实数指数幂及其运算
高一数学实数指数幂及其运算
(2)10
1 (6) (3a - 1) (a ). 3
4 4
2 (a b)(a b) (7) 2 (a b)(a > b)
答案 （6）1-3a (7)b-a;a-b
推广:整数指数幂→正分数指数幂
根式与分数指数幂的互化
(a ) a
3 1 3 1 3 3
a
a a
a
7 3
a
13
1
1 2 n7 ( ) 2
1 2 n1 (2 ) ( ) 2 n 2 4 8
n 1 2
提高练习1
已知 a>0, （１） a
3 a2 1 a2
1 a2
a
1 2
=3，求下列各式的值: ；
1 2
a
1 2
1
７
（2）a a
（3）
3 a 2 1 a 2
2 3
1 3
3
a (a ) ( a )
2 3 1 3 2
a
1 2 3
又a
1 2 3
(a ）
2 3 2
1 3
3
a
2
还可以看出， ( a)
3
a
2
规定：一般地， a
m n
n
am
（ a 0 ， m, n 均为正整数） 。 这就是正数的分数指数幂的意义。 规定： a
m n
25=32 ````
-2 叫4的平方根 2， 2叫8的立方根 -2叫-8的立方根 2叫32的5次方根 ````
2n=a
2叫a的n次方根
（１）n次方根的定义
若x a(n 1, 且n N ),
3.1.1实数指数幂及其运算
(2) (10)2 | 10 | 10
(3)4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b(a b)
例2：求下列各式的值： (1)3 (8)3 4 (3 )4
(2)(5 a b )5 (6 b a )6 (b a)
一、根式：
1.n次方根： (1)定义：
一般地，如果 xn a，那么x叫做a 的n 次方根，其中n 1 且nN 。
(2)个数：
◇当n是奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的n次
方根是一个负数。
注：a的n 次方根用符号n a 表示
◇当n是偶数时：
●正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；
|
1
0.01 |2
8
9
(2)化简：3 a 2 a3 3 a7 3 a13 (a 0)
解：(1)原式=（0.43）13
1
(2)4
（24）0.75
1
（0.12）2
0.41 1 1 1 0.1 16 8
143
80
19
1( 3 )
1( 7 )
113
(2)原式= [a3 2 a3 2 ] [a 2 3 a 2 3 ]
9 3 7 13
a6 6 6 6 a0 1
1
例11：已知a 2
1
a 2
3，求 a
a1, a2
a2 的值
1
解：a 2
1
a 2
3
1
(a 2
1
a2
)2
9
a 2 a1 9 a a1 7 又(a a1)2 49 a2 2 a2 49 a2 a2 47
3.1.1 实数指数幂及其运算
张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于 ，即 (2)正整数指数幂的运算法则：=n m a a .① ；=÷n m a a ② );0,(=/>a n m =nm a )(③ ；=n ab )(④ ；=n ba)(⑤ ).0(=/b(3)整数指数幂：规定：=0a ==/- na a ),0( ⋅∈=/*),0(N n a 2．根式(l)n 次方根：一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中 ． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：=n n a )(② ⋅∈>*),1(N n n③当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：=nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数）． 正数的负分数指数幂的意义是：=-nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数） (2)运算性质：,)(,)(,.r r r r rs s r s r s b a ab a a a a a ⋅===+其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念n n n n a a 与))(1(这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要注意：①在条件*,,,0N n m a ∈>1>n 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法．2．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点： ①注意根式的符号：a ．n 为奇数时，n n a R a ,∈与a 的符号一致；b ．n 为偶数时，.0,0,0≤-≥≥n n n n a a a ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m 、n 都是正整数，且性质②中限定m>n ，为了取消m>n 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算[例1] 化简下列各式：;)()())(1(23425232b a b a b a ÷⋅-- ⋅--4301.01.0)2([解析] (1)由题目可获取以下主要信息： 两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。
《实数指数幂及其运算法则》课件
实数指数幂的定义
• 真数指数幂的概念及特点 • 如何计算实数指数幂
同底数幂的乘法运算法则
• 解释同底数幂的乘法运算法则 • 举例演示同底数幂的乘法运算
同底数幂的除法运算法则
• 介绍同底数幂的除法运算法则的原理 • 通过实例演示同底数幂的除法运算
幂的乘法运算法则
• 解释幂的乘法运算法则的规则 • 提供实际的例子演示幂的乘法运算
幂的除法运算法则
• 说明幂的除法运算法则的概念 • 使用具体案例演示幂的除法运算
幂的幂的运算法则
• 讲解幂的幂的运算法则的原理 • 通过实际问题演示幂的幂的运算
指数函数的定义
• 描述指数函数的概念和定义 • 提供指数函数的数学表达式
