2020版高考数学大一轮复习-第3节平面向量的数量积及其应用讲义(理)(含解析)新人教A版
2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例课件理新人教A版
)
(6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹
角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12， 则∠ABC＝( )
A．30°
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 几何意义
__|b_|_c_o_s_θ_的乘积
2.向量的夹角
定义
已知两个非零
向量 a 和 b，作
→
→
OA＝a，OB＝
b，则__∠__A_O_B__
就是 a 与 b 的
ห้องสมุดไป่ตู้夹角
图示
范围
共线与垂直
若 θ＝0°，则 设 θ 是 a 与 b a 与 b__同__向___；
的夹角，则 θ 若 θ＝180°， 的取值范围是 则 a 与 b_反__向__； _0_°__≤__θ_≤__1_8_0_° 若 θ＝90°，则
a 与 b__垂__直____
3. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a___； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a_·_(_λ_b_) _； (3)(a＋b)·c＝__a_·_c_＋__b_·c__. 4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，a·b ＝x1x2＋y1y2.
A0， 3，D－13，0，E13，0，
所以A→D＝－13，－
3，A→E＝13，－
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
【解析】 (1)因为 a⊥b，所以 2m－2＝0，所以 m＝1，则 2a
2020年高考数学(理)之平面向量 专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)
平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos b a . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r 22x y +.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r .【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC uuu r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，221(3)1BC t =+-=u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【真题分析】【答案】B4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设， 则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离2减去半径1，为选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC uuu r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC uuur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC uuu r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC uuu r |2>|AB u u u r -AC uuu r |2AB ⇒u u u r •AC uuu r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB u u u r与AC uuu r的夹角为锐角.故“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuu r |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C ． 【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C. 【答案】C7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则， 由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=c a b ，则cos ,=a c ___________. 【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ，所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(23)3y x=-，直线AE的斜率为33-，其方程为33y x=-.由3(23),333y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x=，1y=-，所以(3,1)E-.所以35(,)(3,1)122BD AE=-=-u u u r u u u rg g. 【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB AC =u u u r u u u r 故3ABAC= 【答案】3.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【答案】314.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e e e ，22212121122|3|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e ，∴22321cos601λλλ-=+⨯︒=+，解得3λ=． 【答案】31.已知向量(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则()(2)a b a b +•-=r r r r（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+，应选A. 【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ）A.4B.–4C.94D.–94 【解析】由43m n =u r r，可设3,4(0)m k n k k ==>u r r ，又()n tm n ⊥+r u r r ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r .所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）【模拟考场】A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a r，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-οa b a b a .23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量ba ,, 21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12. 【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ． 【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r , 所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AB AD BC AD AB BC AB 111291331818=++-= 【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813== 则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】78 9.设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥r r ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=， 则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】2 10.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=， ()AB AC AC AB AE AC -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅λ3231 =433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】113 11.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是__________． 【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r ，且0a b ⋅=r r ，可得： ()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r r r ，由此可得c r 的取值范围是[]0,5.【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数． (1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直， 所以()()042=-⋅+. 所以08222=-⋅-，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16， 又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。
2020年高考数学(理)之平面向量 专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)
