自适应控制大作业

自适应控制结课作业班级：组员：2016年1月目录1 遗忘因子递推最小二乘法 (1)1.1最小二乘理论 (1)1.2带遗忘因子的递推最小二乘法 (1)1.2.1白噪声与白噪声序列 (1)1.2.2遗忘因子递推最小二乘法 (2)2.2仿真实例 (3)2 广义最小方差自校正控制 (5)2.1广义最小方差自校正控制 (5)2.2仿真实例 (6)3 参考模型自适应控制 (9)3.1参考模型自适应控制 (9)3.2仿真实例 (12)3.2.1数值积分 (12)3.2.2仿真结果 (12)参考文献 (16)1 遗忘因子递推最小二乘法1.1最小二乘理论最小二乘最早的想法是高斯在1795年预测行星和彗星运动轨道时提出来的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”。

这一估计方法原理简单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。

最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。

由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。

1.2带遗忘因子的递推最小二乘法1.2.1白噪声与白噪声序列系统辨识中所用到的数据通常含有噪声。

从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有理想谱密度的平稳随机过程。

白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。

白噪声的数学描述如下：如果随机过程()t ξ均值为0，自相关函数为2()σδτ，即2()()R ξτσδτ=式中，()δτ为单位脉冲函数(亦称为Dirac 函数)，即,0()0,0τδττ∞=⎧=⎨≠⎩，且-()1d δττ∞∞=⎰ 则称该随机过程为白噪声，其离散形式是白噪声序列。

如果随机序列{}()V k 均值为零，且两两互不相关，即对应的相关函数为：2,0()[()()]0,0v n R n E v k v k n n σ⎧==+=⎨=⎩则这种随机序列称为白噪声序列。

其谱密度函数为常数2(2)σπ。

白噪声序列的功率在π-到π的全频段内均匀分布。

建立系统的数学模型时，如果模型结构正确，则模型参数辨识的精度将直接依赖于输入信号，因此合理选用辨识输入信号是保证能否获得理想的辨识结果的白噪声序列仿真长度噪声幅值关键之一。

理论分析表明，白噪声作为被辨识系统的输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励，可防止数据病态，保证辨识精度，可以保证获得较好的辨识效果。

图1-1 白噪声序列1.2.2遗忘因子递推最小二乘法假设被辨识的系统为一单入单出的离散时间系统，且已知为CAR 模型（带控制量的自回归模型），如图2所示：图1-2 辨识系统模型即11()()()()()A z y k B z u k d k ξ--=-+式中，()u k 为输入变量，()y k 为输出变量，()k ξ为白噪声，且11212112012()1()a a b b n n n n A z a z a z a zB z b b z b z b z--------⎧=++++⎪⎨=++++⎪⎩ 则上式可转化为如下最小二乘格式：120()(1)(2)()()()()()()()a b n a n b T y k a y k a y k a y k n b u k d b u k d n k y k k k ξϕθξ=-------+-++--+=+式中，()k ϕ为数据向量，θ待估参数向量，且)k(1)1(1)110()[(1),,(),(),,()][,,,,,]a b a b a b n n T a b n n Tn n k y k y k n u k d u k d n R a a b b Rϕθ++⨯++⨯⎧=-------∈⎪⎨=∈⎪⎩取算法的性能指标为21ˆ[()()]LL k T k J y k k λϕθ-==-∑ 式中，λ为遗忘因子（01λ<≤）。

带遗忘因子的递推最小二乘估计的算法公式为：ˆˆˆ()(1)()[()()(1)](1)()()()(1)()1()[()()](1)T T T k k K k y k k k P k k K k k P k k P k I K k k P k θθϕθϕλϕϕϕλ⎧=-+--⎪-⎪⎪=⎨+-⎪⎪=--⎪⎩公式表明，新的参数估计ˆ()k θ是用新的实际测量值()y k 与基于老模型进行预测得到的量ˆ()(1)T k k ϕθ-之偏差，对前面的参数估计加以修正得到的，修正系数阵为()K k 。

(1)P k -的物理意义是参数估计误差的方差，作为参数估计精度的一种度量。

遗忘因子λ的作用是削弱过去数据的作用，通常λ选择0.95到0.998之间的数。

带遗忘因子的递推最小二乘估计算法属于在线辨识所用方法的一种，它既能克服离线辨识的缺点，也能克服递推最小二乘估计中的“数据饱和”现象，同时它充分重视了当前数据的作用。

遗忘因子最小二乘法的算法：已知A 式阶次a n 、B 式阶次b n 以及延迟d 。

步骤1：设置初值(0)θ和(0)P 及遗忘因子λ，输入初始数据； 步骤2：采样当前输出()y k 和输入()u k ；步骤3：利用递推公式，计算()k K 、()k θ和()k P ； 步骤4：1k k →+，返回步骤2，继续循环。

