2-3.正交子空间

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⊥
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∀α ∈ V1 , β ∈ V2 , 恒有
则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 V1 ⊥ V2 . 正交的，
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说明: 说明: 正交． ① V1 ⊥ V2当且仅当 V1中每个向量都与 V2正交． ② V1 ⊥ V2 ⇒ V1 I V2 = {0}.
⇒
Q ∴
R ( A ) ⊥ R ( B ) a i ∈ R ( A ), b j ∈ R ( B ) ( a i , b j ) = a iH b j = 0 i = 1 , 2 , L , m ; j = 1 , 2 , L , s
∴ AH B = 0
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L(α i ) ⊥ L(α j ) , i ≠ j , i , j = 1,2, L , n
A ∈ C n×m ( R n×m ), B ∈ C n× s ( R n× s ) ,⊥ R( B ) ⇔ A H B = 0
证明:设 证明 设: A = [a1 , a 2 ,L , a m ] , B = [b1 , b2 ,L , bs ]
(
Q ∀α ∈ V1 I V2 ⇒ (α ,α ) = 0 ⇒ α = 0.
)
③ 当 α ⊥ V1 且 α ∈ V1 时，必有 α = 0. ④ 若 V1 ⊥ V2 ,则: dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 则
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2,定理 定理: 定理 (1),设酉 欧氏 空间 V = L [α1 , α 2 ,L, α n ] , α 1 , α 2 ,L , α n 设酉(欧氏 设酉 欧氏)空间 为标准正交基,则 为标准正交基 则:
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§2.3 正交子空间
一,子空间的正交 子空间的正交 1,定义 定义: 定义 1) 设 V1 是欧氏 酉)空间 中的子空间 α ∈ V , 是欧氏(酉 空间 中的子空间, 空间V中的子空间 如果对 ∀β ∈ V1 , 恒有 (α , β ) = 0, 则称向量 α 与子空间 V1 正交，记作 α ⊥ V1 . 正交， 2) V1 与V2 是欧氏 酉)空间 中的两个子空间，如果对 是欧氏(酉 空间 中的两个子空间， 空间V中的两个子空间
反之, 反之
A H B = 0 ⇒ a iH b j = (a i , b j ) = 0 i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , s
∀ x ∈ R ( A ), y ∈ R ( B ) 令:
x = k1a1 + k 2 a 2 + L + k m a m
k1 , k 2 ,L , k m ∈ C
Q Vi ⊥ V j , i ≠ j ∴ (α i ,0) = (α i ,α1 + α 2 + L + α s ) = (α i ,α i ) = 0
由内积的正定性， 由内积的正定性，可知 α i = 0, i = 1,2,L , s .
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注：
子空间W的正交补记为 ① 子空间 的正交补记为 W ⊥ . 即
β = xm +1ε m +1 + L + xnε n ∈ V2 ,
(α , β ) = ( ∑ xiε i ,
i =1 m
∑+1 x jε j ) = ∑ j =∑+1 xi x j (ε i , ε j ) = 0 j=m i =1 m
n
m
n
∴ V1 ⊥ V2 .
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y = t 1 b1 + t 2 b2 + L + t s b s
则有: 则有 即:
m s i =1 j =1
t1 , t 2 , L , t s ∈ C
( x , y ) = ∑ ∑ k i t j (ai , b j ) = 0
R( A) ⊥ R(B )
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第 二 章
内积空间
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教学内容和基本要求
1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系 理解内积空间的概念 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 了解内积空间的同构的含义， 方法. 方法 3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法， 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法， 4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点: 重点: 难点: 难点: 内积空间的概念； 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系 正交变换的判定方法
的正交补. 即 V2 为 V1 的正交补
再证唯一性. 再证唯一性. 设 V ,V 是 V 的正交补，则 2 3 1 的正交补，
V = V1 ⊕ V2 = V1 ⊕ V3
对 ∀α ∈ V2 , 由上式知 α ∈ V1 ⊕ V3 即有 α = α1 + α 3 , 又 V1 ⊥ V2 , V1 ⊥ V3
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3. 两两正交的子空间的和必是直和． 两两正交的子空间的和必是直和． 证明： 两两正交， 证明：设子空间 V1 ,V2 ,L ,Vs 两两正交， 要证明 V1 ⊕ V2 ⊕ L ⊕ Vs , 只须证： 只须证：
中零向量分解式唯一． V1 + V2 + L + Vs 中零向量分解式唯一． 设 α1 + α 2 + L + α s = 0, α i ∈ Vi , i = 1,2,L , s
α1 ∈ V1 , α 3 ∈ V3
∴ α1 ⊥ α 3 ,α ⊥ α1 ,
从而有 (α ,α1 ) = (α1 + α 3 ,α1 ) = (α1 ,α1 ) + (α 3 ,α1 )
= (α1 ,α1 ) = 0 由此可得 α1 = 0, 即有 α ∈ V3 ∴ V2 ⊆ V3 .
唯一性得证. 同理可证 V3 ⊆ V2 , ∴ V2 = V3 . 唯一性得证.
正交子空间的和 二、正交子空间的和 1. 正交补的定义： 正交补的定义： 如果欧氏空间V的子空间 如果欧氏空间 的子空间 V1 ,V2 满足 V1 ⊥ V2 , 并且 正交补. V1 + V2 = V , 则称 V2 为 V1 的正交补 2． 维欧氏空间 的每个子空间 V1 都有 ． 维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 证明： 的唯一正交补． 证明：当 V1 = {0} 时，V 就是 V1 的唯一正交补．
V 也是有限维欧氏空间. 当 V1 ≠ {0} 时， 1 也是有限维欧氏空间
取 V1 的一组正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε m ,
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由定理，它可扩充成V的一组正交基 由定理，它可扩充成 的一组正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε m , ε m +1 ,L , ε n , 记子空间 L ( ε m +1 ,L , ε n ) = V2 . 显然, 显然, V1 + V2 = V . 又对 ∀α = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xmε m ∈ V1 ,
W ⊥ = {α ∈ V α ⊥ W }
维欧氏空间V的子空间 满足: 的子空间W满足 ② n 维欧氏空间 的子空间 满足 i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间 的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是 的余子空间 的正交补 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补 的余子空间未必是其正交补. 但一般地，子空间 的余子空间未必是其正交补.