2020高考数学三轮冲刺 练透高考必会题型练习 解析几何 (7)

最小值为|CF|－r＝ －1－22＋4－02－2＝5－2＝3.
6．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，
则△AOB 的面积为( )
A. 2 B. 2 C.3 2 D．2 2
2
2
答案 C
解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－1. 2
由直线 OA 到 l 的距离 d＝ 5， 5
可得|－t|＝ 1 ， 55
解得 t＝±1.
又因为－1∉[－1，＋∞)，1∈[－1，＋∞)，
2
2
所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.
总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率
(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝p2；
4
②若直线 AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝si2np2θ；
③若 F 为抛物线焦点，则有 1 ＋ 1 ＝2. |AF| |BF| p
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，－2)到焦点的距离为 4， 则 m 的值为( ) A．4 B．－2 C．4 或－4 D．12 或－2 答案 C 解析 设标准方程为 x2＝－2py(p>0)， 由定义知 P 到准线的距离为 4，故p＋2＝4，所以 p＝4，
(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．
解 (1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
所以 p＝2.
故所求的抛物线 C 的方程为 y2＝4x，
其准线方程为 x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t.
y＝－2x＋t，
由
得 y2＋2y－2t＝0.
y2＝4x，
解析 ∵ 1 ＋ 1 ＝2＝2， |AF| |BF| p
|AB|＝|AF|＋|BF|＝25，|AF|<|BF|， 12
∴|AF|＝5，|BF|＝5.
6
4
8．设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过点 P(－1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，点 Q
为线段 AB 的中点，若|FQ|＝2，则直线 l 的斜率等于________．
圆 C 的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为 C(－1,4)，半径 r＝2.
d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，显然，|PF|＋|PQ|≥|FQ|(当且仅当 F，P，Q 三点共线时取等号)．
而|FQ|为圆 C 上的动点 Q 到定点 F 的距离，
显然当 F，Q，C 三点共线时取得最小值，
的正三角形，则 p 的值是( )
A．2± 3 B．2＋ 3
C. 3±1 D. 3－1
答案 A
解析 依题意得 F(p，0)，设 P( y21 ，y1)，Q( y22 ，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得 y21
2
2p
2p
2p
＋p＝ y22 ＋p，∴y21＝y22，∴y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点 P( 1 ，y1)．又点 P 位于
4
8
C.63 D.9 32 4
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为 F(3，0)， 4
因此直线 AB 的方程为 y＝ 3(x－3)， 34
即 4x－4 3y－3＝0.
方法一 联立抛物线方程化简得 4y2－12 3y－9＝0，
故|yA－yB|＝ yA＋yB2－4yAyB＝6.
因此 S△OAB＝12|OF||yA－yB|＝12×34×6＝94.
例 3 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)．
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA
与 l 的距离等于 5？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 5
破题切入点 (1)将点代入易求方程．
如图所示，自点 B 作 BQ 垂直于抛物线的准线于点 Q，交抛物线于点 P1，此时|P1Q|＝|P1F|， 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 题型二 抛物线的标准方程及性质 例 2 (1)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x2＝8y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) (2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m．水位下降 1 m 后，水面宽________ m.
则有(k22－2)2＋(2k)2＝4，
解得 k2＝1，所以 k＝±1.
9．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，
其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°.则△OAF 的面积为________．
答案 3 解析 由题意，得直线 AB 方程为 y＝ 3(x－1)，与抛物线方程 y2＝4x 联立，求得交点 A 的坐 标为(3,2 3)，利用三角形面积公式即可求得 S△OAF＝1×1×2 3＝ 3.
方法二 联立方程得 x2－21x＋ 9 ＝0， 2 16
故 xA＋xB＝21. 2
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝21＋3 22
＝12， 同时原点到直线 AB 的距离为 h＝ |－3| ＝3，
42＋－4 32 8 因此 S△OAB＝12|AB|·h＝94. 5．已知抛物线 y2＝8x 的准线为 l，点 Q 在圆 C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0 上，记抛物线上任 意一点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d＋|PQ|的最小值等于( ) A．3 B．2 C．4 D．5 答案 A 解析 如图所示，由题意，知抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，连接 PF，则 d＝|PF|.
2 10．(2013·江西)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2－y2＝1 相交于 A、B 两
33 点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝________. 答案 6 解析 因为△ABF 为等边三角形，
p ，－p 所以由题意知 B 3 2 ， 代入方程x2－y2＝1 得 p＝6.
2 2p 2
2p
该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝ 1 ＋p＝2，由此解得 p＝2± 3，故选 A. 2p 2
4．(2014·课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，
B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.3 3 B.9 3
2 则方程为 x2＝－8y，代入 P 点坐标得 m＝±4. 2．(2014·泸州模拟)若抛物线 y2＝8x 的焦点是 F，准线是 l，则经过点 F，M(3,3)且与 l 相切的 圆共有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个 答案 B 解析 由题意得 F(2,0)，l：x＝－2， 线段 MF 的垂直平分线方程为 y－3＝－3－2(x－5)，
破题切入点 准确求出抛物线方程结合其简单几何性质作答． 答案 (1)C (2)2 6 解析 (1)∵x2＝8y，∴焦点 F 的坐标为(0,2)，准线方程为 y＝－2.由抛物线的定义知|FM|＝y0 ＋2. 以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交， 又圆心 F 到准线的距离为 4，故 4<y0＋2， ∴y0>2. (2)
答案 ±1
解析 设直线 l 的斜率等于 k，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线 l 为 y＝k(x＋1)与抛物线 C：y2＝4x 联立得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
则有 x1x2＝1，x1＋x2＝k42－2，
因此可得 Q(k22－1，2k)，
因 F(1,0)，由|FQ|＝2，
为 e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．
(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线 y2＝2px
关于 y 轴、直线 x＋y＝0 与 x－y＝0 对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物
线 y2＝2px 绕原点旋转±90°或 180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．
第 35 练 与抛物线相关的热点问题
题型一 抛物线的定义及其应用 例 1 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一动点， (1)求点 P 到 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2)，抛物线的焦点为 F，求|PB|＋|PF|的最小值． 破题切入点 画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题． 解 (1)由于 A(－1,1)，F(1,0)，P 是抛物线上的任意一点，则|AP|＋|PF|≥|AF|＝ 22＋1＝ 5， 从而知点 P 到 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和的最小值为 5，所以点 P 到 A(－1,1) 的距离与 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值也为 5. (2)
y＝－ 2
x＝2， 或
y＝2 2.
1，－ 2
由图知 B 2
，
∴S△AOB＝1|OF|·|yA－yB|＝1×1×|2 2＋ 2|