2009年广州市普通高中毕业班综合测试(理数)
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理 科） 2009.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数()x x f 2sin =的最小正周期为 A ．πB.π2C. π3D. π42．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时 的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时 至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A . 6万元 B . 8万元C . 10万元D .12万元4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 25．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A ．5>i ? B. 6>i ?C. 7>i ?D. 8>i ?6．已知p ：关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7．在()nn nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是A ．7B ．8C ．9D ．108．在区间[]1,0上任意取两个实数，则函数在区间[]1,1-上有且仅 一个零点的概率为 A ．81 B ．41C ．43D ．87二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～12题）9. 若()22log 2=+a ，则=a 3 . 10．若⎰ax 0d x =1, 则实数a 的值是 .11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示， 则该几何体的侧面积为 cm 2.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=n n a S ， 且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .14.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B , 两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .15．（不等式选讲选做题）已知∈c b a ,,R ，且432,2222=++=++c b a c b a ，则实数a 的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.b a ,()b ax x x f -+=321甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （1）求p 的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.(1) 求证: 平面//DEF 平面ABC ;(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时, 求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图419．(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名（∈x N *）. （1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？20．（本小题满分14分）已知动圆C 过点()0,2-A ，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.（1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与（1）中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线112422=-y x 交于不同两点,E F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且.(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在,求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．9．9 10．2 11．80 12．-1；4 13．34 14．1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力） 解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B . 由正弦定理得B b A a sin sin =. ∴524542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC ∴454221=⨯⨯⨯c . ∴ .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b . 17．（本小题满分14分）（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力）11=a 5=cFEDCBAP 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ， 则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43. （2）ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ， ()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点，∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法:解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BC AC AB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 AC AB ⨯⨯⨯=261 23122AC AB +⨯≤ 2312BC ⨯= 32=.GFED CBAP 当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2：设x AB =，在R t △ABC 中，2224x AB BC AC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31 AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 2431x x -=42431x x -= ()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x , ∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为32，此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG . ∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF ,∴ ⊥PA 平面DEF . ∵ ⊂EF 平面DEF , ∴ ⊥PA EF . ∵ D PA DG = , ∴ ⊥EF 平面PAG .∵⊂AG 平面PAG ,∴⊥EF AG . ∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角.在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE , ∴21=DG . 在R t △ADG 中,2541122=+=+=DG AD AG ,552521cos ===∠AG DG AGD . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A .∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,22,22,1,0,22. 设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n AE n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x 令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量. ∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,,∴()()()5511221222=⨯-++==n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 19．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x . （2）生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥，即x x -≥505090，解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x x x h .当321≤≤x 时，()0902'<-=xx h ，故()x h 在[]32,1上单调递减， 则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）； 当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增，则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）；()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x .答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识） 解：（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a by a x , 则2,4==c a .∴12222=-=c a b . ∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x . (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834kmx x k+=-+. △1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkmx x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ②∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，∴2232438kkmk km -=+-. ∴02=km 或2231434k k -=+-.解得0k =或0m =.当0k =时,由①、②得 3232<<-m ，∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ，∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力） 解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a 求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法:解法1: 由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. 