2020年广西南宁市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年广西南宁市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x≤0或x≥1}C. {x|x≤-3}D. {x|x＞-3}2.已知复数z1，z满足z1=-1-i，z1z=4，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. （2，-2）B. （-2，2）C. （2，2）D. （-2，-2）3.在等比数列{a n}中，若a2=2，a5=-54，则a1=（）A. B. C. D.4.已知α∈（-），tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=（）A. B. C. D.5.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. B. C. D.6.已知直线l：3x-4y-15＝0与圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2＝0(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为（）A. (x-1)2+(y-2)2＝36B. (x-1)2+(y-2)2＝25C. (x-1)2+(y-2)2＝16D. (x-1)2+(y-2)2＝497.已知P（，1），Q（，-1）分别是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ=（）A. B. C. D.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x=（）A.B.C.D.9.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种10.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 1011.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线y=k（x-）交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边△AFE的面积为36，则△BEF 的面积为（）A. 6B. 12C. 16D. 2412.已知函数（a∈R），若方程f（f（x））-2=0恰有5个不同的根，则a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （0，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若=+，则λ+μ=______．14.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n+2-a n+1=a n+1-a n，a1=2，a3=8，则S4=______．15.已知函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，g（x）=e bx+ax2+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线互相垂直，则a+b=______．16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求sin A；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长18.2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，(2000，4000]，(4000，6000]，(6000，8000]，(8000，10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB=PB，二面角A-BD=F的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.已知函数f（x）=ln x -ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2满足f（x1）=f（x2）=1．证明：x1+x2＞2e2．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos （θ+）+1=0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M，N，该两点与原点O构成△MON，且满足∠MON=，求△MON面积的最大值．23.己知函数f(x)＝|ax-1|-|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设，g(x)的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据题意，B={x|-7＜2+3x＜5}={x|-3＜x＜1}，则A∪B={x|x＞-3}；故∁U（A∪B）={x|x≤-3}；故选：C．根据题意，由并集的定义求出A∪B，进而由补集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：由z1=-1-i，z1z=4，得z=，∴．则复数在复平面内对应点的坐标为（-2，-2）．故选：D．把z1=-1-i代入z1z=4，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵在等比数列{a n}中，若a2=2，a5=-54，∴，解得a1=-，q=-3．故选：B．利用等比数列通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：解：由tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，且α∈（-），∴α∈（0，），联立，解得sinα=．故选：A．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．由题意平移AA1，则异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中可求．【解答】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，由可得四边形AEGA1为平行四边形，则EG∥AA1，因为AA1平面，则EG平面,又FG平面，所以，所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，由题意可得，，所以.故选：A．6.答案：B解析：【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．【解答】解：化圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2=0（r＞0）为（x-1）2+（y-2）2=r2，可得圆心坐标为（1，2），半径为r，由圆心（1，2）到直线l：3x-4y-15=0的距离d=，且|AB|=6，得r2=32+42=25．∴圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=25．故选：B．7.答案：C解析：【分析】本题重点考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．由题意可求T，利用周期公式可求ω，将点P（，1）代入，得：sin（3× +φ）=1，解得φ=kπ+ ，k∈Z，结合范围|φ|＜，可求φ的值，即可计算得解．【解答】解：∵函数过点P（，1），Q（，-1），∴由题意，得T=-，∴T==，∴ω=3，∴f（x）=sin（3x+φ），∴将点P（，1）代入，得：sin（3×+φ）=1，∴3×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴ωφ=3×=．故选：C．8.答案：C解析：【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．【解答】解：i=1时．x=2x-1，i=2时，x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3时，x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4时，退出循环，此时8x-7=x解得x=，故选：C．9.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、将5个班分为3组，若分为2、2、1的三组，有=15种分组方法；若分为3、1、1的三组，有=10种方法，则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应3个工厂，有=6种情况，则共有25×6=150种不同的分配方案．故选：C．根据题意，分2步分析：先将5个班分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组或3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的工厂，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案．本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列．10.答案：B解析：解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，又|OE|2+|AE|2=|OA|2，即32-2r2+2=16，则r2=9，r=3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选：B．根据题意得知两圆半径相等，并设两圆半径为r，利用勾股定理计算出OE、AE的长度，然后利用勾股定理列关于r的方程，可求出r的值，即可得出答案．本题考查与球的半径相关的计算，解决本题的关键在于一些几何关系的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．11.答案：B解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.通过三角形的面积求出p，然后联立直线与抛物线方程，转化求解A，B的横坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：因为△AFE是等边三角形，所以k=，△AFE的边长为：2p，由，解得p=6，抛物线方程为：y2=12x，联立，解得x2-10x+9=0，所以，x A=9，x B=1，所以|BF|=4，|AF|=12，故△BEF的面积为：=12．故选B．12.答案：B解析：解：当x＞0时，，，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，当x≤0时，f（x）=ax+3的图象恒过点（0，3），当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）=3，当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）=3，作出大致图象如图所示．方程f（f（x））-2=0有5个不同的根，即方程f（f（x））=2有五个解，设t=f（x），则f（t）=2．结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）=2有三个根t1∈（-∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．（∵，∴1＜t3＜3），于是f（x）=t1有一个解，f（x）=t2有一个解，f（x）=t3有三个解，共有5个解，而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））=2不可能有5个解．综上所述：方程f（f（x））-2=0在a＞0时恰有5个不同的根．故选：B．利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．本题考查函数的零点以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用．13.答案：解析：解：如图所示，=+，=，=．∴=+．又=+，则λ=，μ=1．则λ+μ=．故答案为：．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：26解析：解：由a n+2-a n+1=a n+1-a n，可得：数列{a n}为等差数列，设公差为d．∵a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3．则S4=4×2+×3=26．故答案为：26．由a n+2-a n+1=a n+1-a n，可得：数列{a n}为等差数列，设公差为d．利用通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，可得a-2=-1，即a=1，则f（x）=+x，f′（x）=1-，可得f（x）在x=1处的切线斜率为，g（x）=e bx+x2+bx的导数为g′（x）=be bx+2x+b，可得g（x）在x=0处的切线斜率为2b，由题意可得2b•=-1，可得b=-则a+b=1-=．故答案为：．由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．由题意可得a-2=-1，可得a，分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b，进而得到所求和．本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：用0与1两个数字随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，则有：25=32个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总1的个数不少于0的个数，包含的基本事件有：全填1，有1种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有1个格填1，剩余的都填0，有4种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有2个格填0，剩余的都填1，有5种方法，∴出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：1+4+5=10种，∴从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数的概率为：p==．