界面现象-wfz-1
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
第10章_界面现象-wfz-1
弯曲液面附加压力Δp 与液面曲率半径之间关系的推导： 水平分力相互平衡， 垂直分力指向液体内部 其单位周长的垂直分力为cos 球缺底面圆周长为2r1 ，得垂直分力在圆周上的合力为： F=2r1 cos 因cos = r1/ r ，球缺底面面积为 r12 ， 故弯曲液面对于单位水平面上的附加压力 p 整理后得：
表10.1.1 某些液态物质的表面张力
物 质 t / °C
/ mN m-1
18.4 21.8 22.3 26.43 72.75 113.8 137.8 250 582 700 878.5 1300 1800
正己烷 正辛醇 乙醇 乙醚 H2O NaCl LiCl Na2SiO3(水玻璃) FeO Al2O3 Ag Cu Pt
\ dn = - 4p r 2 (dr ) r / M
/mNm-1
1670 1140 685 527 12010 1000 905 4500 1030
Cu Ag Sn 苯 冰 氧化镁 氧化铝 云母 石英(1010晶面)
17
（2） 与接触相的性质有关。
两种互不混溶的液体形成液-液界面时，界面层分子所处力场取 决于两种液体。所以不同液-液对界面张力不同。
18
（3） 温度的影响
T↑ 气相中分子密度↑ 液相中分子距离↑
↓ （有例外）
（表10.1.4) 不同温度下液体的表面张力 0 液体 水 乙醇 甲醇 CCl4 丙酮 甲苯 苯 75.64 24.05 24.5 26.2 30.74 31.6 72.75 22.27 22.6 26.8 23.7 28.43 28.9 69.58 20.60 20.9 24.3 21.2 26.13 26.3 66.18 19.01 21.9 18.6 23.81 23.7 62.61 16.2 21.53 21.3 58.85 15.7 19.39 20 40 60 80 100
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
弗兰克赫兹含思考题
西安交通大学实验报告第 1 页〔共 9 页〕课程：_______近代物理实验_______ 实 验 日 期 ： 年 月 日 专业班号___ ___组别_______ 交报告日期： 年 月 日 姓 名__Bigger __学号_ _ 报 告 退 发 ： 〔订正、重做〕 同 组 者__ ________ 教师审批签字：实验名称：弗兰克-赫兹实验一、 实验目的1) 通过测氩原子第一激发电位，了解Franck 和Hertz 在研究原子内部能量量子化方面所采用的实验方法。
2) 了解电子和原子碰撞和能量交换过程的微观图像。
二、 实验仪器FH—1A 、Franck-Hertz 实验仪、示波器等。
三、 实验原理图1是充氩四极Franck-Hertz 实验原理图。
图1 Franck-Hertz 实验原理图电子与原子的碰撞过程可以用一下方程描述：22221111''2222e e m v MV m v MV E +=++∆ (2.1) 式中：m e ——原子质量； M ——电子质量； v ——电子碰撞前的速度； v ’——电子碰撞后的速度； V ——原子碰撞前的速度； V ’——原子碰撞后的速度； ΔE ——原子碰撞后内能的变化量。
按照波尔原子能级理论，ΔE = 0 弹性碰撞； ΔE = E 1 - E 0 非弹性碰撞；式中：E 0——原子基态能量； E 1——原子第一激发态能量。
电子碰撞前的动能1/2m e v 2 < E 1 - E 0时，电子与原子的碰撞为完全弹性碰撞，ΔE = 0，原子仍然停留在基态。
电子只有在加速电场的作用下碰撞前获得的动能1/2m e v 2 ≥ E 1 - E 0，才能在电子产生非弹性碰撞，使得电子获得某一值〔E 1 - E 0〕的内能从基态跃迁到第一激发态，调整加速电场的强度，电子与原子由弹性碰撞到非弹性碰撞的变化过程将在电流上显现出来。
Franck-Hertz 管即是为此目的而专门设计的。
光电子技术基础习题答案.
