实数指数幂及其运算教学设计姚璐

实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计

首都师范大学附属中学 姚璐

课程名称： 教材分析：

1. 数系的扩充

众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。

数系扩充的动力主要包括两个方面： （1）生产生活的推动

就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。

（2）数学本身的推动

许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。

事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：

（1）m n m n a a a +=⋅（0a >，,m n ∈R ）

（2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ）

当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ） 当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ）

则指数n a 的定义是唯一的

2. Cauchy 法

从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+⋅>Q 是,,<+⋅>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。

这种方法即为Cauchy 法.

事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如： （1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R （2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R （3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ⇔⋅=+∀>

（4）()

⇔⋅=⋅∀>

f m n f m f n m n

f x是幂函数或零函数()()(),,0

3. 指数运算和加法运算，乘法运算的区别

乘法运算是连加法运算的推广，指数运算是连乘法运算的推广。但是同加法运算以及乘法运算相比，指数运算有一个非常大的区别，即一个幂的底数与指数的地位是不平等的。

换言之，一般的b a

≠

a b

因此尽管有幂指数对底数的分配律成立，即

()c c c

⋅=⋅

a b a b

一般的，仍然有：

()()c

c b

b

⋅≠⋅

≠，b c b c

a a

a a a

而这恰恰是学生的易错点

学情分析：

1. 初中阶段，学生学习过整数指数幂，经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推演过程，能较为熟练的运用整数指数幂的运算性质解题，但零次幂和负整数指数幂为何选用该方式定义则较模糊，不够深刻。

初中阶段，学生学习过平方根运算和立方根运算，对于平方根和立方根运算相关性质掌握较好，易于接受高次方根的概念。

2. 本班是一个普通班，纯数学的推导较为抽象，相对较难，从具体模型入手则相对容易。教学目标：

知识与技能： 1.了解指数模型的实际背景

2.理解根式及有理指数幂的含义

3.掌握有理指数幂的运算性质

过程与方法：在解决简单实际问题的过程中，体会有理指数幂的含义

情感态度与价值观：体验数学与生产实践的紧密联系，提高数学应用意识

教学重点、难点：

教学重点：分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质

教学难点：根式的概念及分数指数概念

教学设计：

一、课前阅读：

阅读下述材料，回答问题

衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。不稳定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可变得较为稳定，这个过程称为衰变。

放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。

例如，氡-222经过α衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一次氡的数量级就会发现，每过3.8天就有一半的氡发生衰变。也就是说，经过第一个3.8天，剩下一半的氡，经过第二个3.8天，剩有1/4的氡；再经过3.8天，剩有1/8的氡......

因此，我们可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。

例如，氡-222衰变为钋-218的时间为3.8天，镭-226衰变为氡-222的时间为1620年，铀-238衰变为钍-234的半衰期竟长达4.5×109年。

设计意图：创设问题情境

问题一：

现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。假设某时刻放射性物质M 的量为1，则在自然条件下：

（1） 1年后，剩余放射性物质M 的量为多少？ （2） 2年后，剩余放射性物质M 的量为多少？ （3） 3年后，剩余放射性物质M 的量为多少？

（4） n 年后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ 问题二：

现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。假设在自然条件下，放射性物质M 放置了一段时间，剩余的量为1，则：

（1） 若放置时间为1年，则1年前放射性物质M 的量为多少？ （2） 若放置时间为2年，则2年前放射性物质M 的量为多少？ （3） 若放置时间为3年，则3年前放射性物质M 的量为多少？ （4） 若放置时间为n 年，则n 年前放射性物质M 的量为多少？ 为什么？

二、问题引入

问题四：前述表达中，n 的取值范围是什么？

问题五：现有一种新的放射性物质M ，自然条件下每经过一年，剩余M 的量为一年前的量的a 倍。假设某时刻放射性物质M 的量为1，则在自然条件下：

（

1） 半

年后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ （2） 一个月后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？ （3） 一年半后，剩余放射性物质M 的量为多少？为什么？

设计意图：结合具体模型为进一步引入有理指数幂及根式的概念作必要的准备

三、概念形成：

一般地，设a ，b 是实数，n 为正整数.若n b a =，则称b 为a 的n 次单位根. （1）当n 为奇数时，任何实数均恰有一个n （2）当n 为偶数时，负数没有n 次单位根；0有唯一的n 次单位根0；

正数有两个n 次单位根，记作根式运算性质：

,||,a n a n ⎧=⎨⎩

为奇数为偶数

问题六： 观察等式3

3

2

a ==，m n

a

（其中m 、n 是正整数）应该如何定义？

设计意图：引入正有理指数幂的概念