平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r.【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【真题分析】4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)， 则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x的距离21，为√3−1.选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC u u u r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r|；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以ABu u u r与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuur |>|BC u u u r |”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5(,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r ；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】14.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e，12|2-===e，12||λ+===e ecos60λ=︒3λ=．1.已知向量(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则()(2)a b a b+•-=r r r r（）A．2 B．-2 C．-3 D．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+baba，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+baba，应选A. 【答案】A2.已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=13.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（）A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n=u r r，可设3,4(0)m k n k k==>u r r，又()n tm n⊥+r u r r，所以22221()cos,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r.所以4t=-，故选B.【答案】B12-e12λ+e eλ∴【模拟考场】3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a ra b a 2，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-ο.23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量,,21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12.【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD BC AD AB BC AB111291331818=++-=【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅b a b a CABA ，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813==则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】789.设向量()2log 3,a m =r，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥rr ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=，则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】210.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=，()-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅λ3231=433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】11311.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的取值范围是__________．【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r，且0a b ⋅=r r ，可得：()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r rr，由此可得c r的取值范围是[]0,5. 【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数．(1)若b a 2+与b a 4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以()()042=-⋅+.所以08222=-⋅-b b a a ，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。
2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用讲义理含解析
第3讲平面向量的数量积及应用1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a ⊥b ⇔□01a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝□02|a |2或|a |＝□03a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤□04|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a ·b ＝□01b ·a ； (2)(λa )·b ＝□02λ(a ·b )＝□03a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝□04a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝□01x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝□02x 2＋y 2或|a |＝□03 x 2＋y 2； (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝□04x 2－x 12＋y 2－y 12；(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔□05x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.1．概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)若a ·b ＝b ·c (b ≠0)，则a ＝c .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．小题热身(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案 B解析 因为a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 2解析 ∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.(3)设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 答案 60°解析 设a 与b 的夹角为θ，因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0， 故|a |2－|a ||b |cos θ＝0，解得cos θ＝12，故a 与b 的夹角为60°.(4)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．答案 －2解析 因为a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos120°＝－10，所以b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.题型 一 平面向量数量积的运算1．已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D.12答案 D解析 由两个单位向量a 和b 的夹角为60°，可得a ·b ＝1×1×12＝12，(a －b )·a ＝a2－a ·b ＝1－12＝12，向量a －b 在向量a 方向上的投影为a －b a |a |＝121＝12，故选D. 2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为()A ．－15B ．－9C ．－6D ．0 答案 C解析 连接MN ，因为BM →＝2MA →，所以AB →＝3AM →，同理AC →＝3AN →，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3MN →，BC →·OM →＝3MN →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3(OM →)2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.3．已知菱形ABCD 的两条对角线BD ，AC 的长度分别为6,10，点E ，F 分别是线段BC ，CD 的中点，则AE →·BF →＝________.答案 12解析 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A (－5,0)，C (5,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，B (0,3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，32，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－92，则AE →·BF →＝12.计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.1．