鞅与等价鞅测度
[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第27章 鞅与测度
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2 f2 f1 1 f1 f2 （27-4）
和
2 f2f1 1 f1f2
将式（27-2）和式（27-3）代入
1 2 f1 f2 21 f1 f2 t （27-5）
由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取 无风险利率。因此， r t 将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得
df rfdt fdz
即为传统风险中性世界（traditional risk． neutral world）。
由式（27-9）可以得出
r
于是
df r fdt fdz （27-10）
一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于 这个变量的证券的增长率。当从一个风险市场价 格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值会 改变，但它的波动率却不会改变。
r
（27-9）
注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ
风险。 右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格; 左边,衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部 分，即风险的补偿。
【例27-1】考虑这样一个衍生产品，它的价
格和原油价格之间有正的相关性，而且不依赖别 的随机变量。假设它提供12％的年预期收益率与 20％的年波动率，如果无风险利率为每年8％ 原油的风险市场价格是
0.12 0.08 0.2 0.2
注意：原油是消费资产而不是投资资产，因
而不能在式（27-8）中让μ等于在原油上投资的
收益率期望，σ要等于原油价格的波动率。
【例27-2】考虑两个证券，它们都与90天的
利率有正的相关性。假如第一个证券的收益率期 望是每年3％，而波动率是每年20％。第二个证券 的波动率是每年30％。假设瞬时无风险利率是每 年6％。利用第一个证券的收益率期望与波动率可 以计算风险市场价格为
金融衍生数学PPT课件
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与Girsanov定理有关的讨论
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2. 前面的例子中，μ与时间独立，而这里的Xt 则依赖于某个随机变量（只要这个随机数量在 t时刻是已知的）。这就是使Xt成为It适应的原 因。因此，我们可以对漂移项进行更为复杂的 变换。
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产生等价概率的方法
与Girsanov定理所见到的一样，我们可以用一 种有趣的方法来由鞅产生概率。
例如，假设随机过程Zt只能取非负值，假设所 选择的随机过程Z具有如下性质：
在概率P下对所有的t有：
EP[Zt]=1
0≤Zt
我们将说明这样的Z对产生新概率非常有用。
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作为“测度”的概率
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ห้องสมุดไป่ตู้ •
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-5
0
z
10
以μ=-5为中心的密度函数可以变换成另外 一种概率密度，密度的中心变为了 μ=0 第二种方法是改变分布的形状，一种方法 是增加或减少分布的方差，对原始随机变 量进行尺度变换。下图对这种情形进行了 说明。随机变量zt的方差由4变为了1.
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esscher鞅测度 -回复
esscher鞅测度-回复关于esscher鞅测度的介绍和应用。
鞅理论是概率论和随机过程领域中的一个重要分支，在金融衍生品定价和风险管理等领域有广泛应用。
而esscher鞅测度是鞅理论中的一个特殊类型，本文将从介绍鞅的基本概念开始，逐步讲解esscher鞅测度的定义和性质，并探讨其在金融领域中的应用。
鞅（martingale）是概率论中一组随机变量的序列，满足一个重要的条件——在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前值。
鞅的概念首先由法国数学家保罗·莱维（Paul Lévy）在20世纪初提出，并在之后由一系列数学家进一步发展完善。
为了更好地理解鞅的定义和性质，我们以一个股票价格模型为例。
假设现在有一只股票价格为S_t，在t时刻进行观察，我们希望根据已有的信息预测其在未来时刻的价格。
如果该股票价格满足鞅的条件，即E[S_{t+1} S_0,S_1,...,S_t]=S_t，则我们可以说该价格是一个鞅。
这个条件实际上是指在给定过去的所有价格信息后，未来价格的预期值等于当前价格。
在金融领域中，我们经常考虑随机过程的贴现因子。
贴现因子是用于将未来的现金流折算到当前时刻的一个经济量。
常见的贴现因子有风险中性测度，它是在这个测度下股票价格是鞅。
不过，在实际应用中，风险中性测度往往难以计算或者不一定存在，这时esscher鞅测度就成为一个很有用的工具。
esscher鞅测度是一种基于鞅的概率测度，其定义是对鞅的原始测度进行调整，使得股票价格在新测度下依然成为鞅。
具体来说，对于每个时刻t，esscher鞅测度的调整是通过乘以一个补偿项来实现的。
这个补偿项通常取为贴现因子的一个函数，其形式为exp(-λS_t)，其中λ是一个正的调整参数。
通过这样的调整，我们在新的测度下得到的股票价格序列依然满足鞅的条件。
esscher鞅测度的应用主要在金融衍生品定价和风险管理中。
在金融衍生品定价中，我们经常需要对未来现金流进行折现，而esscher鞅测度提供了一种对未来现金流进行折现的方法，从而可以确定一个较为合理的价格范围。
补充章 期权定价的鞅方法