解法2: 由n n n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c()()()()13222221-----------=n ()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n ()2≥n .且1111-=-=a c 也适合上式, ∴()nna 1-()[]1231--=n , 即()[]n n n a 1231--=. 解法3： 由n n n a a 21=++，得1212+++=+n n n a a ， 两式相减得n n n n n a a 22212=-=-++. 当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a25322221-+++++=n 41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n 312+=n ()3≥n . 且11=a 也适合上式. 当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a264222221-+++++=n 41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n ()4≥n . 且12112=-=a a 也适合上式. ∴ 当∈n N *时，n a ()[]nn 1231--=.解法4：由nn n a a 21=++，11=a ，得122-=a ()()()1231212122-=---+-=， ()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a . 猜想n a ()[]nn 1231--=.下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kk k a 1231--=, 由k k k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k k k k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立. 由①、②得，对任意∈n N *，n a ()[]nn 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . (2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311nn .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立.① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()01231>--+n λ, 即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ,∵0121>-+n , ∴()1231+<n λ对任意正奇数n 都成立.当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()02231>--+n λ, 即()()1212911-++nn ()01232>--n λ, ∵012>-n,∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立.当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.。
2009年广东高考理科数学试题及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２Ｃ．Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种F 1F 2 F 3 O AB CD8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 _________________ ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值；（2）若sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯=）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11DCC D 内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值 19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Qm 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<参考答案1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{ =N ，所以 }3,1{=N M 故，选B2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
【高考第一轮复习数学】单元一精选模拟考题
集合与逻辑精选模拟1.(2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一))已知全集U=R ，集合A={x|x 2－x=0}， B={x|－1<x<1}，则A ∩B= （ ）A.{0}B. {1}C. {0，1}D.φ2.（2009年3月北京市东城区高中示范校高三质量检测文理)设全集为R ，{},53|><=x x x A 或{},33|<<-=x x B 则（ ） A ．R B A C R = B ．R B C A R =C ．R B C A C R R =D ．R B A =3.（2009年湖南高考模拟） 已知集合M ＝{}R x x x ∈<<-,22|，N ＝{}R x x x ∈<,1|， 则M ∩N 等于 （ ）A ．（1，2）B ．（-2，1）C ．∅D ．（-∞，2）4.（2007年岳阳市一中高三训练）a 、b 为实数，集合x x f a N ab M →=:},0,{},1,{表示 把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a += （ ）A 、1B 、0C 、－1D 、±15.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编) 设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤6.(汕头市2009年高中毕业生学业水平考试)设全集U = {0,1,2,3,4｝，集合A ＝{1,2}，则等于 （ ）A. {0,,3,4｝ B {3,4｝ C ．｛1,2} D. {0,1｝7.(新宾高中2009届高三年级第一次模拟考试)若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边 长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8. 若是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（ ）A ．真真B ．假假C ．真假D ．假真9.已知A 与B 是两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.命题“若，则”的逆否命题为（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则 11. 是成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.下列命题为“或”的形式的是（ ）A ．B ．2是4和6的公约数C ．D ．13.二次不等式的解集为全体实数的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．14.(2009年4月北京海淀区高三一模文)已知{}4||<-=a x x A ，{}3|2|>-=x x B . （I ）若1=a ，求B A ；（II ）若=B A R ，求实数a 的取值范围.解 ：（I ）当1a =时，{}35A x x =-<<.{}15B x x x 或=<->. ∴{}13|-<<-=x x B A（II ）{}44A x a x a =-<<+.{}15B x x x 或=<->. 且R B A =315414<<⇒⎩⎨⎧>+-<-a a a 所以实数a 的取值范围是()1,315.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数()f x =A ,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B（1）求集合A 、B（2）若A B =B ,求实数a 的取值范围．解 ：（1）A ＝{}|12x x x ≤->或B ＝{}|1x x a x a <>+或 （2）由A B ＝B 得A ⊂B ，因此112a a >-⎧⎨+≤⎩所以11a -<≤,所以实数a 的取值范围是(]1,1-答案：ABBAB ADBBD ADB。
广东省广州市高三数学毕业班第二次模拟考试理科试题(试题word版答案扫描)
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2009.4本卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果复数22(3)(56)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A . 0B . 2C . 0或3D .2或32．已知函数{(4),0(4),0()xx x x x x f x +<-≥= 则函数()f x 的零点个数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 43．已知全集U R =，集合{}37A x x =≤<，{}27100B x x x =-+<， 则()R C A B =I （ ）A .(,3)(5,)-∞+∞UB .(,3)[5,)-∞+∞UC .(,3][5,)-∞+∞UD .(,3](5,)-∞+∞U4．命题“2,210x R x x ∃∈-+<”的否定是（ ）A .2,210x R x x ∃∈-+≥B .2,210x R x x ∃∈-+>C .2,210x R x x ∀∈-+≥D .2,210x R x x ∀∈-+<5．已知点(1,0)A ，直线:24l y x =-，点R 是直线l 上的一点。
若RA AP =uu r uu u r ，则点P 的轨迹方程为（ ）A . 2y x =-B .2y x =C .28y x =-D .24y x =+6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是（ ）AB C D .7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A .24种B .30种C .36种D .48种 8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1l αβ--的平面角为150o，则球O 的表面积为（ ） A .4π B .16π C .28π D .112π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2009年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理