故答案为：．用用0与1两个数字随机填入表格中5个格子，每个格子都有2种填法，由此利用乘法原理能求出不同的染色方法种数，再利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，由此能求出不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：（1）∵3b2+3c2-4bc=3a2，∴由余弦定理得cos A==，又0＜A＜π，∴sin A==；（2）∵3c sin A=a sin B，∴由正弦定理可得：3ac=ab，解得：b=，∵△ABC的面积为=bc sin A=×，∴解得：c=2，∴b=3，由余弦定理得：∴a==，可得：△ABC的周长a+b+c=2+3+.解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力，属于基础题．（1）先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得cos A的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin A的值．（2）由已知及正弦定理可解得b=，利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b，利用余弦定理可求a，即可得解△ABC的周长的值．18.答案：解：（1）记每个农户的平均损失为元，则=（1000×0.00015+3000×0.00025+5000×0.00008+7000×0.00001+9000×0.00001）×2000=2920；（2）由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有（0.00008+0.00001+0.00001）×2000×50=10（户），损失超过8000元的农户共有0.00001×2000×50=1（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1；计算P（X=0）=，P（X=1）=，所以X的分布列为:X01P数学期望为E（X）=0×+1×=．解析：本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．19.答案：证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面BCP，∴平面PAE⊥平面BCP．解：（2）∵BC⊥平面PAE，BC∥AD，∴PA⊥AD，∵PA=AB=PB，∴PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB，∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=PB=，AF=t，则B（，-，0），D（0，，0），F（0，0，t），=（-，，0），=（-，，t），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面ABD的法向量=（0，0，1），∵二面角A-BD=F的余弦值为，∴|cos＜＞|==，解得t=，∴F（0，0，），P（0，0，），=（0，，-），平面BDF的法向量=（，1，），设PD与平面BDF所成角的平面角为θ，则PD与平面BDF所成角的正弦值：sinθ===．解析：（1）推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，由此能求出平面PAE⊥平面BCP．（2）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面BDF所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3•=2k-3•=2k-1，2k2=2•=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．解析：（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=-a．（x＞0）．a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）=，可得函数f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得：a＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，∴f=ln-1＞1，解得0＜a＜．∴＞e2．要证明x1+x2＞2e2．即证明x1+x2＞．不妨设0＜x1＜＜x2，即证：x2＞-x1．即证：f（x1）=f（x2）＜f（-x1）．设F（x）=f（x）-f（-x），x∈（0，].=0．则F（x）=ln x-ax-ln（-x）+a（-x）=ln x-ln（-x）+2-2ax，F′（x）=+-2a=，x∈（0，]时，函数F（x）单调递增，∴F（x）＜=0．即：x1+x2＞2e2．解析：（1）f′（x）=-a．（x＞0）．对a分类讨论及即可得出单调性．（2）由（1）可得：a＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，f=ln-1＞1，解得0＜a＜．可得＞e2．要证明x1+x2＞2e2．即证明x1+x2＞．不妨设0＜x1＜＜x2，即证：x2＞-x1．即证：f（x1）=f（x2）＜f（-x1）．设F（x）=f（x）-f（-x），x∈（0，].=0．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由题意可知，直线l的直角坐标方程为-y+2=0，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，由直线l与曲线C相切可得r==2，可知曲线C的直角坐标方程为（x-）2+（y-1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=4sin（θ+）．（2）由（1）不放设M（ρ1，θ），N（ρ2，）（ρ1＞0，ρ2＞0，-＜θ＜）．S△MON=|OM||ON|sin=ρ1ρ2=4sin（θ+）sin（θ+）=2sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+=2sin（2θ+）+，当θ=时，△MON面积的最大值为2+．解析：（1）由和角的余弦公式以及互化公式可得直线l的直角坐标方程，根据直线与圆相切得圆的半径，再得到圆C的直角坐标方程和极坐标方程；（2）根据极径的几何意义以及三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）将（-1，3）代入函数的解析式得：3=|-a-1|-|-2+a|，解得：a=2；（2）由（1）f（x）=|2x-1|-|2x+2|，故g（x）=|2x-3|-|2x+3|≤|2x-3-2x-3|=6，故t=6，故m+n=6，故+=（+）（+）=+++≥+2=，当且仅当2n=3m时“=”成立．解析：（1）代入点的坐标，求出a的值即可；（2）求出g（x）的解析式，求出t的值，根据基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
2020年广西高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年广西高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考模拟试卷广西南宁市高考(理科)数学一模测试试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解．解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得展开式中x6的系数，再根据展开式中x6的系数为150，求得a2的值．解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3＝0，变形解可得q的值，由等比数列的前n项和公式可得S4＝＝40a1＝，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝3与点（1，a+b）在切线y＝3x﹣2上，联立求得a，b的值，则答案可求．解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，利用排除法分析可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD 所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件．解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【分析】由题意画出图形，可得四边形AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定理求解△AF1F2的面积，再由对称性可得△AF2B的面积．解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【分析】判断函数f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；再把不等式f（lgx）＞3化为0＜|lgx|＜1，求出解集即可．解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【分析】由函数f（x）在区间（π，2π）内没有最值，列不等式求出ω的取值范围，再结合函数的单调性与ω的取值范围判断题目中的命题是否正确．解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【分析】推导出＝1，从而＝＝1，进而＝﹣，由此能求出向量与的夹角．解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，利用椭圆的定义，在△ABF2中，，在△AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【分析】连结D1A，AC，D1C，推导出EF∥平面ACD1，EG∥平面ACD1，从而平面EFG∥平面ACD1，推导出点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，由此能求出当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，并能求出最小值．解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小．（2）分别求出＝96.5，＝36.5，100＞96.5，从而该零件属于“不合格”的零件．解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【分析】（1）根据题意，判断出AC⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz，求出平面ABB1与平面CBB1的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【分析】（1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可；（2）由（1）的单调性，对m进行分类讨论，判断函数f（x）的最小值，求出m．解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f （m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【分析】（1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为0和韦达定理，解不等式可得所求范围；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，运用韦达定理，抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），求得面积S的解析式，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），求得导数，以及最值时t的值，可设P（m，0），再由P，A，D三点共线的条件，解方程可得m的值，即可得到所求坐标．解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出a的值．（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果．解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，+＝（+）（a+b），展开后利用基本不等式可求；（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+（）2即可证明．解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2+x−2<0}.则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,2}2.若复数z满足(1−i)z=−1+2i，则|z−|=()A. √22B. 32C. √102D. 123.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数4.(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为()A. −40B. 120C. 160D. 2005.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.已知函数f(x)=a2x2+bln x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于()A. 2B. 1C. 0D. −27.函数f(x)=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图像大致为()A. B.C. D.8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90∘，则EF=()A. 1B. 2C. √2D. √39.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√33x D. y=±√3x11.