指数函数的图像
• 展示指数函数的特点和图像形态 • 比较不同指数函数的图像
实数指数幂及其运算课件
当堂检测：
an
(a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)；
跟踪练习：
四、有理指数幂的运算法则 (1)aαaβ＝ aα＋β(a>0，α，β∈Q)； (2)(aα)β＝ aαβ (a>0，α，β∈Q)； (3)(ab)α＝ aαbα (a>0，b>0，α∈Q)．
精讲点拨： 例题：化简下列各式
课堂小结：
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数 指数幂，再进行运算．
(2)(am)n＝amn
(m，n∈ )；
am (3) an
＝ am－n
(a≠0，m，n∈
)；
(4)(ab)m＝ am·bm (m∈ ).
课内探究：
因为aa33＝1，aa24＝a12，所以 a0＝1，a－2＝a12.
推广一： 二
三、分数指数幂
1．a的n次方根的意义
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)， 则x叫做 a的n次方根 ．求a的n次方根，叫做把a开n次
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课前检测： something
计算：
a3 a3=
，
a2
a4=
.
课前回顾：
一、正整数指数幂
1．正整指数幂
an＝a a a.an 叫做 a 的 n次幂，a 叫做幂的
n个
底数 ，n 叫做幂的 指数 ，并规定 a1＝a.
2．正整数指数幂的运算法则
(1)am·an＝ am＋n (m，n∈ N+ )；
跟踪练习：
2、分数指数幂探究
若把整数指数幂的运算法则推广到正分数 指数幂，则有下列各式成立：
实数指数幂及其运算法则
实数指数幂及其运算法则实数指数幂是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍实数指数幂的定义、性质以及运算法则。
一、实数指数幂的定义。
实数指数幂指的是形如a^b的数，其中a为实数，b为实数。
其中a称为底数，b称为指数。
当指数为正整数时，实数指数幂可以用连乘的形式表示，即a^b=aa...a，其中a出现了b次。
当指数为零时，实数指数幂定义为1。
当指数为负整数时，实数指数幂可以用连除的形式表示，即a^(-b)=1/(a^b)。
当底数为正数且指数为实数时，实数指数幂可以用连续开方的形式表示，即a^b=sqrt(sqrt(...(sqrt(a))...)，其中开方的次数为b。
二、实数指数幂的性质。
1.相同底数的实数指数幂相乘，指数相加。
即a^m a^n =a^(m+n)。
2.相同底数的实数指数幂相除，指数相减。
即a^m / a^n =a^(m-n)。
3.不同底数的实数指数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m b^m = (ab)^m。
4.不同底数的实数指数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m / b^m = (a/b)^m。
5.实数指数幂的乘方，指数相乘。
即(a^m)^n = a^(mn)。
6.实数指数幂的除法，指数相除。
即(a^m)^n = a^(m/n)。
7.任何数的零次幂都等于1。
即a^0 = 1。
8.任何数的一次幂都等于它本身。
即a^1 = a。
以上性质是实数指数幂运算的基本法则，可以帮助我们简化实数指数幂的运算，并且也可以推广到复数指数幂的运算中。
三、实数指数幂的运算法则。
实数指数幂的运算法则包括加减、乘除、乘方和开方等运算。
1.加减法。
对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加减运算。
例如，2^3 + 2^4 = 2^7，2^5 2^3 = 2^2。
2.乘法。
对于相同底数的实数指数幂，可以直接对指数进行加法运算。
例如，2^3 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
实数指数幂及其运算(56张PPT)高一数学人教B版必修第二册
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
实数指数幂及其运算完整版
精选ppt
1
复习引入
1 初中学习的正整数指数
2 正整数指数幂的运算法则
（1）amanamn (2) (am)n amn (3) aamn amn(mn,a0) (4) (ab)mambm
精选ppt
2
思考讨论
规定： a0 1(a0)
ana1n(a0,nN)
精选ppt
3
分数指数
❖ 1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念
1 1 3
(1)a2a4a 8
1
(2)(x2
1
y3
)6
8a3
(3)( 2
7b6
1
)3
(4)2x13(1x13
2
2x 3)
2
精选ppt
17
3 、下列正确的是（）
1
A 、 x ( x ) 2 ( x 0 )
B、
1
x3
3
x
C
、(
x
)
3
4
4
( y )3(x, y
0)
y
x
1
D 、6 y 2 y 3 ( y 0 )
（ 16） － 3 4＝ （ 2） 4 （ － 3 4） ＝ （ 2） － 3＝ 27。
81
3 精选ppt
38
12
练习:求值：
912，6432
,
(
1
1
)5
32
精选ppt
13
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a,a 33a2, aa(式 中 a0 )
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
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24=16 (-2)4=16 25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
a a
n
m n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
2 6 6 =-1 ； ( 1 ) ( 1 ) 1 =1. 这就说明 ( 1) 1 分数指数幂在底数小于0时无意义.