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，x )，若a ∥b ，则a ·c ＝( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．20 答案 D解析 因为a ∥b ，所以x －2×2＝0，解得x ＝4，所以a ＝(4,2)，所以a ·c ＝(4,2)·(3,4)＝4×3＋2×4＝20.2．(2019·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322答案 A解析 依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－3 5.3．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( )A ．－7B ．0 C.7 D ．7 答案 B解析 以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB →＋13AD →，AN →·MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13×(9－9)＝0，故选 B.题型 二 平面向量数量积的性质1．(2018·华南师大附中一模)已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m －1)OB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.87B.43C.65D.16 答案 A解析 由题意得，OC →＝OB →＋BC →＝(m －n )OA →＋(2n －m )OB →，AB →＝OB →－OA →，OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3.又因为OC →⊥AB →，所以OC →·AB →＝[(m －n )OA →＋(2n －m )OB →]·(OB →－OA →) ＝－(m －n )OA →2＋(2m －3n )OA →·OB →＋(2n －m )OB →2＝－9(m －n )＋3(2m －3n )＋4(2n －m )＝0，整理得7m －8n ＝0，故m n ＝87.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.答案 2 3解析 由题意得，a ·b ＝2×1×cos60°＝1， 所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝2 3.3．已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.答案2π3解析 由已知条件得 |m |＝sin 2θ＋－cos θ2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去)． 因为0<θ<π，所以θ＝2π3.条件探究1 把举例说明1的条件改为“已知OA →＝(23，0)，OB →＝(0,2)，AC →＝tAB →，t∈R ，当|OC →|最小时”，求t 的值．解 由题意得，OC →－OA →＝t (OB →－OA →)，OC →＝(1－t )OA →＋tOB →＝(1－t )·(23，0)＋t (0,2) ＝(23－23t,2t )，所以|OC →|2＝12(1－t )2＋4t 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342＋3，所以当t ＝34时，|OC →|取最小值．条件探究2 把举例说明2的条件改为“平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2”，求|3a ＋b |.解 由题意得，|a |＝12＋12＝2，a ·b ＝2×2×cos45°＝2.所以|3a ＋b |2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×2＋6×2＋22＝34. 所以|3a ＋b |＝34.1．求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.如举例说明3.2．求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2. (2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．如举例说明2.3．解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)根据两个向量垂直的充要条件a ·b ＝0，列出相应的关系式．如举例说明1.1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， ∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20. ∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |， ∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 2．(2018·北京高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. 答案 －1解析 由已知，m a －b ＝(m ＋1，－m )，又a ⊥(m a －b )， 所以a ·(m a －b )＝1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，解得m ＝－1.3．(2018·青岛模拟)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为2π3，且a ＋b ＋c ＝0，则|c |＝________.答案7解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，所以c 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝22＋32＋2×2×3×cos 2π3＝4＋9－6＝7. 所以|c |＝7.题型 三 向量数量积的综合应用角度1 向量在平面几何中的应用1．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 ∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0，(AC →－2AB →)⊥AC→⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC→|，则cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝12，∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．角度2 向量在解析几何中的应用2．已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为________．答案5 解析 由AB →·BC →＝0可知，AB →⊥BC →.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )， 则AD →＝(x －1，y )，DC →＝(－x,2－y )．由AD →·DC →＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.所以点D 在以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上．因为|BD →|表示B ，D 两点间的距离， 而|EB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52. 所以|BD →|的最大值为|EB →|＋r ＝52＋52＝ 5.角度3 向量与三角函数的综合应用3．(2018·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长． 解 (1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C .又m ·n ＝sin2C ， 所以sin2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6.1．向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．如举例说明1.2．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．如举例说明2.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．3．向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行求解．如举例说明3.1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 由已知得PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝(－2－x )·(3－x )＋(－y )·(－y )＝x 2－x －6＋y 2＝x 2，所以y 2＝x ＋6，故点P 的轨迹是抛物线．2．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0，∴CB →·(AB →＋AC →)＝0，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，|AB →|＝|AC →|，∴三角形ABC 为等腰三角形．3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．11 (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. ∵0<A <π，∴π3<2A ＋π3<7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C .由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2.。
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特别提醒：投影也是一个数量，不是向 量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为 钝角时投影为负值；当θ为直角时投影 为0；当θ＝0°时投影为|b|；当θ＝ 180°时投影为－|b|.
2．数量积的性质(e 是单位向量〈, a,e〉＝θ)
(1)e·a＝a·e＝_|a_|_co_s_θ__.