2.2仿真实例系统模型如下：)()5(7.0)4()3(1.0)2(6.0)1(1.1)(k k u k u k y k y k y k y ξ+-+-=-+-+-- 其中，输入()u k 为方差为1的白噪声，()k ξ为方差为0.1的白噪声。

由于(0)P 和(0)θ的选择可按如下方法：(0)(0)α=⎧⎪⎨=⎪⎩P Iθε式中，α为充分大的正实数410(10~10)，ε为零向量或充分小的正的实向量。

因此，取初值6(0)10=P I 、(0)=θ0。

仿真结果如下：-2-1.5-1-0.500.511.52图 1-3 参数估计结果-20-15-10-505101520图 1-4 实际输出与辨识输出对比2 广义最小方差自校正控制2.1广义最小方差自校正控制当考虑干扰对系统的作用时，控制器的设计就是要最大限度的减小干扰对系统的影响。

鉴于一般被控对象或过程都存在不同程度的纯迟延，控制()u k 对系统的作用要到()k d +时刻才有响应。

在这段纯迟延的时间内，干扰仍会作用于系统，所以在k 时刻预测()k d +时刻的输出，并按照预测误差的方差最小的原则，设计现时控制()u k ，并加以实施。

当过程参数未知，或者时变时，用递推最小二乘法估计，或者直接估计控制器参数，然后算出控制量来，这就是最小方差自校正控制的基本思想。

但最小方差自校正控制器存在一些固有的问题，特别是其不适用于非最小相位系统且输入控制量不受约束，因此考虑在性能指标中加入控制量的罚函数，限制过大的控制输出，便形成了广义最小方差自校正控制器。

控制算法框图如下：被控对象为：111()()()()()()d A z y k z B z u k C z k ξ----=+其中：d 为延迟因子，()u k 为输入变量，()y k 为输出变量，()k ξ为白噪声。

1()C z -为 Hurwitz 多项式。

选择性能指标函数为：{}11212[()()()()][()()]r J E P z y k d R z y k d Q z u k ---=+-++式中，()r y k 为期望输出；()y k d +为第()k d +拍的输出；()u k 为第k 拍的控制；1()P z -、1()R z -和1()Q z -分别为输出、期望输出和控制的加权多项式，它们分别具有改善闭环系统性能，软化输入和约束控制量的作用。

并且11212112012112012()1...()...()...pr r q q nn n n n n P z p z p z p z R z r r z r z r z Q z q q z q z q z------------=++++=++++=++++上述多项式的阶次及参数根据实际需要确定。

由此，据文献[1]知，广义最小方差控制律为：111111110()()()()()()()()()()()r C z R z y k d G z P z y k u k q C z Q z F z P z b --------+-=+ 在进行控制系统设计时，一般可以取加权多项式1()1P z -=、1()1R z -=和10()Q z q -=，而0q 大小的选取需要在快速性和稳定性方面进行权衡。

而要稳态误差为零，则需满足条件：P B QA R +=)1()1( 广义最小方差直接自校正控制的算法： 已知：模型阶次a n 、b n 、c n 以及延迟d 。

步骤1：设置初值(0)θ和(0)P ，输入初始数据，并设置加权多项式1()P z -、1()Q z -、1()R z -；步骤2：采样当前实际输出()y k 和期望输出()r y k d +；步骤3：构造观测数据向量)ˆd k -（ϕ并利用递推增广最小二乘法在线实时估计被 控对象参数θ，即C F Gˆˆˆ和、； 步骤4：利用最小方差控制律计算并实施()u k ； 步骤5：1k k →+，返回步骤2，继续循环。

2.2仿真实例设系统模型如下：)1(6.0)()5(2)4()3(5.0)2(8.0)1(9.0)(-++-+-=---+--k k k u k u k y k y k y k y ξξ其中，()k ξ为方差为0.1的白噪声，采用广义最小方差控制。

取初值6(0)10=P I 、0ˆ0=θ；设置加权多项式1()1P z -=、5.1)(1=-Z R 、1()Q z -=2。

期望输出采用幅值为10的方波型号，其控制结果如下：50100150200250300350400450500-20-15-10-505101520ky r(k )、y (k )实际输出跟踪模型输出图图 2-1 期望输出与实际输出对比-10-8-6-4-20246810ku (k )控制量变化图图 2-2 控制量u(k)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81k参数估计g 、c图 2-3 估计参数50100150200250300350400450500-2-11234k辨识参数f图 2-4 辨识参数3 参考模型自适应控制3.1参考模型自适应控制模型参考自适应控制器（MRAC，model reference adaptive control），即为利用可调系统（包含被控对象）的各种信息，度量或测出某种性能指标，把它与参考模型期望的性能指标相比较；用性能指标偏差（广义误差）通过非线性反馈的自适应律来调节可调系统，以削弱可调系统因“不确定性”所造成的性能指标的偏差，最后达到使被控的可调系统获得较好的性能指标的目的。