2.1.1 指数幂及其运算性质
2.1.1指数与指数幂的运算 指数幂及其运算性质
【例 3】
1
已知 a 2
+
1
a2
=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2;
解:(1)将
1
a2
+
1
a2
=3
两边平方,
得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, 所以a2+a-2=47.
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
知识探究
n am
1
m
an 0
没有意义
探究
1:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,那么分数指数幂
m
an
能否理解为
m
n
个 a 相乘(a>0,m,n∈N*,且 n>1),该式有何规定?
m
答案:不能.分数指数幂是根式的另一种写法,规定 a n = n am .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s
(4)常用的变换方法有: ①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式 分解进行变形. (5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可 约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母; ③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.
题型四
1
易错辨析——忽略 a n有意义出错
11
【例 4】 化简:(1-a)[(a-1)-2(-a )2 ]2 .
高中数学：第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 (1)
指数函数2．1.1指数与指数幂的运算预习课本P48～53，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0 x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n aa＜0x不存在*.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a.②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)(π－4)2＝4－π.()(4)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()-=答案=-：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()A．a2-5B．a52C．a25D．.－a 52-=答案=-：A3．化简2532的结果是()A．5 B．15 C．25 D．.125 -=答案=-：D4．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.-=答案=-：118[例1] 化简： (1)n(x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时， n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.根式的化简与求值综上可知，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a .根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[活学活用]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 解析：(2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.-=答案=-：⎝⎛⎦⎤－∞，12根式与分数指数幂的互化[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2. [解] (1)13a2＝12123a ＝a2-3. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a113.(3) 3b －a 2＝⎝⎛⎭⎫b －a 213＝b 13·⎝⎛⎭⎫－1a 213＝b 13·(－a －2) 13＝－b 13a2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[活学活用]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ＞0) B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)解析：选C －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)； x 1-3＝⎝⎛⎭⎫1x —13＝31x(x ≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a4-3；②3a a (a ＞0)；③a 3a ·5a 4(a ＞0)．解：①a4-3＝14a 3.②3a a ＝a 13·a 16＝a 12.③原式＝a 3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3] 计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－0.010.5； (2)0.0641-3－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 4-3＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫141-223320.1()a b -- (a >0，b >0)．3-2指数幂的运算[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝g 132244100·a 32·a 123-2·b3-2·b 32＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 5．计算：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.解：(1)原式＝(0.33) 13－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋(223)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)·(3b 32) ＝12a 11-36b1-6·3b 32＝32a 16b 43.[例4]已知a 12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a 12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y ＝±35，即a2－a－2＝±3 5.-=答案=-：±3 52．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求112211 22-a b a b+值．解：11221122-a ba b+＝1122211112222--a ba b a b+（）（）（）＝12+-2-a b aba b（）（）. ①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6 3. ③条件求值问题将②③代入①，得11221122-a ba b+＝129＝－33.条件求值的步骤层级一 学业水平达标1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．(－1)13和(－1)26B ．0－2和012C ．212和414D ． 43-2和⎝⎛⎭⎫ 1 2 －3解析：选C 选项A 中，(－1) 13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1－1，(－1)26＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，43-2和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n ∈N ，n ＞1，那么2n(－5)2n 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5D ．不能确定解析：选A2n(－5)2n ＝2n52n ＝5.3．计算⎝⎛⎭⎫8116－14的结果为( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32解析：选A ⎝⎛⎭⎫8116－14＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324－14＝⎝⎛⎭⎫32－1＝23.4．化简[3(－5)2]34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．.－5解析：选B [3(－5)2]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5.5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73解析：选A 原式＝-4-464a b a b-133-5＝－32b 2.6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.-=答案=-：1 7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝___________________.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋ (y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1. -=答案=-：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________． 