河南省2015年普通高中学业水平考试数学模拟题带答案
）
C.y=-4x+7 若a
b
D.y=4x+7 ）
，则实数 x 的值为（ D.1 x
B.2
C.-1
7.已知函数 f(x)的图像是连续不断的， 且有如下对应值表： 在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为 （ A.（1，2） B.（2，3） C.(3,4) ） D. (4,5)
1 x
D.y=cosx
10.已知实数 x,y
x y 1, 满足约束条件 x 0 , 则 y 0,
z=y-x 的最大值为（
）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.1
B.0
C.-1
D.-2 ）
11．已知等差数列{ a n }的前 3 项分别为 2、4、6，则数列{ a n }的第 4 项为（
A．7
B．8
C．10 ：y
2x 5
D．12 ，则直线 l 1 与 l 2 的位置关系是（ ）
12. 已知直线 l 1 ： y
2 x 1 ，l2
A．重合 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行 13. 某班有 50 名同学，将其编为 1、2、3、„、50 号，并按编号从小到大平均分成 5 组．现 用系统抽样方法，从该班抽取 5 名同学进行某项调查，若第 1 组抽取的学生编号为 3，第 2 组抽取的学生编号为 13，则第 4 组抽取的学生编号为（ ） A．14 B．23 C．33 D．43 14. 下列坐标对应的点中，落在不等式 x A． （0，0） 15. 将函数 y A． y
27.在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA 底面 ABCD，且 PA=AB. （1）求证：BD 平面 PAC； （2）求异面直线 BC 与 PD 所成的角.
P
A
D
B
C
27.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定 额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门 抽样调查了 100 位居民.右表是这 100 位居民月均用水量（单 位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题： （1）求右表中 a 和 b 的值； （2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估 计该市每位居民月均用水量的众数.
频率/组距 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6
月均用水量
分组 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) 合计
频数 10 a 30 20 10 10 100
频率 0.1 0.2 0.3 b 0.1 0.1 1
29.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为 24 平方米，设熊猫居 室的一面墙 AD 的长为 x 米（2≤x≤6）. (1)用 x 表示墙 AB 的长； （2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为 每米 1000 元，请将墙壁的总造价 y(元)表示为 x(米)的函数； （3）当 x 为何值时，墙壁的总造价最低？
2.若运行右图的程序，则输出的结果是 A.4， B. 9 C. 13
3.将一枚质地均匀的 子抛掷一次，出现“正面向上的点数为 6”的概率是（ A.
1 3
B.
4
1 4
C.
1 5 1 2
D.
1 6
4. sin
cos
4
的值为（
）A.
B.
2 2
C.
2 4
D.
2
5.已知直线 l 过点（0，7） ，且与直线 y=-4x+2 平行，则直线 l 的方程为（ A.y=-4x-7 6.已知向量 a A.-2 B.y=4x-7
A
45º
C
（第 23 题图）
三、解答题 24. 已知向量 a =（ sin
x
，1） ，b =（ cos
， x R．当 x x ，1）
4
时，求向量 a + b 的坐标.
25.已知函数 y （1）函数 y （2）使
f ( x ) （ x [ 2 , 6 ] ）的图象如图．根据图象写出：
河南省 2013 年普通高中学业水平考试数学模拟题 2013 年 12 月 命题人：关仲卿 一、选择题 1. 已知集合 A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则 A B=（ A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} （ D.22 ） ） ）
A=9 A=A+13 PRINT A END
1
2
3 4 5
f(x) -4 -2 1 4 7
8.已知直线 l：y=x+1 和圆 C：x2+y2=1,则直线 l 和圆 C 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 ）
9.下列函数中，在区间（0，+ ）上为增函数的是（ A. y
1 x ( ) 3
B.y=log3x
C. y
2 0 , b 0 .2 2 s in x
，奇函数
（2）图略，众数 2.5 吨
3000(x 16 x ), ( 2 x 6 )
29． （1） A B
24 x
； （2） y
； （3） x
4
时总造价最低。
y
2
4
的圆心坐标为 ( 3 , 0 ) ，则实数 a
23. 如图，A，B 两点在河的两岸，为了测量 A、B 之间的距离，测量者在 A 的同侧选定一点 C， 测出 A、 C 之间的距离是 100 米， ∠BAC=105º， ∠ACB=45º， 则 A、 B 两点之间的距离为 米．
B
河
105º
sin( x
y 1 0
表示的平面区域内的是（ D． （1，8）
）
B． （2，4）
sin x
C． （-1，4）
3 )
的图象向左平移 B． y
sin( x
个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（ C． y
sin( x 2 3 )
）
3
)
3
D． y
sin( x
2 3
)
16. 函 x 2 )
的零点个数是（ C．2
） D．3
B．1
二、填空题 17.已知函数 f(x)=
x
2
x(x 0)
x 1 ( x 0 ),
则 f(2)=___________.
18.把二进制数 101（2）化成十进制数为____________. 19.在△ABC 中，角 A、B 的对边分别为 a,b,A=600,a=
2 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3
,B=300,则 b=__________.
20.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.
2 2 3
21.在△ABC 中，M 是 BC 的中点，若 AB 22. 已知圆 ( x
a)
2
AC AM , 则实数
=________. ．
f ( x ) 的最大值；
y
f (x) 1的 x
值．
2 1 -2 -1 O -1 2
x
5
6
（第 24 题图）
26.已知函数 f(x)=2sin(x(1)写出函数 f(x)的周期；
3
),
（2）将函数 f(x)图像上所有的点向左平移
3
个单位，得到函数 g(x)的图像，写出函数 g(x)
的表达式，并判断函数 g(x)的奇偶性. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
D x F C
A
E
B
参考答案 一、选择题 1-5 CDDAC 二、填空题 17．2 18．5 19．1 20． 3 21．2 22．3 23． 1 0 0
2
6-10 BBABA
11-16 BDCAAC
三、解答题 24． (
2 , 2)
25． （1）2； （2）-1 或 5 26． （1） 2 ； （2） g ( x ) 27． （1）略； （2） 4 5 28． （1） a
2015河南省模拟 河南省2015届高三高考适应性测试 数学(理)扫描版含答案
2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 40 （14）3- （15）( （16）①②③ 三、解答题(17) 解：（Ⅰ）由2142n n n a a a +=++,得21211244(2)n n n n a a a a ++++=++=+.因为0n a >12n a +=+.因为12122log (2)1log (2)2n n n n n b a b a +++===+，又121log (2)2b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为12的等比数列.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，112()2n n b -=⋅，则112()2n n c n -=.012111112()4()2(1)()2()2222n n n S n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+,① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得：01211111112()2()2()2()2()222222n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+. 所以218(2n n S n -=-+.……………………………………………………………………………12分(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C .事件B ，C 互斥，且A B C =+. 所以该射手通过测试的概率212333213()()()()(1).444316P A P B P C C =+=+⋅-⋅= ………………5分 （Ⅱ）由题意，0,1,2X =. ……………………………………………………………………………6分212313321(0)(1);(1)(1)(1);4164438P X P X C ==-===⋅-⋅-=13(2)().16P X P A === ……9分所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数的数学期望为11137()012.168164E X =⨯+⨯+⨯=……………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒ 因为CD 为ACB ∠的平分线，所以3023.B C D A D C D∠=∠︒∴=…………………………2分 4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90CD E D E D ∠=︒⊥………………………………………………4分 在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥平面B . ……………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ……………7分以点H 为坐标原点，HC 为y 轴，HB 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则3(0,0,0),(0,(0,0,),(3,2H D B A33(0,,),(3,22DB AD ∴==-…………………8分 设平面ABD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则19题图1 19题图2 xyz0,0,DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以3(,,)(0,)0,22(,,)(0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅-=⎩即30,230.y z x +=⎨⎪-+=⎩取1x =,得(11)=-n .……9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)=m , ………10分设二面角B AD E --的大小为θ，则cos ||||θ⋅==m n m n 所以二面角B A --的余弦值为…………………………………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =.……………………………………………………1分又设00(,)M x y ，则00003.4y y x a x a ⋅=-+- 把2200221x y a b+=代入得220222220(1)3,4x b b a x a a -=-=--所以23b =. ……………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设1122334(,),(,),(,),(,),A x yB x yC x yD x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<< 由韦达定理得212224.34k x x k +=-+ …………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F C λ=得, 111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+，即23x y ++=或230.x y -+= …………………………12分（21） 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x =其定义域为(0,1)(1,).