2-2离散型随机变量及其分布律

松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
C10 1000
0.00510
0.995990
510 e5 10!
5k e5 5k e5 0.032 0.014 0.018 ，
k 10 k !
k 11 k !
P{X
5}
5
Ck 1000
0.005k
k 0
00k
5 5k e5 k0 k !
1 5k e5 1 0.384 0.616 ．
同理可验证， P{X
k}
C C nk k NM M CNn
满足分布律的性质．
例如，设袋中有10 个红球和 6 个白球，现从中任取5 个球，
则
5
个球中恰有
k
个白球的概率为
C5k 10
C6k
C156
，其中0 k
5．
•20
5．超几何分布
定义 2.7
如果随机变量
X
的分布律为 P{X
k}
C C nk k NM M CNn
，
其 中 N 1, M N, n N, max{0, M n N} k min{M , n} ，
就称 X 服从参数为 M , N, n 的超几何分布，记为 X ~ H (M , N, n) ．
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ，
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质．
【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式中 的各项，因此称 X 服从二项分布．
由贝努里概率模型，在 n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P(A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{X 1} 5 知， 9
P{X
0}
C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
4 9
，
所以 p 1 ，从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标
1 22i1
2 1 (1)2
2． 3
2
•7
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
1
P 1－ p p
就称 X 服从 0 1两点分布，记为 X ~ B(1, p) ．
故由乘法公式
P(B) P(AB) P(A)P(B A) 0.950.4 0.38 ， 所以由几何分布的概念知 X ~ G(0.38) ，即 X 的分布律为
P{X k} [P(B)]k1 P(B) (1 0.38)k1 0.38 0.38 0.62k1 ， k 1, 2,3,L ．
例 1.1
中， X
0, 1,
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为 正面向上
X0 1 11
P2 2
0 1
或
X
~
1
1
．
2 2
•2
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机变
量
X
的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
L L
xi pi
L L
，则有
⑴ pi 0 ， i 1, 2,L ； ⑵
P{X k} (1 p)k1 p
p
1；
k 1
k 1
1 (1 p)
所以 P{X k} (1 p)k1 p (k 1, 2,3,L ) 满足分布律的性质．
【注 2】在一系列独立重复试验中，事件 A 首次发生时所进
行的试验次数 X ~ G( p) ，其中 p P(A) ， 0 p 1．
k6 k !
4．几何分布 定义 2.6 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} (1 p)k1 p ， k 1, 2,3,L ，其中 0 p 1，
就称 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 X ~ G( p) ．
【注 1】 P{X k} (1 p)k1 p 0，(k 1, 2,3,L ) ，
10 5
10 9 45
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ，
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4
8
1
．
5 45 45
•4
（续解 ） X 的分布函数为
0,
0
4
4,
F ( x)
P{X
x}
4
5
5 8 45
5 44 ,
45
44 45
1 45
所以1000个产品中恰有10 个次品的概率为
P{X
10}
C10 1000
0.00510
0.995990
．
1000个产品中不多于 5 个次品的概率为
5
P{X 5}
Ck 1000
0.005k
0.9951000k
．
k 0
上面两个计算结果虽然精确，但其计算量都非常大，目前
无法求出其值（包括近似值）．在后续内容中，将陆续介绍泊
可具体计算得， P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ，
P{X 1} C41 0.61 0.43 0.1536 ，
P{X k}
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
•19
例 2.10 在射击训练中，设某选手每次击中目标的概率为 0.95，击中目标时取得十环的概率为 0.4 ，且射击训练独立 重复进行．记 X 为首次取得十环时的射击次数，求 X 的分 布律． 解 设事件 A 表示该选手击中目标，B 表示该选手取得十环， 则 P(A) 0.95, P(B A) 0.4 ，且 B A ．
k 2i
，i 1, 2,L
，
试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
解
由 P{X i}
k
k
1 k ，以及分布律的性质
i 1
2i
i 1
2i
i 1
可得 k 1．由上可知， X 的分布律为
P{X
i}
1 2i
， i 1, 2,L
，
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
i 1
1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3,
x 3.
【注】分布函数的三个特征：
① 分 n 1段；
② 每段上的函数值为概率累加（初始值为零）；
③ 每个区间为左闭右开。
•5
P 1
o
F ( x)
1 0.8
x
4
5
8
45
1
45
1 2 3x
1 2 3x
例 2.2
设随机变量 X 的分布律为 P{X
i}
试验中发生的概率为 pn ，其中 0 pn 1，且 pn 与试验次数 n
有关，若
lim
n
npn
(
0)
，则对任意非负整数 k
，有
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
．
【注】定理 2.1 建立了二项分布与泊松分布的一种联系．
设 X ~ B(n, p) ，则当 n 充分大， p 很小，而 np 较适中时，
例如，本章例 1.1（抛硬币）中，随机变量 X ~ B(1, 1) ． 2
2．二项分布（贝努里（Bernulli）分布）