解析：原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. -=答案=-：329．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56 ； (2)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . (2)原式＝(m 14)8(n3-8)8＝m 2n －3＝m 2n3.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． 解：因为4a 4＋4b 4＝－a －B. 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二 应试能力达标1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D.⎝⎛⎭⎫122n －7解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 2.1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 0－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 23B ．a 55C ．a 76D ．.a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝2＝212a a ⨯53＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76.4．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43 C ．1 D.39解析：选B ∵x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.5．如果a ＝3，b ＝384，那么a [()]b a17n －3＝________.解析：a [()]b a 17n －3＝3384[()]317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. -=答案=-：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.-=答案=-：14 2157．化简求值：(1)⎛⎫ ⎪⎝⎭792 0.5＋0.1－2＋⎛⎫ ⎪⎝⎭10272－23－3π0＋3748；(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4；(3)⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3243-4＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4. (3)原式＝(－1)－23×⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a ＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值． 解：11+a14＋11-a14＋11+a 12＋41＋a ＝2(1+)(1-)a a 1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)a a 1122＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
2.1.1有理指数幂及其运算 优秀教学设计
2.1.1有理指数幂及其运算【课题】有理指数幂及其运算【教学目标】：（1）能用数学符号正确表示分数指数幂的意义;（2）明确分数指数幂的引入使指数概念由整数指数扩充到有理指数;（3）能用数学符号正确表示有理指数幂的三条运算性质;（4）能根据幂的运算性质熟练地进行分数指数幂和根式的运算.（5）培养学生猜想归纳的能力和转化能力.【教学重点】分数指数幂和根式的运算和应用【教学难点】分数指数幂的意义【教学过程设计】教学环节教学活动设计意图一、教学概念引入1、练习猜想归纳（负整数指数幂）练习________)(5=ab________)(32=a_______35=aa猜想1)_________53==aa2）与有何关系? =________与呢？2-a2a2-a na-n a归纳1)=_________na-)0(≠a2)=_________a)0(≠a2、观察归纳（分数指数幂）观察：假如我们规定:21aa=)0(≥a313aa=那么你能够把下列的根式可表为:________=n a)0(≥a________54=________53=-________)5(44=________)5(44=-________)5(33=________)5(33=-猜想归纳:通过练习猜想,归纳，帮助学生梳理知识，构建知识体系.________)(=n n a ⎩⎨⎧==_______________________________nn a ________=nm a )0(≥a 3、总结（有理数指数幂及其运算律）指数有理指数幂意义(a 的取值)运算律正整数an n a a a a 个⋅=负整数=-n a )0___(a 奇次根式=na 1偶次根式=na 1)0___(a 正有理数 =nm a)0(≥a 负有理数=nm a_)0___(a 1)2)3)二、例题讲解 例题1 用分数指数幂表示下列各式1)____13=a2)__________322=+n m 例题2 化简1) ____222284=⋅⋅2)_________)5()51(22=-x x 3)_______________221211=+++--mmm m 通过例题的讲解，进一步熟悉有理指数幂的运算性质，培养学生猜想归纳的能力和转化能力.例题3 求值（1）已知是方程的两个实数根，求2121,βα01632=+-x x 值βα+（2）已知，求的值32121=+-xx 110232322++++--xx x x 二、知识的应用通过题组训练，检查学生掌握有理指数幂的运算情况，对学生中尚存的问题及时进行补救.对习题按ABC 三个不同层次进行分类练习，适应学生不同的能力水平。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
2.1.1指数与指数运算(分式)
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整 数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )
2
(m
1 4
3
n8
)8
(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3
22 4
1
25 2
(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51
1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例： 当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的 指数/ 根指数
2 3
a2
3
2
(a 3 )3
2.1.1 指数与指数幂的运算
(
1
6000
) 5730
,
2
(
1
10000
) 5730
,
2
(
1
100000
) 5730
,
.
2
(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P
(
1 2
)
t 5730
.
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年 后,体内碳14的含量P的值.
(4)我们已经知道 １ ２，１ ２２，１ ２３， ...是正整数指
二、分数指数
• 规定： 1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N *, n 1)
3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1,
( 1 )2 ,
2
2
(
1 2
)3
,
.
(2) 当 生 物 体 死 亡 了 6000 年 ,10000 年 ,100000 年 后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root),
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数幂的运算(一)
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作：
a b c
4. 计算 5 2 6 .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a .
( 8 ) ;
3
( 2)
4
( 10) ;
2
4
(3 ) ;
( 4)
(a b) (a b).
2
例2 求下列各式的值：
(1) ( 2)
(3)
7
( 2 ) ;
7
4
( 3a 3) ;
4
3
(8) (3 2) (2 3 ) .
3 4 4 3 3
例3 求出使下列各式成立的x的取值范围：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a .
n
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a . ③负数没有偶次方根.
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第二课时指数幂及其运算性质
1.用分数指数幂的形式表示a3·(a>0)的结果是( B )
(A)(B)(C)a4(D)
解析:因为a>0,所以a3·=a3·==.故选B.
2.下列运算结果中,正确的是( D )
(A)a2·a3=a6(B)(-a2)3=(-a3)2
(C)(+1)0=0 (D)(-a2)3=-a6
解析:a2·a3=a2+3=a5,A错;
(-a2)3=(-1)3×a2×3=-a6,(-a3)2=(-1)2×a3×2=a6,B错;(+1)0=1,C错,故选D.