2009年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理1．集合与常用逻辑用语GZ-T 6. 命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是 A .,11a b a b >-≤-若则 B .,11a b a b >-<-若则 C .,11a b a b ≤-≤-若则 D .,11a b a b <-<-若则GZ-1 6．已知p ：关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件GZ-2 3．已知全集U =R ，集合{3A x =≤}7x <，{}27100B x x x =-+<，则() A B R = ðA ．()(),35,-∞+∞B ．()[),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(](),35,-∞+∞GZ-2 4．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是 A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0 B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0 D ．x ∀∈R ，2210x x -+<2．函数、导数与定积分GZ-T 9. 函数22()log (1)f x x =-的定义域为 .GZ-T 21. （本小题满分14分） 已知函数()a ax x x x f -+-=2331 (a ∈R)． （1）当3-=a 时，求函数()x f 的极值；（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．GZ-1 8．在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅一个零点的概率为 A ．81 B ．41C ．43D ．87GZ-1 9. 若()22log 2=+a ，则=a3 .GZ-1 10．若⎰ax 0d x =1, 则实数a 的值是 .GZ-1 19．(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务， 每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件， 现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)， 每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名（∈x N *）.（1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？GZ-2 2．已知函数()()()4040.x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩≥，，， 则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-2 6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D.GZ-2 20．（本小题满分14分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．GZ-T 2．在等比数列｛a n ｝中，已知,11=a 84=a ，则=5aA ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－32GZ-T 20.（本小题满分14分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图6所示的数表： 设ij a （i 、j ∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i 行、 从左往右数第j 个数. 数表中第i 行共有12-i 个正整数.（1）若ij a ＝2010，求i 、j 的值；（2）记nn n a a a a A ++++= 332211∈n (N*), 试比较n A 与2n n +的大小, 并说明理由.GZ-1 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=n n a S ， 且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .GZ-1 21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和,问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, 若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.1 2 3 4 56 789 10 11 12 13 14 15…………………………图65．平面向量与三角GZ-T 3．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为A ．12 B ．2- C ．2 D ．21-GZ-T 16. (本小题满分12分)已知()sin f x x x =∈x (R ).（1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．GZ-1 1．函数()x x f 2sin =的最小正周期为 A ．πB.π2C. π3D. π4GZ-1 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53c o s ,2==B a . （1）若4=b , 求A sin 的值; (2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.GZ-2 16．（本小题满分12分）已知向量2cos 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m ，sin 12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ()x ∈R ，设函数()1f x =- m n ．（1）求函数()f x 的值域；（2） 已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()513f A =，()35f B =， 求()f C 的值．图2俯视图侧视图正视图GZ-T 7．图2则该几何体的侧面积为A ．6B ．123C ．24D ．32GZ-T 18．（本小题满分14分）如图5，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ． 点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （1）求证：BC ⊥PB ；（2）求二面角P CD A --GZ-1 11.则该几何体的侧面积为 cm 2.GZ-1 18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.（1）求证: 平面//DEF 平面ABC ;（2）若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时, 求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图4GZ-2 8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面α、β截球O 的两个截面圆的半径分别为1 二面角l αβ--的平面角为150，则球O 的表面积为 A ．4πB ．16πC ．28πD ．112πGZ-T 9．在空间直角坐标系中，以点()4 1 9A ，，，()101 6B -，，，() 4 3C x ，，为顶点的ABC ∆是 以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为 ．GZ-2 17．（本小题满分12分） 在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD ACD -，且这个几何体的体积为403． （1）求棱1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．7．平面解析几何GZ-T 4．经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为A ．30x y -+=B ．30x y --= C.10x y +-= D ．30x y ++=GZ-T 8. 已知抛物线C 的方程为212x y =， 过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点, 则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,22GZ-T 12. 已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，若目标函数ax y z -=仅在点()3,5处取得最小值, 则实数a 的取值范围为 .GZ-T 19. (本小题满分14分)设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.GZ-1 4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 2GZ-1 20．（本小题满分14分）已知动圆C 过点()0,2-A ，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.（1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与（1）中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线112422=-y x 交于不同两点,E F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0 ， 若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．GZ-2 5．已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-，点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+GZ-2 21．（本小题满分14分）已知双曲线C ：22221x y a b -=00（，）a b >>，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥， 且12MF F ∆的面积为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()3,1P 的动直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A 、B ，在线段AB 上取异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB = ． 证明：点Q 总在某定直线上．8．算法、统计与概率GZ-T 5. 图1A ．65 B ．64 C ．63 D ．62GZ-T 11.在如图3所示的算法流程图中，输出SGZ-T 17．（本小题满分12分） 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2用户先对产品进行抽检以决定是否接收．若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为ξ，求ξGZ-1 3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直 方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元， 则11时至12时的销售额为A . 6万元B . 8万元C . 10万元D .12万元GZ-1 5．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以 写成“←”或“:=”)，若输出的S 的值等于16,那么在程序 框图中的判断框内应填写的条件是A ．5>i ? B. 6>i ? C. 7>i ? D. 8>i ?图2GZ-1 17.（本小题满分14分） 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209. 假设甲、乙两人射击互不影响. （1）求p 的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望. GZ-210．