已知函数f(x)=|x|−1x2，则不等式的解集为()A. (1,0)U(1,+∞)B. (−∞,−1)U(0,1)C. (−∞,1)U(1,+∞)D. (−1,0)U(0,1)12.已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x=π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗=(3,1)与向量b⃗ =(−1,2)的夹角余弦值是______．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7−a2=a9−10，则S7=________．15.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从一种零件中抽取了80件，尺寸数据表示如下(单位：cm)：这里用x×n表示有n件尺寸为x的零件，如362.51×1表示有1件尺寸为362.51cm的零件．(1)作出样本的频率分布表和频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，(1)若C=3π4，△ABC的面积为9√24，求a的值；(2)求sin(C−A)sinB −8sin2C2的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)当a≤12时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2−2bx+4.当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．(1)证明：∠ADB=90°；(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，A(0,−1)，B(−√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．23.设a，b为正实数，且1a +1b=4．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)若(a−b)2≥16(ab)3，求ab的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B={x|−2<x<1}；∴A∩B={−1,0}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1−i)z=−1+2i，得z=−1+2i1−i =(−1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+12i，∴|z−|=|z|=√(−32)2+(12)2=√102．故选：C．3.答案：C解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的，则A样本的众数比B样本的众数小3；A样本的中位数比B样本的中位数小3；A样本的方差等于B样本的方差；A样本的平均数比B样本的平均数小3．故选：C．根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变．本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题．解析：解：(x+2y)5展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(2y)r∴(x+2y)5=x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为160−40=120，故选：B．把(x+2y)5按照二项式定理展开，可得(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选：A．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．6.答案：C解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题．对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解．解：由题意可得f′(x)=ax+bx，所以f′(1)=a+b=2，且f(1)=a2=1，所以a=2，b=0，所以ab=0．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．解：因为f(−x)=(e −x−1)ln|−x|e−x+1=(1−e x)ln|x|e x+1=−f(x)是奇函数，所以排除A，C，当x→+∞时，f(x)>0，所以排除D．故选B ．8.答案：C解析：↵本题考查异面直线所成角，取BD中点G，连接EG，FG，EF，可得∠EGF=90°，进而得出答案．解：取BD中点G，连接EG，FG，EF，则EG//AD，EG=1，同理FG//BC，FG=1，所以∠EGF=90°，∴EF=√2．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形FACB为矩形，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形FACB为矩形，即有|AF|=|BC|，mn=2a2，设|AC|=m，|BC|=n，可得n−m=2a，n2+m2=4c2，12即有4c2−8a2=4a2，即有c=√3a，b=√c2−a2=√2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选：B．11.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，题目难度一般．首先判断出f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数是解题的关键．解：显然f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数，f(1)=f(−1)=0，故f(x)+f(−x)x <0等价于2f(x)x<0．当x>0时，2f(x)<0，解得0<x<1；当x<0时，2f(x)>0，解得x<−1．综上，所求不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．故选B．12.答案：C解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，①f(x)的最小正周期为π，故①正确；②由2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，故f(x)在区间[−π3,π6]上不是单调函数，故②错误；③由2x−π6=2kπ得：x=π12+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故③正确；④由2x−π6=π2+2kπ得：x=π3+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于x=π3对称，故④正确；故选C．13.答案：−√210解析：解：cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√10√5=−√210． 故答案为：−√210．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：70解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可求得a 4=10，进而利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 解：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 由a 7−a 2=a 9−10，所以a 1+6d −a 1−d =a 1+8d −10， 即a 1+3d =10， 所以a 4=10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=70．故答案为70．15.答案：√33或√53解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率． 解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ， ∴3x =2a ，∴a =3x 2，∵△MF 1F 2为直角三角形，若MF 2⊥F 1F 2，则x 2+4c 2=(2x)2， ∴c =√32x ，e =c a=√33； 若MF 1⊥MF 2，则x 2+(2x)2=4c 2， ∴c =√52x ，e =ca =√53． 故答案为：√33或√53．16.答案：2√33解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ⊂平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GCBC =GFFA =PEEA =12，过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，，即点E 到平面ABCD 的距离为2√33． 故答案为：2√33． 17.答案：略.解析：(1)在样本数据中，最大值是364.41，最小值是362.51，所以极差为364.41−362.51=1.90． 若取组距为0.30，则由于1.900.3=613，要分7组，组数合适，于是决定取组距为0.3，分7组，把第一组起点稍微提前，得分组如下：[362.40,362.70),[362.70,363.00)…[364.20,364.50].列出频率分布表：由上表可以画出频率分布直方图：．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC 1，则有DE//平面ABC 1， 设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1， ∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2，∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1， ∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， 设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设二面角的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； (2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sinA =2sinB ，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24,C=3π4，所以：12absinC=9√24，解得：a=3√2,b=3√22．(2)sin(C−A)sinB −8sin2C2，=(sinCcosA−cosCsinA)sinB−4(1−cosC)，=2sinBsinA−4=−3．解析：(1)直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax+1−ax−1(x>0)，f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2(x>0)，令ℎ(x)=ax2−x+1−a(x>0)，(1)当a=0时，ℎ(x)=−x+1(x>0)，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)当a≠0时，由f′(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1,x2=1a−1．当a=12时x1=x2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当0<a<12时，1a−1>1>0，x∈(0,1)时ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(1a−1,+∞)时，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．当a<0时1a−1<0，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；当a =12时x 1=x 2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减； 当0<a <12时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a −1)单调递增，(1a −1,+∞)单调递减．(Ⅱ)当a =14时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)，有f(x 1)≥f(1)=−12，又已知存在x 2∈[1,2]，使f(x 1)≥g(x 2)，所以−12≥g(x 2)，x 2∈[1,2]，(※)， 又g(x)=(x −b)2+4−b 2，x ∈[1,2]，当b <1时，g(x)min =g(1)=5−2b >0与(※)矛盾； 当b ∈[1,2]时，g(x)min =g(b)=4−b 2≥0也与(※)矛盾； 当b >2时，g(x)min =g(2)=8−4b ≤−12,b ≥178．综上，实数b 的取值范围是[178,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值，然后解不等式求参数．21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +14，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{y =x 2, y =kx +14,消去y ，化简得x 2−kx −14=0，所以x 1+x 2=k, x 1x 2=−14，又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以，所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90∘．