3.下列各式中成立的一项是( D )
(A)()7=n7(B)=
(C)=(x+y(D)=
解析:A中()7=n7m-7,故A错;B中的===,故B错;C中
不可进行化简运算;D中的=(=(=,故D正确.
4.化简()(-3)÷()等于( C )
(A)6a (B)-a (C)-9a (D)9a
解析:原式=(-3×3)=-9a.故选C.
5.若-=m,则等于( C )
(A)m2-2 (B)2-m2
(C)m2+2 (D)m2
解析:将-=m两边平方,得a-2+a-1=m2,即a+a-1=m2+2,
所以原式=a+=m2+2.故选C.
6.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:====a2·=,故选C.
7.若a>1,b>0,a b+a-b=2,则a b-a-b等于( D )
(A) (B)2或-2 (C)-2 (D)2
解析:因为a>1,b>0,所以a b>a-b,(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4=(2)2-4=4,
所以a b-a-b=2.故选D.
8.设x,y是正数,且x y=y x,y=9x,则x的值为( B )
(A)(B) (C)1 (D)
解析:依题意得x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,所以x9=9x.所以x8=9,所以x==.故选B.
9.-+的值为.
解析:原式=-+=-+=.
-=答案=-:
10.2+1-()-2-()= .
解析:原式=(33+()-4-[()3]=9+-4-=3.
-=答案=-:3
11.若10x=3,10y=4,则102x-y= .
解析:102x-y=102x÷10y===.
-=答案=-:
12.若a=2+,b=2-,则(a+1)-2+(b+1)-2= . 解析:原式=(3+)-2+(3-)-2
=()2+()2
=.
-=答案=-:
13.计算:
(1)(2)0+2-2·(2)+()0.5+;
(2)(·()÷.
解:(1)原式=1+·()++2
=1+++2=4.
(2)原式=×()×()
=2×()
=2×()4
=.
14.当a=4,b=27时,求下列各式的值.
(1)+;
(2)÷().
解:(1)因为====. 又因为=,
所以原式=+,
故当a=4,b=27时,原式=+2=+(33=+9=.
(2)因为原式
=÷()=÷(·=b÷(ab)=.
所以原式==(22=.
15.化简求值:
(1)2×(×)6+(-4×()-×80.25+(-2 005)0;
(2)(2)(-6)÷(-3).
解:(1)原式=2×(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-3-2+1=214. (2)原式=[2×(-6)÷(-3)]
=4ab0
=4a.
16.若=9,则3-x的值为( D )
(A)3 (B)(C)81 (D)
解析:将=9两边平方,得3x=81,所以3-x=.故选D.
17.已知a+=3(a>0),下列各式正确的个数为( C )
①a2+a-2=7;②a3+a-3=18;③+=±;④a+=2.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:将a+=3两边平方,得a2++2=9,
所以a2+a-2=7,故①正确;
将a+=3两边立方,得a3++3a+=27,
所以a3+a-3=18,故②正确;
a++2=(+)2=5,又因为>0,>0,
所以+=,故③错误;
a+=(+)(a+a-1-1)=(3-1)=2,故④正确.故选C.
18.计算:(+2)2 016(2-)2 017= .
解析:原式=(+2)2 016(2-)2 016(2-)
=[(2+)(2-)]2 016(2-)
=2-.
-=答案=-:2-
19.已知函数f(x)=则f()-f(5+)的值为.
解析:因为=<1,而5+>1,
所以f()-f(5+)=·-(5+-5)2+3=-+3=3.
-=答案=-:3
20.已知函数f(x)=,g(x)=.分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
名师点拨:由于-与+的乘积恰好为平方差公式的变形.先根据已知条件中解析式的特征计算f(x)·g(x)的值,并结合f(4),f(9)的值计算f(4)-5f(2)g(2)与f(9)-5f(3)g(3)的值均为0,并且由解析式可知f(x2)恰好等于5f(x)g(x),由此可概括出一般的等式f(x2)-5f(x)g(x)=0.
解:由f(x)=,g(x)=,
得
f(4)-5f(2)g(2)=-5××=-
=-=0,
f(9)-5f(3)g(3)=-5××=-=0.
由此得出x≠0时有f(x2)-5f(x)g(x)=0.
证明:f(x2)-5f(x)g(x)
=-5××=-
=-
=0.。