1-5正交子空间

K (α + β ) = k (α + β ) = kα + k β = K (α ) + K ( β ) , K ( mα ) = kmα = mkα = mK (α ) .
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例3．V = P[ x ]或P[ x ]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
又, T的象空间就是由 α 1 , α 2 , , α n所生成的向
量空间 T ( R n ) = { y = x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n x 1 , x 2 , , x n ∈ R}
T的核N T 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间.
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矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 一 章
线性空间与线性映射
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§1.5 线性映射与线性变换
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射，这即是本节要讨论的内容
性空间 , T是一个从 V1 n到 V2 m的变换 , 如果变换 T满足
(1) 任给x , y ∈ V1n , 有 : T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y );
( 2) 任给 x ∈ V1n , λ ∈ F , 都有 T (λ X ) = λ T ( x ).
说明：
那么, 就称 T 为从 V1 n 到 V 2 m的 线性映射
3. 线性映射与变换的举例 例1. V = R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换， 用 Tθ 表示，即
⎛ x1 ⎞ Tθ : R → R , ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠
2 2
⎛ y1 ⎞ ⎜y ⎟ ⎝ 2⎠
这里:
⎛ y1 ⎞ = cosθ − sinθ ⎛ x1 ⎞ ⎜y ⎟ ⎜ sinθ cosθ ⎝ x2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎠
T ( x ) = Ax , ( x ∈ R n ), 试证明 : T为线性变换 .
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设a , b ∈ R n , 则
T (a + b ) = A(a + b ) = Aa + Ab = T (a ) + T (b ); T ( ka ) = A( ka ) = kAa = kT (a ).
kβ 1 = kTα 1 = T (kα 1 ) ∈ T (V1n ),
(因kα 1 ∈ V1n ),
由于 T (V1n ) ⊂ V2m , 由上述证明知它对 Vn中的线 线性运算封闭， 故它是Vn 的子空间．
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α ( 5 ). 使 Tα = 0 的 α 的全体 N T = { α ∈ V1 n , Tα = 0}
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4. 线性映射的简单性质
(1 ). T θ V 1 = θ V 2 , T (− α ) = − T (α ) ;
( )
( 2). 若β = k1α 1 + k 2α 2 +
( 3 ). 若 α 1 , α 2 ,
+ k mα m , 则 + k mTα m ;
说明： （1）称
y 为 x 在映射 T
下的像， x 为原像
（2） T (V1 ) ⊂ V2 , 若 T (V1 ) = T (V2 ), 则称 T 为满射
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2. 线性映射与线性变换 定义: 设 V1n ,V2 m 分别是实数域 F上的 n 维和 m 维线
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一，线性映射与线性变换 1.映射
设有两个非空集合 V1 ,V2 , 如果对于 V1中任一 元素 x , 按照一定规则 T , 总有 V2中一个确定的元素 y 和它对应 , 那么, 这个对应规则 T称为从集合 V1到集合 V2的映射 , 记作 T : V1 → V2 , T ( x ) = y
(4). 线性映射 T 的象集 T (V1n )是线性空间 V2 m的 子空间 证明: 设 β 1 , β 2 ∈ T (V1n ),
则有 α 1 , α 2 ∈ V1n ,
使 Tα 1 = β 1 , Tα 2 = β 2 , 从而
β 1 + β 2 = Tα 1 + Tα 2
= T (α 1 + α 2 ) ∈ T (V1n ), (因α 1 + α 2 ∈ V1n );
+ k n x n ; k1 , k 2 ,
, kn ∈ F }
= {k1T ( x1 ) + k 2T ( x 2 ) +
= L(T ( x1 ), T ( x 2 ),
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+ k nT ( x n ) ; k1 , k 2 ,
, kn ∈ F }
, T ( x n ))
为线性映射 T1 ,T2 的线性组合.
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线性复合 设 T1 是 V 到 U 的线性映射, T2 是 U 到W 的线 性映射,定义: T2T1 : T2T1 ( x ) = T2 (T1 ( x )), ∀x ∈ V 称 T2T1 为线性映射 T2 ,T1 的复合. 说明
D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ V
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C [a , b]上的变换
J : C [a , b] → C [a , b] , J ( f ( x )) = ∫ f ( t )dt
x a
是一个线性变换.
2．若 T : V ( F ) → V ( F ) , 即 T 是 V 上的线性变换，
则:
T[ε 1 , ε 2 , , ε n ] = [ε 1 , ε 2 , , ε n ]A
, ε n下的矩阵
称 A 为线性变换 T 在基 ε 1 , ε 2 ,
3．设 A ∈ C m×n , 则C n 到 C m 的线性映射 T : y = Ax n m 中的矩阵 A 是 T 在 C 的自然基底与 C 的自然
T2 是 V 上的线性变换,则记:
T 2 = TT , T m = TT m −1
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6, 定理
设 T : V → U 是线性映射, W1 , W2是 V 的 子空间,则:
(1) T (W1 + W2 ) = T (W1 ) + T (W2 ) ( 2) T (W1 ∩ W2 ) ⊂ T (W1 ) ∩ T (W2 )
′ ⎡ a1 ⎤ ⎢ a′ ⎥ ⎢ 2⎥ ′ ′ ′ T ( x) = [ε1 , ε 2 , , ε m ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ⎣am ⎦
称为线性映射在基
′ ′ ′ ε 1 , ε 2 , , ε n 与基 ε1 , ε 2 , , ε m
下的坐标变换公式
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(
)
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例2. 几个特殊线性变换 单位变换(恒等变换)： E : V → V , α 零变换： 0 : V → V , α 由数k决定的数乘变换：
K :V → V , α
事实上， ∀α , β ∈ V ,
α , ∀α ∈ V
0, ∀α ∈ V kα , ∀α ∈ V ∀m ∈ P ,
,
Tβ = k1Tα 1 + k 2Tα 2 +
Tα m亦线性相关 .
注意 若 α 1 , α 2 , Tα 1 , Tα 2 ,
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, α m 线性相关 , 则 Tα 1 , Tα 2 ,
, α m 线性无关 , 则 :
, Tα m 不一定线性无关 .
是 V1 n 的子空间 , N T 称为线性变换 T 的核 .
证明: 若 α 1 , α 2 ∈ N T , ⇒ Tα 1 = 0, Tα 2 = 0, 则 T (α 1 + α 2 ) = Tα 1 + Tα 2 = 0 ⇒ α 1 + α 2 ∈ N T ;
若 α 1 ∈ N T , k ∈ R, 则
称T (V1n ) = R(T ) = { y y = T ( x ) , x ∈ V1n } 为 T 的值域。 若 V1n = V2 m = V ，则称线性映射 T 为线性变换。 若 T (V1n ) = R(T ) = V2 m , 则称 T 为满射.
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证明:(2) ∀z ∈ T (W1 ∩ W2 ), ∃x ∈ W1 ∩ W2 , s .t z = T ( x ) 由于: x ∈ W1 , x ∈ W2 ,所以 T ( x ) ∈ T (W1 ), T ( x ) ∈ T (W2 ) 即: T ( x ) ∈ T (W1 ) ∩ T (W2 )
T (W1 ∩ W2 ) ⊂ T (W1 ) ∩ T (W2 )
T (kα 1 ) = kTα 1 = k 0 = 0 ⇒ kα 1 ∈ N T .
因此 N T 对线性运算封闭 , 又 N T ⊂ V1n ,