(2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，圆Γ的方程为又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=−14 ， y 1+y 2=kx 1+14+kx 2+14=k 2+12，y 1y 2=x 12x 22=116，所以，圆Γ的方程可化简为联立圆Γ与抛物线E 得{x 2+y 2−kx −(k 2+12)y −316=0, y =x 2,消去y 得x 4−(k 2−12)x 2−kx −316=0， 即(x 2+14)2−(kx +12)2=0，即若方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0有相同的实数根x 0，则矛盾，所以，方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2+1>0k 2−3>0,解得k >√3或k <−√3． 综上所述，k >√3或k <−√3．解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题．(1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案(2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案．22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2，圆心C 的坐标为(−√32,−12)，∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +12)2=1，即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式，得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π6，斜率为√33，又直线l′过点P(0,1)，故直线l′的普通方程为y =√33x +1，即√3x −3y +3=0，圆心C(−√32,−12)到直线l′的距离d =2√3=√32， 所以|MN|=2√1−34=1．解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1b =4．∴a 、b 为正实数，且1a +1b =4≥2√1ab (a =b 时等号成立)．即ab ≥14(a =b =12时等号成立)∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥14(a =b =12时等号成立)． ∴a 3+b 3的最小值为14，(Ⅱ)∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，则(1a +1b)2−4ab≥16ab⇒4ab+1ab≤4，又∵4ab+1ab ≥4，∴4ab+1ab=4∴当且仅当ab=12时“=”成立．∴ab=12．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥14，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．(Ⅱ)根据∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，化简得4ab+1ab=4从而可得ab=12．。
2020年广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)
2020年广西南宁市、梧州市等八市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-x-6≥0}，集合B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A. {4}B. {3，4}C. {2，3，4}D. {0，1，2，3，4}2.若复数z满足，i是虚数单位，则A. B. C. D.3.若向量=（2，3），=（x，2），且•（-2）=3，则实数x的值为（）A. -B.C. -3D. 34.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中丙县人口为70万，则去年年底甲县的人口为A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万5.已知双曲线C：=1（a＞0）的一个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x6.已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n-2，则a6＝（）A. 0B. 1C. 2D. 67.已知将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g（x）的图象.若g（x）是偶函数，则f（）=（）A. B. C. D. 18.已知x，y满足条件，若z=x+2y的最小值为0，则m=（）A. 1B. 2C. 3D. 49.曲线与直线y＝5-x围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.10.已知抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y=2x-5上，若||=2，则△ABC面积的最小值为（）A. 5B. 4C.D. 111.设过点的直线l与圆C：的两个交点为A，B，若，则A. B. C. D.12.已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. 4B. 6C. 4D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中x4的系数为___________．（用数字作答）14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=7，则S9=______．15.在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．16.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）-a2有3个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2-c2＝8，△ABC的面积为．（1）求角C的大小；（2）若，求sin A+sin B的值．18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料日期第1年第2年第3年第4年优惠金额x（千10111312元）销售量y（辆）22243127利用散点图可知x，y线性相关（1）求出y关于x的线性回归方程=x；（2）若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y（辆）的值．参考公式：==，=19.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=1，BC=2，AA1=4，M是侧面AA1C1C的对角线的交点，D，E分别是AB，BC中点．（1）求证：MD∥平面A1BC1；（2）求二面角C-ME-D的余弦值．20.已知曲线C上动点M与定点F（）的距离和它到定直线l1：x=-2的距离的比是常数，若过P（0，1）的动直线l与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21.已知函数f（x）=ax2-x-2ln x-1（a∈R）．（1）若x=时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：1（2n+1）（n∈N*）．22.已知曲线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+3|-2．（1）解不等式f（x）＜|x-1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x-1|+b成立，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：解二次不等式x2-x-6≥0得：x≤-2或x≥3，即A=，又B={0，1，2，3，4}，所以A∩B=，故选：B．由二次不等式的解法及集合的交集的运算得：A=，又B={0，1，2，3，4}，所以A∩B=，得解．本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型．2.答案：A解析：解：∵（1+z）（1+i）=1+2i，∴z==，故|z|=．故选：A．先由（1+z）（1+i）=1+2i，的z=，再由复数的除法运算即可求出结果．本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型．3.答案：A解析：解：向量=（2，3），=（x，2），-2=（2-2x，-1），因为•（-2）=3，所以：4-4x-3=3，可得x=-．故选：A．求出向量-2，然后利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.答案：C解析：解：由统计图可得，丙县人口占四个县总人口20%，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为=350万，又因为甲县人口占四个县总人口的52%，所以甲县的人口为350×52%=182万．故选：C．根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果．本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型．5.答案：C解析：解：因为双曲线C：=1（a＞0）的一个焦点为（2，0），所以a2+3=4，故a2=1，因此双曲线的方程为：x2=1，所以其渐近线方程为：y=±x．故选：C．先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程．本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．6.答案：B解析：【解答】解：因为a1=1，a n+1=3a n-2，所以a2=3-2=1，以此类推可得a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1．故选：B．【分析】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型．由a1=1，a n+1=3a n-2，可得a2=1，以此类推，即可得出结果．7.答案：A解析：【分析】先由题意写出g（x），根据g（x）是偶函数求出φ，即可得出结果．本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．【解答】解：由题意可得：g（x）=sin（2x+3φ），因为g（x）是偶函数，所以3φ=，k∈Z，即φ=，k∈Z，又0＜φ＜，所以0，解得，所以k=0，故φ=；所以f（）=．故选：A．8.答案：B解析：【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数z=x+2y化为y=-x+，结合图象以及z=x+2y的最小值，即可求出结果．本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型．【解答】解：由x，y满足条件，作出可行域，又目标函数z=x+2y表示直线y=-x+在y轴截距的二倍，因此截距越小，z就越小；由图象可得，当直线y=-x+过点A时，在y轴截距最小；由解得A（m，1-m），所以z min=m+2（1-m），又z=x+2y的最小值为0，所以2-m=0，解得m=2．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键．本题属于基础题．联立，解得两曲线的交点为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的面积为y=5-x-在[1，4]上的积分．【解答】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的图形的面积为S==（5x--4ln x）=．故选：D．10.答案：D解析：解：因为抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=-1，抛物线方程为x2=4y；又||=2，所以||=2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC面积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d====，故≥1．故选：D．先由题意求出P，得到抛物线方程，再由||=2，得||=2，设点A到直线BC的距离为d，求出△ABC面积的表达式，由点到直线的距离公式求出d的最小值即可得出结果．本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型．11.答案：A解析：【分析】根据题意，设直线l的参数方程为（t为参数），进而设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），将直线的参数方程与圆的方程联立可得（-2+t cosθ）2+（t sinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0；又由8=5，分析可得=，即t2=t1，结合根与系数的关系分析可得t12=13，解可得t1=±，由直线的参数方程的意义分析可得|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|，计算即可得答案．本题考查直线的参数方程的应用，涉及向量的数乘运算，属于基础题．【解答】解：根据题意，直线l过点P（-2，0），设直线l的参数方程为（t为参数），又由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，设A的坐标为（-2+t1cosθ，t1sinθ），B的坐标为（-2+t2cosθ，t2sinθ），则有（-2+t cosθ）2+（t sinθ）2-4（-2+t cosθ）-2t sinθ+1=0，变形可得t2-（8cosθ+2sinθ）t+13=0，又由直线l与圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的两个交点为A，B，若8=5，则=，即t2=t1，又由t1t2=13，则有t12=13，解可得t1=±，则|AB|=|t1-t2|=|t1-t1|=；故选：A．12.答案：B解析：【分析】先由三视图还原几何体，结合题中数据，分别求出各棱长，即可得出结果．本题主要考查几何体的三视图，以及棱锥的相关计算，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型．【解答】解：由三视图可得该四棱锥为P-ABCD，由题中数据可得AB=BC=2，CD==，AD==，BP==4，CP==2，DP==，AP==6，即最长的棱为AP，长度为6．