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下： 剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分， 若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分， 则这位参赛者的比赛成绩为 分．GZ-2 11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为 ．9．复数GZ-T 1．已知i 为虚数单位，则（+1i ）（-1 i ）=A ．0B ．1C ．2D ．2iGZ-1 2．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限GZ-2 1．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为A ．0B ．2C ．0或3D ．2或310．计数原理GZ-T 10. 在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 3的系数是_______________．（用数字作答）GZ-1 7．在()n n nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是A ．7B ．8C ．9D ．10GZ-2 7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种图111．推理与证明 GZ-212．在平面内有n (*,n n N ∈≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域，则()5f 的值是 ，()f n 的表达式是 ．GZ-2 18．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．GZ-2 19．（本小题满分14分） 一个口袋中装有2个白球和n 个红球（n ≥2且*n ∈N ）， 每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中）， 若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． （1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？12．坐标系与参数方程GZ-T 14．(坐标系与参数方程选讲选做题) 在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．GZ-1 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ . 15．（坐标系与参数方程选做题） 直线()24,13x t t y t=-+⎧⎨=--⎩为参数被圆25cos ,15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数） 所截得的弦长为 ．图4PGZ-T 15．（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ， PA = AB =5，CD = 3，则PC =____________．GZ-1 14.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .GZ-2 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD 中，EF BC ，FG AD ，则EF FGBC AD+的值为 ．图GZ-T 13．（不等式选讲选做题）不等式212<-+x x 的解集是______________．GZ-1 15．（不等式选讲选做题）已知∈c b a ,,R ，且432,2222=++=++c b a c b a ， 则实数a 的取值范围为_____________．GZ-2 14．（不等式选讲选做题） 函数()f x ＝12x x -++的最小值为 ．2009年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．(,1)(1,)-∞-+∞ 10．10- 11．52 12. ()∞+,1 13. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,3114．⎪⎭⎫⎝⎛2,2π 15．2 说明：第14题答案可以有多种形式，如可答⎪⎭⎫ ⎝⎛25,2π或∈⎪⎭⎫⎝⎛+k k (22,2ππZ )等, 均给满分. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分)解：（1）∵()x x x f cos 3sin +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x cos 23sin 212 …… 2分⎪⎭⎫⎝⎛+=3sincos 3cossin 2ππx x …… 4分 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx . …… 6分 ∴2T π=. …… 8分 (2) 当13sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx 时, )(x f 取得最大值, 其值为2 . ……10分 此时232x k πππ+=+，即26x k ππ=+∈k (Z ). ……12分17．(本小题满分12分)解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A ，8767()109815P A ⨯⨯==⨯⨯. ……3分FR ADB CP即这箱产品被用户接收的概率为715． ……4分 （2）ξ的可能取值为1，2，3． ……5分()1=ξP =51102=， ()2=ξP =45892108=⨯， ()3=ξP =452897108=⨯， ……8分 ∴ξ的概率分布列为：∴ξE =4534524515=⨯+⨯+⨯． ……12分 18．(本小题满分14分)解：（1）∵点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，∴BC AD BC AD 21,//=. …… 2分 ∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥,∵A AB PA AB BC =⊥ ,,∴BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. …… 6分（2）法1：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥.∵AD AP AR AP ⊥⊥,,∴⊥AP 平面RBC .∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. …… 8分 ∵,A AP AF =∴⊥RC 平面PAF .∵⊂PF 平面PAF ,∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……10分 在R t △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ，R 在R t △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ，332622cos ===∠PF AF AFP . ……12分∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ……14分 法2：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）. ∴=（－1，1，0），=（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为n=（x ，y ，z ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0z x DP n y x n， ……10分 令1=x ，得1,1-==z y ，∴n=（1，1，－1）.显然，是平面ACD 的一个法向量，=（,0,01-）． ……12分∴cos<n ，33131=⨯=． ∴二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ……14分19. (本小题满分14分)解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= …… 2分 ∵22==a c e , ∴2,222=-==c a b c . …… 4分∴所求椭圆C 的方程为12422=+y x . …… 6分 （2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222,1210101010x x y y x x y y ……8分解得：001435y x x -=，001345y x y +=. ……10分 ∴011543x y x -=-. ……12分∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12422=+y x 上, ∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x .∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. ……14分 20.（本小题满分14分）解：（1）数表中前n 行共有12222112-=++++-n n 个数，即第i 行的第一个数是12-i ， …… 2分∴ij a ＝121-+-j i ．∵1110220102<<，ij a ＝2010，∴ i ＝11． …… 4分令20101210=-+j ,解得98712201010=+-=j ． …… 6分（2）∵nn n a a a a A ++++= 332211()()[]1210222112-+++++++++=-n n()2112-+-=n n n ． …… 7分∴()2232)(2112)(222++-=+--+-=+-n n n n n n n n A nnn ． 当1=n 时, 22322++<n n n, 则n n A n +<2;当2=n 时, 22322++<n n n, 则n n A n +<2;当3=n 时, 22322++<n n n, 则n n A n +<2;当4≥n 时, 猜想: 22322++>n n n. …… 11分下面用数学归纳法证明猜想正确.① 当4=n 时,2243416224+⨯+>=, 即22322++>n n n成立;② 假设当()4≥=k k n 时, 猜想成立, 即22322++>k k k,则232232222221++=++⨯>⨯=+k k k k kk ,∵()()()()021226546222131232222>-+=---++=++++-++k k k k k k k k k k,∴()()22131221++++>+k k k . 即当1+=k n 时，猜想也正确.由①、②得当4≥n 时, 22322++>n n n成立.当4≥n 时,2n A n >n +. …… 13分 综上所述, 当3,2,1=n 时, n n A n +<2; 当4≥n 时,2n A n >n +. …… 14分另法( 证明当4≥n 时, 22322++>n n n可用下面的方法):当4≥n 时, ()>+=nn 112C 0n + C 1n + C 2n + C 3n()()()621211--+-++=n n n n n n()623211⨯⨯+-++≥n n n n 2232++=n n . 21. (本小题满分14分) 解：（1）当3-=a 时，()333123+--=x x x x f ， ∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. …… 2分当1-<x 时,()0'>x f , 则()x f 在()1,-∞-上单调递增; 当31<<-x 时,()0'<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减;当3>x 时,()0'>x f , ()x f 在()+∞,3上单调递增. …… 4分 ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 31433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()39927313+--⨯=f 6-=. …… 6分 （2） ∵ ()x f '= a x x +-22，∴△= a 44-= ()a -14 .