+∞………………………………………1分2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x 的单调递增区间为)+∞， ……………………3分由()0f x '<得()f x 的单调递减区间为 ……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x >时，()f x的最小值为2f e ==； ……………………7分 令22()(3),(1,)x g x x x e x =-+∈+∞，则222111()(3)(2)(3)222x x g x x x e x x e '=--+=--+， 由()0g x '>得函数()g x 在区间(1,2)上单调递增；由()0g x '<得函数()g x 在区间(2,)+∞上单调递减.所以22()xg x =-≤ …………………………………………………………………11分所以当1x >时，222()()(3)ln x x f x g x x x e x =>=-+，整理即得2(3)ln 0.xx x e x +-> …………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥. 因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，则OCD OFD ∆≅∆，所以90OCD OFD ∠=∠=，所以,,,O C D F 四点共圆. ………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥,所以FD 是圆的切线.所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅ 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅………………………10分（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，消去参数t 得tan (1)y x α=+.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，所以圆心到直线tan (1)y x α=+的距离2d ===， 化简得27t a n 8t a n 10αα-+=，解之得t a n α=或1tan .7α= ………………………………10分 （24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，∴15,.33a b == ………………………………5分（Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2(a b ++≥……………………………………………………………10分。
2015年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试数学模拟卷(3)
2015年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生模拟卷（3）数 学说明：1. 本套试卷共三道大题，23道小题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题。
3．参考公式：二次函数c bx ax y ++=2（≠a 0）图象的顶点坐标为（-ab 2，a b ac 442-）一. 选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）1．在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.00000078m ，该数据 用科学记数法表示为【 】 A ．7.8×10-7mB ．7.8×10-6mC ．7.8×10-5mD ．7.8×10-4m2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是【 】A ． B. C. D.3．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是【 】A ．12-B ．12+C ．2D ．34．如图，如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP =1，D 为AC 上一点，若∠APD =60°，则CD 的长是【 】A ．54B ．43C ．32D ．215．在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记 下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是【 】（第2题图）（第3题图）C 'B '（第4题图） ADC B60°A ．12B ．13C ．14D ．166. 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，M 为CD 的中点，点P 沿A →B →C →M 运动，则△APM 的面积y与点P 经过的路程x 之间的函数关系图象大致为【 】二．填空题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分） 7．分解因式：x x -3= 。
2015年河南省普通高中招生考试试卷数学真题及答案
2015年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1. 下列各数中最大的数是（ ）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线e ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A. 55° B. 60°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10C DB A 正面 第2题dc ba－－－－CDBA8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ） A.（2014,0） B.（2015，－1） C. （2015,1） D. （2016,0） 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算：(－3)0+3－1= .10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为 .三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）E F CDBGA第7图第8题E C DBA 第10题第15题16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b . 17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ∽△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ；的度数为 时，四边形BPDO 是菱形.18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
河南省2015年中招模拟考试数学试卷(一)及答案
洛阳市2015年中招模拟考试（一）数学试卷注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．参考公式：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）图象的顶点坐标为)4ab ac 42(2--，a b ．一、选择题（每小题3分，共24分）1．下面的数中，与-2的和为O 的是 (A) 2 (B) -2 (C)12 (D)-122．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是3．下列运算，正确的是 (A)4a-2a=2 (B)a 6÷a 3=a 2 (C)（-a 3b ）2=a 6b 2 (D)（a-b ）2=a 2-b 24．洛阳某中学足球队的1 8名队员的年龄情况如下表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是(A)15, 15 (B)15, 15.5 (C)15,16（D ）16,155．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为6．不等式组13x+1>0的解集在数轴上可表示为 2-x ≥07．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D=30，下列四个结论：①OA 上BC;②BC= cm ；③sin ∠；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是(A)①③ (B)①②③④ (C)②⑨④ (D)①③④8．已知点A为某封闭图形边界上一定点，设点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P运动的时问为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如下图所示，则该封闭图形可能是二、填空题（每小题3分，共21分）9．a，b是两个连续整数，若<b+_____________1 0．节约是一种美德，节约是一种智慧，据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为_______________11.玩具店进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_____________．12.如图，直线∥m//n，等边△ABC的顶点B、C份别在直线n和m上，边BC与直线n 所夹的角为25，则∠α的度数为____________13．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90，半径OA=6．将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的而积__________．14．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1 =X2 (x≥0)与y2=24x(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB=_________.15. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC 边的A＇处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA＇=x，则x的取值范围是______________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（a+12a+）÷（a-2+32a+笔）其中a满足a2-a-2=0．17.（9分）老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C:一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)李老师一共调查了多少名同学？(2)C类女生有_________名，D类男生有__________名，将上面条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或面树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．18.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC为直径的⊙○的切线，交BC于E．(1)求证：点E是边BC的中点；(2)当∠B=___________ o时，四边形ODEC是正方形．19. （9分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学们在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP行走了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76.求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度（结果精确到l米）．(参考数据：sin76︒≈0.97，cos76≈0.24，tan 76≈4.00)20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4,2），直线y=-12x+3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y=kx的图像经过点M，N.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标。
2015年河南省普通高中招生考试试卷数学(含答案)word版
