江苏省淮阴中学(南师附中、天一中学等四校联考)2019年期初数学学科调研测试试卷数学含附加(PDF)
2019届高三数学淮阴中学四月考
从 A 处沿着南偏东 75 的道路，以每分钟 a km 的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在
消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么 要求？
江苏省淮阴中学高三年级阶段测试
数学试题（I）卷 2019.04.19
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效. 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
（1）求椭圆的标准方程；
y l
（2）①求证：分别以 PA 、 PB 为直径的两圆都恒过定点 C ；
A
②若 AC 1 CB ，求直线 PC 的方程. 2
C O
x P
B
数学试题 第 3 页
19.（本小题满分 16 分）设函数 f (x) 2x2 a ln x ，（ a R ）.
（1）若曲线 y=f（x）在点（1，f(1)）处的切线方程为 y=2x+m，求实数 a、m 的值； （2）关于 x 的方程 f（x）+2cosx=5 能否有三个不同的实根？证明你的结论；
对应的变换作用下得到直线
l
江苏省四校(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)2019届高三下学期期初调研检测化学试题Word版含答案
122019 年期初化学调研测试试卷2019.026．下列有关物质性质的叙述不．正确的是 A ．以海水为原料制取 Na 、Br 2 等物质B ．漂白粉久置于空气中漂白性增加可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 S 32Cl 35.5 K 39 Cr 52 Mn55 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）单项选择题：本题包括 10 小题，每小题 2 分，共计 20 分。
每小题只有一个选项符合题意。
C ．二氧化硫能使酸性高锰酸钾溶液紫红色褪去D ．水玻璃浸泡过的木材既能防腐又能耐火 7．下列反应的离子方程式书写不．正确的是-+NH +1．2018 年 12 月 8 日，嫦娥四号在西昌卫星发射中心由运载火箭发射，并实现了玉兔二号月球车首次在 月球背面的漫步。
运载火箭的动力系统采用的是新一代大推力液氧煤油发动机。
下列说法不．正确的是 A ．液氧的作用是氧化剂A ．用氨水吸收过量的二氧化硫：NH 3·H 2O +SO 2＝HSO 3 4B ．用过氧化氢从酸化的海带灰浸出液中提取碘：2I -+H 2O 2+2H +＝I 2+2H 2OC ．向石灰乳中加入饱和 MgCl 2 溶液：Mg 2++Ca(OH)2Ca 2++ Mg(OH)22-B ．煤油是由多种碳氢化合物组成的混合物 D ．向 NH 4Al(SO 4)2 溶液中滴入 Ba(OH)2 溶液恰好使 SO 4 完全沉淀：2- --2Ba 2+ + Al 3+ + 2SO 4 + 4OH ＝A l O 2 + 2BaSO 4↓+ 2H 2OC ．卫星上的计算机芯片使用的是高纯二氧化硅D ．月球车上的太阳能电池是一种清洁、无污染的环保新能源 2．用化学用语表示Cl 2+H 2OH Cl O +H Cl 中的相关微粒，其中正确的是A ．Cl -的结构示意图：B ．HClO 的电子式：C ．H 2O 的结构式：D ．中子数为20的氯原子：8． X 、Y 、Z 、W 、T 为短周期元素，它们在周期表中的位置如下图所示。
2019江苏四校联考(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)高三期初调研检测化学参考答案与评分标准
江苏省南师附中·天一中学·淮阴中学·海门中学2019年期初调研测试化学调研试卷参考答案与评分标准201902单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．C 2．C 3．D4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．A 10．C 不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。
每小题只有一个或两个选项符合题意。
若正确答案只包括一个选项，多选时该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得0分。
11．C 12．AB 13．C 14．BD 15．BC16．（12分）（1）将矿物粉碎(2分)（2）Al2O3+3C+3Cl2高温AlCl3+3CO (2分)（3）作还原剂并与O2反应提供反应所需的能量(2分)（4）SiCl4+ 6OH-=SiO32-+4Cl -+ 3H2O(2分，写CO2与OH-的反应不得分)（5）NaCl (1分) FeCl2(1分)（6）3mol (2分，没写单位得1分)17．（15分）（1）羰基(1分)醚键(1分) （2）加成反应(2分)（3）(3分)（4）(3分) 合理即得分（5）说明：1步1分，5步全对得5分，第3步使用O2/催化剂、加热也得分，第4步不酸化，或条件或中间产物有错反应即终止，后面不得分18．（12分）（1）I-+II3-（2分，写等号也给分）（2）Cu2+会发生水解（2分）（3）K2Cr2O7 ~ 6Na2S2O3n(K2Cr2O7)=1.470g/294g ·mo l-1=0.005mol（1分）n(Na2S2O3) = 0.03molc(Na2S2O3) =0.03mol/0.025L=1.2mo l·L-1（1分）2Cu2+ ~ I2 ~ I3-~ 2S2O32-n(Na2S2O3) = 1.2 mo l·L-1×16.25×10-3 L =1.95×10-2moln(Cu2+)=1.95×10-2mol（2分）w(Cu) =(1.95×10-2mol×64 g ·mo l-1/5g)×100%=24.96%（2分）（4）增大（2分）19．（15分）（1）将C O2+氧化生成C O(OH)3（2分，写成C O2+氧化生成C O3+不得分）冰水浴（1分）缓慢通入Cl2（1分）（2）3Ni +3H2SO4 +2HNO3=3NiSO4+2NO↑+4H2O（2分）（3）Ni(NO3)2（2分）重结晶（2分）（4）低于80℃的温度下蒸发浓缩（1分），冷却结晶（1分），过滤（1分）洗涤（1分），低温干燥（1分）20．（14分）（1）-1627.2（2分）（2）没有使用催化剂，反应的活化能较大。
江苏省2019届高三数学下学期期初调研检测试题
（共 10 页）（共 10 页）江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．3注意事项8．若将函数 y ＝cos x － 3sin x 的图象向左平移 m (m ＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 9. 数 m 的最小值为 ▲ ． 函数 f (x )＝a ·e x －e －x 在 x ＝0 处的切线与直线 y ＝2x －3 平行，则不等式 f (x 2－1)＋f (1－x )＜0 题，共 6 题)两部分。
本次考试时间为 120 分钟。
考试结束后，只要将答题卡交回。
的解集为 ▲ ． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为7 的数列{a n }满足：(n ＋1)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝0，则 a 2019－a 2018 的值为 ▲ ． 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。
3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
→ → 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝2，AD ＝1， AB · AC ＝5，则 cos ∠CAB ＝ ▲ ．(第 11 题)参考公式：1．锥体的体积公式为：V ＝1Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n － －2．一组数据 x 1，x 2，…，x n 的方差为： s 2 ＝1 n ∑ (x i － x )2，其中 x 是数据 x 1，x 2，…，x n 的 i ＝113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M ，N 是两定点，点 P 是圆 O ：x 2＋y 2＝1 上任意一点，满足： 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4，5}，则 A ∩B ＝ ▲ ．PM ＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．2．已知复数 z 满足(1－i)z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z ＝ ▲ ．3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Theny ← e x二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．Else y ← x 2＋1End If Print y(第 4 题)5．已知双曲线x 2－y 2＝1(a ＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．（共 10 页） （共 10 页）n 16．（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B ，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A 1C //平面 AB 1M ；（2）若平面 AB 1M ⊥平面 BB 1C 1C, 求证：AM ⊥BC ．18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2＋y 2＝1(a ＞b ＞0)，过左焦点 F (－ 3，0)的直线 l 与椭a 2b 2 圆交于 A ，B 两点．当直线 l ⊥x 轴时，AB ＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．（第16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l 1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km ，l 2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P ，建造开发区管委会，并开发19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )＝ln x ＋m （m ∈R ）的极大值为 1．