弯曲正应力正负
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
材料力学弯曲应力
引用记号 W Iz —抗弯截面系数
ymax
则公式改写为
σmax
M W
(Stresses in Beams)
（1）当中性轴为对称轴时
实心圆截面 W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
σcmax
Mycmax Iz
(Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 一、横力弯曲 Nonuniform bending
当梁上有横向力作用时,横截面上既有弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
由于脆性材料抗压不抗拉, 通常将梁做成T形、倒T形等 关于中性轴不对称的截面。
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
(Stresses in Beams)
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
拉应力为 t = 30MPa ,许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面对
形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] [σc ]
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
(Stresses in Beams)
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm,压板
材料的弯曲许用应力 ＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
第六章_弯曲应力
n
i z
26
● 平行移轴公式
Iz = Iz0 + Ad
2 0
27
● 新坐标系中形心的计算
y z
C
Sz yc = = A
∑y
i=1 n i=1
n
ci
A i
i
∑A
n ci
y
zc =
Sy A
=
∑z
i=1 n i=1
A i
z
i
∑A
yc = A y1 + A2 y2 +L+ An yn 1
∑A
i=1
n
i
28
例 题 已知组合截面尺寸: 已知组合截面尺寸:
y t
C1 C
t = 20mm, h =140mm, b =100mm
计算截面对轴 z 的惯性矩 矩形1 矩形 矩形2 矩形
z1 z z2
h
A = th 1
A2 = tb
th3 I z1 = 12 3 bt I z2 = 12
s t
b
C2
为基准坐标, 以(z2, y2)为基准坐标,则 为基准坐标
6
7
8
横力弯曲与纯弯曲 横力弯曲 ——
剪力 Fs 不为零 例如AC, DB段 例如AC, DB段
纯弯曲 ——
剪力 Fs =0且 且 弯矩为常数 例如CD段 例如CD段 CD
9
纯弯曲梁为对象 以纯弯曲梁为对象 研究横截面上的正应力 正应力分布规律 研究横截面上的正应力分布规律 回忆拉压杆 圆轴扭转问题的研究 回忆拉压杆,圆轴扭转问题的研究 拉压 扭转 1,变形几何 , 2,静力平衡 , 3,本构关系 ,
z1 = OD = GD+ OG = FE + OG = AF sinθ + OF cosθ = y sinθ + z cosθ
第六章 弯曲应力
第六章
弯曲应力
h y h b h2 S z ( ) yc A 2 b( y ) ( y 2 ) 2 2 2 4
FS S z ( ) t ( y) bI z
Fs h 3FS 4y 2 t(y) ( y ) (1 2 ) 2I z 4 2bh h
Fs
2
6.45 107 Pa 64.5 MPa
第六章
弯曲应力
§6-3 弯曲切应力
一、矩形梁横截面上的切应力
1、公式推导：
x 1' 1 1 dx 2
FS
z M m y m e1 y m' A 1' ty 1 dx t' m 1 n' b n 2
FS+dFs
e2
y* m'
t'
n
M+dM y
x
F
1
3、计算最大弯曲正应力 B截面的弯矩为：
M B Fl 15 103 0.400 6000 N m
最大弯曲拉应力与压应力为：
My 6000 0.045 s t ,max 3.05 107 Pa 30.5MPa Iz 8.84 106 My 6000 (0.120 0.020 0.045) s c ,max Iz 8.84 10 6
smin
M
smax smin
M
2）相同的y 具有相同的s值; 3）应力随离中性层的距离线 性变化。
smax
第六章 弯曲应力 3.静力学方面
M
O
y
dA z y
FN sdA 0 A M y AzsdA 0 z(中性轴) x M z ysdA M A s dA E FN s dA ydA 0
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
第五章弯曲应力
变形前 变形后
ab= dx= o1o2 = ρdθ a'b' = (ρ + y)dθ
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲时的正应力
所以纵向纤维ab的应变为 所以纵向纤维 的应变为: 的应变为
∆ ab ( ρ + y)dθ − ρdθ yd θ y = = ε= = ρdθ dx ab ρ
轴向变形规律： 轴向变形规律： 轴向变形程度的大小与到中性层的距离成正 离中性轴越远，变形越大。 比，离中性轴越远，变形越大。
一.纯弯曲正应力的分布规律 1.纯弯曲变形几何关系 1.纯弯曲变形几何关系
m
o1
o
ρ
a´ a´ b´ ´
n
o2
dx
变形后 y b
a m
n
y——任意纵向纤维至中性层的距离 任意纵向纤维至中性层的距离 任意纵向纤维至 的曲率半径， 曲率中心， ρ——中性层o1o2的曲率半径， o——曲率中心， 中性层 曲率中心 纵向纤维ab: 纵向纤维
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
现象二： 现象二：
M M
M
纵向纤维间距离不变 说明横截面上没有切应力。 说明横截面上没有切应力。
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
现象三： 现象三：
M M
M
横截面变形后仍保持为平面， 横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于 变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。 变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。
-F
时，横截面上既有弯矩又 有剪力（ 有剪力（ M ≠ 0, Fs ≠ 0 ）。
(+) M-图 图
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力/纯弯曲
二. 纯弯曲实验观察 对 比 弯 曲 前 后 梁 的 变 化
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弯曲正应力正负
弯曲正应力是工程力学中的一个重要概念，它描述了物体在弯曲状态下内部产生的应力。
在理解和分析弯曲正应力时，确定正负符号是非常重要的，因为它可以帮助我们正确地评估应力的方向和大小。
首先，我们需要了解应力的基本定义。
在连续体力学中，应力是一个向量，其大小和方向表示了单位面积上的力。
应力的单位通常是帕斯卡（Pa），它表示每平方米上承受的力。
对于一个给定的截面，应力的大小和方向通常可以通过在该截面上取两个垂直的方向来测量。
在弯曲正应力的情境下，我们通常关注与弯曲方向垂直的截面。
在这个截面上，应力的方向将指向弯曲的内部，这是由于弯曲导致的半径变小的结果。
这个方向被定义为正方向，即弯曲正应力的正方向是指向弯曲内部的。
当我们说到弯曲正应力的负方向时，我们实际上是指应力的方向与正方向相反，即指向弯曲的外部。
在这种情况下，物体将尝试恢复到其原始状态，因此会产生一个与正应力相反的负应力。
需要注意的是，正负方向的确定取决于观察者和参考系的选择。
例如，如果我们将弯曲的物体旋转90度，那么原本的弯曲正应力将变成拉伸应力，而原本的拉伸应力将变成压缩应力。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的问题和参考系来确定应力的正负方向。
此外，正负应力的区分对于材料力学和结构力学来说非常重要。
例如，在材料力学中，我们通常关注材料的强度和塑性，而在结构力学中，我们更关注结构的稳定性和安全性。
正确地理解和区分正负应力可以帮助我们更好地理解和评估这些问题。
总结一下，弯曲正应力的正负方向是根据应力与弯曲方向的关系来确定的。
正方向是指向弯曲内部的，而负方向是指向弯曲外部的。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和参考系来确定应力的正负方向。
同时，我们还需要注意正负应力的区分在材料力学和结构力学中的应用和重要性。