2015年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题（每小题 分，满分 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．（ 分） 下列各数中最大的数是（）．．．．﹣ ．（ 分） 如图所示的几何体的俯视图是（）．．．．．（ 分） 据统计 年我国高新技术产品出口总额 亿元，将数据 亿用科学记数法表示为（）．．．．．（ 分） 如图，直线 、 被直线 、 所截，若 ， ，则 的度数为（）．．．．．（ 分） 不等式的解集在数轴上表示为（）．．．．．（ 分） 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 分、 分、 分，若依次按照 ： ： 的比例确定成绩，则小王的成绩是（）． 分．分．分．分．（ 分） 如图，在 中，用直尺和圆规作 的平分线 交 于点 ．若 ， ，则 的长为（）．．．．．（ 分） 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 个单位长度的半圆 、 、 ， 组成一条平滑的虚线，点 从原点 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第 秒时，点 的坐标是（）．（ ，）．（ ，﹣）．（ ，）．（ ，）二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分） 计算：（﹣ ） ﹣ ．．（ 分） 如图， 中，点 、 分别在边 、 上， ．若 ， ， ，则 ．．（ 分） 如图，直线 与双曲线 （ ＞ ）交于点 （ ， ），则．．（ 分） 已知点 （ ， ）， （， ）， （﹣ ， ）都在二次函数 （ ﹣ ） ﹣ 的图象上，则 、 、 的大小关系是． ．（ 分） 现有四张分别标有 ， ， ， 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．．（ 分） 如图，在扇形 中， ，点 为 的中点， 交于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作交 于点 ．若 ，则阴影部分的面积为．．（ 分） 如图，正方形 的边长是 ，点 在边 上， ，点 是边 上不与点 ， 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，则 的长为．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分） 先化简，再求值： （﹣），其中 ，﹣ ．．（ 分） 如图， 是半圆 的直径，点 是半圆上不与点 、 重合的一个动点，延长 到点 ，使 ， 是 的中点，连接 、 ．（ ）求证： ；（ ）填空：若 ，则四边形 的最大面积为；连接 ，当 的度数为时，四边形 是菱形．．（ 分） 为了了解市民 获取新闻的最主要途径 某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（ ）这次接受调查的市民总人数是；（ ）扇形统计图中， 电视 所对应的圆心角的度数是；（ ）请补全条形统计图；（ ）若该市约有 万人，请你估计其中将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数．．（ 分） 已知关于 的一元二次方程（ ﹣ ）（ ﹣ ） ．（ ）求证：对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；（ ）若方程的一个根是 ，求 的值及方程的另一个根．．（ 分） 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 的高度，他们在斜坡上 处测得大树顶端 的仰角是 ，朝大树方向下坡走 米到达坡底 处，在 处测得大树顶端 的仰角是 ，若坡角 ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据： ， ， ， ）．（ 分） 某旅游馆普通票价 元 张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： 金卡售价 元 张，每次凭卡不再收费．银卡售价 元 张，每次凭卡另收 元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 次时，所需总费用为 元（ ）分别写出选择银卡、普通票消费时， 与 之间的函数关系式；（ ）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 、 、 的坐标；（ ）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．．（ 分） 如图 ，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ．（ ）问题发现当 时， ； 当 时， ．（ ）拓展探究试判断：当 ＜ 时，的大小有无变化？请仅就图 的情形给出证明．（ ）问题解决当 旋转至 ， ， 三点共线时，直接写出线段 的长．．（ 分） 如图，边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以点 为顶点的抛物线经过点 ，点 是抛物线上点 ， 间的一个动点（含端点），过点 作 于点 ，点 、 的坐标分别为（ ， ），（﹣ ， ），连接 、 、 ．（ ）请直接写出抛物线的解析式；（ ）小明探究点 的位置发现：当 与点 会点 重合时， 与 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 ， 与 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（ ）小明进一步探究得出结论：若将 使 的面积为整数 的点 记作 好点 ，则存在多个 好点 ，且使 的周长最小的点 也是一个 好点 ．请直接写出所有 好点 的个数，并求出 周长最小时 好点 的坐标．年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题 分，满分 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．（分） 下列各数中最大的数是（ ）．．．．﹣．（ 分） 如图所示的几何体的俯视图是（ ）．．．．．（ 分） 据统计 年我国高新技术产品出口总额 亿元，将数据 亿用科学记数法表示为（ ）．．．．．（ 分） 如图，直线 、 被直线 、 所截，若 ， ，则 的度数为（ ）．．．．．（ 分） 不等式的解集在数轴上表示为（ ）．．．．．（ 分） 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 分、 分、 分，若依次按照 ： ： 的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）． 分．分．分．分．（ 分） 如图，在 中，用直尺和圆规作 的平分线 交 于点．若 ， ，则 的长为（）．．．．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图 基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到 ，加上 平分 ，则根据等腰三角形的性质得到 ， ，再根据平行四边形的性质得 ，所以 ，于是得到 ，根据等腰三角形的判定得 ，然后再根据等腰三角形的性质得到 ，最后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．解答：解：连结 ， 与 交于点 ，如图，， 平分 ，， ，四边形 为平行四边形，， ，，，而 ，，在 中， ，．故选 ．．（ 分） 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 个单位长度的半圆 、 、 ， 组成一条平滑的虚线，点 从原点 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第 秒时，点 的坐标是（ ）．（ ，）．（ ，﹣）．（ ，）．（ ，）二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分） 计算：（﹣ ） ﹣ ．．（ 分） 如图， 中，点 、 分别在边 、 上， ．若 ， ， ，则 ．．（ 分） 如图，直线 与双曲线 （ ＞ ）交于点 （ ， ），则 ． ．（ 分） 已知点 （ ， ）， （， ）， （﹣ ， ）都在二次函数 （ ﹣ ） ﹣ 的图象上，则 、 、 的大小关系是 ＞ ＞ ． ．（ 分） 现有四张分别标有 ， ， ， 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．解答：解：列表得：．（ 分） 如图，在扇形 中， ，点 为 的中点， 交于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作交 于点 ．若 ，则阴影部分的面积为 ．分连接 、 ，根据点 为 的中点可得 ，继而可得 为等析：边三角形，求出扇形 的面积，最后用扇形 的面积减去扇形 的面积，再即可求出阴影部分的面积．减去 空白解解：连接 、 ，答：点 为 的中点，， ，为等边三角形，扇形 ，阴影 扇形 ﹣ 扇形 ﹣（ 扇形 ﹣ ）﹣﹣（ ﹣ ）﹣．故答案为： ．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．．（ 分） 如图，正方形 的边长是 ，点 在边 上， ，点 是边 上不与点 ， 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，则 的长为 或 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：分类讨论．分析：根据翻折的性质，可得 的长，根据勾股定理，可得 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．解答：解：（ ）当 时，过 点作 ，则 ，当 时， ，由 ， ，得 ．由翻折的性质，得 ．﹣ ﹣ ，，﹣ ﹣ ，（ ）当 时，则 （易知点 在 上且不与点 、 重合）．（ ）当 时，， ，点 、 在 的垂直平分线上，垂直平分 ，由折叠可知点 与点 重合，不符合题意，舍去．综上所述， 的长为 或 ．故答案为： 或 ．本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．点评：三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分） 先化简，再求值： （﹣），其中 ， ﹣ ．考分式的化简求值．点：专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式 ，当 ， ﹣ 时，原式 ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ．（ 分） 如图， 是半圆 的直径，点 是半圆上不与点 、 重合的一个动点，延长 到点 ，使 ， 是 的中点，连接 、 ．（ ）求证： ；（ ）填空：若 ，则四边形 的最大面积为 ；连接 ，当 的度数为 时，四边形 是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：（ ）根据中位线的性质得到 ， ，由 可证 ；（ ） 当四边形 的 边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形 是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．解（ ）证明： ， 是 的中点，答：，， ，，，在 与 中，（ ）；（ ）解： 当四边形 的 边上的高等于半径时有最大面积，（ ） （ ）；如图：， ，四边形 是平行四边形，四边形 是菱形，，，，是等边三角形，的度数为 ．故答案为： ； ．点考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是 评：证明 ．．（ 分） 为了了解市民 获取新闻的最主要途径 某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（ ）这次接受调查的市民总人数是 ；（ ）扇形统计图中， 电视 所对应的圆心角的度数是 ；（ ）请补全条形统计图；（ ）若该市约有 万人，请你估计其中将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数．条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．考点：分析：（ ）根据 电脑上网 的人数和所占的百分比求出总人数；（ ）用 电视 所占的百分比乘以 ，即可得出答案；（ ）用总人数乘以 报纸 所占百分比，求出 报纸 的人数，从而补全统计图；（ ）用全市的总人数乘以 电脑和手机上网 所占的百分比，即可得出答案．解答：解：（ ）这次接受调查的市民总人数是： ；（ ）扇形统计图中， 电视 所对应的圆心角的度数为：（ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ） ；（ ） 报纸 的人数为： ．补全图形如图所示：（ ）估计将 电脑和手机上网 作为 获取新闻的最主要途径 的总人数为：（ ） （万人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．．（ 分） 已知关于 的一元二次方程（ ﹣ ）（ ﹣ ） ．（ ）求证：对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；（ ）若方程的一个根是 ，求 的值及方程的另一个根．根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．考点：分（ ）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明 ＞ 即可；析：（ ）将 代入方程（ ﹣ ）（ ﹣ ） ，求出 的值，进而得出方程的解．解（ ）证明： （ ﹣ ）（ ﹣ ） ，答：﹣ ﹣ ，（﹣ ） ﹣ （ ﹣ ） ，而 ，＞ ，方程总有两个不相等的实数根；（ ）解： 方程的一个根是 ，，解得： ，原方程为： ﹣ ，， ．解得：即 的值为 ，方程的另一个根是 ．点此题考查了根的判别式，一元二次方程 （ ）的根与 评：﹣ 有如下关系：（ ） ＞ 方程有两个不相等的实数根；（ ） 方程有两个相等的实数根；（ ） ＜ 方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．．（ 分） 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 的高度，他们在斜坡上 处测得大树顶端 的仰角是 ，朝大树方向下坡走 米到达坡底 处，在 处测得大树顶端 的仰角是 ，若坡角 ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据： ， ， ， ）考解直角三角形的应用 仰角俯角问题；解直角三角形的应用 坡度坡角问题．点：分根据矩形性质得出 ， ，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．析：解解：如图，过点 作 于 于 ，答：则四边形 为矩形．故 ， ，在直角三角形 中，， ，， ，，设 为 ，在直角三角形 中， ，， ﹣ ，在直角三角形 中， ，﹣ （ ）解得： ，大树的高度为： 米．点评：本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．．