湖北省荆门市2014-2015学年度高三元月调研考试数学(文)试卷

绝 密 ★ 启用前湖北省荆门市2014-2015学年度高三元月调研考试数学（文）试卷本试卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =IA ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤ 2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥C ．2,2xx R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件3．若m ，n 是两条不重合的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是 A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若//m n ，//n α，则//m α C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n α⊥，则//m α 4．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点6．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分 且包括边界）的任意一点，若目标函数z x ay =+取得最 小值的最优解有无数个，则y x a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．148．在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-uu r uu u r，且OA uur 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．14-B ．25C ．25或43- D ．529．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤，若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为 A ．991B ．992C ．993D ．99910．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈uu u r uu r uu u r ，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为 A B C D ．98二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11．若|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．12．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ▲ ．13．已知b 克糖水中含有a 克糖（0>>a b ），若再添加m 克糖（0m >），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ ．14．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线， 则切线长的最小值为 ▲ ．15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，C (4,2)B (5,1)A (2,0)Oyx第7题图则该几何体的表面积为 ▲ ．16．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间 (1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ．17．已知函数21()(2),()(1,2)1x x x f x x g x a a x x -+==>-≥≥． ①若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；②若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),,cos )222x x xm n =-=rr ，设函数()f x m n = （Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）若角B 是△ABC 中的最小内角，求()f B 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ； （Ⅱ）求证：直线SC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求直线CM 与平面AMN 所成角的余弦值．21．（本小题满分14分)第20题图某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．22．（本小题满分14分）如图，已知圆E:22(16x y ++=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点，直线OB l OA ,,的斜率分别为0(,,,21>k k k k 其中 )0(,,,21>k k k k 其中．△OAB 的面积为S ，以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列，求SS S 21+的取值范围．荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数学(文)参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：（每小题5分，5小题共25分）11．1-； 12．2π3； 13 ．mb m a b a ++<（0>>a b 且0m >）； 14； 15．32π＋ 3 16． 3[1,)2； 17．①[)3,+∞；②．三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 18．因为向量2(cos,1),,cos )222x x xm n =-=rr ，函数()f x m n =r r g ．所以21cos ()cos cos 2222x x x xf x x +=-=-…………………2分 第22题图11π1cos sin()2262x x x =--=--………………………4分 （1）由()0f x =，得π1sin()62x -=．ππ=+2π66x k -∴， 或π5π=+2π66x k k Z -∈， …………………6分π=+2π3x k ∴， 或=π+2πx k k Z ∈，，又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3、π． ………………………8分（2）由已知得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-，……………………………………10分 π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴………………12分19. （1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =， …………………………………………………………………………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩……………4分当12,2q a =⎧⎨=⎩ 时， 2n n a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=． ………………………6分（2）∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n n a =，∴122log 22n n n n b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅③…………………………………8分2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅ ④由③－④，得 2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅……………………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ………………………12分20. (选修2一1第109页例4改编) 方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．ABCD Q 是正方形，∴E 是BD 的中点． M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． ………………………2分 又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ， ∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ ………………………6分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥ 由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN ………………………8分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知CN ⊥面AMN ，则直线CM 在面AMN 内的射影为NM ，∴CMN ∠为所求的直线CM 与面AMN 所成的角． …………………10分又2SA AB ==，∴在Rt CDM ∆中2,CD MD == ∴CM =又SC ==由SNM SDC ∆∆∽可得MN SM CD SC =∴MN =1cos 3MN CMN CM ∠==…………………12分∴直线CM 与平面AMN 所成角的余弦值为13． …………………13分 21． (必修一第127页例2改编) （Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5x f x ≤恒成立． ………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x =+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求． ………………………8分 （2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数，满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立，满足条件②……10分设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的， ……12分 因此2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求；综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求． ………………………14分22．(选修2一1第49页习题第7题改编)（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >= 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c ==，则1b =，……3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=． ………………………4分(Ⅱ)设直线的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km 由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k………………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而((0,2)m ∈故d AB S ⋅=||212211||||km x x +⋅-=||4)(2121221m x x x x⋅-+=||22m m ⋅-= ………………………10分 又22221212144x x y y +=+=则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． ………………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π ……………………14分。