故选B．13.答案：15解析：【分析】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型．先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中x4的系数．【解答】解：因为二项式（x3）6的展开式的通项为T r+1=•（-1）r•，令18-=4，可得r=4，所以展开式中x4的系数为=15，故答案为15．14.答案：63解析：解：因为a5=7，所以=9a5=63．故答案为：63．直接根据等差中项的性质将S9转化为用a5表达的算式，即可得到结果．本题主要考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型．15.答案：解析：【分析】由空间向量法求异面直线所成角得：因为AC=3，BC=3，AB=2，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B（0，3，0），所以=（-3，0，-4），=（0，-4，3），设异面直线A1C与BC1所成角为θ，则cosθ=||=，得解．本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型．【解答】解：因为AC=3，BC=3，AB=2，所以C为直角，又侧棱与底面垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系：则C（0，0，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B（0，3，0），所以=（-3，0，-4），=（0，-4，3），设异面直线A1C与BC1所成角为θ，则cosθ=||=，故答案为：．16.答案：[-1，0）∪（0，1]解析：解：由题意，作出函数函数f（x）=，的图象如下，因为函数y=f（x）-a2有3个零点，所以关于x的方程f（x）-a2=0有三个不等实根；即函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，由图象可得：0＜a2≤1，解得-1≤a＜0或0＜a≤1．故答案为[-1，0）∪（0，1]．先作出函数f（x）图象，根据函数y=f（x）-a2有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y=a2有三个交点，结合图象即可得出结果．本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型．17.答案：解：（1）由△ABC的面积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，故：tan C=，可得：C=；（2）∵C=，2ab cos C=8，∴解得：ab=8，又a2+b2-c2=8，c=2，可得a+b=6，由正弦定理，，得：sin A+sin B==（a+b）=．解析：（1）由△ABC的面积为2，可得：，由a2+b2-c2=8，及余弦定理可得：2ab cos C=8，可得tan C=，得到角C；（2）由（1）的结果，先求出ab，根据c，即可求出a+b，再由正弦定理可得sin A+sin B=，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．18.答案：解：（1）由题中数据可得x=×（10+11+13+12）=11.5，=×（22+24+31+27）=26，x i y i=10×22+11×24+13×31+12×27=1211，=102+112+132+122=534；∴====3；故=-=26-3×11.5=-8.5，∴=3x-8.5；（2）由（1）得，当x=8.5时，=3×8.5-8.5=17，∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．解析：（1）先由题中数据求出、，再根据线性回归方程系数和，即可得出回归方程；（2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值．本题主要考查了线性回归分析应用问题，熟记最小二乘法求回归系数，是常考题型．19.答案：证明：（1）由D、E分别为边AB、BC的中点，可得DE∥AC，又由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得A1C1∥AC，故有A1C1∥DE，由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得M为A1C的中点，又由E为BC的中点，可得A1B∥ME．由DE，ME⊂平面MDE，A1C，BC1⊂平面MDE，得A1C1∥平面MDE，BC1∥平面MDE，又A1C1∩BC1=C1，可得平面MDE∥平面A1BC1，因为MD⊂平面MDE，所以MD∥平面A1BC1，解：（2）分别以CA、CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，4），M（），D（），E（0，10），=（-，1，-2），=（），=（），设平面CME的一个法向量为=（x，y，z），则，取=-1，得=（4，0，-1），同理可求出平面DME的一个法向量=（0，2，1），cos＜＞===-，结合图形知二面角C-ME-D的余弦值为．解析：（1）先由面面平行的判定定理证明平面MDE∥平面A1BC1，即可得到MD∥平面A1BC1；（2）分别以CA、CB、CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DME与平面CME的法向量，根据法向量夹角余弦值即可得出结果．本题主要考查线面平行的判定，可根据面面平行判断线面平行；第二问主要考查用空间向量的方法求二面角，属于常考题型．20.答案：解：（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1：x=-2的距离为d．依题意可知=，则=，化简得+=1，所以曲线C是椭圆，它的标准方程为+=1，（2）①当直线l与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知|PA|=|PB|，又因为得=，则|QA|=|QB|，从而点Q必在y轴上．②当直线l与x轴垂直时，则A（0，），B（0，-），由①可设Q（0，y0），（y0≠1），由=得=，解得y0=1（舍去），或y0=2．则点Q的坐标只可能是Q（0，2）．下面只需证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有由=即可．设直线l的方程为y=kx+1，代入+=1得（2k2+1）x2+4kx-2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=-，∴+==2k，设点B关于y轴对称的点坐标B′（-x2，y2），因为直线QA的斜率k QA===k-，同理得直线QB′的斜率k QB′===-k+，∴k QA-k QB′=2k-（+）=2k-2k=0，∴k QA=k QB′，三点Q，A，B′共线．故由===．所以存在点Q（0，2）满足题意．解析：（1）先设动点M坐标为M（x，y），根据题意列出等式=，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线l与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上．；当直线l与x轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是Q（0，2）；再证明直线l斜率存在且Q（0，2）时均有=即可．本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型．21.答案：解：（1）由题意可得，f′（x）=2ax-2ln x-2（x＞0，a∈R），由x=时，函数f（x）取得极值知=0，所以a=0．所以f（x）=-2x lnx-1，f′（x）=-2x lnx-2，（x＞0），所以0＜x＜时，f′（x）＞0，x＞时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调增区间（0，），单调减区间为（，+∞）．（2）当a=1时，f（x）=x2-2x lnx-1，所以f′（x）=2x-2ln x-2=2（x-ln x-1），令g（x）=x-ln x-1，则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞），所以g（x）≥g（1）=0，所以f′（x）≥0，f（x）是增函数，所以x＞1时，f（x）=x2-2x lnx-1＞f（1）=0，所以x＞1时，x-＞2ln x，令x=＞1，n∈N*，得＞2ln，即1+，所以，上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加，得到1+＞．解析：（1）先对函数求导，根据x=时，函数f（x）取得极值，求出a，进而可求其单调区间；（2）先令a=1，用导数的方法证明x2-2x lnx-1＞0，得到x＞1时，x-，再令x=＞1，n∈N*，得，即），最后求1+，即可得出结论成立．本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型．22.答案：解（1）由ρ=4cos（θ-）得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+（y-2）2=8．（2）将代入C的直角坐标方程，得t2+（-t-1）2=8，∴t2+t-7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=-7．则|PA||PB|=|t1t2|=7．解析：（1）先将ρ=4cos（θ-）化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到t2+t-7=0，再设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，进而可得|PA||PB|=|t1t2|，即可求出结果本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于中档题型．23.答案：解：（1）由f（x）＜|x-1|，可得|x+3|-2＜|x-1|，当x≥1时，x+3-2＜x-1不成立，当-3＜x＜1时，x+3-2＜1-x，∴-3＜x＜0，当x≤-3时，-x-3-2＜1-x，-5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x-1|的解集为{x|x＜0}．（2）根据题意，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2=，易知g（x）max=g（）=，则有≥b，即实数b的取值范围是（-∞，]．解析：本题主要了考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于中档题．（1）分三种情况讨论，去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）先由题意得，|x+3|-|2x-1|-2≥b，令g（x）=|x+3|-|2x-1|-2，求出g（x）的最小值，即可得出结果．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 ．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =； 当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值． 【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…， 解得8a …或8a -„， 所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 第一次运行时，2k =，332S =+⨯； 第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确； 令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误； 令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确． 故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=． 如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ， 根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+． 则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ． 【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=， 解得2k =． 故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-， 令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解． 【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+， 故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-， 所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以sin()2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =． 由正弦定理，得2b c =． 因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=， 解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ． 所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥． 又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒． 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出． （2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+． 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ． 