（ 分） 某旅游馆普通票价 元 张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： 金卡售价 元 张，每次凭卡不再收费．银卡售价 元 张，每次凭卡另收 元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 次时，所需总费用为 元（ ）分别写出选择银卡、普通票消费时， 与 之间的函数关系式；（ ）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 、 、 的坐标；（ ）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．考点：一次函数的应用．分析：（ ）根据银卡售价 元 张，每次凭卡另收 元，以及旅游馆普通票价 元 张，设游泳 次时，分别得出所需总费用为 元与 的关系式即可；（ ）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（ ）利用（ ）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．解答：解：（ ）由题意可得：银卡消费： ，普通消费： ；（ ）由题意可得：当 ，解得： ，则 ，故 （ ， ），当 ， 时， ，故 （ ， ），当 ，解得： ，则 ，故 （ ， ）；（ ）如图所示：由 ， ， 的坐标可得：当 ＜ ＜ 时，普通消费更划算；当 时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当 ＜ ＜ 时，银卡消费更划算；当 时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通片合算；当 ＞ 时，金卡消费更划算．点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．．（ 分） 如图 ，在 中， ， ，点 、 分别是边 、 的中点，连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ．（ ）问题发现当 时， ； 当 时， ．（ ）拓展探究试判断：当 ＜ 时，的大小有无变化？请仅就图 的情形给出证明．（ ）问题解决当 旋转至 ， ， 三点共线时，直接写出线段 的长．考几何变换综合题．点：分（ ） 当 时，在 中，由勾股定理，求出 的值是多少；然后根析：据点 、 分别是边 、 的中点，分别求出 、 的大小，即可求出的值是多少．时，可得 ，然后根据，求出的值是多少即可．（ ）首先判断出 ，再根据，判断出 ，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（ ）根据题意，分两种情况： 点 ， ， 所在的直线和 平行时； 点 ， ， 所在的直线和 相交时；然后分类讨论，求出线段 的长各是多少即可．解解：（ ） 当 时，答：中， ，，点 、 分别是边 、 的中点，，．如图 ，，当 时，可得 ，，．故答案为：．（ ）如图 ，，当 ＜ 时，的大小没有变化， ，，又 ，，．（ ） 如图 ，，， ， ，，， ， ，四边形 是矩形，．如图 ，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，，， ， ，，在 和 中，， ， ，四边形 为矩形，﹣ ﹣．综上所述， 的长为 或．点（ ）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论评：思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（ ）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（ ）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．．（ 分） 如图，边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以点 为顶点的抛物线经过点 ，点 是抛物线上点 ， 间的一个动点（含端点），过点 作 于点 ，点 、 的坐标分别为（ ， ），（﹣ ， ），连接 、 、 ．（ ）请直接写出抛物线的解析式；（ ）小明探究点 的位置发现：当 与点 会点 重合时， 与 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 ， 与 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（ ）小明进一步探究得出结论：若将 使 的面积为整数 的点 记作 好点 ，则存在多个 好点 ，且使 的周长最小的点 也是一个 好点 ．请直接写出所有 好点 的个数，并求出 周长最小时 好点 的坐标．考二次函数综合题．点：分（ ）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；析：（ ）首先表示出 ， 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 ， 的长，进而求出即可；（ ）根据题意当 、 、 三点共线时， 最小，进而得出 点坐标以及利用 的面积可以等于 到 所有整数，在面积为 时， 的值有两个，进而得出答案．解解：（ ） 边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以点 为顶点的抛物线答：经过点 ，（ ， ）， （﹣ ， ），设抛物线解析式为： ，则，解得：故抛物线的解析式为： ﹣ ；（ ）正确，理由：设 （ ，﹣ ），则 （ ， ），（ ， ），，﹣（﹣ ） ，﹣ ；（ ）在点 运动时， 大小不变，则 与 的和最小时， 的周长最小，﹣ ， ，，当 、 、 三点共线时， 最小，此时点 ， 的横坐标都为﹣ ，将 ﹣ 代入 ﹣ ，得 ，（﹣ ， ），此时 的周长最小，且 的面积为 ，点 恰为 好点，的周长最小时 好点 的坐标为：（﹣ ， ），由（ ）得： （ ，﹣ ），点 、 的坐标分别为（ ， ），（﹣ ， ），设直线 的解析式为： ，则，解得：： ，则 ﹣ ﹣ ﹣ ，（﹣ ﹣ ﹣ ）﹣ ﹣﹣（ ） ，﹣ ，，的面积可以等于 到 所有整数，在面积为 时， 的值有两个，所以面积为整数时好点有 个，经过验证周长最小的好点包含这 个之内，所以好点共 个，综上所述： 个好点， （﹣ ， ）．点评：此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．。
2015年河南省普通高中招生考试试卷数学(含答案)word版
2015年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题（每小题3分，满分24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）下列各数中最大的数是（）A ．5B．C．πD．﹣82．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B．C．D．3．（3分）据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）A ．4.0570×109B．0.40570×1010C．40.570×1011D．4.0570×10124．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）A ．55°B．60°C．70°D．75°5．（3分）不等式的解集在数轴上表示为（）A ．B．C．D．6．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A ．255分B．84分C．84.5分D．86分7．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A ．4B．6C．8D．108．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的虚线，点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A（2014，0）B（2015，﹣1）C（2015，1）D（2016，0）．．．．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．（3分）计算：（﹣3）0+3﹣1=．10．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．11．（3分）如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则k=．12．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．13．（3分）现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．18．（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．20．（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）21．（10分）某旅游馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C 的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．23．（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A会点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．2015年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，满分24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）下列各数中最大的数是（A）A ．5B．C．πD．﹣82．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（B）A ．B．C．D．3．（3分）据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（D）A ．4.0570×109B．0.40570×1010C．40.570×1011D．4.0570×10124．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（A）A ．55°B．60°C．70°D．75°5．（3分）不等式的解集在数轴上表示为（C）A B C D．．．．6．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（D）A ．255分B．84分C．84.5分D．86分7．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A ．4B．6C．8D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的虚线，点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（B）A ．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．（3分）计算：（﹣3）0+3﹣1=．10．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．11．（3分）如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，2），则k=2．12．（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y3＞y1＞y2．13．（3分）现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．解答：解：列表得：12231112121321222223212222233132323314．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．分析：连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形ABO的面积减去扇形CDO的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．解答：解：连接OE、AE，∵点C为OC的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE ==π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：分类讨论．分析：根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．解答：解：（i）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13．∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===4（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4．故答案为：16或4．点评：本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=，当a=+1，b=﹣1时，原式=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为4；②连接OD，当∠PBA的度数为60°时，四边形BPDO是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．解答：（1）证明：∵PC=PB，D 是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，（4÷2）×（4÷2）=2×2=4；②如图：∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°．故答案为：4；60°．