结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
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结构力学第十五章 结构的塑性分析与极限荷载.ppt
坏形态才可能实现。
A l/3
B
Mu
B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
FPu MuB MuD
B
3 l
FPu
M
u
(
3 l
6 l
)
Mu 3Mu
Mu
A
B
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
D
6 l
FPu
D
C
Mu
20
2) A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 M A 0
FRB
1(1 l2
qul 2
Mu )
qu
A
Mu A
l-x
Mu C C x
B
FRB
FRB
1 2
qul
Mu l
qu
BC段平衡
Fy 0 FQC FRB qu x 0
C
FQC Mux
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D
点，即应力减小为零。此时，应变并不等于
零，而为εP。由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
o
ε
D
sεεP
ε
s
ε
理想弹塑性模型
5
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，
15_结构的塑性分析与极限荷载解读
2l l A y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
结构力学课件结构的极限荷载
中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。
（3）塑性流动阶段
Mu
bh2 4
s
—— 塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M u 1.5 —— 截面形状系数。圆形截面1.7，工字形
Ms
截面1.10-1.17，圆环截面1.27-1.40。
※塑性铰
当截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 κ。u
s 3 2 Mu 0
（2）只需考虑平衡条件，无需考虑变形协调条件，比弹 性计算简单；
（3）超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移动 等因素的影响。
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
A
BP
2Mu
C
A
BD
3Mu
C
A
D
l/3 l/3 l/3
Mu
Mu D
C
B Mu
2Mu A
0.5Mu D
C
B
Mu
Pu min P1 , P2 , P3
7.5M u l
4Mu
P l 3 l
2l 3
1 3
2M
u
4M u ,
P1
21M u l
P l 3 l
2l 3
1 3
3M
u
Mu,
P2
9M u l
P l 3 l
2l 3
1 3 2M u
Mu,
P3
7.5M u l
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
3. 连续梁的极限荷载
超静定结构有多余约束，必须出现足够多的塑性铰 才能成为机构，从而丧失承载能力。
结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
结构力学 结构塑性分析的极限荷载
max
M ym a x I
s
(a)
时，认为该截面已达到截面的弹性极限状 态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极 限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得：
MS
y
I
m
ax
s
(b)
对图示矩形截面梁，代入 I bh3 得矩形截面弹性极限弯矩： 12
h ymax 2
MS
bh2 6
S
(c)
M
M
M =M s
第二节 极限弯矩和塑性铰
M
M
(a)纯弯曲 矩形截面梁
(b) s
(c) s
1、弹性极限弯矩Ms
由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯 弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外 力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保 持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的 伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应 变按截面高度线性分布，在中性轴处的应 变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外 层纤维达到材料的屈服应力，即
3.具有一个对称轴截面的极限弯矩
形 心 轴 等 面 积 轴
(1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足：
dA 0
(a)
A
在塑性极限状态时截面上的轴力应满足：
S dA S dA 0
A1
A2
即 S ( dA dA) S (A1 A2 ) 0
A1
A2
上式只有在 A1 A2 0 成立时才能满足， 即受拉区的面积须等于受压区的面积。
y dA ydA ydA S1 S2
A1
A2
则极限弯矩可表示为：
Mu s (S1 S2 ) (14-2-2)
弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段， 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。
结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载
即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
哈尔滨工业大学 11 结构力学—— 结构的极限荷载-PPT文档资料
s
k F Pu F [ F ] 塑性设计时的荷载条件： Pw Pu k
哈工大 土木工程学院
4
17 结构的塑性分析和极限荷载
理想弹塑性材料假设：
• 在OA段线性，满足 E
• 在 AB 段应力达到屈服， 材料进入塑性流动；
s
A
C
B
E • 在C点卸载，满足
加载时是弹塑性，卸载时是弹性。
17 结构的塑性分析和极限荷载
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
1
17 结构的塑性分析和极限荷载
§17.1 极限荷载的概述
此前主要讨论结构的弹性分析： • • • 假定应力应变关系是线性的； 荷载卸去后，结构无任何残余变形； 应力达到材料的极限应力即认为结构将 破坏； 正常使用条件下弹性计算能给出足够准 确的结果； 以弹性极限作为设计依据的设计方法称 弹性设计法。
• 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；
• 截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。
塑性铰与普通铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩 2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰 3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关 4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
3
17 结构的塑性分析和极限荷载
为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载 能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的 荷载，直至结构破坏。 • 结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载；
• 结构即将达到破坏时的状态称作极限状态；
k F Pu F [ F ] 塑性设计时的荷载条件： Pw Pu k
哈工大 土木工程学院
4
17 结构的塑性分析和极限荷载
理想弹塑性材料假设：
• 在OA段线性，满足 E
• 在 AB 段应力达到屈服， 材料进入塑性流动；
s
A
C
B
E • 在C点卸载，满足
加载时是弹塑性，卸载时是弹性。
17 结构的塑性分析和极限荷载
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
1
17 结构的塑性分析和极限荷载
§17.1 极限荷载的概述
此前主要讨论结构的弹性分析： • • • 假定应力应变关系是线性的； 荷载卸去后，结构无任何残余变形； 应力达到材料的极限应力即认为结构将 破坏； 正常使用条件下弹性计算能给出足够准 确的结果； 以弹性极限作为设计依据的设计方法称 弹性设计法。
• 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；
• 截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。
塑性铰与普通铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩 2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰 3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关 4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定
哈工大 土木工程学院
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3
17 结构的塑性分析和极限荷载
为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载 能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的 荷载，直至结构破坏。 • 结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载；
• 结构即将达到破坏时的状态称作极限状态；
结构的塑性分析和极限荷课件
1
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
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屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
100mm 20mm
解: A360m0m2
A 1A2A/218m 020 m
1 如果B、D截面出现塑性铰
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
20mm
y . m m
Mu S(SS)S[A A.] SA [ .]SA .
