实数指数幂及其运算教案

第三章 基本初等函数(Ⅰ)
§3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算(一) 【学习要求】 1.了解根式与方根的概念及关系; 2.理解分数指数幂的概念; 3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般 的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. 填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘
记作 an,an 叫做 a 的 n 次幂 ,a 叫做幂的 底数 ,n 叫做幂的 指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3)aamn ＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则 x 叫做 a 的 n 次方根 求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作
开方 运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次 算术根 当n a有意义的时候,n a叫做 根式 ,n 叫做根指数.当 n 为
奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数 ,负数的 n 次方根是一个 负数 ,此时 a 的 n 次实数方根只有一个,记为n a;当 n
为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为
相反数 ,它们可以合并写成
n ±a
(a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n 次方根呢？答案是肯定的,
这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题 1 整数指数幂 an (n∈N＋)的意义是什么？an、a、n 分别叫做什么？
答: an (n∈N＋)的意义为:an ＝,an 叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数.
问题 2 正整指数幂有哪些运算法则？ 答: (1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3)aamn＝am－n (m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题 3 零和负整指数幂是如何规定的？
答: 规定:a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n (a≠0,n∈N＋).
例 1 计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的 a,b≠0).
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403(a＋b≠0,a－b≠0).
解
a－3b－2 －3a2b－1
(1)
9a－2b－3
＝－3a－39＋2b－2－1a2b3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a;
(2)
a＋b a－b
－3 －2
a－b a＋b
403＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结: 当我们规定了 a0＝1 (a≠0);00 无意义;a－n＝a1n
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
跟踪训练 1 化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);
(2)10－3＝______;－21－6＝______.
答案： (1)1 1 1
(2)0.001 64
探究点二 根式的概念与性质
问题 1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？

答: 若 x2＝a,则 x 叫做 a 的平方根.同理,若 x3＝a,则 x 叫做 a 的立方根.根据平方根、立方根的定义,当 a>0 时,有两个 平方根,它们互为相反数± a;当 a＝0 时, 0＝0;当 a<0 时,在实数范围内没有平方根.在实数范围内 a 只有一个立方根,
记作3 a. 问题 2 类比 a 的平方根及立方根的定义,如何定义 a 的 n 次方根？ 答:如果存在实数 x,使得 xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则 x 叫做 a 的 n 次方根.求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作开
方运算.正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根.当n a有意义的时候,n a叫做根式,n 叫做根指数. 问题 3 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个？当 n 为奇数时呢？
n为奇数，a的n次方根有一个，为n a 答:a 为正数:
n为偶数，a的n次方根有两个，为±n a，
a 为负数:n为奇数，a的n次方根只有一个，为n a n为偶数，a的n次方根不存在.
零的 n 次方根为零,记为n 0＝0. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和 n 为偶数这两 种情况.
问题 4 根据 n 次方根的意义,可得:(n a)n＝a,即(n a)n＝a 肯定成立,n an表示 an 的 n 次方根,等式n an＝a 一定成立
吗？如果不一定成立,那么n an等于什么？
答:
n 为奇数,n an＝a;
n 为偶数,n an＝|a|＝－a a
a≥0 a<0
.
例2
求下列各式的值:
3 (1)
－8 3;
(2)
－10 2;
4 (3)
3－π 4;
(4)
a－b 2 (a>b).
解:
3 (1)
－8 3＝－8; (2)
a－b (a>b).
－10
2＝|－10|＝10;
4 (3)
3－π 4＝|3－π|＝π－3; (4)
a－b 2＝|a－b|＝
小结:当 n 为偶数时,n an化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.
跟踪训练 2 求下列各式的值:
7 (1)
－2 7;
3 (2)
3a－3 3 (a≤1).
解: (1)－2; (2)3a－3.
探究点三 利用根式的性质化简或求值
例 3 化简: a－1 2＋ 1－a 2＋3 1－a 3＝________. 解析: 由题意知 a－1≥0,即 a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对m an仅当 a≥0 时,
恒有m an＝(m a)n,若 a<0,则不一定成立.
跟踪训练 3 化简3 a3＋4 1－a 4的结果是
A.1
B.2a－1
C.1 或 2a－1
D.0
()
解析:
3 a3＋4 1－a 4＝a＋|1－a|＝21a，－1，
探究点四 有限制条件的根式的化简
a≤1 .
a>1
故选 C.
例 4 设－3解: 原式＝ x－1 2－ x＋3 2＝|x－1|－|x＋3| ∵－3当 1≤x<3 时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4,
∴原式＝－2x－2 －4
－3.
小结: 此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.
跟踪训练 4 本例中,若将“－3解: 原式＝ x－1 2－ x＋3 2＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3,∴x－1<0,x＋3≤0,∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.

练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列说法中:①16 的 4 次方根是 2; ②4 16的运算结果是±2; ③当 n 为大于 1 的奇数时,n a对任意 a∈R 都有意义;
④当 n 为大于 1 的偶数时,n a只有当 a≥0 时才有意义.其中正确的是
A.①③④
B.②③④
C.②③
D.③④
()
解析: ①错,∵(±2)4＝16, ∴16 的 4 次方根是±2; 2.已知 x5＝6,则 x 等于
②错,4 16＝2,而±4 16＝±2. ③④正确. 答案 D ()
A. 6
5 B. 6
C.－ 5 6
5 D.± 6
解析: 由根式的定义知,x5＝6,则 x＝5 6,故选 B. 3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是
()
4 A.
m2
3 B. m
6 C. m
5 D.
－m
解析: 要使6 m有意义,m≥0. 课堂小结：
1.根式的概念:如果 xn＝a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈N＋.n 为奇数时,x＝n a,n 为偶数时,x＝±n a(a>0); 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0.
2.掌握两个公式:
n (1)(
a)n＝a;
(2)n 为奇数,n an＝a,n 为偶数,n an＝|a|＝a－a
a≥0 a<0
.