(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝__|a_||_b_| __；当 a 与 b 反向时，a·b＝－___|a_||_b_| _.特别地，有 a·a ＝_|_a_|2__或|a|＝___a_·a___. (3)a⊥b⇔a·b＝0.
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
解析：选 B.因为 a＝(2,0)，|b|＝1，所以
|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋
2b|＝ a2＋4a·b＋4b2＝2 3.
3．平面向量 a＝(1,2)，b＝(－3，x)，若
a⊥(a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π4
B.π3
C.23π
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝|B→A| ＝___x_1_－__x_2_2_＋___y_1－__y_2_2__.
(4)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ __x_1_x_2_＋__y1_y_2_＝__0_______.
5．平面向量在物理中的应用
第3课时 平面向量的数量积及平 面向量的应用举例
教材回扣夯实双基
基础梳理 1．数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们 的夹角为θ，则__ห้องสมุดไป่ตู้_a_|·_|b_|_·c_o_s_θ__叫做a与b 的数量积,记作a·b,即_a_·b_＝__|_a_||_b_|·_c_o_sθ__； (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度与 b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
高考数学一轮复习第3讲 平面向量的数量积及应用
第3讲平面向量的数量积及应用1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则01∠AOB就是a 与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是020°≤θ≤180°03θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，04θ＝90°⇔a⊥b设两个非零向量a，b的夹角为θ05|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b.3．向量数量积的运算律交换律a·b＝06b·a分配律(a＋b)·c＝07a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝08a·(λb)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝09x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝10x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝011x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤错误!1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足乘法结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立．3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝a2.4．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b<0)．1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝()A.2B．2C．52D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝错误!＝错误!.故选A.2．(2020·海南省普通高中高考调研测试)已知向量a＝(0,2)，b＝(23，x)，且a与b 的夹角为π3，则x ＝( )A ．－2B ．2C ．1D ．－1答案 B解析 由题意得cos π3＝a·b|a||b|＝2x2x2＋12＝12，所以x >0，且2x ＝x2＋12，解得x ＝2.故选B.3．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则AB →·(CB →＋BA →)的值为( )A.32B ．－32C.32D ．－32答案 D解析 由图知，AB →与CB →的夹角为120°.∴AB →·(CB →＋BA →)＝AB →·CB →＋AB →·BA →＝cos120°－12＝－32.4．已知a ，b 为非零向量，则“a·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a·b >0，所以“a·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5．(2020·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________.答案 5解析 由a ⊥b 可得a ·b ＝0，因为a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，所以a ·b ＝1·(m ＋1)＋(－1)·(2m －4)＝0，解得m ＝5.6．(2020·山西太原五中高三二模)已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________.答案π3解析 由两个向量垂直，数量积为零，得错误!两式相减可得|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ，则有a 2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos θ＝0，所以cos θ＝12，θ＝π3.考向一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2021·海南省海南中学高三月考)如图为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，P ，R ，S 为图象与x 轴的三个交点，Q 为函数图象在y 轴右侧部分上的第一个最大值点，则(QP →＋QR →)·(QR→＋QS →)的值为( )A ．π－2B ．π＋4C ．π2－2D ．π2＋4答案 D解析 设PR 的中点为A ，RS 的中点为B ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12，1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫17π12，0，所以(QP →＋QR →)·(QR →＋QS →)＝(2QA →)·(2QB →)＝4QA →·QB →＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，－1·(π，－1)＝π2＋4，故选D.(2)(2020·烟台一模)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝4，|AD →|＝6，∠BAD ＝π3.若点M ，N 满足BM →＝MC →，AN →＝2ND →，则NM →·AM→＝( )A ．23B ．17C ．15D ．9答案 B解析 由题意可得，AN →＝23AD →，BM →＝12BC →，AD →＝BC →，∴BM →＝12AD →，则NM →·AM →＝(NA →＋AB →＋BM →)·(AB →＋BM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23AD →＋AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－16AD →＋AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＝|AB →|2－112|AD →|2＋13AB →·AD →＝42－112×62＋13×4×6×12＝16－3＋4＝17.故选B.求向量a ，b 的数量积a ·b 的三种方法(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．1.(2020·北京高考)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB→＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD→＝________. 答案5 －1解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，AP →＝12(AB →＋AC →)＝12(2,0)＋12(2,2)＝(2,1)，则点P (2,1)，∴PD →＝(－2,1)，PB →＝(0，－1)，∴|PD →|＝错误!＝错误!，PB →·PD→＝0×(－2)＋(－1)×1＝－1.2．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE→＝________. 答案 －1解析 ∵AD ∥BC ，且∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.又AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. ∴∠E ＝120°.∴在△AEB 中，AE ＝BE ＝2. ∴BD →·AE →＝(BA →＋AD →)·(AB →＋BE →) ＝－BA →2＋BA →·BE →＋AD →·AB →＋AD →·BE → ＝－12＋23×2×cos30°＋5×23×cos30°＋5×2×cos180°＝－12＋6＋15－10＝－1. 多角度探究突破考向二 平面向量数量积的性质 角度1 平面向量的垂直例2 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－79，－73答案 D解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )，① 由c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－79，n ＝－73.故选D.(2)(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b答案 D解析 由已知可得，a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.