① 若a ≥1，则△≤0， …… 7分∴()x f '≥0在R 上恒成立，∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点． …… 9分 ② 若a ＜1，则△＞0，∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2，（x 1<x 2）． ∴x 1+x 2 = 2，x 1x 2 = a ． 当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况如下表：…… 11分∵02121=+-a x x , ∴1212x x a +-=.∴()a ax x x x f -+-=12131131=12112131231x x ax x x -++-()131231x a x -+= ()[]2331211-+=a x x .同理()2x f ()[]2331222-+=a x x .∴()()()[]()[]23239122212121-+⋅-+=⋅a x a x x x x f x f()()()()()[]2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){}22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a ()33942+-=a a a . 令f （x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0． 而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f ,故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点. …… 13分综上所述，a 的取值范围是()+∞,0． …… 14分2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．9．9 10．2 11．80 12．-1；4 13．34 14．1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =. ∴524542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c .∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,FEDCBAP ∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b . 17．（本小题满分14分）（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ， 则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ， ()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点，∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BC AC AB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 AC AB ⨯⨯⨯=26123122AC AB +⨯≤2312BC ⨯=32=. 当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2：设x AB =，在R t △ABC 中，2224x AB BC AC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 2431x x -= 42431x x -=()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x ,GFEDCBAP∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为32，此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF , ∴ ⊥PA 平面DEF .∵ ⊂EF 平面DEF ,∴ ⊥PA EF .∵ D PA DG = ,∴ ⊥EF 平面PAG . ∵⊂AG 平面PAG , ∴⊥EF AG .∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE , ∴21=DG . 在R t △ADG 中,2541122=+=+=DG AD AG , 552521cos ===∠AG DG AGD . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A . ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,22,22,1,0,22.设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量.∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,DA ,∴()()()5511221222=⨯-++==n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 19．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x . （2）生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥，即xx -≥505090， 解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x x x h .当321≤≤x 时，()0902'<-=x x h ，故()x h 在[]32,1上单调递减， 则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）；当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增，则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）；()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x .答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a b y a x , 则2,4==c a . ∴12222=-=c a b .∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x .(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834kmx x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkmx x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ②∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，∴2232438kkmk km -=+-. ∴02=km 或2231434kk -=+-. 解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m ， ∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ， ∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力） 解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法: 解法1: 由n n n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列.∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. 解法2: 由n n n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c ()()()()13222221-----------=n()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n ()2≥n . 且1111-=-=a c 也适合上式, ∴()nna 1-()[]1231--=n , 即()[]n n n a 1231--=. 解法3： 由n n n a a 21=++，得1212+++=+n n n a a ， 两式相减得n n n n n a a 22212=-=-++.当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a 25322221-+++++=n41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312+=n ()3≥n . 且11=a 也适合上式.当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a 264222221-+++++=n41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n ()4≥n . 且12112=-=a a 也适合上式.∴ 当∈n N *时，n a ()[]nn 1231--=. 解法4：由nn n a a 21=++，11=a ，得122-=a ()()()1231212122-=---+-=，()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a .猜想n a ()[]nn 1231--=. 下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kk k a 1231--=, 由k k k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k k k k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立.由①、②得，对任意∈n N *，n a ()[]nn 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . (2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+nn λ(*)对任意∈n N *都成立.① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()01231>--+n λ, 即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ, ∵0121>-+n ,∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立. 当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()02231>--+n λ, 即()()1212911-++n n ()01232>--nλ, ∵012>-n,∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立. 当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222n n ++13．1 14．3 15．