函数值域的求法(学生用)
函数值域的求法
函数值域的求法
摘要：本文针对高中教学中常见函数的值域的求法，提出解决这些问题的对策思考。
以提高学生解这类题目的能力为主要目的。
主题词：值域；求法
函数的值域是全体函数值构成的集合，求函数的值域是高中学生在学习函数中常遇到的难题之一。
下面归纳出我在教学中常用的几种方法，以帮助高中生较全面的掌握这一知识点。
一、观察法
观察法是由函数的解析式直接看出函数的值域，观察法一般用于求解析式比较简单的值域。
即函数的值域为［０，５］
二、换元法
当直接求函数值域有困难时，我们可通过换元法转化为易求值域的问题考虑。
三、配方法
对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或者F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)型的函数求值域问题，我们常用配方法将二次函数进行配方求解。
例３求y=x2-6x+2的值域。
解：因为y=x2-6x+2＝（x-3）2-7
又因为（x-3）2≥0, 所以（x-3）2-7≥-7
所以函数的值域是［－７，＋∞)。
四、判别式法
解：将上式化为(y-1)x2+y=0 (1)
当y≠1时，由△=0-4(y-1)·y≥0，得0≤y<1
当y=1时，上述方程(1)无解
所以函数的值域为[0,1]
评注：把函数关系式化为二次方程形式，由于方程有实数解，故其判别式非负，可求值域。
以上是我在教学中常用的几种求值域的方法。
当然求值域的方法还有较多，在此就不一一阐述。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
函数定义域值域求法(全十一种)
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
2011年高考数学重点难点讲解六：函数值域及求法(学生版)
难点6 函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.●难点磁场(★★★★★)设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +11-m ).(1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M .(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值.(3)求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1.●案例探究［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.［例2］已知函数f (x )=xa x x++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y =x 2+x1 (x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47] B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］2.(★★★★)函数y =x +x 21 的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)二、填空题3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).4.(★★★★★)设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________.三、解答题5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6.(★★★★)已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］ (1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围.7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：(以千元为单位)8.(★★★★)在Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记ABCA BC =x .(1)求函数f (x )=21S S 的解析式并求f (x )的定义域.(2)求函数f (x )的最小值.。
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函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多, 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
二、函数单调性法
例求函数
的值域.
（1）求函数
的值域
⑵
⑶
三、基本不等式法
例1 已知
，求函数
的值域。
[来源:#zzst*ep.%com^@]
求函数
的值域。
[中国
四、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数
的值域。
1.求值域：
；
2.求函数y=
的值域.
3．函数
的值域是（）
A．
B．
C．
D．
4、
变式1：当
时，函数
在
时取得最大值，则
的取值范围是______________
变式2：（1）求
最值。
（-----动轴定区间）
（2）求
的最值（----------定轴动区间）
五、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:
例1 求函数
的值域。
六、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数
值域。
七.换元法
1．求函数
的值域．
2.求函数
的值域。
3.函数
的值域为
八、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数
，
，
的值域。
九.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数
的值域
十.数形结合
例、函数
的值域为_____________________.
求函数的值域：
[来源:中#国教育^@出版网*%]
解：
[中~国@%*教^育出版网]
函数的图像如图所示：[来^&源:#中%教*网]
函数的值域为：
.
【点评】（1）对于一些可以较快作出函数的图像的函数，可以直接作出函数的图像，再观察函数的值域。
（2）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图。
[中国*教^&育%#出版网]
2．函数
的值域是（）。
A、
B、
C、
D、R
答：B。
解：如图所示，令
，则有。
问题转化为求椭圆上的点与原点连线的斜率
的最大值和最小值，显然直线y=kx与椭圆相切时k有最值，将y=kx代入椭圆，即(x-4)2+4(kx-3)2=4，也就是(4k2+1)x2-(8+24k)x+48=0，令Δ=(8+24k)2-
4×48(4k2+1)=0，则有
，即。
十一.三角代换
1.已知
是圆
上的点，试求
的值域。
十二、导数法
先利用导数求出函数的单调性，再利用函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域
例已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；[来源~:zzste%p.c&*#om]
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
[www&.z@zstep~.*c%om][中国^教育&#*~出版网]
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，[中国教育出版网*~&%@]
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，＋∞)时，
，
的变化情况如下：
x
－0 ＋
↘极小值↗
所以，
在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)当x∈时，
单调递减且
的取值范围是；[来源:*中@教&#网~]
当x∈时，
单调递增且
的取值范围是.[中^国教~*育%&出版网]
下面讨论
－m＝0的解：
当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；[中~国教%@育&出版网*]
当－<m<0时，原方程有两个解．
【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域。
先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域。
复合函数定义域和值域练习题
一、求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴
⑵
⑶
2、设函数
的定义域为
，则函数
的定义域为_ _ _；函数
的定义域为________；
3、若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是；函数的定义域为。
4、知函数
的定义域为
的定义域存在，求实数
的取值范围。
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑾
6、已知函数
的值域为[1，3]，求
的值。
三、求函数的解析式
1、已知函数
，求函数
，
的解析式。
2、已知
是二次函数，且
，求
的解析式。
3、已知函数
满足
，则
= 。
4、设
是R上的奇函数，且当
时，
，则当
时
=____ _
在R上的解析式为
5、设
与
的定义域是
，
是偶函数，
是奇函数，且
，求
与
的解析表达式
四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间：
⑴
⑵
⑶
7、函数
在
上是单调递减函数，则
的单调递增区间是
8、函数
的递减区间是；函数
的递减区间是
五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴
，
；⑵
，
；
⑶
，
；⑷
，
；⑸
，。
A、⑴、⑵
B、⑵、
⑶ C、⑷ D、⑶、⑸
10、若函数
=
的定义域为
,则实数
的取值范围是（）
A、(－∞,+∞)
B、(0,
C、(
,+∞) D、[0,
11、若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是（）
(A)
(B)
(C)
(D)
12、对于
，不等式
恒成立的
的取值范围是（）
(A)
(B)
或
(C)
或
(D)
13、函数
的定义域是（）
A、
B、
C、
D、
14、函数
是（）
A、奇函数，且在(0，1)上是增函数
B、奇函数，且在(0，1)上是减函数
C、偶函数，且在(0，1)上是增函数
D、偶函数，且在(0，1)上是减函数
15、函数
，若
，则
=
16、已知函数
的定义域是
，则
的定义域为。
17、已知函数
的最大值为4，最小值为—1 ，则
= ，
=
18、把函数
的图象沿
轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为
19、求函数
在区间[ 0 , 2 ]上的最值
20、若函数
时的最小值为
，求函数
当
[-3,-2]时的最值。