x （第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO ．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l 2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO ＋PA ＝16)．设∠BAO ＝θ．（1）记 PA ＝f (θ)，求 f (θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．（1）求 m 的值；（2）设函数 g (x )＝x ＋1，当 x 0＞1 时，试比较 f (x 0)与 g (x 0)的大小，并说明理由；e x（3）若 b ≥ 2 ，证明：对于任意 k ＜0，直线 y ＝kx ＋b 与曲线 y ＝f (x )有唯一公共点．e20．（本小题满分 16 分）已知 q 为常数，正．项．数列{a n }的前 n 项和 S n 满足：S n ＋(a n －S n )q ＝1，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等比数列；（）若 ∈ ，且存在 ∈ ，使得 － 为数列 中的项． 2 q N * tN * 3a t ＋2 4a t ＋1{a n } （第 17 题）① 求 q 的值； ② 记 b ＝log a n ＋1列．a n＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得b r，b s，b k 成等比数（共 4 页）（共 4 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II （附加题）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x 2＝2py (p ＞0)，过点 P (m ，0)(m ≠0)的直线 l 与抛→ → → →物线 C 交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 Q ，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R )．（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y ＝1x ＋1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：λ＋μ为定值．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）－1 123．（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 m ∈R ，矩阵 A ＝（1）求实数 m ；的一个特征值为－2． m 0 设集合 M ＝{1，2，3，…，m }，集合 A ，B 是 M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合 A ∩B 的元 素个数．若|A ∩B |＝n ，其中 1≤n ≤m －1，则称(A , B )是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A ，B ）与（B ，（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A －1．B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E : {x ＝cos θ， y ＝2＋2cos θ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ，求线段 PC 长的最大值．C ．[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．A ）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 a n ．（1）当 m ＝3 时，求 a 1，a 2；（2）当 m ＝2019 时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项．江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷一、填空题数学I参考答案（2）过B 作BP ⊥B1M ,垂足为P平面AB1M ⊥平面B1BCC1平面AB1M 平面B1BCC1 =B1MBP ⊂平面BB1C1C∴BP ⊥平面AB1M1. {2，3}2.1+2i3.84.15.2336.7107. 38.2π39.(0，1) 10.7211. 5714AM ⊂平面AB1M12. (－∞，－e]∪[e，＋∞) 13.3 14. 2＋ 3∴BP ⊥AM直四棱柱ABCD -A B C D 中,BB ⊥平面ABCDe e 2 5二、解答题1 1 1 1 1AM ⊂平面ABCD15.（1）因为cos B＝－5，B∈(0，π)，∴BB1 ⊥AM5所以sin B＝1－cos2B＝1－(－5)2＝2 5．5 5在三角形ABC 中，sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sin B cosπ＋cos B sinπ．4 4 4故sin A＝2 5× 2＋(－5)× 2＝10．又BP BB1 =BBP, BB1 ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥平面BB1C1C又BC ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥BC ．…………………14 分5 2 5 2 108×1017.解：（1）如图，在∆PAO 中，设PA =x ，l则因为PO +PA = 16 ，所以PO = 16 -x，由正弦定理知AC ＝BC ，所以BC＝AC·si n A＝ 10 ＝2 2. …………………6 分又因为AO = 8 3 ，∠BAO =θ，sin B sin A sin B 255所以由余弦定理得：x2 3)2⨯8 3x cosθ= (16 -x)2 ，……（2）在三角形ABC 中，cos A＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cos B cosπ＋sin B sinπ，解得x ………4 分l ∙∙4 4 4 2 -3cosθ1 A O故cos A＝5× 2＋2 5× 2＝310．当∠POA =π时，(8 3)2 + (16 -x)2 =x2 ，解得x = 14 ，（第17 题）5 2 5 2 10 2因为cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,此时，cosθ=．105sin2A＝2sin A cos A＝2×3 10× 10＝3，14 7π10105设0 <α<，且cosα=2，则结合P 位于城市O 的西北区域内，B 在l2 上，7因此cos(2A＋π)＝cos2A cosπ－sin2A sinπ＝4×2－3× 2＝2．…………………14 分π4 4 45 2 5 2 10 且位于O 北，得α<θ<，216．证明：（1）连接A1B 交AB1 于N（共 10 页）（共 10 页）∵直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1B 1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于θ 的函数解析式为 PA = 4，θ 的取值范围为 (α,π) ，2∴ N 为 A 1B 的中点 π其中， 0 < α< ，且 cos α = ………………………6 分又 M 为 BC 中点 ∴ MN // A 1C 又 A 1C ⊄ 平面 AB 1M 2 （2）由（1） PA = 7，α < θ < π ，结合 AO 3 ， ∠BAO = θ ， 2MN ⊂ 平面 AB 1M ∴ A 1C //平面 AB 1M .…………………6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (θ) = 1AO ⋅ PA sin θ2 = 1sin θ 24e1 m2（2） ∆PAB 为P 为直角顶点的等腰直角三角形，设AB 中点为M ，∴AB = 2PM （2）f(x0)－g(x0)＝ln x0＋1－x0＋1＝1(ln x0＋1－x0（ⅰ）直线AB 与x 轴垂直，AB =1，OF = 3 ,x0不合题意，舍.2⎨22=，α<θ<π．⎧2 3cosθ2⎪∆≥0⎪所以S'(θ)=θ-θ)] 则⎪x +x-k2=⎪1 21+4k2=，α<θ<π．⎪ 12k 2- 4x x(2 cosθ)2 2⎪1⋅⎩=21+4k2由S'(θ) = 0 ，得θ=π，因为cosπ=<3，所以π>α，∴AB =| x -2x6 6 27 61 2 1 2 1 2) 4(1+k2 )=1+4kAB 中点为M 的横坐标为1+4k-k21+4k2所以，当θ=π时，[S(θ)]=S(π3 ，PM =-2| |6 max 61+4k2 2此时，AB =AO==)|=4(1+k)cosπ6 2即开发的三角形区域PAO 面积最大时，绕城公路AB 的长为16km ．…………14 分k∴k =11+ 4k21+ 4k 2⎧c⎪11直线AB 的方程为y =(11或y =(3)⎪ b218．解：（1）由已知，得⎨2⋅ =1综上：直线AB 的方程为y = 1 (或y = 1 (或y =0. (16)⎪ a⎪⎧a2 =4解得⎨⎪⎩b2 =1⎪a2 =b2+c2⎩19.解：（1）f '(x)＝1－m－ln x, 令f'(x)＝0 得：x＝e1－m,x2所以f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减.2 1－m 1∴椭圆E 的标准方程为：x+y2 = 1．…………………4 分所以f(x)＝f(e)＝＝1, 得m＝1. ……………3 分－＋x0)e x0x0e x0(ⅱ)直线AB 与y 轴垂直，AB = 4 ，P 为或(0, -2) ，适合题意。
江苏省淮阴中学与姜堰2019届高三数学四月联考卷