6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，m n 2cos sin 11sin 22x xx =+-=．∵x ∈R ，∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．（2）∵()513f A =，()35f B =，∴5sin 13A =，3sin 5B =．∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5B ==．∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+541235613513565=⨯+⨯=．∴()f C 的值为5665．17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为403， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =． ∴1A A 的长为4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点Q ，过点Q 作PQ BC 交1BC 于点P ．∵11C D DQ ⊥，111C D A D ⊥，1111DQ A D D = ， ∴1C D ⊥平面11A D Q ．∵1AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ． ∵1A P ⊂平面1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q ∆∽1Rt C CD ∆，∴1111C Q D CCD C C=，即1224C Q =，∴11C Q =．∵1C PQ∆∽1C BC ∆，∴1111C P C Q C B C C=14=，∴1C P =． 在11A PC ∆中，∵11AC =1111112cos 10A C A C P CB ∠==． 由余弦定理，得1A P===． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为2． 方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ， 假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQC C BC=， ∴124422BQ xPQ C C x BC -=⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =-- ，，，()10 2 4C D =-- ，，．∵11A P C D⊥，∴110A P C D =， 即()()2 2 20 2 40x x ----= ，，，，，∴12x =． 此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫⎪⎝⎭，，，在线段1BC 上．∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，∴12A P ==． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1AP ． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴111112m m m a q a q a q +-=+．∵10a ≠，0q ≠，∴2210q q --=． 解得1q =或12q =-． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，∴212m m m S S S ++≠+．∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0=， ∴212m m m S S S++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212211212412113212m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，又1111111111222112113221122m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2141132m a +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴212m m m S S S ++=+．∴当12q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有22C n +种选法，任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有222C C n +种选法， ∴一次摸球中奖的概率2222222C C 2C 32n n n n p n n ++-+==++． （2）若3n =，则一次摸球中奖的概率25p =， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是123354(1)C (1)125P p p =⋅⋅-=． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为()()213233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，∵()()()291233131f p p p p p '=-+=--，∴()f p 在10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数．∴当13p =时，()f p 取得最大值． ∵2221323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214x -+=，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）解：∵双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>=．即223a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MFF ∆的面积为1． ∴1212112MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．∵122MF MF a -=，∴222112224MF MF MF MF a -+=．∴221244F F a -=．∴()222444a b a +-=，∴21b =． ②将②代入①，得23a =．∴双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，），（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛⎫≠⎪⎝⎭，分别过点P Q AB ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ-３＝＝ ， 112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ=＝， ∵AP QB AQ PB ＝，∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（）， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④将④代入223x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2130k -≠，∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩， ⑤将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程.∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB ＝， ∴AP AQPB QB ＝－，即112233x x x x x x--=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.以下同解法1.解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记。
【09数学高考·广东卷】2009年广东省高考数学试题(理)及答案(word版含答案)
绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个 Ｂ．２个Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点(,)a a ，则()f x =Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．４．巳知等比数列满足，且，则当时，Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．数学（理科）试题8第1页（共4页）5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量满足，平行于轴，，则．11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．数学（理科）试题B 第2页（共4页）12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则．14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中的值；（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.。
2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
２００9年广州市普通高中毕业班综合测试（一）物理本试卷共8页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
选择题（共48分）一、本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，有一个或一个以上选项符合题目要求，全部选对得4分，选不全得2分，有选错或不答的得0分．1．万有引力定律的发现实现了物理学史上的第一次大统一——“地上物理学”和“天上物理学”的统一。
它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。
牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动；另外，还应用到了其它的规律和结论，其中有A．牛顿第二定律B．牛顿第三定律C．开普勒的研究成果D．卡文迪许通过扭称实验得出的引力常数2．仔细观察氢原子的光谱，发现它只有几条分离的不连续的亮线，其原因是A．氢原子只有几个能级B．氢原子只能发出平行光C．氢原子有时发光，有时不发光D．氢原子辐射的光子的能量是不连续的，所以对应的光的频率也是不连续的3．火警的报警系统通常利用镅（Am 24195）衰变成镎（Np 23793）时放出一种很容易被空气阻隔的新粒子，这种粒子是A ．He 42B ．H 11Ｃ．n 10 Ｄ．e 01 4．线圈通以如图1所示的随时间变化的电流，则 Ａ．０——t 1时间内线圈中的自感电动势最大 B ．t 1——t 2时间内线圈中的自感电动势最大 C ．t 2——t 3时间内线圈中的自感电动势最大 D ．t 1——t 2时间内线圈中的自感电动势为零5．如图2所示是一种汽车安全带控制装置的示意图。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题及详细解答 (理科) (B卷)word版
绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
故，选C３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x 3.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点,)a a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。