• 一、鞅（martingale）与等价鞅测度 • 鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的 期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个 测度。等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转 化成鞅的测度。这一测度和原来随机过程伴随 的测度等价。转化成鞅后，可是直接采用求数 学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如 期权，而不用解偏微分方程了。
dS dt S rdt dz Q Q ur dz dt
• 显然，由于转换后的漂移项从风险u转换 成了无风险r,则 Q是风险中性下的概率测 Q dz 度， 则是风险中性下的布朗运动 • 3 风险中性下概率测度的转换 • 可以从2中风险中性下的Q测度转换成风 险中性下的另一概率测度。
令：dz Q dz R dt , 代入可得： dS R rdt dz dt S (r+ 2 )dt dz R
• 4 小结 • a、每个随机过程都对应着一个概率测度 ｂ、在概率测度转换过程时，各概率测度约束 下的随机变量期望值都相等。 • 三、Girsanov 定理 T 1 T 2 1 T 2 Q exp dz dt , 且 E exp( dt ) , t • 若 t t 0 0 2 2 0 • 则新测度R与原测度Q之间的对应关系为：
• 二、风险中性下的资产价格随机过程 • 1、在B-S模型中，资产价格服从Ito过程，即： dS dt dz P S
P dz • 此处， 代表在概率测度P下的布朗运动，P是
风险环境下的概率测度。 • 2、该过程可以转换为风险中性下的随机过程： • 令 dz P dz Q u r dt , 代入可得：
PR ( A) T dPQ
金融工程的期末练习题附参考答案
第二章一、判断题1、市场风险可以通过多样化来消除。
（F ）2、与n 个未来状态相对应，若市场存在n 个收益线性无关的资产，则市场具有完全性。
（T ）3、根据风险中性定价原理，某项资产当前时刻的价值等于根据其未来风险中性概率计算的期望值。
（F ）4、如果套利组合含有衍生产品，则组合中通常包含对应的基础资产。
（T ）5、在套期保值中，若保值工具与保值对象的价格负相关，则一般可利用相反的头寸进行套期保值。
（F ） 二、单选题下列哪项不属于未来确定现金流和未来浮动现金流之间的现金流交换？（ ） A 、利率互换 B 、股票 C 、远期 D 、期货2、关于套利组合的特征，下列说法错误的是（ ）。
A.套利组合中通常只包含风险资产B.套利组合中任何资产的购买都是通过其他资产的卖空来融资C.若套利组合含有衍生产品，则组合通常包含对应的基础资产 D ．套利组合是无风险的3、买入一单位远期，且买入一单位看跌期权（标的资产相同、到期日相同）等同于（ ） A 、卖出一单位看涨期权 B 、买入标的资产 C 、买入一单位看涨期权 D 、卖出标的资产4、假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
假设现在的无风险年利率等于10%，该股票3个月期的欧式看涨期权协议价格为10.5元。
则（ ）A. 一单位股票多头与4单位该看涨期权空头构成了无风险组合B. 一单位该看涨期权空头与0.25单位股票多头构成了无风险组合C. 当前市值为9的无风险证券多头和4单位该看涨期权多头复制了该股票多头 D ．以上说法都对 三、名词解释 1、套利 答：套利是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。
等价鞅测度 答：资产价格tS 是一个随机过程，假定资产价格的实际概率分布为P ，若存在另一种概率分布*P 使得以*P 计算的未来期望风险价格经无风险利率贴现后的价格序列是一个鞅，即()()rt r t t t t S e E S e ττ--++=，则称*P 为P 的等价鞅测度。
简析等价鞅测度及其应用
式 5;05"IJC)
+’ +!&;)* ’就等于 C $
6 : : 6 0 3
这
个特征阐明了在不丧失一般性条件下! 为什么可将人们的注意力限定在隐含锥 空间 % 的特殊概率测度类型上 $ 重要的 是 要 指 出 ) 鞅 概 率 测 度 (: 不 是 为 了 将 股 票价格实际波动观测值模型化而外生引 入的 $ 相反的是 ! 它应该被看作是衍生证 券套利估价中非常有用的技术工具 $ 评价 ! 鞅测度 & 或风险中性概率 ’ 概 念本质上取决于基数资产的选择 $ 可以 确 认 相 对 股 票 价 格 ?:0? > 5 的 唯 一 鞅 测 度为 C 类 的 唯 一 因 子 ( ! 且 ( 与 C 的 以 下值一致 )C0C0) 3 % 3 + 79 $
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!""# !" $ # $ %" %&& #&
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-王 俊
罗 猛
自从 !" 世纪 #" 年代后数理分析工 具广泛应用于金融分析领域 ! 其中最为 知名的当属 $%$ 定 理 "&’$( 以 及 无 套 利 )’(*+ 定 理 和 鞅 等 价 定 理 等 # 在 这 当 中 ! 鞅等价定理直至目前仍然是金融分 析中的前沿课题 $ 并且 ! 等价鞅测度定理 还是人们在分析金融产品定价 % 消除金 融投机套利机会 " 降低金融产品投资风 险的主要工具 $ 等价鞅测度定理在金融 市场分析中的很多领域都可以得到应 用 $ 剖析等价鞅测度定理及其应用无疑 对掌握金融产品定价方法 " 优化金融产 品投资组合 " 降低金融产品投资风险将 有所裨益 $ 一 ! 鞅的定义及含义 一个关于 ,!-.-"" 适应的过程 /0)/-+-"" 称 为 一 个 & 关 于 ,!-.-"" 的 ’ 鞅 ! 如 每 个 /可 积 ! 且 /-01)/-23 4 !-+ !-0"!3 ### &3 ’ 称 为 一 个 上 鞅 ! 如 式 &3 ’ 换 为 /-$1)/-23 4 量族 !3! ( ( (!!* 生成而致 ! 从 而 更 精 确 而 言 !B; 0B &!"!!3!( ( (!!;’! &; )* ! 等 式 中
高阶马氏过程影响下的金融模型的等价鞅测度
作者简介 ： 王丙均 （９ ２ ） 男 ， １８ 一 ， 江苏徐州人 。讲师 ， 硕士 ， 主要从事期权 定价方 面的研究。Ｅｍ ｉ ｗ ｊ ６ ６ ．Ｏ － ａ ：ｂ ８ ＠１３ ＣＢ。 ｌ ５