江苏省淮阴中学高三年级阶段测试数学试题（I ）卷 2019.04.19注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上．．．．．．．．．. 1.已知集合}1,1,0{-=A ，}01|{2≥-=x x B ，则B A ⋂= ▲ .2.已知复数z 满足i i z 23-=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是 ▲ .3.已知角510°的终边经过点),3(a P -，则实数a 的值是 ▲ .4.如下图所示的流程图，输出n 的值是 ▲ .5.已知函数)sin 3()(x a x x f +=为偶函数，则实数a 的值是 ▲ .6.现有5根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是 ▲ ．7.已知单位向量b a ,的夹角为120°，则|2|b a -的值是 ▲ ．8.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，AB =3，41=AA ，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11B A 运动到点C 1，则点P 运动的最短路程为 ▲ .A 1B 1C 1CC9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足6224=-a a ，则11S 的值= ▲ ． 10.已知函数())0(1>-=a x ax f ，3)1()(-=x x g ，若()x f 与()x g 的图像交于A 、B 两个不同的点，点P 在圆C ：1)1(22=-+y x+的取值范围是 ▲ .11.如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE （点E 在BD 下方）组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设OB n OA m OP +=),(R n m ∈，则n m +的最大值是 ▲ .12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足2=BFAF ，则椭圆C 离心率的最小值是 ▲ .13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤≤-+-=ax t x t x x x f ,1|1|21),1(log )(21，若存在实数t ，使()x f 的值域为]1,1[-，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.对任意R x ∈，不等式()()322244≤+++--x xxx b a 恒成立，则b a +的最大值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知32cos =A ，C B cos 5sin =. （1）求C tan 的值； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ． （1）求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2）点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值．17.（本小题满分14分）某工厂C 发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟km 1的速度增大. 一所学校A ，位于工厂C 南偏西45，且与工厂相距km 5. 消防站B 位于学校A 的正东方向，且位于工厂C 南偏东60，立即以每分钟km 2的速度沿直线BC 赶往工厂C 救援，同时学校组织学生P从A 处沿着南偏东75的道路，以每分钟a km 的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18.（本小题满分16分）如图所示，已知椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右准线方程是直线4:=x l ，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B （点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方）.（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点②若21=，求直线PC 的方程.A CB P x19.（本小题满分16分）设函数x a x x f ln 2)(2+=，（R a ∈）.（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y =2x +m ，求实数a 、m 的值； （2）关于x 的方程f （x ）+2cosx =5能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若f （2x -1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分16分）若无穷数列}{n a 满足：0>n a ，且对任意n l k s <<<，lk n s +≥+（*∈N n l k s ,,,）都有l k n s a a a a +≥+，则称数列}{n a 为“T ”数列.（1）证明：正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列}{n b 的前n 项之和为n S ，若数列}{n S 是“T ”数列，求数列}{n b 公比的取值范围； （3）若数列}{n c 是“T ”数列，且数列}{n c 的前n 项之和n T 满足21nn c c n T +≥， 求证：数列}{n c 是等差数列.江苏省淮阴中学高三年级阶段测试数学试题（Ⅱ）卷2019.04.19（满分40分，时间30分钟）注意：请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(本小题满分10分)已知直线:0l ax y-=在矩阵A0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l'，若直线l'过点（1,1），求实数a的值．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是12x my t⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线l与圆C相切，求实数m的值．23. (本小题满分10分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．24. (本小题满分10分)随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n 个新农村集结区n A A A A ,...,,,321按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上)4(≥n ，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路j i A A ，两条道路的交汇处安装红绿灯（集结区n A A A A ,...,,,321除外），在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为)(n P .（1）求)5(),4(P P ；（2）求)(n P ，并用数学归纳法证明.1A 2A 3A 4A 1-n A nAO江苏省淮阴中学高三年级阶段测试数学（I ）卷参考答案 2019.04.191.{1,-1}2.i 32+-3.14.45.06.1037．7 8.31 9．66 10. [].222,222+- 11.3 12.31 13.]2,21( 14.4333-15．解：（1）由32cos =A ，1cos sin 22=+A A 且),0(π∈A 得35sin =A ……2分因为A+B+C=π，所以)sin(sin C A B +=又因为C B cos 5sin = 所以C C C C A cos 5sin 32cos 35)sin(=+=+ ………………………………4分 得C C cos 352sin 32= 若0cos =C ，则1sin =C 不符合上式，所以0cos ≠C所以5tan =C ……………………………………………………………………………7分（2）由5tan =C ，1cos sin 22=+C C 且),0(π∈C得630sin =C ，66cos =C ……………………………………………………………9分 C B cos 5sin =630=由BbA a sin sin =得3=b ……………………………………………………………12分 25sin 21==∴∆C ab S ABC ……………………………………………………………14分16．证明：（1）矩形ABCD 中AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE = BC ，AB ⊂平面ABCD ∴AB ⊥平面BCE ………………2分 又CE ⊂平面BCE ∴AB ⊥CE而BE ⊥EC 且AB ∩BE = B ，AB ，BE ⊂ 平面ABE∴ CE ⊥平面ABE ，…………………………………………4分 由CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE ………………6分 （2）连接BD ，设BD ∩AC = O ，连接OF ，矩形ABCD 中，O 是BD 中点…………………………………………………………………8分 若DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面DBE ，平面DBE ∩平面AFC = OF∴OF ∥DE …………………………………………………………………………………10分 在△BDE 中，∵OF ∥DE ，O 是BD 中点，∴F 是BE 中点 ……………………………12分 ∴BEBF= 2 …………………………………………………………………………………14分 17. BC=25因为安全撤离，所以t PC >在]5,0[∈t 上恒成立CAP AP AC AP AC PC ∠⋅-+=cos 2222222525t at t a >-+=在]5,0[∈t 上恒成立所以0255)1()(22>+--=at t a t f1°a=1时，0255)(>+-=t t f 在]5,0[∈t 上恒成立，所以a=1符合题意2°0<a<1时，)(t f 的最小值只可能在端点处取得，所以只要0)0(>f 且0)5(>f ，解得10><a a 或，舍去 3°a>1时 （1）当5)1(252≥-a a即41711+<<a 时，)(t f 的最小值为0)5(>f ，得10><a a 或，所以41711+<<a （2）当5)1(252<-a a即4171+>a 时，0<∆得332>a ， 因为3324171>+所以4171+>a 综上，1≥a 即学生撤离的速度至少要是每分钟1km18. （1）13422=+y x （2）①设切点A ),(00y x ，则可证切线AP ：13400=+yy x x 所以点P ))1(3,4(00y x - 以AP 为直径的圆：0))1(3)(()4)((0000=---+--y x y y y x x x 由对称性可知定点在x 轴上，令y=0得03)4(002=+++-x x x x ，所以过定点C （1,0）同理，以BP 为直径的圆过定点C （1,0） ②设A ),(11y x ，B ),(22y x ，C （1,0）因为21=，所以⎩⎨⎧-=-=1212223y y x x 又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x yx ，所以A )853,47( P )556,4(-，所以直线PC 的方程为552552+-=x y 19.