对于A ，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2×1＝52≠0，不符合题意；对于B ，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0，不符合题意；对于C ，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2×1＝－32≠0，不符合题意；对于D ，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0，符合题意．故选D.角度2 平面向量的模例3 (1)设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( )A ．2B ．23C ．4D ．43答案 B解析 ∵a ·(a －b )＝0，|a |＝1，∴a 2＝a ·b ＝1，又|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3，∴b 2＝4，∴|2a ＋b |＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4＋4＝23.故选B.(2)(2020·北京模拟)已知向量a ＝(1，－2)，同时满足条件①a ∥b ，②|a ＋b |＜|a |的一个向量b 的坐标为________.答案 (－1,2)(答案不唯一)解析 设b ＝(x ，y )，由a ∥b ，得y ＝－2x ， a ＋b ＝(1＋x ，－2＋y )，由|a ＋b |＜|a |，得错误!＜ 错误!，把y ＝－2x 代入，得(x ＋1)2＋(－2x －2)2＜5，化简，得x 2＋2x ＜0，解得－2＜x ＜0，取x ＝－1，得y ＝2，所以b ＝(－1,2)．(答案不唯一) 角度3 平面向量的夹角例4 (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案 D解析 ∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19，|a ＋b |＝错误!＝错误!＝错误!＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝错误!＝错误!＝错误!.故选D.(2)(2020·德州二模)设a ＝(－1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则a 与c 夹角的余弦值为( )A.55 B ．255C ．23D ．223答案 B解析 因为a ＝(－1,3)，b ＝(1,1)，所以c ＝a ＋k b ＝(－1＋k,3＋k )，因为b ⊥c ，所以(－1＋k )×1＋(3＋k )×1＝0，解得k ＝－1，所以c ＝(－2，2)，因为a ·c ＝8，|a |＝10，|c |＝22，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝810×22＝255，所以a 与c 夹角的余弦值为255.故选B.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b |a||b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a ；②|a ±b |＝错误!＝错误!； ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.3.(2021·新高考八省联考)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( ) A.73B ．23C ．79D ．29答案 B解析 因为a ，b 是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.因为c ＝7a ＋2b ，所以|c |＝|7a ＋2b |＝ 错误!＝错误!＝3.所以cos 〈a ，c 〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以sin 〈a ，c 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫732＝23.故选B. 4．(多选)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝m OA →＋n OB→，且OC →⊥AB →，则实数m ，n 的值可能为( ) A ．m ＝1，n ＝6 B ．m ＝1，n ＝4 C ．m ＝12，n ＝3D ．m ＝12，n ＝2答案AC解析OA→·OB→＝3×2×cos60°＝3，因为OC→＝m OA→＋n OB→，OC→⊥AB→，所以(m OA→＋n OB→)·AB→＝(m OA→＋n OB→)·(OB→－OA→)＝(m－n)OA→·OB→－m OA→2＋n OB→2＝0，所以3(m－n)－9m＋4n＝0，所以mn＝16.故选AC.5．(2020·潍坊模拟)已知向量a＝(1,0)，b＝(λ，2)，|2a－b|＝|a＋b|，则λ＝________.答案1 2解析2a－b＝(2－λ，－2)，a＋b＝(1＋λ，2)，∵|2a－b|＝|a＋b|，∴(2－λ)2＋4＝(1＋λ)2＋4，解得λ＝1 2.考向三向量运算的最值或范围问题例5(1)(2020·新高考卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)答案 A解析解法一：AB→的模为2，根据正六边形的特征，可以得到|AP→|cos〈AP→，AB→〉的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可知AP→·AB→等于|AB→|·|AP→|cos 〈AP→，AB→〉，所以AP→·AB→的取值范围是(－2,6)．故选A.解法二：设P (x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，所以AP →·AB →＝2x ，由题意可得点C 的横坐标为3，点F 的横坐标为－1，所以－1<x <3，所以－2<AP →·AB→<6.(2)已知平面向量PA →，PB →满足|PA →|＝|PB →|＝1，PA →·PB →＝－12，若|BC→|＝1，则|AC →|的最大值为( )A.2－1 B ．3－1 C ．2＋1D ．3＋1答案 D解析 因为|PA →|＝|PB →|＝1，PA →·PB →＝－12，所以cos ∠APB ＝－12，即∠APB ＝2π3，由余弦定理可得AB ＝3，如图，建立平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，由题意知点C (x ，y )在以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知，当点C (x ，y )运动到点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋1，0时，|AC →|取最大值，即|AC →|max ＝|AD →|＝|AB→|＋1＝3＋1，故选D.与向量相关的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．6.(2020·湖南师大附中模拟)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的取值范围为( )A ．[1,1＋2]B ．[2－2，2＋2] C ．[2，22]D ．[3－22，3＋22]答案 B解析 设OA →＝a ＋b ，OB →＝c ，则AB →＝OB →－OA →＝c －(a ＋b )，由|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，得|OA →|＝|a ＋b |＝2，又|AB→|＝|c －a －b |＝2，所以点B 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，故2－2≤|c |≤2＋2，故选B.7. (2020·天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则 DM →·DN→的最小值为________.答案 16 132解析 ∵AD →＝λBC →，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝120°，AD →·AB →＝λBC →·AB →＝λ|BC →||AB →|cos120°＝λ×6×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy .∵BC ＝6，∴C (6,0)，∵AB ＝3，∠ABC ＝60°，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，332. 又AD →＝16BC →，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，332. 设M (x,0)，则N (x ＋1,0)(其中0≤x ≤5)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52，－332，DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32，－332， DM →·DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3322 ＝x 2－4x ＋212＝(x －2)2＋132，∴当x ＝2时，DM →·DN →取得最小值132.向量的数量积在平面几何中的应用(2020·聊城二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，M 为BC 的中点，N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则cos ∠MPN ＝________.