因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =． 所以直线AB 的方程为2x =． （2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====， 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立． 【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ． （2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩， 解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=． 【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+． 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数． 所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…， 所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…， 故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数． 所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=． 从而()10f x mx --<，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)， 不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+， 所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+． 【思路分析】（1）解绝对值不等式即可； （2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞． 证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(有解析)
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2， 故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题． 解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283， 故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ， 过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ， 则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37， 故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围． 解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解． 令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12． 故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2． 故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π． 故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积． 本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根， 设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0， 设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)， 易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增， 又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0， 解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∪B＝（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]2．（5分）设（1﹣i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．1B．2C．4D．104．（5分）已知α∈（0，π），，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设a为正实数，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2，若∀x∈（a，2a），f（x）＜0，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A．线段F1A的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）过曲线y＝e x﹣x外一点（e，﹣e）作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣e e B．﹣e e+2C．﹣e e+1D．e e+210．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C 上，过点A作AA'⊥l，垂足为A'，若cos∠F AA'＝，则四边形AA'PF的面积为（）A．8B．10C．14D．2811．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足（﹣）⊥（﹣），则||的值．14．（5分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m ＝68，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860）[860，880）[880，900）[900，920）[920，940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82818．（12分）已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+3×2n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD＝A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝2AD＝2AA1＝4．（1）证明：A1D⊥平面ABC1D1；（2）若DC＝1，求二面角B1﹣BC1﹣A的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．（1）求△PQF面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1＜x2，x≠1），若m≤1，①证明：0＜x1＜2；②证明：﹣x12）．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点P∈l1，记是直线l1的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线l1的参数方程；②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）记函数y＝f（x）的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，求证a+2b+3c ≥9．。
2020年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，，则A. 1，B. 1，2，C. 0，1，D. 0，1，2，2.设复数z满足，则A. B. C. D.3.的展开式中含的系数为A. B. 80 C. 10 D.4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日日共10天他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5.已知各项不为0的等差数列的前n项和为，若，则A. 4B. 162C. 9D. 126.若函数，且的值域为，则函数的图象是A. B.C. D.7.椭圆C：的左、右焦点为，，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为8，则a为A. B. 2 C. D. 48.某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为A. 13B. 18C. 23D. 289.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是A. 平面B.C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为10.已知双曲线E：的右焦点为F，以为原点为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M，N异于点若，则双曲线E的离心率为A. 4B. 2C.D.11.已知函数的图象经过点，一条对称轴方程为则函数的周期可以是A. B. C. D.12.已知函数，则当时，函数的零点个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，向量，则与的夹角大小为______．14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是______．15.已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是______．16.如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为若四面体外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，的平分线与BC交于点E，且．求及AC；若，求四边形ABCD周长的最大值．18.红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．2564616842268870308表中；；；；根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；根据中所选择的模型，求出y关于x的回归方程系数精确到，并求温度为时，产卵数y的预报值．参考数据：，，，附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，，，，三角形SAB是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．求证：平面平面SEF；若，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．20.已知函数，其中e是自然对数的底数．若，证明：；若时，都有，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N．求四边形MPNQ面积的取值范围；记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数，曲线：为参数，且，点P为曲线与的公共点．求动点P的轨迹方程；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，求动点P到直线l的距离的取值范围．23.已知a，b，c都为正实数，且证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由集合1，，所以1，．故选：A．求出集合A，由此能求出．本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为．故选：A．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中的系数．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A 错误对于B：前5天的增长比例极差约为，后5天增长比例极差约为，故B错误；对于C：由折线图很明显，的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．根据图象逐一进行分析即可本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5.答案：C解析：解：由题．故选：C．利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：，若函数，且的值域为，，当时，数，为减函数，当时，数，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A根据指数函数的图象和性质求出，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆的定义可得，，即可得出答案．【解答】解：椭圆C：，椭圆的焦点在x轴上，则由椭圆的定义可得，的周长，解得，故选B．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，得，不满足，，得，不满足，，得，不满足，，得，此时，满足，退出循环，输出a的值为23．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9.答案：D解析：【分析】连结BD，，可得，得到平面，判定A正确；证明平面，得，结合，得，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与所成角判断D错误．本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．【解答】解：如图，连结BD，，由M，N分别为AC，的中点，知，而平面，平面，平面，故A正确；在正方体中，平面，则，，，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于，故C正确；而为异面直线MN与所成角，应为，故D错误．