点评：考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．18．（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是1000；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是54°；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据“电脑上网”的人数和所占的百分比求出总人数；（2）用“电视”所占的百分比乘以360°，即可得出答案；（3）用总人数乘以“报纸”所占百分比，求出“报纸”的人数，从而补全统计图；（4）用全市的总人数乘以“电脑和手机上网”所占的百分比，即可得出答案．解答：解：（1）这次接受调查的市民总人数是：260÷26%=1000；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数为：（1﹣40%﹣26%﹣9%﹣10%）×360°=54°；（3）“报纸”的人数为：1000×10%=100．补全图形如图所示：（4）估计将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为：80×（26%+40%）=80×66%=52.8（万人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．解答：（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．20．（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．解答：解：如图，过点D作DG⊥BC于GDH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，在直角三角形AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=3，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，AC==，∴DG=3+，BG=x﹣3，在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，∴x﹣3=（3+）解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．点评：本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．21．（10分）某旅游馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C 的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．解答：解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通片合算；当x＞45时，金卡消费更划算．点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．考点：几何变换综合题．分析：（1）①当α=0°时，在Rt △ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC 、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．解答：解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，在△ABC和△CDA中，∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四边形BDQP为矩形，∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ==．综上所述，BD的长为4或．点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．23．（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A会点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．考二次函数综合题．点：分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．解答：解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；（2）正确，理由：设P（a ，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD===a2+2，PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，∴PD﹣PF=2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），∴设直线DE的解析式为：y=kx+b，则，解得：∴l DE：y=x+6，则PE=﹣a2+8﹣a﹣6，∴S△PDE=×4×（﹣a2+8﹣a﹣6）=﹣a2﹣3a+4=﹣（a+6）2+13，∵﹣8≤a≤0，∴4≤s△PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．点评：此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．。
2015年河南高级中等学校招生考试数学试卷
2015年河南省普通高中招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共24分)一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入题后括号内.1.下列各数中最大的数是( )A.5B.√3C.πD.-82.如图所示的几何体的俯视图是( )3.据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元.将数据40570亿用科学记数法表示为( )A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×10124.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为( )A.55°B.60°C.70°D.75°的解集在数轴上表示为( )5.不等式组{x+5≥0,3-x>16.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩,则小王的成绩是( )A.255分B.84分C.84.5分D.86分7.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为( )A.4B.6C.8D.108.如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒π个单位长度,则第2015秒时,点2P的坐标是( )A.(2014,0)B.(2015,-1)C.(2015,1)D.(2016,0)第Ⅱ卷(非选择题,共96分)二、填空题(每小题3分,共21分)9.计算:(-3)0+3-1= .10.如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则EC= .11.如图,直线y=kx与双曲线y=2(x>0)交于点A(1,a),则k= .x12.已知点A(4,y1),B(√2,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.13.现有四张分别标有数字1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽出一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交AB⏜于点E.以点O为圆心,OC 的长为半径作CD⏜交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为.15.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B'处.若△CDB'恰为等腰三角形,则DB'的长为.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16.(8分)先化简,再求值:a2-2ab+b2 2a-2b ÷(1b-1a),其中a=√5+1,b=√5-1.17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连结PD,PO.(1)求证:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;②连结OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上信息解答下列问题:(1)这次接受调查的市民总人数是;(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是;(3)请补全条形统计图;(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,√3≈1.73)21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y 元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连结DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时,AEBD = ;②当α=180°时,AEBD= .(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连结PD,PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.备用图答案全解全析：一、选择题1.A 根据“正数都大于负数”,知-8最小.π在正整数3和4之间,利用平方法可以知道√3在1和2之间,由此可得最大的数是5.故选A.2.B 根据俯视图的定义,可知选B.3.D 40 570亿=4 057 000 000 000=4.057 0×1 000 000 000 000=4.057 0×1012.故选D. 4.A 如图,∵∠1=∠2,∴a ∥b.∴∠5=∠3=125°,∴∠4=180°-∠5=180°-125°=55°.故选A.评析 本题考查了平行线的性质与判定,以及邻补角的关系,属容易题.5.C 解不等式x+5≥0得x ≥-5;解不等式3-x>1得x<2.∴-5≤x<2.在数轴上表示这一解集时,在-5的位置为实心点并向右画线,在2的位置为空心圆圈并向左画线.故选C.6.D ∵85×2+80×3+90×52+3+5=86,∴小王的成绩为86分.故选D.7.C 设AE 与BF 交于点O.由题可知AF=AB,∠BAE=∠FAE,∴AE ⊥BF,OB=12BF=3,在Rt △AOB 中,AO=√52-32=4.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,∴∠FAE=∠BEA, ∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,∴AE=2AO=8.故选C.8.B ∵半圆的半径r=1,∴一个半圆的弧长=π,又∵每两个半圆为一个循环,∴一个循环内点P 运动的路程为2π.(π2×2 015)÷2π=503……3,∴点P 位于第504个循环的第二个半圆弧的中点位置(即第1 008个半圆弧的中点),∴此时点P 的横坐标为503×4+3=2 015,纵坐标为-1,∴第2 015秒时,点P(2 015,-1).故选B.二、填空题9.答案 43解析 (-3)0+3-1=1+13=43.10.答案 32 解析 ∵DE ∥AC,∴BD DA =BE EC ,∴EC=DA ·BE BD =2×34=32. 11.答案 2解析 把点A(1,a)代入y=2x ,得a=21=2,∴点A 的坐标为(1,2).把点A(1,2)代入y=kx,得2=1×k,∴k=2. 12.答案 y 2<y 1<y 3 解析解法一:∵A(4,y 1),B(√2,y 2),C(-2,y 3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,∴y 1=3,y 2=5-4√2,y 3=15. ∵5-4√2<3<15,∴y 2<y 1<y 3.解法二:设点A 、B 、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为d 1、d 2、d 3.∵y=(x -2)2-1,∴对称轴为直线x=2,∴d 1=2,d 2=2-√2,d 3=4,∵2-√2<2<4,且a=1>0,∴y 2<y 1<y 3. 13.答案 58解析 列表如下:1 2 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,2) (2,3) 2 (2,1) (2,2) (2,2) (2,3) 3(3,1)(3,2)(3,2)(3,3)所有等可能的情况有16种,其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种,则所求概率P=1016=58. 14.答案√32+π12解析 连结OE.∵点C 是OA 的中点,∴OC=12OA=1, ∵OE=OA=2,∴OC=12OE,∵CE ⊥OA,∴∠OEC=30°, ∴∠COE=60°.在Rt △OCE 中,CE=OC ·tan 60°=√3, ∴S △OCE =12OC ·CE=√32.∵∠AOB=90°,∴∠BOE=∠AOB-∠COE=30°,∴S 扇形OBE =30π×22360=π3,又S 扇形COD =90π×12360=π4. 因此S 阴影=S 扇形OBE +S △OCE -S 扇形COD =π3+√32-π4=π12+√32.评析 求不规则图形的面积可采用割补法,利用规则图形的面积的和差求解.15.答案 16或4√5解析 分三种情况讨论:(1)若DB'=DC,则DB'=16(易知此时点F 在BC 上且不与点C 、B 重合).