答案1938解析 如图所示，设AP ＝λAM ，因为M 为BC 的中点，N 在AC 上，且AN ＝2NC ，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，AC →＝32AN →，所以AP →＝λ2(AB →＋AC →)＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋32AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以BP→＝μBN →，所以AP →＝(1－μ)AB →＋μAN →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＝1－μ，3λ4＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以PM →＝15AM →＝110(AB →＋AC →)，PN →＝25BN →＝25(BA →＋AN →)＝25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →＋23AC →＝－25AB →＋415AC →，所以PM →·PN →＝110(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫415AC →－25AB →＝－125|AB →|2＋275|AC →|2－175AC →·AB →＝－425＋1875－175×3×2×cos60°＝－425＋625－125＝125，|PM→|＝＝110|AB→|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2 ＝1104＋2×2×3×cos60°＋9＝1104＋6＋9＝1910，|PN→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－25AB →＋415AC →2 ＝425|AB →|2－1675AB →·A C →＋16225|AC →|2 ＝425×4－1675×2×3×cos60°＋16225×9 ＝1625－1625＋1625＝45， 所以cos ∠MPN ＝PM→·PN → |PM →||PN →|＝1251910×45＝1938.答题启示向量与平面几何综合问题的解法(1)基向量法适当选取一个基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(2)坐标法若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．对点训练已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2，2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，FC →＝(2,1)， ∵FP→∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，同理， 由BP→∥BE →，得y ＝－2x ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，85.∴|AP →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB .一、单项选择题1．(2020·海口模拟)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，－2m －1)，a ·b ＝8，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(m ，－2m －1)，所以a ·b ＝－m ＋2(－2m －1)＝－5m －2，因为a ·b ＝8，所以－5m －2＝8，解得m ＝－2.2．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |等于( )A ．2B ．6C ．23D ．12 答案 C解析 |4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.所以|4a －b |＝23.3．(2020·江西高三联考)已知|a |＝1，|b |＝3，且(a ＋2b )·(a －b )＝－72，则向量a与b 的夹角为( )A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 A解析 因为(a ＋2b )·(a －b )＝－72，所以|a |2＋a ·b －2|b |2＝－72.因为|a |＝1，|b |＝3，所以a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝321×3＝32，所以向量a 与b 的夹角为π6.故选A.4．(2020·滨州二模)已知正方形ABCD 的边长为3，DE →＝2EC →，则AE →·BD →＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 A解析 因为正方形ABCD 的边长为3，DE →＝2EC →，则AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋23AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－13AD →·AB →－23AB →2＝32－23×32＝3.故选A.5．(2020·山东济南模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B解析 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n2m·n＝－n2|m||n|cos 〈m ，n 〉＝－|n|2|m||n|×13＝－3×|n||m|＝－3×43＝－4.故选B.6．(2020·株洲模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC→＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2A C →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.故△ABC 一定是直角三角形．7．(2020·长沙模拟)已知△ABC 是边长为43的等边三角形，其中心为O ，P 为平面内一点，若OP ＝1，则PA →·PB→的最小值是( ) A ．－11 B ．－6 C ．－3 D ．－15答案 A解析 如图所示，取AB 的中点D ，则|DA→|＝|DB →|＝23，|OD |＝13|CD |＝13×23×3＝2，∴PA →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PD→＋DB →)＝PD →2－DA →2＝PD →2－12.∵OP ＝1，∴点P在以O 为圆心，1为半径的圆上，∴|PD |min ＝|OD |－1＝2－1＝1，∴PA →·PB →的最小值为－11.故选A.8．(2020·河南省顶级民校模拟)如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB →·CD→＝( )A ．24B ．26C ．28D ．32答案 B解析 如图所示，建立以a ，b 为一组基底的基向量，其中|a |＝|b |＝1且a ，b 的夹角为60°，∴AB →＝2a ＋4b ，CD →＝4a ＋2b ，∴AB →·CD →＝(2a ＋4b )·(4a ＋2b )＝8a 2＋8b 2＋20a ·b ＝8＋8＋20×1×1×12＝26.故选B.二、多项选择题9．(2020·泰安三模)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－3,2)，c ＝(1,1)，则( ) A ．a ∥b B ．(a ＋b )⊥c C ．a ＋b ＝c D ．c ＝5a ＋3b答案 BD解析 a ＋b ＝(－1,1)，(a ＋b )·c ＝－1＋1＝0，故(a ＋b )⊥c .设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(1,1)＝λ1(2，－1)＋λ2(－3,2)＝(2λ1－3λ2，－λ1＋2λ2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－3λ2＝1，－λ1＋2λ2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝5，λ2＝3，所以c ＝5a ＋3b .故选BD.10．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．若a ·b ＝c ·b 且b ≠0，则a ＝cC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，＋∞ 答案 AC解析 对于A ，由平面向量数量积的定义知|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，故A 正确；对于B ，由a ·b ＝c ·b 且b ≠0，不能得出a ＝c ，故B 错误；对于C ，两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |＋|b |2，所以a ·b ＝－|a ||b |，所以cos θ＝－1，即a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，则a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)；若a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则错误!即错误!解得λ＞－53且λ≠0，所以实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，0∪(0，＋∞)，D 错误．故选AC.11．(2020·江苏连云港期中)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且AD→＝2DC →，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么( )A.OE→＋OC →＝0 B ．AB →·CE →＝－1C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D ．|DE →|＝132答案 AC解析 ∵E 是AB 的中点，∴CE →＝12CA →＋12CB →，设CO →＝λCE →，则CO →＝λ2CA →＋λ2CB →＝3λ2CD →＋λ2CB →，∵B ，O ，D 三点共线，∴3λ2＋λ2＝1，故λ＝12，∴O 是CE 的中点，∴OE→＋OC →＝0，故A 正确；∵AB ⊥CE ，∴AB →·CE→＝0，故B 错误；∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴CE ＝3，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝CE 2＝32，故C 正确；在△ADE 中，AE ＝1，AD ＝43，∠A ＝60°，由余弦定理可得DE ＝1＋169－2×1×43×cos60°＝133，故D 错误．故选AC.12．(2021·福建省三明市三元区校级月考)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则以下结论正确的是( )A.HD →·BF →＝0B ．OA →·OD →＝－22C.OB →＋OH →＝－2 OE→ D ．