26.K 7N 9 m
塑性铰、极限荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
第17章 结构的极限荷载
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实
上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有 时不够经济合理。 塑性设计方法
塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。
结构的极限受力状态应满足的条件（P273）：
⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
理想弹塑性模型
在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时
s
A
B
材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。
残余应变
s A
CB
o
ε
理想弹塑性模型
o
D
ε εP ε s
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又
称残余应变。
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构
结构在A、C截面出现塑性铰。 A
1 静力法
FP
C
B
l/2
l/2
1 4
FPul
Mu
1 2
Mu
FPu
3 2
Mu
4 l
6M u l
Mu
FPu
A
C
B
Mu
极限状态的弯矩图
2 虚功法
A
Mu
1 Mu l/2
FPu
C 1
2 l/2
设破坏机构
B
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向， 大小为δ。
FP
A
C
B
(a)
l2
C l 2
MA FPl
(b)
FP弹性阶段
MC 352FPl
弹性阶段，A截面弯矩最大。
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
Mu
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大 的方向发生有限的转角，卸载时消失。
qul
Mu
虚功方程： qulMu
qu
16M l2
u
【例】 AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
求图示梁的极限荷载。
A
FP
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。
由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现 在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，
利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
1l/22 l 2214 l
列出刚体虚功方程： F Pu M u M u 0
FPuM u(ll)0
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu
l
C 2
B
Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
l
W
yqudxMu
Mu
l
)Mu
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
侧移机构
柱端塑性铰比较严重
破坏机构 结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
100mm 20mm
解: A360m0m2
A 1A2A/218m 020 m
1 如果B、D截面出现塑性铰
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等面积轴:
20mm
y . m m
Mu S(SS)S[A A.] SA [ .]SA .
26.K 7N 9 m
塑性铰、极限荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
第17章 结构的极限荷载
§17-1 概述
弹性设计方法 没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实
上，由塑性材料组成的结构当某一局部的σmax达到了屈服极 限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有 时不够经济合理。 塑性设计方法
塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。
对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了 具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。 超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰， 结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。
结构的极限受力状态应满足的条件（P273）：
⑴平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； ⑵局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； ⑶单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
理想弹塑性模型
在塑性设计中，假设材料为理想弹塑 性材料，其应力与应变关系：加载时
s
A
B
材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。
残余应变
s A
CB
o
ε
理想弹塑性模型
o
D
ε εP ε s
ε
当应力达到屈服应力后在C点卸载，卸载时材料为线弹
性的。当应力减小为零时，应变为εP，εP是塑性应变，又
称残余应变。
§17-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
解：计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构
结构在A、C截面出现塑性铰。 A
1 静力法
FP
C
B
l/2
l/2
1 4
FPul
Mu
1 2
Mu
FPu
3 2
Mu
4 l
6M u l
Mu
FPu
A
C
B
Mu
极限状态的弯矩图
2 虚功法
A
Mu
1 Mu l/2
FPu
C 1
2 l/2
设破坏机构
B
令机构产生虚位移，C截面竖向位移和荷载FPu同向， 大小为δ。
FP
A
C
B
(a)
l2
C l 2
MA FPl
(b)
FP弹性阶段
MC 352FPl
弹性阶段，A截面弯矩最大。
塑性阶段，A截面形成第一个塑性铰。
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
Mu
[例] 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大 的方向发生有限的转角，卸载时消失。
qul
Mu
虚功方程： qulMu
qu
16M l2
u
【例】 AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
求图示梁的极限荷载。
A
FP
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解:出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。
由于AB段、 BC段截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅 可以出现在产生最大弯矩的A、D截面，也可能出现 在截面改变处B，可能的破坏机构有两种。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，
利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。 多采用机动法。
§17-3 超静定梁的极限荷载
一．单跨超静定梁的极限荷载
为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰 的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。
1l/22 l 2214 l
列出刚体虚功方程： F Pu M u M u 0
FPuM u(ll)0
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu
l
C 2
B
Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
l
W
yqudxMu
Mu
l
)Mu
都江堰市都江之春大厦 底层柱顶塑性铰
侧移机构
柱端塑性铰比较严重
破坏机构 结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构(几何可变体系), 失去继续承载的能力,称为破坏机构。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
该结构整体变为机构而破坏
结构局部变为机构而破坏。
不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。