2015-2016学年上海市建平中学高一下学期期中考试数学试题

【经典】上海市上海中学2015学年高一数学第二学期期中考试试卷

6
则：
数列： 1， 2， 2，3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， ????????????的??前? 100 项的和是
答 9、已知 4 sin
2 cos
5cos sin
2
，则
7
2
sin
2
4sin cos 2 cos 的值为
10 、一元二次方程 mx 2 (2m 3) x m 2 0 的两根为 tan , tan ,则 tan(
）
A5
B-
2
C-
5
D-
4
6
3
6
3
12、若 -
2
0, 则（ cot , cos ) 在（
）
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2 cos
5cos sin
2
，则
7
2
sin
2
4sin cos 2 cos 的值为
10 、一元二次方程 mx 2 (2m 3) x m 2 0 的两根为 tan , tan ,则 tan(
. ；
) 的最小值
为
；
二、选择题（有 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分）
题 11、下列各角与 120 0 角终边重合的是（
；；
4、对数 log 4x（ 9x -2）的值恒为正数，则 x 的取值范围为 ____________
；
内
5、方程 4 x 6 2 x 16 0 的解为
；
不 6、半径为 r 的圆内有一条弦 AB，长度为 2 r , 则弦 AB 所对的弧长等于
；
7、点 P（ 2a, 3a)(a 0) 是角终边上的一点，则 sin 的值为
；
内