|AH→－FH →|＝ 2－2答案 ABC解析 正八边形ABCDEFGH 被分成8个全等的等腰三角形，不妨取△AOB ，则∠AOB ＝360°8＝45°，∴∠BOD ＝2∠AOB ＝90°，即HD ⊥BF ，∴HD →·BF→＝0，即A 正确；∵∠AOD ＝3∠AOB ＝135°，∴OA →·OD →＝1×1×cos135°＝－22，即B 正确；∵以OH ，OB 为邻边作平行四边形可构成一个边长为1的正方形，且其中一条对角线与OA 共线，∴OB →＋OH →＝2 OA →＝－2 OE →，即C 正确；∵|AH →－FH →|＝|FA →|，∴在等腰三角形AOF 中，OA ＝OF ＝1，∠AOF ＝135°，由余弦定理知，F A 2＝OA 2＋OF 2－2OA ·OF cos ∠AOF ＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＝2＋2，∴|AH→－FH →|＝|FA →|＝2＋2，即D 错误．故选ABC.三、填空题13．(2020·山东省高三第一次仿真联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，－3)，若a ⊥b ，则|a |＝________.答案 210解析 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以m ＋2×(－3)＝0，解得m ＝6，所以a ＝(6,2)，因此|a |＝36＋4＝210.14．在平行四边形ABCD 中，AB →＝(1,2)，AD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.答案 10解析 由题意|AB→|＝5，|AD→|＝25，AB →·AD→＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AB →⊥AD →，∴S 平行四边形ABCD ＝|AB →||AD →|＝5×25＝10.15．(2020·济宁三模)在平行四边形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝3，∠DAB ＝60°，DE→＝12EC →，BF →＝12FC →，若FG →＝2GE →，则AG →·BD →＝________. 答案 21解析 如图所示，因为DE →＝12EC →，BF →＝12FC →，所以FE →＝FC →＋CE →＝23BC →－23DC →＝23AD →－23AB →，又FG →＝2GE →，AG →＝AB →＋BF →＋FG →＝AB →＋13AD →＋23FE →＝AB →＋13AD →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23AD →－23AB →＝59AB →＋79AD →，又BD →＝AD →－AB →，所以AG →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫59AB →＋79AD →·(AD →－AB →)＝79|AD →|2－59|AB →|2－29AB →·AD →，又AD ＝6，AB ＝3，∠DAB ＝60°，所以AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos60°＝9，代入数据可得AG →·BD →＝79×36－59×9－29×9＝21.16．(2020·济南一模)已知e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，若|a e 1＋b e 2|＝3(a ，b ∈R )，则a ＋b 的最大值为________.答案 2解析 (a e 1＋b e 2)2＝a 2＋2ab e 1·e 2＋b 2＝a 2＋ab ＋b 2＝3.∵a 2＋ab ＋b 2＝a 2＋b 2＋错误!＝错误!＋错误!≥错误!＋错误!2＝错误!(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴－2≤a ＋b ≤2，故a ＋b 的最大值为2.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用 .pdf
明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,
(夹角公式),则a⊥b⇔a·b=0.
3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影
的概念求,二是利用向量的数量积求.
4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化
归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.
考点1
考点2
考点3
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5.向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的 意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而 解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特 别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平 行问题是一种比较可行的方法.
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知识梳理 考点自诊
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2.(2018全国2,理4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( B )
A.4 B.3 C.2 D.0 解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
3.(2018山西吕梁一模,3)若|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角
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平面向量数量积的运算
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思考求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cos θ(其 中θ是向量a与b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加 减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.
2020版高考数学第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用讲义理(含解析)新人教A版
第3节 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件. 答案 A3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 解析 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB→|·|AB →|＝12×(2)2＝1.答案 14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3. 答案 B5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6 2B.2 5C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34. 答案 D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 7考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0解析 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.(2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.答案 (1)D (2)C规律方法 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.解析 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，83·(0，6)＝16.(2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 答案 (1)A (2)1＋ 2 考点二 平面向量数量积的应用多维探究角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127解析 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.答案 (1)－1 (2)A规律方法 1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )， 所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.答案 (1)10 (2)5规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ， 则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2.(2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案 (1)2 (2)2 3 (3)33考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 解 (1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6.[思维升华]1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心B.垂心C.外心D.内心解析 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 答案 B类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB →.由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.答案 A基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件. 答案 A2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2解析 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.