(2)当CB'=CD 时,连结BB',∵EB=EB',CB=CB',∴点E 、C 在BB'的垂直平分线上,∴EC 垂直平分BB',由折叠可知点F 与点C 重合,不符合题意,舍去.(3)如图,当CB'=DB'时,作B'G ⊥AB 于点G,延长GB'交CD 于点H.∵AB ∥CD,∴B'H ⊥CD.则四边形AGHD 为矩形,∴AG=DH.∵CB'=DB',∴DH=12CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG -AE=5.又易知EB'=13,∴在Rt △B'EG 中,由勾股定理得B'G=12,∴B'H=GH -B'G=4.在Rt △B'DH 中,由勾股定理得DB'=4√5(易知此时点F 在BC 上且不与点C 、B 重合).综上所述,DB'=16或4√5.三、解答题16.解析 原式=(a -b)22(a -b)÷a -b ab (4分) =a -b 2·ab a -b=ab 2.(6分)当a=√5+1,b=√5-1时,原式=(√5+1)×(√5-1)2=5-12=2.(8分)17.解析 (1)证明:∵D 是AC 的中点,且PC=PB,∴DP ∥AB,DP=12AB.∴∠CPD=∠PBO.(3分)∵OB=12AB,∴DP=OB.∴△CDP ≌△POB.(5分)(2)①4.(7分)②60°.(注:若填为60,不扣分)(9分)18.解析 (1)1 000.(2分)(2)54°.(注:若填为54,不扣分)(4分)(3)图略.(按人数为100正确补全条形图)(6分)(4)80×(26%+40%)=80×66%=52.8(万人).所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为52.8万人.(9分)19.解析 (1)证明:原方程可化为x 2-5x+6-|m|=0.(1分)∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.(3分)∵|m|≥0,∴1+4|m|>0.∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.(4分)(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,∴m=±2.(6分)把|m|=2代入原方程,得x 2-5x+4=0,∴x 1=1,x 2=4. ∴m 的值为±2,方程的另一个根是4.(9分)20.解析 延长BD 交AE 于点G,过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA ·cos 30°=6×√32=3√3.∴GA=6√3.(2分)设BC=x 米.在Rt △GBC 中,GC=BC tan ∠BGC =x tan30°=√3x.(4分)在Rt △ABC 中,AC=BC tan ∠BAC =x tan48°.(6分)∵GC -AC=GA,∴√3x-x tan48°=6√3.(8分)∴x ≈13.即大树的高度约为13米.(9分)21.解析 (1)银卡:y=10x+150;(1分)普通票:y=20x.(2分)(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150.∴A(0,150).(3分)联立得{y =20x,y =10x +150,∴{x =15,y =300.∴B(15,300).(4分) 把y=600代入y=10x+150,得x=45.∴C(45,600).(5分)(3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算;(注:若写为0≤x<15,不扣分)当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;当15<x<45时,选择购买银卡更合算;当x=45时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;当x>45时,选择购买金卡更合算.(10分)22.解析 (1)①√52.(1分) ②√52.(2分)(2)无变化.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(3分)在题图1中,∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AB.∴CE CA =CD CB ,∠EDC=∠B=90°.如题图2,∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变,∴CE CA =CD CB 仍然成立.(4分)又∵∠ACE=∠BCD=α,∴△ACE ∽△BCD.∴AE BD =AC BC .(6分)在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5.∴AC BC =4√58=√52,∴AE BD =√52. ∴AE BD 的大小不变.(8分)(3)4√5或12√55.(10分)【提示】当△EDC 在BC 上方,且A,D,E 三点共线时,四边形ABCD 为矩形,∴BD=AC=4√5;当△EDC 在BC 下方,且A,E,D 三点共线时,△ADC 为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根据AE BD =√52可求得BD=12√55. 23.解析 (1)抛物线的解析式为y=-18x 2+8.(3分)(2)正确.理由:设P (x,-18x 2+8),则PF=8-(-18x 2+8)=18x 2.(4分) 过点P 作PM ⊥y 轴于点M,则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+[6-(-18x 2+8)]2=164x 4+12x 2+4=(18x 2+2)2. ∴PD=18x 2+2.(6分)∴PD -PF=18x 2+2-18x 2=2.∴猜想正确.(7分)(3)“好点”共有11个.(9分)在点P 运动时,DE 大小不变,∴当PE 与PD 的和最小时,△PDE 的周长最小.∵PD -PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2.当P,E,F 三点共线时,PE+PF 最小.此时点P,E 的横坐标都为-4.将x=-4代入y=-18x 2+8,得y=6. ∴P(-4,6),此时△PDE 的周长最小,且△PDE 的面积为12,点P 恰为“好点”.∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6).(11分)【提示】△PDE 的面积S=-14x 2-3x+4=-14(x+6)2+13.由-8≤x ≤0,知4≤S ≤13,所以S 的整数值有10个.由函数图象知,当S=12时,对应的“好点”有2个.所以“好点”共有11个.。
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷理含解析
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣13．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．94．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3）B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为__________．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为__________．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为__________．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为__________．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：先化简A，注意运用指数函数的单调性解不等式，再根据集合的包含关系，求出a，b 的范围，运用不等式的性质，求出a﹣b的取值范围．解答：解：集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2，4]，∵A⊆B，B=[a，b]，∴a≤2，b≥4，∴a﹣b≤2﹣4=﹣2，即a﹣b的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：A．点评：本题考查集合的包含关系及应用，考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性，同时必须掌握不等式的性质是解题的关键．2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．解答：解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i 为正实数，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出的范围，确定的符号，求出cosθ，利用二倍角公式求出的值．解答：解：因为，所以cosθ=﹣，，，所以=﹣=﹣；故选D．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定，三角函数的值的符号的确定，考查计算能力．6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上 B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上 D．过A点的椭圆上考点：向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得出⊥，即得出点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．解答：解：根据题意，得有•=•，∴（﹣）•=0；•=0，∴⊥；∴点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的运算法则，寻求解答问题的途径，从而解答问题，是基础题．7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）考点：全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可．解答：解：函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2=（x﹣a）2+a2﹣2≥a2﹣2＞﹣2，g（x）=﹣e x﹣=﹣（e x+）≤﹣2，显然∀x∈R，都有f（x）＞g（x），故选：B．点评：本题考查函数的值域命题的真假的判断，基本知识的考查．8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||•||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答：解：非零向量，满足2•=，|即有2||•||•cosθ=||2•||2，即2cosθ=||•||，由||+||=2，则||•||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将直线进行整理，得到直线过定点（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域，根据条件得到A．B应该在直线l的两侧或在直线l上，即可得到结论．解答：解：∵直线l：（m+2）x+（m+1）y+1=0等价为m（x+y）+（2x+y+1）=0，即，解得，∴直线过定点P（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域（阴影部分ABC），要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则必有点A（1，2），B（1，﹣1）在l的两侧或在l上．得[（m+2）×1+（m+1）×2+1]•[（m+2）×1+（m+1）×（﹣1）+1]≤0，即2（3m+5）≤0，解得．故m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出直线过定点，以及利用不等式组作出平面区域是解决本题的关键．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3） B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）考点：函数的值域；并集及其运算．专题：函数思想；函数的性质及应用．分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了．解答：解：（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）=0的两根为x1=1，，又n2+4﹣lnn＞1，∴，设f（n）=n2+4﹣lnn，n∈（1，3），则，在n∈（1，3）时f′（n）＞0，∴f（n）在区间（1，3）上单调递增，即f（n）＜f（3）=13﹣ln3，所以集合A n的并集为（1，13﹣ln3）．故选：A．点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题．二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为54=121+123+125+127+129．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，解答：解：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，设行数为n，用a n1表示每行的第一个数，则a n1=（n+1）3﹣n，因此第4行的第一个数为：（4+1）3﹣4=121，则第4个等式为54=121+123+125+127+129，故答案为：54=121+123+125+127+129．点评：本题解答的关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问题即可．