２
鲁 东 大学 学报 （ 自然科 学 版 ）
第２ ８卷
波动 率和 预期收 益率也 受 到高 阶的马尔 可夫链 的影 响． ＝ ｛ ｝ 是独 立 同分 布 的随机 变量序 列 ， 中 … 其
发生状态波动 ， 这种波动在金融建模 中常常用马尔可夫过程来刻画， 称之为状态转换． １ ］ 文［ —２ 通过对 美 国 、 国的利 率数 据研究 发现 ， 德 用状 态 换模 型来 描述利 率更 为符合 实 际 ， 于其他参 数也 是如 此． 对 近 年来 ， 人们 把注 意力放 在 了有状 态转换 的期 权定 价模 型 中来 Ｊ但 是大部 分模 型均假 设标 的 资产 价格 ．
…
，
｝ 的转移概率 Ｐ ｉ ｔ ） ． （ ｉ ， ）＝Ｐ 置＋ ． ＝ …Ｉ ｚ （ ［ ＝ １
…， ＝置 ，＋ 置一 ］ｉ１＝１２ …， ｆ ，，
＝
｛ ｝ 的初 始分 布为 Ｐ（…Ｉ（，） … ｉ ｆｚ ）＝７ Ｉ（，） ｉ ＝１２ … ， 关 于 ｚ 的时齐 马尔可 夫链 的更多 ｉ ｒ ｆｆ ， ｉ 川 ，， 阶 内容见 文 ［ ］ ８．
受 到连续 的马 尔可 夫过程 的影 响 ， 对离散 的情 形研 究较 少 ， 其对 于离散 情形 中用高 阶 马尔可 夫链来 而 尤 描 述参 数变化 的文 献更少 ， 目前 只有 文 ［ ］ 了一些 工作 ． ８ 做 本 文考虑 离散 时间 的期权定 价模 型 ， 其 中 的参 数 ， 且 如利率 、 预期 收益 率 、 动率均 受 到离散 的高 阶 波 马尔可夫 链 的影 响 ， 广 义 Ｇｒ ｎｖ原则 应用 到有 状态 转 换 的模 型 中 ， 造 了一个 等 价鞅 测 度 ， 此测 将 ｉａｏ ｓ 构 在 度 下 ， 需要 额外 的条件 就可使 贴 现 资产 价 格 过程 是鞅 ， 不 且说 明该测 度 和 文 ［ ］ ８ 中利 用 Ｅｓｈｒ 换方 ｓｃｅ 变 法 获得 的测度 是一致 的 ， 推广 了文 ［ ］ ９ 的结 论．
第六章 鞅方法定价(金融衍生品定价理论讲义)
第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。
在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。
接着，我们讨论一般结果。
我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。
在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。
在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。
这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。
无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。
作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>fr ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。
每期的无风险利率为r f 。
对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。
直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。
条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。
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8.2 鞅与等价鞅测度
布朗运动具有鞅性
资产价格序列
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☐在金融中，我们经常讨论的是价格
序列St 。
☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来
看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格
都是不确定的，将来可以大于当前
值，可以小于当前值，也可以等于
当前值。
☐资产价格随时间变化的关系S t 可以
被描述为一个随机过程。
理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程
资产价格序列
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☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。
若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。
☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。
鞅与等价鞅测度
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☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：
S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)
其中，E *是在P *世界里的期望。
☐等价化简得到
S t = e -r τE*t (S t+τ)
即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。
P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。
两个问题
☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？
✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。
☐ P*世界是哪个世界？
✓我们取P*为风险中性世界。
即所有投资者都是风险中性的。
也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望
收益相同的一场赌博带来的期望效用。
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谢 谢 聆 听！。