故选：D．10.答案：D解析：解：因为OF为直径，点M在圆上，所以又，由圆的对称性，有，所以．由渐近线斜率，所以离心率为．故选：D．画出图形，结合圆的对称性，求出然后求解双曲线的离心率即可．本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11.答案：B解析：解：由，则，，当时，．故选：B．直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12.答案：B解析：解：在平面直角坐标系中作出函数的图象如图所示．令，得，则或．当时，显然存在2个零点，；当时，存在1个零点故函数的零点个数为3．故选：B．先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，13.答案：解析：解：，且，与的夹角为．故答案为：．根据向量的坐标即可得出，和的值，从而可得出，从而可得出夹角的大小．本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.答案：丁解析：解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁．逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15.答案：解析：解：数列中，，且对于任意正整数m，n都有，令，得，则是首项和公比均为2的等比数列，则．故答案为：．利用数列的递推关系式，通过，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16.答案：2解析：解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则，；记四面体内切球球心为O，如图2，则，即，即，所以；又，即，所以．故答案为：2．画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．17.答案：解：在中，由正弦定理得：．又，则，于是，所以，．所以．在中，根据余弦定理得，所以．令，，在中，根据余弦定理得，即有，即，所以，当且仅当时，“”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为．解析：在中，由正弦定理可求的值，又，可求，利用三角形的内角和定理可求的值，进而可求的值，可得，在中，根据余弦定理即可解得AC的值．令，，在中，根据余弦定理，基本不等式可求，即可求解四边形ABCD周长的最大值．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18.答案：解：应该选择模型．由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适．令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，，，则z关于x的线性回归方程为．于是有，产卵数y关于温度x的回归方程为．当时，个．在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．解析：由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，由已知数据求得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取求得y值得结论．本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19.答案：证明：平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，，平面ABCD．又平面ABCD，．连接BD，，F分别为AB，AD的中点，．，．又，，，得．又，．又，平面SEF．又平面SCD，平面平面SEF；解：过E作，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系．在中，求得，，．则0，，，，，．故，，．设平面SCD的法向量为，由，可取．则．故SF与平面SCD所成角的正弦值为．解析：由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD，进一步得到连接BD，得再证明，结合，得再由直线与平面垂直的判定可得平面进一步得到平面平面SEF；过E作，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题．20.答案：解：若，则，所以，当时，；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值．所以．令，则原问题转化为在上恒成立．由，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，当时，，所以在上单调递增，所以，即，满足题意．当时，因为在上单调递增，所以，所以存在，使得当时，，在上单调递减，此时，这与在上恒成立矛盾．综上所述，，故实数a的取值范围是．解析：若，则，所以，再利用导函数的正负性与函数的单调性之间的联系即可得的单调性，从而确定，而，进而得证；构造函数，则原问题转化为在上恒成立，然后求导，令，再求导，从而可确定在上单调递增，由于，于是分和两种情形，讨论函数的单调性，以便求证与0的关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0．设：，，，则：．因为联立直线与抛物线的方程，有，其中，由韦达定理，有．由上可得，同理，则四边形MPNQ面积．令则．所以，当且仅当，即时，S取得最小值12，且当时，．故四边形MPNQ面积的范围是．由有，，所以PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为．于是，直线EF的斜率为，则直线EF的方程为：，所以直线EF恒过定点．解析：两直线，的斜率一定存在，且不等于设：，，，则：联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．由求出PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点．本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．22.答案：解：设点P的坐标为．因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程．曲线消去参数可得，曲线消去参数可得．由，所以．所以点P的轨迹方程为．由已知，直线l的极坐标方程，根据，可化为直角坐标方程：．因为P的轨迹为圆去掉两点，圆心O到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离的取值范围为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：当且仅当取“”．所以；由a，b，c都为正实数，且，可得当且仅当取“”．则．解析：由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；将代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A ＝（ ） A.(−2,13)B.(−13,2)C.(2,52) D.(−∞,−13]∪[2,+∞)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|＝2+5i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A.(25,1) B.(1,25)C.(−25,−1)D.(−1,−25)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的（ ） A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件4. 已知双曲线C:x 2−4y 2＝k 的焦距等于圆M:x 2+y 2+4x ＝12的直径，则实数k ＝（ ） A.−645B.645C.564D.645或−6455. 在区间[4, 12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8＝0有实数根的概率为（ ） A.23B.14C.13D.126. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3−8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A.3 B.−3C.3或−353D.−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A.输出3(1+2+3+4+...+2017)的值B.输出3(1+2+3+4+...+2018)的值C.输出3(1+2+3+4+...+2019)的值D.输出1+2+3+4+...+2018的值8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45∘的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A.5π2+12B.5π+24C.3π+12D.3π2+129. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A.B.C. D.10. 函数f(x)＝A sin (wx +φ)(A >0, w >0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A.f(x)在[19π12,31π12]上单调递增B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D.直线x =−17π12是曲线y ＝f(x)的一条对称轴11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q|，则C 的离心率为（ ） A.√22 B.2√55C.√217D.√15512. 已知二次函数f(x)＝ax 2−ax −1没有零点，g(x)＝f(x)+ax 3−(a +3)x 2+ax +2，若方程g(x)＝0只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, −4)B.(−4, 0)C.(−4, −2)D.(−2, 0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a →=(1,−k),b →=(2,−4)，若(3a →+b →)∥a →，则实数k ＝________．二项式(12x −√x )9的展开式中的常数项是________．已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0, 则z =y+1x+1的最小值为________．已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2＝ac ，sin A cos C ＝sin C(2−cos A)． （1）求角B 的大小；（2）若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD ＝BD ＝AE ＝CE =√5，BC ＝4，DE ＝2，DE // BC ，O ，H 分别为DE ，AB的中点，AO ⊥CE ．（1）求证：DH // 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点P(2, 0)的直线交抛物线C 于A(x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点． （1）当x 1+x 2＝4时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60, 70),[80, 90),[90, 100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．已知函数f(x)＝e x +a ln (x +1)(a ∈R)的图象在点（0, f(0)）处的切线与直线x +2y +1＝0垂直． （1）求f(x)的单调区间；（2）若当x ∈[0, +∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+35＝0． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]（1）求不等式|x −4|−x <0的解集；（2）设a ，b ∈(2, +∞)，证明：(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2．参考答案与试题解析2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆于虫锥春线接综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系直线都一起式方钾与直荷的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年高考模拟试卷广西高考数学一诊测试试卷(文科) 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（文科）一、选择题1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞04．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．二、填空题13．已知向量，若，则实数k＝．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD＝，则直线AC1与DE所成角的大小为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 【分析】利用补集的定义，直接求解即可．解：由题意可得，∁U A＝{﹣1，1，3}故选：A．2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：由题意，z（2﹣i）＝5，故z＝＝＝2+i，其在复数平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．4．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由平行和在y轴的截距可得l的方程．解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率为y＝±x，故由题意可得直线l的方程是y ＝x+2．