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为[﹣，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得a的取值范围．解答：解：圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0的圆心坐标为（a，﹣a），半径r=，若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得：a∈[﹣，），故答案为：[﹣，）点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般式方程，解答时易忽略1﹣2a＞0，而造成错解．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，得到函数=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积：﹣+=﹣cosx+cosx=+1=．故答案为：．点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年2015届高考必考内容．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得n=4k，k∈N*时，a n=sin+；n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+．由此能求出数列{a n}中最小项的值．解答：解：∵a n=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*时，a n=sin+=，n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+=．∴数列{a n}中最小项的值为．故答案为：．点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用．专题：综合题．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答：解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．考点：正弦定理；解三角形．专题：解三角形．分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（2）由于△BCD面积为，得到，得到BD，再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长．解答：解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，变形，利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题意b n=na n=，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，化为，变形，∴{a n﹣2}是以a1﹣2=1为首项，公比为的等比数列，∴，∴a n=2+．（Ⅱ）由题意b n=na n=，设数列的前n项和为T n，则T n=1++…+，=+…，=1++…+﹣=﹣=2﹣，即T n=，∴S n=T n+n2+n=+n2+n．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A1O⊥面ABC，从而A1O⊥BC，由等腰三角形性质得BC⊥AO，从而EO⊥BC，又OE⊥B1C，由此能证明OE⊥面BB1C1C．（2）由勾股定理得AO=4，，分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面A1B1C的法向量和面C1B1C的法向量，由此能求出平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值．解答：解：（1）证明：∵点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A1O⊥面ABC，而BC⊂面ABC，∴A1O⊥BC，…又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A1O∩AO=O，…∴BC⊥面A1OA，EO⊂面A1OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B1C，B1C∩BC=C，B1C⊂面BB1C1C，BC⊂面BB1C1C，∴OE⊥面BB1C1C．…（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO2+BO2=AB2，则AO=4，在△A1AO中，，则分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，C（3，0，0），A1（0，0，4），A（0，4，0），B（﹣3，0，0），∵，∴B1（﹣3，﹣4，4），∵，∴C1（3，﹣4，4），=（﹣3，0，4），=（﹣6，﹣4，4），=（0，﹣4，4），设面A1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（1，﹣，），…设面C1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（0，，1），…cos＜，＞==﹣，…所以平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值为．…点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故（**）…又点M与点P在椭圆上，故，，…代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；（2）化简=为x02﹣x0=，再令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，从而分t＞4或﹣2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．解答：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，由f′（x）＞0解得，x＞1或x＜0，由f′（x）＜0解得，0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（2）证明：∵，又∵=，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，解得x=3或﹣2（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．。
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 其中第Ⅱ卷第（22）- （24）题为选考题,其他题为必考题。
考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1．答题前,考生务必先将自己的姓名, 准考证号填写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0 ．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写, 字体工整,笔迹清楚。
3 ．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁,不折叠, 不破损。
5．做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式:样本数据x1 , x2,…x n 的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数其中S 为底面面积,h 为高柱体体积公式球的表面积, 体积公式其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题: 本大题共12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R,集合M= {x | y = lg（x2- 1）} , N= { x|0 < x < 2} ,则N ∩（瓓UM ）= A．{ x | - 2 ≤x < 1} B．{ x | 0 < x ≤1}C．{ x | - 1 ≤x ≤1} D．{ x | x < 1}2．若（ 1 + 2 ai ）i = 1 - b i ,其中 a 、 b ∈R,i 是虚数单位,则| a + b i | =A．12+ i B．5 C．54D．523．下列有关命题的说法正确的是A．命题“x ∈R,均有x2- x + 1 > 0”的否定是:“x0∈R, 使得20010x x”；B．在△ABC 中,“s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件;C．线性回归方程y = bx+ a 对应的直线一定经过其样本数据点（x 1 , y1）、（x2 , y2）、，, （x n, y n）中的一个;D．在 2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大．4 ．已知 a > b > 0 ,椭圆C1 的方程为22221x ya b,双曲线C2 的方程为22221x ya b,C1 与C2的离心率之积为32, 则C1、C2的离心率分别为A．12，3 B．26,22C．64，2 D．1,2,345 ．某几何体的三视图如图所示, 正视图、侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为A．3π B．4πC．2π D．5 26 ．函数f（x）= s i n（ωx + φ）（x ∈R ）（ω> 0 , | φ| <2）的部分图象如图所示, 如果x1、x2∈(,)63,且f（x1）= f（x2）, 则f（x1 + x2）等于A．12B．22C．32D．17 ．给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是A．1 B．2 C．3 D．4 8 ．有5 盆不同菊花, 其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是A．12 B．24C．36 D．489 ．若s i nθ+ cosθ= 2 , 则ta n（θ+3）的值是A．1 B．- 3 - 2C．- 1 + 3 D．- 2 - 310 ．三棱锥S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,△ABC 是斜边AB = a 的等腰直角三角形,则以下结论中:①异面直线SB 与AC 所成的角为90° ;②直线SB ⊥平面ABC ;③平面SBC ⊥平面SAC;④点 C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．设实数x 、y 满足26260,0xy x yx y , 则z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是A ．[ 2 ,5] B ．[ 2 ,9] C ．[ 5 ,9] D ．[ - 1 ,9]12 ．已知函数y = f （x - 1）的图象关于点（ 1 ,0）对称,且当x ∈（- ∞,0）时, f （x ）+ xf' （x ）< 0 成立（其中f' （x ）是f （x ）的导函数）,若a = （30 ．3）·f （30 ．3）,b = （log π 3）·f （log π 3）,c = （log 319）·f （log 319）,b ,c 的大小关系是A ．a > b > cB ．c > a > bC ．c > b > aD ．a > c > b第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第（13）题～第（21）题为必考题, 每个试题考生都必须做答,第（22）题～第（24）题为选考题, 考试根据要求做答。