答案 A3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.答案 D4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38C.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，58 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°， 所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38.答案 B5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 答案 C 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 解析 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3. 答案 37.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 解析 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得，|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.答案 －138.(2019·佛山二模)在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________.解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.答案 13三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 解 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9B.16C.18D.25解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16. 答案 B12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3解析 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.答案 A13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值， 此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9. 答案 －914.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2). 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32.新高考创新预测15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________.解析 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.答案 32。
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第3节 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件. 答案 A3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 解析 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB→|·|AB →|＝12×(2)2＝1.答案 14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3. 答案 B5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6 2B.2 5C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34. 答案 D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 7考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0解析 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.(2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.答案 (1)D (2)C规律方法 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.解析 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，83·(0，6)＝16.(2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 答案 (1)A (2)1＋ 2 考点二 平面向量数量积的应用多维探究角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127解析 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.答案 (1)－1 (2)A规律方法 1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )， 所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.答案 (1)10 (2)5规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ， 则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2.(2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案 (1)2 (2)2 3 (3)33考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 解 (1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6.[思维升华]1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心B.垂心C.外心D.内心解析 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 答案 B类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB →.由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.答案 A基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件. 答案 A2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2解析 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.答案 A3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.答案 D4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38C.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，58 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°， 所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38.答案 B5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 答案 C 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 解析 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3. 答案 37.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 解析 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得，|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.答案 －138.(2019·佛山二模)在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________.解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.答案 13三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 解 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9B.16C.18D.25解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16. 答案 B12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3解析 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.答案 A13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值， 此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9. 答案 －914.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2). 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32.新高考创新预测15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________.解析 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.答案 32。