3 6 2 3 1 4 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 3 6
1 2
1 3
1 6
3 9
2
④（a b ） （a ） （b ） a b
2
2 3 3
1 4 3
3 4
（b ） ⑤（a b ）（a b ） （a ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 3
3
2 6
⒉负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 1 总表示正数，而不是负数 , 负号只是出现 － n a = n ( a≠0,n∈N*). 在指数上. a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是：
m n
a
1 a
m n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). n m a
例2．如果 2 x 5 x 2 0, 化简代 数式 4 x 2 4 x 1 2 | x 2 | . 解： 2 x 2 5 x 2 0, 2 2 x 5 x 2 0, 解之，得 1 x 2. 2
2
所以
2
2 x 1 0, x 2 0.
0.0001 10 4
a 2 2 1 2 a b c bc
2
回顾初中知识,根式是如何定义的？有 那些规定？ ①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a 的平方根. 22=4 2,-2叫4的平方根. 2 (-2) =4 ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 23=8 2叫8的立方根. (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
2
2 52
2 的过剩近似值
5
2的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
(n a) n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表 示a在实数范围内唯一的一个n次方根. 当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( a ) a
n n
(1)
5
2 的不足近似值
2 的不足近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 171 305 461 508 516 517 517 039 174 907 928 765 705 736
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n
a a.
n
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
公式3.
n
a | a | .
n
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
2 3 3 2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b 和的立方公式： 3 3 2 2 3 差的立方公式： (a b) a 3a b 3ab b
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2.
27=128
2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下 列各数的n次方根. ±5 (1)25的平方根是_______; 3 (2)27的三次方根是_____; (3)-32的五次方根是____; -2 (4)16的四次方根是_____; ±2 2 6 a (5)a 的三次方根是_____; 0 (6)0的七次方根是______. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
规定： 0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 ap 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数 . 上述关于整数指数幂的运算性质，对 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然 理数 r，s，均有下面的性质： 是下述的 3条.
5
2 2,
5
3
（ 2） 2.
3
结论:an开奇次方根,则有 n a n a.
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有
n
an | a | .
式子 n a n 对任意a ∊ R都有意义.
a的n次(奇次)方根用符号 a 表示.
n
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64 偶次方根
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 81 3
4
64的6次方根是2，-2.
6
记作： 64 2.
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
完全平方式: 立方和公式: 立方差公式: 落实基础知识 2 2 a b (a b)(a b)
2 2 2 2
(a b) a 2ab b (a b) a 2ab b
3 3 3 2 3 2
2 2 2
a b (a b)(a ab b ) a b (a b)(a ab b )
0
练习:
8 1
0
0
（ 8） 1
0
（a b）
1
2
10
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 64 （2 x） 3 1 2 x 6 1 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
64 1 4 6 r x 6 1 x r4
指数
(1)幂的概念: 幂
a a a ......a
n
n个a (2)幂的运算法则: 底数 ①同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ，即