2015年河南省许昌、平顶山、新乡三市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省许昌、平顶山、新乡三市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|x≤2}D．{x|x≥1} 2．（5分）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．33．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A．B．C．D．15．（5分）若x∈（e﹣1，1），a＝lnx，b＝（）lnx，c＝e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 6．（5分）从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．10C．30D．24+28．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（x+）B．f（x）＝4sin（x+）C．f（x）＝2sin（x+）D．f（x）＝4sin（x+）10．（5分）已知正项数列{a n}的前n项的乘积等于T n＝（n∈N*），b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n中最大值是（）A．S6B．S5C．S4D．S311．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4B．3C．2D．112．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln（x+m）与函数g（x）＝x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）dx＝．14．（5分）（x﹣）6展开式的常数项为．15．（5分）在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是．16．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，g（x）＝2cos2x+m，若存在x0∈[0，]，f （x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且＝﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．18．（12分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB＝135°，BC＝2，SB＝SC＝AB＝2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CF A；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．21．（12分）设函数f（x）＝lnx+x2﹣（m+2）x，在x＝a和x＝b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB＝DF•DA．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m 的取值范围．2015年河南省许昌、平顶山、新乡三市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|x≤2}D．{x|x≥1}【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，∴A∪B＝{x|x≤1或x≥2}，则∁U（A∪B）＝{x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b ＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．3．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A：a∈R，|a|＜1，可得﹣1＜a＜1；B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2＝0的一个根大于零，另一根小于零，所以f （0）＝a﹣2＜0，所以a＜2；当﹣1＜a＜1时，a﹣2＜0，∴A是B的充分条件，当a＜2时，不能得出﹣1＜a＜1，比如a＝1.5，∴A不是B的必要条件；所以A是B的充分不必要条件故选：A．4．（5分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A．B．C．D．1【解答】解：执行程序框图，有i＝1，m＝0，n＝0i＜3成立，i＝2，m＝1，n＝i＜3成立，i＝3，m＝2，n＝i＜3不成立，输出n的值为．故选：C．5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a＝lnx，b＝（）lnx，c＝e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a＝lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y＝为减函数，∴b＝＞＝＝1，即b＞1；又c＝e lnx＝x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选：B．6．（5分）从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从正六边形六个顶点及其中心这7个点中任取两个点共有＝21种情况；距离等于该正六边形边长有6+6＝12种，故这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为＝．故选：C．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．10C．30D．24+2【解答】解：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，侧棱垂直于底面的直四棱柱，则正视图和俯视图可知该几何体的高为2，侧棱长为2，所以该几何体的体积为＝10故选：B．8．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y【解答】解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：＝4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2＝，因为，所以p＝8．抛物线C2的方程为x2＝16y．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（x+）B．f（x）＝4sin（x+）C．f（x）＝2sin（x+）D．f（x）＝4sin（x+）【解答】解：根据题意，对函数f（x）＝A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x）＝ωA cos （ωx+φ），由导函数的图象可知：导函数的周期为2[﹣（﹣）]＝4π，则有T＝＝4π，解得ω＝，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω＝2，即A＝4，∴导函数f′（x）＝2cos（x+φ），把（﹣，2）代入得：4cos（﹣+φ）＝2，且|φ|＜，解得φ＝，则f（x）＝4sin（x+）．故选：B．10．（5分）已知正项数列{a n}的前n项的乘积等于T n＝（n∈N*），b n ＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n中最大值是（）A．S6B．S5C．S4D．S3【解答】解：由已知当n＝1时，a1＝T1＝，当n≥2时，a n＝＝，n＝1时也适合上式，数列{a n}的通项公式为a n＝∴b n＝log2a n＝14﹣4n，数列{b n}是以10为首项，以﹣4为公差的等差数列．＝﹣2n2+12n＝﹣2[（n﹣3）2﹣9]，当n＝3时取得最大值．故选：D．11．（5分）设x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（其中a ＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图3个顶点是A（﹣3，0），B（﹣2，0），C（1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值3，即a+2b＝3．∴＝（a+2b）•（）＝（1+4++）≥×9＝3（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln（x+m）与函数g（x）＝x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：题目可转化为：假设对称点为（x0，y0）和（﹣x0，y0），其中：x0＞0此时有：x02+e（﹣x0）﹣＝x02+ln（x0+m）即x2+e（﹣x）﹣＝x2+ln（x+m）在x＞0时有解可化为：e（﹣x）﹣＝ln（x+m）通过数形结合：显然有：m＜．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）dx＝π．【解答】解：令y＝，画出图象：由微积分基本定理的几何意义可得：＝π．故答案为π．14．（5分）（x﹣）6展开式的常数项为﹣20．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣＝﹣20，故答案为：﹣20．15．（5分）在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是﹣．【解答】解：如图所示，B（4，0），C（0，2），M（2，1）．∴＝（2，1），＝（﹣4，2）．∴向量在向量方向上的投影＝＝＝﹣．故答案为：．16．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，g（x）＝2cos2x+m，若存在x0∈[0，]，f （x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是m≤．【解答】解：由题意可得存在x0∈[0，]，使1+sin2x0﹣2cos2x0﹣m≥0即可满足题意，故只需存在x0∈[0，]，m≤1+sin2x0﹣2cos2x0，故只需m≤（1+sin2x﹣2cos2x）max，x∈[0，]，化简可得y＝1+sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，即y＝1+sin2x﹣2cos2x的最大值为，∴m≤故答案为：m≤三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且＝﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．【解答】解：（I）由已知＝﹣，可得2cos B＝．而△ABC为斜三角形，∴cos B≠0，∴sin2A＝1．∵A∈（0，π），∴2A＝，A＝．（II）∵B+C＝，且＝＝＝+tan C＞，即tan C＞1，∴＜C＜．18．（12分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：…（12分）∴．…（13分）19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB＝135°，BC＝2，SB＝SC＝AB＝2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CF A；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF，∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD，又∵EF⊂面CF A，SD⊄面CF A，∴SD∥平面CF A．（2）解：以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则有，，，，∴，，，，（7分）设平面SAB的一个法向量为由得，令z＝1得：x＝1，y＝﹣1∴同理设平面SCD的一个法向量为由，得，令b＝1得：a＝﹣1，c＝1，∴设面SCD与面SAB所成二面角为θ，则＝，∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a＝|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，a＝2．又∵c＝1，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为．（2）将直线l的方程y＝kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2＝12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，化简得：m2＝4k2+3．设，，法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|＝|MN|×|tanθ|，∴，＝，∵m2＝4k2+3，∴当k≠0时，，，．当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为．法二：∵，．∴＝．四边形F1MNF2的面积＝，＝．当且仅当k＝0时，，故．所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．21．（12分）设函数f（x）＝lnx+x2﹣（m+2）x，在x＝a和x＝b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ），则由题意得方程x2﹣（m+2）x+1＝0有两个正根，故，解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0．（Ⅱ），又m+2＝a+b，ab＝1∴＝＝，设，故，构造函数，所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，，f（b）﹣f（a）的最大值为．四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB＝DF•DA．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA＝OC∴∠OAC＝∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠F AC∴∠F AC＝∠OCA，∴OC∥AD．…（3分）∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（5分）（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF•DA．∵∠MAC＝∠DAC，∠D＝∠AMC，AC＝AC∴△AMC≌△ADC，∴DC＝CM，∴AM•MB＝DF•DA…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．【解答】解：（1）把点P的极坐标为（4，）化为直角坐标为（2，2），把直线l的参数方程（t为参数），化为直角坐标方程为y＝x+1，由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为（θ为参数）．把曲线C的方程化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆．圆心到直线的距离d＝＝+，故点Q到直线l的距离的最小值为d﹣r＝﹣，最大值为d+r＝+，∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a＝2．（6分）（2）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|．设g（x）＝f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）＝5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）。