第一章绪论1. 光电子器件按功能分为哪几类？每类大致包括哪些器件？光电子器件按功能分为光源器件、光传输器件、光控制器件、光探测器件、光存储器件。
光源器件分为相干光源和非相干光源。
相干光源主要包括激光和非线性光学器件等。
非相干光源包括照明光源、显示光源和信息处理用光源等。
光传输器件分为光学元件(如棱镜、透镜、光栅、分束器等等)、光波导和光纤等。
光控制器件包括调制器、偏转器、光开关、光双稳器件、光路由器等。
光探测器件分为光电导型探测器、光伏型探测器、热伏型探测器、各种传感器等。
光存储器件分为光盘(包括CD、VCD、DVD、LD等)、光驱、光盘塔等。
2．谈谈你对光电子技术的理解。
光电子技术主要研究物质中的电子相互作用及能量相互转换的相关技术，以光源激光化，传输波导（光纤）化，手段电子化，现代电子学中的理论模式和电子学处理方法光学化为特征，是一门新兴的综合性交叉学科。
3．谈谈光电子技术各个发展时期的情况。
20世纪60年代，光电子技术领域最典型的成就是各种激光器的相继问世。
20世纪70年代，光电子技术领域的标志性成果是低损耗光纤的实现，半导体激光器的成熟特别是量子阱激光器的问世以及CCD的问世。
20世纪80年代，出现了大功率量子阱阵列激光器；半导体光学双稳态功能器件的得到了迅速发展；也出现了保偏光纤、光纤传感器，光纤放大器和光纤激光器。
20世纪90年代，掺铒光纤放大器(EDFA)问世，光电子技术在通信领域取得了极大成功，形成了光纤通信产业；。
另外，光电子技术在光存储方面也取得了很大进展，光盘已成为计算机存储数据的重要手段。
21世纪，我们正步入信息化社会，信息与信息交换量的爆炸性增长对信息的采集、传输、处理、存储与显示都提出了严峻的挑战，国家经济与社会的发展，国防实力的增强等都更加依赖于信息的广度、深度和速度。
⒋举出几个你所知道的光电子技术应用实例。
如：光纤通信，光盘存储，光电显示器、光纤传感器、光计算机等等。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
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在界面现象这一章中，将应用物理化学的基本原理，对界面的 特殊性质及现象进行讨论和分析。
10
§10.1 界面张力
1. 液体的表面张力，表面功及表面吉布斯函数
的由来：
体相内部分子所受四周邻近相同分子 的作用力是对称的
液体内部分子所受的力可以彼此抵销 表面分子受到体相分子的拉力大，受到 气相分子的拉力小（因为气相密度低）， 所以表面分子受到被拉入体相的作用力。
/mNm-1
1670 1140 685
527 12010 1000 905 4500 1030
17
（2） 与接触相的性质有关。
➢两种互不混溶的液体形成液-液界面时，界面层分子所处力场取 决于两种液体。所以不同液-液对界面张力不同。
表10.1.3 20°C 某些液-液界面张力（两液体已相互达到饱和）
60
66.18 19.01 21.9 18.6 23.81 23.7
80
62.61
16.2 21.53 21.3
极限情况：T→Tc时，γ→0
100
58.85 15.7 19.39
19
（4）压力的影响。
a．表面分子受力不对称的程度 ↓
P↑
b．气体分子可被表面吸附，改变, ↓
↓
c．气体分子溶于液相
表10.1.1 某些液态物质的表面张力
物质
正己烷 正辛醇 乙醇 乙醚 H2O NaCl LiCl Na2SiO3(水玻璃) FeO Al2O3 Ag Cu Pt
t / °C
20 20 20 25 20 803 614 1000 1427 2080 1100 1083 1773.5
/ mN m-1
18.4 21.8 22.3 26.43 72.75 113.8 137.8 250 582 700 878.5 1300 1800
dAsdAs 2ld2xldx 为为增增大大的的液液体体表面面积积
即：
W r
dA s
：使系统增加单位表面所需的可逆功 ，称为表面功。
单位：J·m-2。 （IUPAC以此来定义表面张力）