（1）0,2=-=m a ………………2分（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令g(x)= f （x ）+2cosx如果g （x ）=5有三个不同的实根，则g （x ）至少要有三个单调区间，则0)(='x g 至少两个不等实根，所以只要证明0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根………………4分x x a x x g sin 24)(-+='，2cos 24)(xa x x g --=''， 1°当a<0时，0,0cos 242>->-xax ，∴0)(>''x g ，∴)(x g '在),0(+∞单调递增，∴0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根；………………7分 2°当a ≥0时，0cos 24)sin 24(>-='-x x x ，∴x x y sin 24-=在),0(+∞单调递增， ∴x x y sin 24-=>0，又因为a ≥0时0≥x a ，∴0sin 24)(>-+='x xax x g ， ∴0)(='x g 在),0(+∞没有实根综合1°2°可知，0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根，所以得证.………………10分 （3）∵f （2x-1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，且x a x x f ln 2)(2+=， ∴x a x a x x ln 2)12ln(4842>-++-对任意),2[+∞∈x 恒成立， ∴)12ln()12(4ln 422--->-x a x x a x 对任意),2[+∞∈x 恒成立， 令t a t t h ln 4)(-=，………………………………13分 则)12()(2->x h x h 对任意),2[+∞∈x 恒成立，∵),2[+∞∈x 时122->x x ，且)12()(2->x h x h ，),3[12),4[2+∞∈-+∞∈x x ，∴t a t t h ln 4)(-=在),3[+∞∈t 单调递增∴04)(≥-='tat h 在),3[+∞∈t 恒成立， ∴12≤a …………………………………………16分 20.（1）证明：l k n s a a a a --+=d l k n s )(--+因为正项无穷等差数列}{n a ，所以d>0，且l k n s +≥+，所以l k n s a a a a +≥+所以正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列（2）1°q=1时l k n s S S S S --+0)(1≥--+=a l k n s 成立，所以q=1； 2°q>1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q q a --+-=)1(11--+-=---s n s l s k s q q q q qa因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为q>1，所以s l s k s l k sn q q q q ---+-⋅=≥2所以1--+---s n s l sk q q q1-⋅-+≤----s l s k s l s k q q q q )1)(1(s l s k q q ----=<0所以l k n s S S S S --+)1(11--+-=---s n s l sk s q q q q qa >0，所以q>1 3°0<q<1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q qa --+-=)1(11--+-=---n s n l n k n q q q q q a)1111(11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---sn ln kn n q q q q q a因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为0<q<1，所以sl sk sn q q q ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛111所以1111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---sn ln kn q q q sl sk ls ks q q q q ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111]11][11[-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--sl sk q q <0所以l k n s S S S S --+)1111(11ln kn sn n q q q q q a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<0舍去综上：q ≥1（3）n n c c c T +++= 2111c c c T n n n +++=-所以)()()(21121c c c c c c T n n n n ++++++=-数列}{n c 是“T ”数列，所以n n c c c c +≤+-112，n n c c c c +≤+-123，…，n n c c c c +≤+11 所以)(21n n c c n T +≤，所以21nn c c n T +≤又因为21n n c c n T +≥，所以21nn c c n T +=，即)(21n n c c n T += 两次退位相减，可证数列}{n c 是等差数列江苏省淮阴中学高三年级阶段测试数学（Ⅱ）卷参考答案 2019.04.191.设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分 代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分2.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t，得0x m -=，由直线l 与圆C 相切， 所以222m-=，即2m =-或6m = ……………………………………………10分3.（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A ，则41)(2413==A A A P ， 故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率14．………………………………………4分 （2）随机变量X 的所有取值为0,10,20,30,40． 1(0)4P X ==，12241(10)6P P X P ===,22324411(20)6P P X P P ==+=， 1222341(30)6C P P X P ===，33441(40)4P P X P ===,…………………………………………………8分 所以，随机变量X 的分布列为:111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分 4.解：（1）5)5(,1)4(==P P（2）证明：①1)4(,444===C P n ，命题成立；假设)4(≥=k k n 时，4)(k C k P = 则1+=k n 时，1321,,...,,,+k k A A A A A 按逆时针方向排列，依次连结k k k k A A A A A A 12111,......,,+++可增加k 条道路，则11A A k +与凸四边形内部的道路交点为0；21A A k +与凸四边形内部的道路交点为)2(1-⋅k ；31A A k +与凸四边形内部的道路交点为)3(2-k ；依次类推11-+k k A A 与凸四边形内部的道路交点为1)2(⋅-k ； 则41334212322423)...(22)2)(1()]1)(2(...3221[)2(...32)1(+-=-+=+++---+=--++⨯+⨯--++++=+k k k k k k C C C C C C C k k k C k k k k k k k k P。
2019年江苏省南师附中·天一中学·淮阴中学·海门中学期初调研测试
江苏省南师附中·天一中学·淮阴中学·海门中学2019年期初调研测试英语听力在邮箱第一部分听力(共两节, 满分20分)做题时, 先将答案标在试卷上。
录音内容结束后, 你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What is the woman’s problem?A.She has lost her way.B. She has lost her luggage.B.She has lost her daughter.2.What is the relationship between the speakers?A.Librarian and reader.B. Bank clerk and customer.C.Policeman and citizen.3.When might the test be?A.Around 3:00 p.m. today.B.Around 8:00 p.m. today.C.Around 9:00 p.m. tomorrow.4.Where does the conversation take place?A.At the airport.B.At the post office.C.At the railway station.5.What does the man suggest the woman do?A.Be stricter with her son.B.Limit screen time for her son.C.Have confidence in her son.第二节 (共15小题；每小题1分，满分 15分)听下面5段对话或独白。