2009年全国高考理科数学试题及答案-广东卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个2. 设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i = A. 8 B. 6 C. 4 D. 23. 若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点(,)a a ，则()f x =A. 2log xB. 12log x C.12x D. 2x 4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 5. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④6. 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C. 25D.277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 12题）9. 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10. 若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+2302)2()1(022122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x . 15．（几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=， 则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若10sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知7812557=，12827=，++3652182531825791251239125818253=++，573365⨯=） 18．（本小题满分14分）如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q 的距离的最小值为2，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2）证明：1352112sin 1n n n n nx xx x x x x y --⋅⋅⋅⋅<<+. zyxE 1G 1。
2009年广东省高考数学试卷(理科)含详解-推荐下载
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、 多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
Ｄ．２
Ｄ． x2
Ｄ． (n 1)2
试卷类型：B
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16．(本小题满分12分）
已知向量 a (sin , 2)与b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ． 2
（1）求 sin和cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求 cos 的值．
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2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)2009.3本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校、以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.函数f(x)=sin2x的最小正周期为A.πB. 2πC. 2πD. 4π2.已知z=i(1+i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5 万元，则11时至12时的销售额为A. 6万元B. 8万元C. 10万元D. 12万元4.已知A(－1，a)、A(a，8)两点的直线与直线2x－y+1=0平行，则a的值为A.－10B. 17C. 5D.25.阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A.i>5B.i> 6C.i> 7D.i> 8图1时间6.已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x －a>0的 解集是R ，q ：－1<a<0，则p 是q 的那么A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 7.在(1－x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n 中， 若2a 2+a n-5=0， 则自然数n 的值是A.7B.8C.9D.108.在区间[0，1]上任意取两个实数a ，b ，则函数在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为 A.18B.14C.34D.78二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分. (一) 必做题 (9～12题)9.若log 2(a+2)=2，则3a = ． 10. 若axdx =1⎰，则实数a 的值是_________.11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm 212.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N* 都有n n 21S =a 33-，且1<S k <9，则a 1的值为______，k 的的值为________.(二)选做题 (13～15题，考生只能从中选做两题)13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ． 14. (几何证明选讲选做题) 已知PA 是圆O(O 为圆心)的切线，切点为A ， PO 交圆O 于B ，C 两点，PAB=300，则线段PB 的长为 . 15. (不等式选讲选做题) 已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=2，a 2+2b 2+3c 2=4， 则a 的取值范围为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=2， cosB=35．(1)若b=4，求sinA 的值； (2) 若△ABC 的面积S △ABC =4，求b ，c 的值．17.(本小题满分12分)甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次， 击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别图3俯视图为35和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为920，假设甲、乙两人射击互不影响. (1)求p 的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ， AB ⊥AC ，D 、E 、F 分别是棱的中点，连接DE ，DF ，EF. (1)求证: 平面DEF ⊥平面ABC ；(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC 的体积的最大值时，求二面角A-EF-D 的平面角的余弦值..19. (本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名(x ∈N *)(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式； (2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？20 (本小题满分14分)已知动圆C 过点A(－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+x 2=64相内切 (1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线l : y=kx+m(其中k ，m ∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线22x y1412-=交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量 DF BE 0+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.21. (本小题满分14分)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n+1是关于x 的方程x 2－2n x+ b n =0 (n ∈N *)的两根，且a 1=1.APDEF(1)求数列{ a n }和{b n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项的和，问是否存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题为选做题，考生只能选做两题. 第12题的第一个空2分，第二个空3分． 9.9 ；10.11. 80； 12.－1，4；13.14.1. 15. 2[2]11，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=2， cosB=35．(1)若b=4，求sinA 的值； (2) 若△ABC 的面积S △ABC =4，求b ，c 的值． 解：(1) ∵cosB=35>0，且0<B<π，∴sinB=45=. ……2分 由正弦定理得a b sinAsinB=， ……4分42asinB 25sinA b45⨯===. ……6分 (2) ∵S △ABC =12acsinB=4， ……8分∴142c 425⨯⨯⨯=， ∴c=5. ……10分由余弦定理得b 2=a 2+c 2－2accosB ，∴b===……14分17.(本小题满分12分)甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为920，假设甲、乙两人射击互不影响.(1)求p的值；(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.(本题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力) 解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件B，则32P(A)P(A)P(B)p P(B)1p55====-，，，，……1分依题意得329(1p)p5520-+=，……3分解得3p4=，故p的值为34. ……5分(2)ξ的取值分别为0，2，4. ……6分211P(0)P(A B)P(A)P(B)5410ξ===⋅=⨯=，……8分9P(2)20ξ==，339P(4)P(A B)P(A)P(B)5420ξ===⋅=⨯=，……10分∴ξ的分布列为ξ0 2 4P 110920920……12分∴Eξ=19927024.10202010⨯+⨯+⨯=……14分18.(本小题满分14分) 如图4，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF.(1)求证: 平面DEF∥平面ABC；(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.. (本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)证明:∵D、E分别是棱PA、PB的中点，∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，A CPDEF∵DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴DE ∥平面PAB ， ……2分∵DE ∩DF=D ，DE ⊂平面DEF ， DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面ABC. ……4分(2)求三棱锥P-ABC 的体积的最大值，给出如下两种解法： 解法1：由已知PA ⊥平面ABC ， AC ⊥AB ，PA=BC=2，∴AB 2+AC 2=BC 2=4，∴三棱锥P-ABC 的体积为A BC 111V =P A S P A A B A C 332⨯⨯=⨯⨯⨯⨯……6分22211AB AC1BC 22AB AC 632323+=⨯⨯⨯≤⨯=⨯=.当且仅当AB=AC 时等号成立，V 取得最大值，其值为23，此时AB=AC=.解法2：设AB=x ，在△ABC中，AC ==(0<x<2)，∴三棱锥P-ABC 的体积为A BC 111V =P A S P A A B A C 332⨯⨯=⨯⨯⨯⨯13= ……6分==∵0<x<2，0<x 2<4，∴当x 2=2，即x =时，V 取得最大值，其值为23，此时AB=AC=……8分求二面角A-EF-D 的平面角的余弦值..，给出如下两种解法： 解法1：作DG ⊥EF ，垂足为G ，连接AG ， ∵PA ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面DEF ，∴P A ⊥平面DEF ， ∵EF ⊂平面DEF ，∴ P A ⊥EF.∵DG ∩PA=D ，∴EF ⊥平面PAG ，AG ⊂平面PAG ，∴EF ⊥AG ， ∴∠AGD 是二面角A-EF-D 的平面角. ……10分 在Rt △EDF 中，DE=DF=1AB =22，1E F B C =12=，∴1D G 2=.在Rt △ADG 中， AG =2==ABCPDEFG∴1D GAG D=AG52∠==∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为5. ……14分解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(2，0，1)，F(0，2，1).∴AE01)EF(22==-，，，设n(x y z)=，，为平面AEF的法向量，则n A E0n E F0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即+z02x+y022=⎪⎨⎪-=⎪⎩，令x=y=z=－1,∴n1)=-为平面AEF的一个法向量. ……11分∵平面DEF的一个法向量为D A(001)=-，，，∴n D Acos n D A5|n||D A|<>===，，，……13分而n与D A所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小.∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为5. ……14分19. (本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成. 每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一中型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x名(x∈N*)(1)设完成A 型零件加工所需时间为f(x)小时，写出f(x)的解析式；(2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？(本题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解和应用意识)解：(1) 生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间45090f(x)5xx==(x ∈N*，且1≤x ≤49). ……2分(2) 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间15050g(x)3(50x)50x==--(x ∈N*，且1≤x ≤49). ……4分设完成全部生产任务所需时间h(x)小时，则h(x)为f(x)与 g(x)的较大者， 令f(x)≥g(x)，则9050x 50x≥-，解得11x 327≤≤，所以，当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)；当33≤x ≤492时，f(x)<g(x).故90(x N *1x 32)xh(x)50(x N *33x 49)50x ⎧∈≤≤⎪⎪=⎨⎪∈≤≤⎪-⎩， ，且，，且 ……6分当1≤x ≤32时，290h (x)0x'=-<，故h(x)在[1，32]上单调递减，则h(x)在[1，32]上的最小值为9045h(32)3216==(小时)； ……8分当33≤x ≤49时，250h (x)0(50x)'=->-，故h(x)在[33，49]上单调递增，则h(x)在[33，49]上的最小值为5050h(33)503317==-(小时)； ……10分∵h(33)> h(32)，∴h(x)在[1，49]上的最小值为h(32)， ∴x=32.答：为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取32. ……12分 20 (本小题满分14分)已知动圆C 过点A(－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+x 2=64相内切 (1)求动圆C 的圆心的轨迹方程；(2)设直线l : y=kx+m(其中k ，m ∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线22x y1412-=交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量 DF BE 0+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)解：（1）圆M ：(x －2)2+x 2=64，圆心M 的坐标为(2，0)，半径R=8. ∵|AM|=4<R ，∴点A (－2，0)在圆M 内，设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r= |CA|，且|CM|=R －r ，即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分∴圆心CD 的轨迹是中心在原点，以A ，M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆， 设其方程为2222x y 1ab+=(a>b>0)，则a=4，c=2，∴b 2=a 2－c 2=12，∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为22xy11612+=.……5分(2)由22y =kx +mx y +=11612⎧⎪⎨⎪⎩消去y 化简整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－48=0，设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1+x 2=28km 3+4k-.△1=(8km)2－4(3+4k 2) (4m 2－48)>0. ① ……7分由22y =kx +m x y =1412⎧⎪⎨-⎪⎩消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12=0，设E(x 3，y 3)，F(x 4，y 4)，则x 3+x 4=22k m 3k-.△2=(－2km)2+4(3－4k 2) (m 2+12)>0. ② ……9分 ∵DF BE 0+=，∴ (x 4－x 2 )+ (x 3－x 1) =0，即x 1+x 2= x 3+x 4， ∴228km 2km 3+4k3k-=-，∴2km=0或22413+4k3k-=-，解得k=0或m=0， ……11分 当k=0时，由①、②得<m -< ∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1，0，1，2，3； 当m=0时，由①、②得<m <∵k ∈Z ，∴k=－1，0，1.∴满足条件的直线共有9条. ……14分21. (本小题满分14分)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n+1是关于x 的方程x 2－2n x+ b n =0 (n ∈N *)的两根，且a 1=1. (1)求证：数列{ a n －13×2n }是等比数列；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项的和，问是否存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.(本题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)(1)证法1：∵a n ，a n+1是关于x 的方程x 2－2n x+ b n =0 (n ∈N *)的两根，∴n n n +1n n n +1a +a =2b =a a ⎧⎨⋅⎩ ……2分由a n +a n+1=2n ，得n +1nn +1n 11a 2(a 2)33-⨯=--⨯，故数列nn 1{a 2}3-⨯是首项为121a 33-=，公比为－1的等比数列. ……4分证法2：∵a n ，a n+1是关于x 的方程x 2－2n x+ b n =0 (n ∈N *)的两根， ∴nn n +1n n n +1a +a =2b =a a ⎧⎨⋅⎩ ……2分 ∵n +1nn +1nn +1n n nnnn n n 111a 22a 2(a 2)3331111a 2a 2a 2333-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯，故数列nn 1{a 2}3-⨯是首项为121a 33-=，公比为－1的等比数列.……4分(2)解：由(1)得nnn 11a 2(1)33-⨯=⨯-，即n nn 1a [2(1)]3=--，∴nnn +1n +1n n n +11b =a a [2(1)][2(1)]9⋅=--⨯--2n +1n1[2(2)1]9=--- ……6分∴S n =a 1+ a 2+ a 3+…+ a n =13[(2+22+23+…+2n )－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n ]n2n +11(1)1[22]32--=--， ……8分要使得b n －λS n >0对任意n ∈N *都成立， 即n2n +1n2n +11(1)1[2(2)1][22]0(*)932λ-------->对任意n ∈N*都成立.①当n 为正奇数时，由(*)式得2n +1n2n +11[221][21]093λ+--->，即n +1nn +11λ(21)(21)(21)093-+-->，∵2n+1－1>0，∴n1λ<(21)3+对任意正奇数n 都成立.当且仅当n=1时，n1(21)3+有最小值1，∴λ<1. ……10分 ①当n 为正奇数时，由(*)式得2n +1n2n +11[221][21]093λ+--->，即n +1n n +11λ(21)(21)(21)093-+-->， ∵2n+1－1>0，∴n 1λ<(21)3+对任意正奇数n 都成立. 当且仅当n=1时，n 1(21)3+有最小值1，∴λ<1. ……10分 ②当n 为正偶数时，由(*)式得2n +1n 2n +11[221][22]093λ---->， 即n +1n n 12λ(21)(21)(21)093+--->， ∵2n －1>0，∴n +11λ<(21)6+对任意正偶数n 都成立. 当且仅当n=2时，n +11(21)6+有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分 综上所述，存在常数λ，使得b n －λS n >0对任意n ∈N *都成立，λ的取值范围是(－∞，1). ……14分。