14
（3）表面吉布斯函数：
恒温、恒压下的可逆非体积功等于系统的吉布斯函数变
W r dGT ,p dA s
➢液体表面的分子恒受到指向液体内部的拉力，使表面有自动收 缩到最小的趋势，显示出独特性质，如表面张力、表面吸附、毛 细现象、过饱和状态等。
➢扩张表面需要做功
11
（1） 液体的表面张力 实验：
l
若使膜维持不变，需在金属丝上加一力F，其大小与金属
丝长度 l 成正比，比例系数 。因膜有两个表面，故有：
↓ （有例外）
（表10.1.4) 不同温度下液体的表面张力
液体
水 乙醇 甲醇
CCl4 丙酮 甲苯 苯
0
75.64 24.05 24.5 26.2 30.74 31.6
20
72.75 22.27 22.6 26.8 23.7 28.43 28.9
40
69.58 20.60 20.9 24.3 21.2 26.13 26.3
一般：p↑10atm, ↓1mN/m，例:
1atm 10atm
H2O = 72.8 mN/m H2O = 71.8 mN/m
F 2l
即： F / 2l
：表面张力：引起表面收缩的单位长度上的力，单位：N·m-1。
12
表面张力的方向
L L
对于平液面,表面张力的方向总是与外力相反,与液面外力F 使皂膜面积 增大dA时，需克服表面 张力作可逆表面功。
W rWrFdFxdx 2l2dlxdxddAAss
G
即：
A s
T , p
：恒温恒压下，增加单位表面时系统所增加的Gibbs函数。
单位：J·m-2。
表面张力、表面功、表面吉布斯函数，三者物理意 义不同，但量值和量纲等同，单位均可化为： N·m-1
15
2. 表面张力及其影响因素：
（1）与物质的本性有关——分子间相互作用力越大， 越大。
例：气－液界面： (金属键) > (离子键) > (极性键) > (非极性键)
16
➢固体分子间的相互作用力远远大于液体的,所以固体物质要比液 体物质具有更高的表面张力。
物质
Cu Ag Sn 苯 冰 氧化镁 氧化铝 云母 石英(1010晶面)
表10.1.2 一些固态物质的表面张力
气氛
Cu蒸气 真空 真空 真空
t /°C
1050 750 215
5.5 0. 25 1850 20 -196
物理化学
第十章 界面现象
The Interface Phenomena
1
界面与界面相 常见的界面有：
气-液界面
气-固界面
液-液界面
液-固界面
固-固界面
自然界中物质的存在状态：
气
气—液界面
液
液—液界面
固—液界面 固
固—气界面
固—固界面
界面：所有两相的接触面
界面现象
7
界面并不是两相接触的几何 面，它有一定的厚度，一般约几 个分子厚，故有时又将界面称为 “界面相”。
界面的结构和性质与相邻两 侧的体相都不相同。
例：水滴分散成微小水滴
分为1018个
直径：1cm 表面积：3.1416 cm2
直径：10nm 表面积：314.16 m2
表面积是原来的106倍
界面相示意图
一些多孔物质如：硅胶、活性炭等，也具有很大的比表面积。
8
二、界面现象普遍存在 (1)润湿现象。 (2)毛细现象。 (3)固体表面的吸附作用。 (4)微小液滴易于蒸发。 (5)微小晶体易于溶解。
界面
/mN m-1
界面
/mN m-1
水 – 正己烷
51.1
水 – 正辛烷
50.8
水 – 氯仿
32.8
水 – 四氯化碳
45
水 – 正辛醇
8.5
水 – 乙醚 水–苯 水 – 硝基苯 水–汞 苯–汞
10.7 35.0 25.66 375. 357.
18
（3） 温度的影响
气相中分子密度↑
T↑
液相中分子距离↑
9
把物质分散成细小微粒的程度称为分散度。把一定大小的物 质分割得越小，则分散度越高，比表面也越大。
物质的分散度可用比表面积as来表示，其定义为
as = As/m
单位为m2kg-1。
可见达到nm级的超细微粒具有巨大的比表面积，因而具有独
特的表面效应，成为新材料和多相催化方面的研究热点。
如由超细微粒制备的催化剂由于具有很高的比表面因而催化活性 较普通催化剂高；此外，将药物磨成细粉以提高药效、将金属做 成超细微粒以降低熔点都说明了超细微粒具有独特的表面效应。