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设集合，，，则实数的值为________．2. 设复数满足（是虚数单位），则 ________．3. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为～，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有____________________________ 辆．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，若函数的图象过原点，则 _________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率为________．7. 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_______．8. 在等比数列中，已知，，且公比为整数，则________．9. 如图，正四棱锥的底面一边长为，侧面积为，则它的体积为________．10. 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．12. 已知外接圆的半径为2，且，，则________．13. 已知为正实数，则的最小值为________．14. 设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）设的平分线交于，求的值．三、填空题16. 如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证: 平面．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．18. 如图，是海岸线OM，ON的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行?19. 设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．20. 正项数列: ，满足:是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知圆上是弧 =弧，过点的圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：．22. 已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为．曲线上的任意一点的直角坐标为，求的取值范围．24. 已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．25. 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金元。
江苏省天一中学2019届高三上学期期初调研测试数学试题(解析版)
天一中学2019届高三上学期期初调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.函数的定义域为______．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是：．根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．2.在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox，点在其终边上，则的值为______．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox，点在其终边上，则，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则______．【答案】32【解析】解：设等比数列的首项为，又公比为2，由，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．设出等比数列的首项，结合等比数列的通项公式和列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求．本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4.若曲线在点处的切线平行于x轴，则______．【答案】【解析】解：由题意得，，在点处的切线平行于x轴，，得，故答案为：．先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．5.函数在上的减区间为______．【答案】【解析】解：函数，令，，可得，．故函数的减区间为，．再由，可得函数的减区间为，故答案为．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为，令，，求得x的范围，可得函数的减区间，从而求得函数在上的减区间．本题主要考查两角和差的正弦公式，复合三角函数的单调性，正弦函数的单调减区间，属于中档题．6.已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为______．【答案】【解析】解：，焦点坐标为过M作准线的垂线于M，由，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为，然后代入抛物线方程求得，故答案为：．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查抛物线的基本性质属基础题．7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．【答案】【解析】解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．8.设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的______条件填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件”【答案】必要不充分【解析】解：是首项为正数的等比数列，公比为q，当，时，满足，但此时，则不成立，即充分性不成立，反之若，则，，即，则，即成立，即必要性成立，则“”是“对任意的正整数n，”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质和公式是解决本题的关键．9.已知函数，，则的解集是______．【答案】【解析】解：根据题意，当时，，当时，，为增函数，；其图象如图：若，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为：．根据题意，将函数的解析式变形为；分析其图象，据此原不等式可以转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数以及函数单调性的判断以及应用，关键是求出的解析式，属于基础题．10.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则的值为______．【答案】【解析】解；联立方程组，消y得：，即，或，又，所以，即，则，所以，故答案为：将函数的图象与的图象的交点横坐标问题转化为方程组问题，然后在区间解关于的解，最后求．本题考查了解三角方程及几何问题代数化的思想，属简单题．11. 已知函数是R 上的增函数，则a 的取值范围是______．【答案】【解析】解：要使函数在R 上为增函数，须有 在 上递增，在 上递增， 且，所以有，解得 ， 故a 的取值范围为 ． 故答案为： ．要使函数在R 上为增函数，须有 在 上递增，在 上递增，且，由此可得不等式组，解出即可．本题考查函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属中档题．12. 设P 为有公共焦点 ， 的椭圆 与双曲线 的一个交点，且 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，若 ，则 ______． 【答案】【解析】解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ，，，， 同理可得 ，，，，，即，，． 故答案为：．由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得，再由 即可求得 ．本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．13.若数列满足，则称数列为凹数列已知等差数列的公差为d，且数列是凹数列，则d的取值范围为______．【答案】【解析】解：等差数列的公差为d，，，数列是凹数列，，，故答案为：．求出，利用数列是凹数列，结合新定义，求出d的取值范围．本题考查等差数列的通项，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．14.已知偶函数满足，且在时，，若存在，，，满足，且，则最小值为______．【答案】1012【解析】解：偶函数满足，，函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，函数的值域为，对任意，2，3，，，都有，若，时，单调递增，根据偶函数的对称性可知时，单调递减，，，则，不妨设时，要使取最小值，尽可能多让2，取最高点与最低点，且，，，足，且，，则最小值为1012故答案为：1012．由函数是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为，对任意，2，3，，，都有，要使m取得最小值，尽可能多让2，3，，取得最高点，然后可得的最小值．本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、解答题（本大题共6小题）15.设函数图象的一条对称轴是直线．求函数的解析式；若，试求的值．【答案】解：是函数的图象的对称轴，，，分，，分故分因为，所以，分故分故有分【解析】根据是函数的图象的对称轴，求得，再根据的范围求出的值，即可求得函数的解析式．由，求得和的值，利用两角和的正弦公式求得的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．16.已知A、B分别在射线CM、不含端点上运动，，在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．Ⅰ若a、b、c依次成等差数列，且公差为求c的值；Ⅱ若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．【答案】解：Ⅰ、b、c成等差，且公差为2，、．又，，，，恒等变形得，解得，或．又，分Ⅱ在中，由正弦定理可得，，，．的周长，分又，，当，即时，取得最大值分【解析】Ⅰ由题意可得、又因，，可得，恒等变形得，再结合，可得c的值．