故选：B．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．解：因为方程2x2﹣ax+8＝0有实数根，所以△＝（﹣a）2﹣4×2×8≥0，解得a≥8或a≤﹣8，所以方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为P＝＝．故选：D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：a＝3﹣0.1∈（0，1），b＝3cos1＞1，c＝log40.99＜0，则b＞a＞c．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．【分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或【分析】先根据直线与圆相切求出tanα＝0或tan；再结合cos2α＝＝，代入求解即可．解：设直线y＝（x+3）tanα．因为l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，所以＝2，解得tanα＝0或tan∵cos2α＝＝，当tanα＝0时，cos2α＝＝1；当tanα＝时，cos2α＝＝﹣．综上，cos2α＝1或﹣．故选：C．9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k＝2，S＝3+3×2；第二次运行时，k＝3，S＝3+3×2+3×3；第三次运行时，k＝4，S＝3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k＝2018，S＝3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S＝3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴【分析】由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．解：由图可知，A＝2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）＝2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y＝2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．【分析】根据题意，f（x）min≥g（x）max，求导，利用导数判断函数f（x）的最小值，利用二次函数的关系，求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．解：，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则f（x）min≥g（x）max（x∈（0，+∞））．，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的最小值为．又g（x）max＝a，所以a≤．故实数a的取值范围为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，若，则实数k＝﹣4或2 ．【分析】结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．解：由题意，＝（﹣k﹣2，﹣4），因为，所以＝﹣k×（﹣k﹣2）+2×（﹣4）＝k2+2k﹣8＝0，解可得k＝2或k＝﹣4．故答案为：2或﹣4．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是x2＝8y．【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出抛物线的方程．解：根据抛物线定义，准线方程为y＝﹣，由题意可得8＝6+，解得：p＝4，故抛物线C的方程是x2＝8y．故答案为：x2＝8y．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD ＝，则直线AC1与DE所成角的大小为60°．【分析】连接BC1．由DE∥BC1，得∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．由此能求出直线AC1与DE所成角的大小．解：连接BC1．因为CD＝，CE＝，所以＝．由题意知DE∥BC1，所以∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．设CA＝CB＝CC1＝a，则，则△ABC1是正三角形，则∠AC1B＝60°．故直线AC1与DE所成角的大小为60°．故答案为：60°．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为2．【分析】由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，利用正弦函数的性质可求其最大值．解：由面积公式得：ab sin C＝c2，即c2＝4ab sin C．由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得＝＝＝4sin C+2cos C＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，故当C+φ＝时，的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，由a1+a3＝4，a4＝3即可求得等差数列{a n}的公差d，从而可得数列{a n}的通项公式；利用等比数列中b1＝a1，b3a14＝1，即可求得b3，及其公比q，从而可得数列{b n}的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{a n}，{b n}的前n项和．解：（1）由a1+a3＝4，得2a2＝4，所以a2＝2，所以等差数列{a n}的公差d＝＝，所以数列{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）＝n+1．b1＝a1＝×＝，由b3a14＝1，得b3×8＝1，解得b3＝，所以等比数列{b n}的公比q＝＝（q＞0），所以数列{b n}的通项公式为b n＝b1q n﹣1＝．（2）数列{a n}的n项和为S n＝＝n2+n，数列{b n}的前n项和为T n＝＝1﹣．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．【分析】（1）取线段AC的中点F，连接EF，HF．推导出四边形DEFH为平行四边形．从而EF∥HD．由此能证明DH∥平面ACE．（2）求出等腰梯形DBCE的面积S＝．推导出AO⊥DE．AO⊥CE，从而AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．由此能求出四棱锥A﹣DBCF的体积．解：（1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．则HF是△ABC的中位线，所以HF＝，HF∥BC．又因为DE＝2，DE∥BC，所以HF＝DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形．所以EF∥HD．又EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE，所以DH∥平面ACE．解：（2）等腰梯形DBCE的高为h＝＝＝2，所以等腰梯形DBCE的面积S＝．因为AD＝AE，O为DE中点，所以AO⊥DE．又AO⊥CE，DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面DBCE，所以AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．在Rt△AOD中，OD+，则AO＝＝＝2，故四棱锥A﹣DBCF的体积V＝＝．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．【分析】（1）根据频率之和为1，求出a，再求出平均数和中位数；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，求出即可；（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，求出所有的情况个数和满足条件的个数，利用古典概型概率公式求出即可．解：（1）根据频率之和为1，可得0.00625×80+（a+a）×80＝1，解得a＝0.003125，月光照量X（小时）的平均数为0.00625×80+280×0.003125×80+360×0.003125×80＝260（小时）．设月光照量X（小时）的中位数为M，则M∈[240，320]，根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得0.00625×80+（M﹣240）×0.003125＝0.5，解得M＝240，所以月光照量X（小时）的平均数为260小时，中位数为240小时；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]的月份数分别为2，1，1．（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X（小时）进行调查，所有的情况有：（5，9），（5，10），（5，6），（5，7），（5，8），（9，10），（9，6），（9，7），（9，8），（10，6），（10，7），（10，8），（6，7），（6，8），（7，8）共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的情况有：（6，7），（6，8），（7，8）共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率为．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）在[1，2]上的最大值；（2）由f（x）有两个零点，由（1）可知，．则x1＜1＜ln＜x2，因此可得x1﹣x2＜．利用，即可证明．解：（1）因为，则．令f′（x）＝0，解得．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，故函数f（x）的增区间为；减区间为．当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调连增，则f（x）max＝f（2）＝；当1＜＜2，即＜a＜时，f（x）在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则f（x）max＝＝；当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝．（2）证明：若函数f（x）有两个零点，则＝＞0，可得．则，此时，由此可得x1＜1＜ln＜x2，故x2﹣x1＞，即x1﹣x2＜．又因为，，所以．所以．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．【分析】（1）由离心率及过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长和a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，再由参数的取值范围求出数量积的取值范围．解：（1）设椭圆C的半焦距为c．因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为，所以＝，得＝，①因为椭圆C的离心率为，所以．②又a2＝b2+c2，③由①②③，解得a＝，b＝1．故椭圆C的标准方程是+y2＝1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时联立解得x ＝﹣1，y＝﹣或x＝﹣1，y＝，则设点M，N的坐标分别为（﹣1，﹣），（﹣1，）．所以＝（﹣1，﹣）（﹣1，）＝（﹣1）（﹣1）+（﹣）＝；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为点（﹣1，0）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆C一定有两个不同的交点M，N．则x1+x2＝﹣，x1x2＝．所以＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝x1x2+k（x1+1）k（x2+1）＝（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2＝（1+k2）+k2（﹣）+k2＝＝﹣，因为2+4k2≥2，所以0，所以∈[﹣2，）．综上所述：的取值范围：[﹣2，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x﹣y+9＝0．所以：直线l的普通方程为3x﹣y+9＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35＝0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35＝0．（2）直线l3x﹣y+9＝0与坐标轴的交点依次为（﹣3，0），（0，9），不妨设M（﹣3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35＝0化为标准方程是（x+6）2+y2＝1，由圆的参数方程，可设点A（﹣6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最＝（﹣3+cosα）2+sin2α+（﹣6+cosα）2+（sinα﹣9）2＝﹣18（sinα+cosα）2+128＝﹣18，当，即时，最大值为18．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．【分析】（1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．解：（1）由不等式|x﹣4|﹣x＜0，得|x﹣4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）﹣（8a2+8b2）＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（a2﹣4）（b2﹣4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2﹣4）（b2﹣4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．。