- 其中：t T t T r S X t T y d -----=---=σσσ)])(2([ln )(211+t T t T r X S t T --++=-σσσ))(2(ln 212d d =-t T -σ。