Ⅱ在中，由正弦定理可得，的周长再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得取得最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：，为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．若，求的面积．判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．【答案】解：，可设直线MN的方程为点A在MN上，代入坐标可求得直线MN的方程为由点到直线距离公式可得点O到直线MN的距离为1从而两平行线MN，l之间的距离为直线PM与圆O相切，证明如下：设，则直线MN的斜率为，，直线OP的方程为：，与直线l的方程联立，解得P点的坐标为，，又，且，，，，，直线PM与圆O相切．【解析】第一步利用点到直线距离公式，平行线间距离公式求解三角形底和高；第二步利用点的坐标和垂直关系设直线方程，解方程组得交点坐标，利用数量积证垂直，得相切．此题考查了圆的弦长，点到直线距离公式，平行线间距离公式，直线与圆位置关系等，其中对运算能力考查力度也不小，整体难度适中．18.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：离心率为，其短轴长为2．求椭圆C的标准方程；如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，，且，，为非零实数，求的值．【答案】解：因为短轴长，所以，又离心率，且，解得，，则椭圆C的方程为；由可得点，设，，则，，由可得，，即有，，，两边同乘以，可得，解得，，将代入椭圆方程可得，由可得，可得．【解析】由题意可得，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得A的坐标，设，，运用向量共线坐标表示，结合条件求得P，Q的坐标，代入椭圆方程，可得的值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知函数．若曲线在处的切线过点．求实数a的值；设函数，当时，试比较与的大小；若函数有两个极值点，，求证：．【答案】解：由已知可得，，切点，在处的切线斜率为，切线方程：，把代入得：；，恒成立，在上单调递减，当时，，故，当时，，故，当时，，故，依题意：有两个不等实根，，设则：当时，有，所以是增函数，不符合题意；当时：由得：，列表如下：依题意：，解得：，则，变化如下：由表可知：在上为增函数，所以：又，故，由知：，设，则成立，所以单调递减，综上所证：成立．【解析】求出的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点，即可解得a；先求导，在判断函数的单调性，根据单调性比较即可依题意：有两个不等实根，，设，求出导数，讨论当时，当时，求得函数的单调性，令极大值大于0，求出a的范围再求得的增区间，通过导数，判断，设，求得的单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于难题．20.设数列的前n项和，对任意，都有b，c为常数．当时，求；当时，求证：数列是等差数列；若对任意m，，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．【答案】本题满分16分解：当时，当时，，所以．当时，得：．因为，所以，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．当时，得：，所以得：．因为，所以，所以是等差数列．因为，所以．因为，所以，所以．因为p、m、，所以．又因为，所以，所以或．当时，，，所以，所以不符合题意．当时，，，所以满足题意．所以．【解析】利用已知条件求出数列是等差数列，进一步求出数列的前n项和．利用定义和赋值法求出数列通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用定义法证明数列是等差数列．。
南师附中等四校联考试题及数学答案
南京师大附中初数学调研测试卷（四校联考）Ⅰ必做题部分棱锥的体积公式V棱锥13Sh =，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：3解析：{3}{1,3}3A B A a =⇒=⇒= 点评：考查集合的运算，属于容易题. 2.已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 答案：12-解析： 1322z i =-+ 点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 答案：42解析： 先判断，后执行，易得S=42 点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第3题图）4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为 ▲ ． 答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为300.515⨯= 点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ ． 答案：14解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为41164= 点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题. 6.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos 3cos θθθ2-的值为 ▲ ． 答案：-2解析：222221sin cos 3cos tan 3tan ,sin cos 3cos 22sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ--=-===-++ 点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan θ的齐次式，属于容易题. 7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B = ▲ ． 答案：22n n +解析： 代入基本量运算，可得2211,2,,,2n n n S n na d S n n B n +===⇒=∴=点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22:104x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为 ▲ ．答案：16解析： 渐近线方程为：y =1()1162m -=-⇒= 点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题. 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 ▲ ．解析：设四棱锥斜高为',h底面边长为''2'21212,2,3334ah a a h V sh a h ⎧=⎪⎪⇒====⎨⎪+=⎪⎩点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题. 10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是 ▲ ．答案：1解析：(5)(5)(1)(1)1(2)1f f f f a f -=⇒-=⇒=⇒= 点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减，则a 的取值范围是 ▲ ．答案：33a a ≤-≥或解析： 易得'22()320f x x ax a =+-≤在[-1，1]上恒成立，所以''(1)0(1)033f f a a -≤≤⇒≤-≥且或点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题. 12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()PQ AB DC -的值为 ▲ ． 答案：0解析：1122MN MN MN λλ==⇒⋅=⋅-（AB+DC），PQ PQ （AB+DC ）（AB DC ）=0 点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆O ：225x y +=，,A B 为圆O 上的两个动点，且2AB =，M 为弦AB的中点，),2)C a D a +．当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 答案：0a >或2a <-解析： 由2,OM =M 点的轨迹方程为圆221:4C x y +=，要使得始终有CMD ∠为锐角，则以CD 为直径的圆2C 与圆221:4C x y +=3>点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知1,2a b >>2的最小值为 ▲ ．MAPQDCNB答案：6解析：令221a x-=，224b y-=，有ab2==22252(2)()96()6x y xy x y x yx y x y x y+++++++≥=≥=+++点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c．已知cos cos2cosa Bb Ac C+=．（1）求角C的大小；（2）若2,c ABC=∆ABC∆的周长．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及cos cos2cosa Bb Ac C+=，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C，………2分因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，………4分所以cos C＝12，所以C＝π3. ………7分（2）1sin2ab C=又C＝π3，所以4ab=，………9分由已知及余弦定理得222cos4a b ab C+-=故228a b+=，从而2()16a b+=………12分所以ABC的周长为6. ………14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，90ABC∠=，PA PC=,平面PAC⊥平面ABC，,D E分别为,AC BC中点．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面PDE．解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．所以DE∥AB，………2分又DE⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以DE∥平面P AB.（2）因为P A＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC，又平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面P AC，故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ． ………9分 因为∠ABC ＝90°，DE ∥AB ，因此DE ⊥BC ． ………11分 因为PD ⊥BC ，DE ⊥BC ，PD ∩DE ＝D ，PD ，DE ⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ． ………14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题． 17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，120AB =米 ，80AD =米，以BC AD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形A B C D 内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE 、FB 修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点，//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF =米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为 多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低． 解析：（1）如图，20ME =米，12O M =米，梯形12O O FE 的面积为1(1208020200032+⨯= 矩形12AO O B 的面积为4800平方米． 16AO E π∠=，扇形1O A E 和扇形2O F B 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，所以阴影部分面积为80048003π-平方米． ………5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为80048003π-平方米．………6分（2）设1,(0,)2AO E πθθ∠=∈，则40AE BF θ==， 120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()20080400(12080sin )16000(32sin )f θθθθθ=⨯+⨯-=+-………9分MN'()16000(12cos )f θθ=-，令'()0f θ=，则πθ=，所以，当3θ=时，即13AO E ∠=，修建费用最低． ………13分答：当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． ………14分 点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中． 18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程:22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点1,0F （），A 为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C 的方程； （2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=且|2|5||AM MN =,求直线AM 的方程．解析：（1）,1,42==c c a3,422==∴b a 13422=+∴y x C ：椭圆， ………4分 （2）设()2:+=x k y AM ()()()()()42241321324134222222222x x x x k x k x yx x k y +-=-=+⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=2-≠p x ()()42322x x k -=+∴，64332211234222k k x k -=-=+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=∴34123486222k k y k k x M M………8分而k k MN 1-=，又,4=N x N M x x kMN -+=∴2113462413462411222222+++=+++=∴k k k k k k k MN………10分又3412134121122222++=++=-+=k k k k x x k AM A M………12分 MN AM 25= 346241234121522222+++=++∴k k k k k k 411或=∴k ………14分 21412+=+=∴x y x y 或………16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中．19.（本小题满分16分）已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈，（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()|()|()[1,]H x f x g x x e =∈，，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围．解析：（1）设切点),(00y x P ，则00000,ln ex y ax x y =-=，00ln ()x a e x =+（*） 又,1)('a x x f -=e a x xf =-=∴001)('，e a x +=∴10代入（*） ⇒1ln 0=x ，e x =∴0ee a -=∴1………3分 （2）设)1()(ln )()()(≥+-=-=x xe a x x g xf x h ，当)(x h 单调递增时 则())(10)(1'e a x e a x x h +≥⇒≥+-=，又]1,0(1∈x，e a e a -≤∴≤+∴,0当)(x h 单调递减时())(10)(1'e a x e a x x h +≤⇒≤+-=ea e a -≥∴≥+∴1,1综上()h x 单调时，(,][1,)a e e ∈-∞-⋃-+∞ ………6分（3）a xxex ex ax x x H -=⋅-=ln ln )(2， 令],1[,ln )(e x a x xx t ∈-=，2ln 1)('x xx t -=，当],1[e x ∈时，0)('≥x t ，]1,[)(a ea x t --∈∴，1）当0≥-a ，即0≤a 时，0)(≥x t ，],1[),ln ()(2e x ax x x e x H ∈-=∴0)21(ln )('>-+=ax x e x H ，)(x H ∴在],1[e 上无极值点。
江苏省四校南师附中天一中学海门中学淮阴中学2019届高三数学下学期期初调研检测试题
1（共 10 页）（共 10 页）江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．3注意事项8．若将函数 y ＝cos x － 3sin x 的图象向左平移 m (m ＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 9. 数 m 的最小值为 ▲ ． 函数 f (x )＝a ·e x －e －x 在 x ＝0 处的切线与直线 y ＝2x －3 平行，则不等式 f (x 2－1)＋f (1－x )＜0 题，共 6 题)两部分。
本次考试时间为 120 分钟。
考试结束后，只要将答题卡交回。
的解集为 ▲ ． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为7 的数列{a n }满足：(n ＋1)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝0，则 a 2019－a 2018 的值为 ▲ ． 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。
3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
→ → 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝2，AD ＝1， AB · AC ＝5，则 cos ∠CAB ＝ ▲ ．(第 11 题)参考公式：1．锥体的体积公式为：V ＝1Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n － －2．一组数据 x 1，x 2，…，x n 的方差为： s 2 ＝1 n ∑ (x i － x )2，其中 x 是数据 x 1，x 2，…，x n 的 i ＝113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M ，N 是两定点，点 P 是圆 O ：x 2＋y 2＝1 上任意一点，满足： 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4，5}，则 A ∩B ＝ ▲ ．PM ＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．2．已知复数 z 满足(1－i)z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z ＝ ▲ ．3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Theny ← e x二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．Else y ← x 2＋1End If Print y(第 4 题)25．已知双曲线x 2－y 2＝1(a ＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．（共 10 页） （共 10 页）n 16．（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B ，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A 1C //平面 AB 1M ；（2）若平面 AB 1M ⊥平面 BB 1C 1C, 求证：AM ⊥BC ．18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2＋y 2＝1(a ＞b ＞0)，过左焦点 F (－ 3，0)的直线 l 与椭a 2b 2 圆交于 A ，B 两点．当直线 l ⊥x 轴时，AB ＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．（第16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l 1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km ，l 2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P ，建造开发区管委会，并开发19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )＝ln x ＋m （m ∈R ）的极大值为 1．x （第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO ．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l 2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO ＋PA ＝16)．设∠BAO ＝θ．（1）记 PA ＝f (θ)，求 f (θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．（1）求 m 的值；（2）设函数 g (x )＝x ＋1，当 x 0＞1 时，试比较 f (x 0)与 g (x 0)的大小，并说明理由；e x（3）若 b ≥ 2 ，证明：对于任意 k ＜0，直线 y ＝kx ＋b 与曲线 y ＝f (x )有唯一公共点．e20．（本小题满分 16 分）已知 q 为常数，正．项．数列{a n }的前 n 项和 S n 满足：S n ＋(a n －S n )q ＝1，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等比数列；（）若 ∈ ，且存在 ∈ ，使得 － 为数列 中的项． 2 q N * tN * 3a t ＋2 4a t ＋1{a n } （第 17 题）① 求 q 的值； ② 记 b ＝log a n ＋1列．a n＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得b r，b s，b k 成等比数（共 4 页）（共 4 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II （附加题）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x 2＝2py (p ＞0)，过点 P (m ，0)(m ≠0)的直线 l 与抛→ → → →物线 C 交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 Q ，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R )．（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y ＝1x ＋1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：λ＋μ为定值．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）－1 123．（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 m ∈R ，矩阵 A ＝（1）求实数 m ；的一个特征值为－2． m 0 设集合 M ＝{1，2，3，…，m }，集合 A ，B 是 M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合 A ∩B 的元 素个数．若|A ∩B |＝n ，其中 1≤n ≤m －1，则称(A , B )是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A ，B ）与（B ，（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A －1．B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E : {x ＝cos θ， y ＝2＋2cos θ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ，求线段 PC 长的最大值．C ．[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．A ）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 a n ．（1）当 m ＝3 时，求 a 1，a 2；（2）当 m ＝2019 时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项．江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷一、填空题数学I参考答案（2）过B 作BP ⊥B1M ,垂足为P平面AB1M ⊥平面B1BCC1平面AB1M 平面B1BCC1 =B1MBP ⊂平面BB1C1C∴BP ⊥平面AB1M1. {2，3}2.1+2i3.84.15.2336.7107. 38.2π39.(0，1) 10.7211. 5714AM ⊂平面AB1M12. (－∞，－e]∪[e，＋∞) 13.3 14. 2＋ 3∴BP ⊥AM直四棱柱ABCD -A B C D 中,BB ⊥平面ABCDe e 2 5二、解答题1 1 1 1 1AM ⊂平面ABCD15.（1）因为cos B＝－5，B∈(0，π)，∴BB1 ⊥AM5所以sin B＝1－cos2B＝1－(－5)2＝2 5．5 5在三角形ABC 中，sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sin B cosπ＋cos B sinπ．4 4 4故sin A＝2 5× 2＋(－5)× 2＝10．又BP BB1 =BBP, BB1 ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥平面BB1C1C又BC ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥BC ．…………………14 分5 2 5 2 108×1017.解：（1）如图，在∆PAO 中，设PA =x ，l则因为PO +PA = 16 ，所以PO = 16 -x，由正弦定理知AC ＝BC ，所以BC＝AC·si n A＝ 10 ＝2 2. …………………6 分又因为AO = 8 3 ，∠BAO =θ，sin B sin A sin B 255所以由余弦定理得：x2 3)2⨯8 3x cosθ= (16 -x)2 ，……（2）在三角形ABC 中，cos A＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cos B cosπ＋sin B sinπ，解得x ………4 分l ∙∙4 4 4 2 -3cosθ1 A O故cos A＝5× 2＋2 5× 2＝310．当∠POA =π时，(8 3)2 + (16 -x)2 =x2 ，解得x = 14 ，（第17 题）5 2 5 2 10 2因为cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,此时，cosθ=．105sin2A＝2sin A cos A＝2×3 10× 10＝3，14 7π10105设0 <α<，且cosα=2，则结合P 位于城市O 的西北区域内，B 在l2 上，7因此cos(2A＋π)＝cos2A cosπ－sin2A sinπ＝4×2－3× 2＝2．…………………14 分π4 4 45 2 5 2 10 且位于O 北，得α<θ<，216．证明：（1）连接A1B 交AB1 于N（共 10 页）（共 10 页）∵直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1B 1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于θ 的函数解析式为 PA = 4，θ 的取值范围为 (α,π) ，2∴ N 为 A 1B 的中点 π其中， 0 < α< ，且 cos α = ………………………6 分又 M 为 BC 中点 ∴ MN // A 1C 又 A 1C ⊄ 平面 AB 1M 2 （2）由（1） PA = 7，α < θ < π ，结合 AO 3 ， ∠BAO = θ ， 2MN ⊂ 平面 AB 1M ∴ A 1C //平面 AB 1M .…………………6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (θ) = 1AO ⋅ PA sin θ2 = 1sin θ 24e1 m2（2） ∆PAB为P 为直角顶点的等腰直角三角形，设AB 中点为M ，∴AB = 2PM （2）f(x0)－g(x0)＝ln x0＋1－x0＋1＝1(ln x0＋1－x0（ⅰ）直线AB 与x 轴垂直，AB =1，OF = 3 ,x0不合题意，舍.2⎨22=，α<θ<π．⎧2 3cosθ2⎪∆≥0⎪所以S'(θ)=θ-θ)] 则⎪x +x-k2=⎪1 21+4k2=，α<θ<π．⎪ 12k 2 -4x x(2 cosθ)2 2⎪1⋅⎩=21+4k2由S'(θ) = 0 ，得θ=π，因为cosπ=<3，所以π>α，∴AB =| x -2x6 6 27 61 2 1 2 1 2) 4(1+k2 )=1+4kAB 中点为M 的横坐标为1+4k-k21+4k2所以，当θ=π时，[S(θ)]=S(π3 ，PM =-2| |6 max 61+4k2 2此时，AB =AO==)|=4(1+k)cosπ6 2即开发的三角形区域PAO 面积最大时，绕城公路AB 的长为16km ．…………14 分k∴k =11+ 4k21+ 4k 2⎧c⎪11直线AB 的方程为y =(11或y =(3)⎪ b218．解：（1）由已知，得⎨2⋅ =1综上：直线AB 的方程为y = 1 (或y = 1 (或y =0. (16)⎪ a⎪⎧a2 =4解得⎨⎪⎩b2 =1⎪a2 =b2+c2⎩19.解：（1）f '(x)＝1－m－ln x, 令f'(x)＝0 得：x＝e1－m,x2所以f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减.2 1－m 1∴椭圆E 的标准方程为：x+y2 = 1．…………………4 分所以f(x)＝f(e)＝＝1, 得m＝1. ……………3 分－＋x0)e x0x0e x0(ⅱ)直线AB 与y 轴垂直，AB = 4 ，P 为或(0, -2) ，适合题意。