2014-2015年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷含解析

2014-2015学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第象限．2．（3分）若cosα=﹣，且α∈（0，π），则tanα=．3．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．4．（3分）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=．5．（3分）把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式．6．（3分）若≤α≤，则+=．7．（3分）函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为．8．（3分）函数（x∈R）的最小值为．9．（3分）已知，，，则的值=．10．（3分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．11．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∠A=60°，．则c+2b的最大值为．12．（3分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则函数h（t）的最大值是．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）若α为第一象限角，则为（）A．第一象限的角B．第一或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第四象限的角14．（3分）若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=m，且β为钝角，则c osβ的值为（）A．B．C．D．15．（3分）若满足∠A=30°，BC=10的△ABC恰好有不同的两个，则边AB长的取值范围为（）A．（5，10）B．（10，20）C．[20，+∞）D．（5，10）∪[20，+∞）16．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（）（1）cosα＞sinβ（2）（3）cosα+cosβ＞1（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．（8分）已知α是第三象限角，化简：．18．（10分）已知（1）求tanα的值（2）求的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，b=5，求sinBsinC的值；（3）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．20．（10分）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知a＜0，函数，其中．（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g （t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）设a=﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．【解答】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．2．（3分）若cosα=﹣，且α∈（0，π），则tanα=．【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（0，π），∴sinα==．则tanα==．故答案为：．3．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α•r=2×=，故答案为．4．（3分）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=．【解答】解：∵，∴，平方得，∴．故答案为：．5．（3分）把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式2sin（2x+）．【解答】解：==sin2x﹣cos2x=2×=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x+）．故答案为：2sin（2x+）．6．（3分）若≤α≤，则+=．【解答】解：由题意，令+=W，（W≥0）可得1+sinα+1﹣sinα+=W2，有：2+|cosα|=W2，∵≤α≤，∴|cosα|=﹣cosα，故得W=，故答案为：．7．（3分）函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为．【解答】解：函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．8．（3分）函数（x∈R）的最小值为0．【解答】解：∵∴=2cos（）cos（）=1+cos（2x+）≥0故答案为：09．（3分）已知，，，则的值=﹣．【解答】解：∵α，β∈（，π），∴α+β∈（，2π），β﹣∈（，），∵sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，∴cos（α+β）==，cos（β﹣）=﹣；∴sin（α+）=sin[（α+β）﹣（β﹣）]=sin（α+β）cos（β﹣）﹣cos（α+β）sin（β﹣）=﹣×（﹣）﹣×=﹣．故答案为：﹣．10．（3分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．11．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∠A=60°，．则c+2b的最大值为2．【解答】解：令c+2b=t，则c=t﹣2b，∴cosA===，整理得7b2﹣5tb+t2﹣3=0，要使方程有根，则△=25t2﹣28（t2﹣3）≥0，解得t≤2，当t=2时，求得方程有一个根大于0，符合．∴t最大值为2．故答案为：2．12．（3分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则函数h（t）的最大值是2．【解答】解：A t={y|y=f（x），表示函数f（x）的值域，点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}的含义为：表示以P点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，∵f（﹣2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（﹣1）=﹣1，设O（0，0），A（1，1），B（2，0），则AO=AB=，∴M t=，k∈Z，其中，x0是最高点Q的横坐标，同理，m t=，k∈Z．其中x1是最低点Q的横坐标．∴函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），故答案为：2．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）若α为第一象限角，则为（）A．第一象限的角B．第一或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第四象限的角【解答】解：∵α是第一象限角，则，k∈Z，kπ，k∈Z，则为第一或第三象限的角，故选：C．14．（3分）若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=m，且β为钝角，则cosβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=sin（α﹣α+β）=sinβ=m，∵β为钝角，∴cosβ=﹣．故选：D．15．（3分）若满足∠A=30°，BC=10的△ABC恰好有不同的两个，则边AB长的取值范围为（）A．（5，10）B．（10，20）C．[20，+∞）D．（5，10）∪[20，+∞）【解答】解：如图，要使△ABC恰好有不同的两个，则ABsin300＜BC＜AB⇒10＜AB＜20．故选：B．16．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（）（1）cosα＞sinβ（2）（3）cosα+cosβ＞1（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于（1），∵α+β＜90°，∴00＜β＜90°﹣α＜90°⇒sinβ＜sin（90°﹣α）=cosα，正确；对于（2），∵α+β＜90°，∴00＜β＜90°﹣α＜90°⇒sinβ＜sin（90°﹣α）∴sinα+sinβ＜sinα+sin（90°﹣α）=sinα+cosα=sin（α+45°）≤，即sinα+sinβ＜成立；正确；对于（3），cosα+cosβ＞cosα+cos（90°﹣α）=cosα+sinα=sin（α+45°）而00＜α＜90°⇒45°＜α+45°＜135°⇒sin（α+45°）＞⇒cosα+cosβ＞sin（α+45°）＞1，故正确；对于（4），举个例子，假如α=30°，β=30°，则×tan（α+β）=×tan60°=×=；而tan=tan30°=比小，故等式不成立．即不成立．故选：C．三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．（8分）已知α是第三象限角，化简：．【解答】解：===cosα．18．（10分）已知（1）求tanα的值（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴=，解得．（2）====．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，b=5，求sinBsinC的值；（3）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．因为0＜A＜π，所以A=；（2）根据题意，S=bcsinA=bc=5，即bc=20，又由b=5，则c=4；由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=，又由正弦定理得===2，sinB=，sinC=，sinBsinC=×=；（3）根据题意，周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）A=，则有1=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即b2+c2=bc+1，∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（）2，解可得b+c≤2，又由b+c＞a=1，即1＜b+c≤2，故有2＜l≤3，△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．20．（10分）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA 按米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，请说明理由．第11页（共13页）【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，OC=SCtan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）∵cos∠MOS=﹣cos∠NOS∴=﹣，于是得SM2+SN2=26从而cos∠MSN=≥=，∵∠MSN为锐角，∴∠MSN最大值为arccos，21．（12分）已知a＜0，函数，其中．（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g （t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）设a=﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由，第12页（共13页）得t2=1+sinx+1﹣sinx+2=2+2cosx ∵∴cosx∈[0，1]，故t∈[，2]，由上得cosx=，f（x）表示为t的函数g（t），g（t）=，（t）；（2）由（1）得，g（t）=，（t）二次函数g（t）的对称轴是t=﹣＞0，①当﹣＞2，即﹣＜a＜0时，g（t）mnx=g（2）=a+2；②当﹣，即a时，g（t）mnx=g （）=；③当，﹣≤a ≤﹣时，g（t）mnx=g （﹣）=f（x）mnx =（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．a=﹣1时，g（t）=﹣+t+1，g（t）mnx=g（1）=，g（t）min=g（2）=1在区间内f（x）max =，f（x）min=1，（|f（x1）﹣f（x2）|）max=f（x）max﹣f（x）min=1，m ≥实数m的取值范围：[，+∞）．第13页（共13页）。

上海市上海中学2015学年高一数学第二学期期中考试试卷

第 - 1 - 页共 4 页上海市上海中学2016学年第二学期高一年级数学学科期中考试卷考试时间： 90 分钟满分：120分题号一二 21 22 23 24 25 总分得分一、填空题（有10小题，每小题4分，共计40分）1、函数24+=x y 的反函数为；2、函数)6(log 252x x y --=的定义域为；3、若a ＞0且a ≠1，则函数y =log a (x -1)-1的图像一定过点；4、对数log 4x （9x -2）的值恒为正数，则x 的取值范围为____________ ；5、方程016264x =-⨯-x的解为； 6、半径为r 的圆内有一条弦AB ，长度为2r ,则弦AB 所对的弧长等于；7、点P （)0)(3,2<-a a a 是角α终边上的一点，则sin α的值为；8、若数列：12+22+32+42+••••••+n2 = 6)12)(1(++n n n 则：数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，••••••••••••••• 的前100项的和是 . 9、已知2sin cos 5cos 2sin 4=--αααα，则αααα22cos 2cos sin 4sin 7-+的值为； 10、一元二次方程02)32(2=-+-+m x m mx 的两根为)(tan ,tan ,tan βαβα+则的最小值为；二、选择题（有10小题，每小题4分，共计40分）11、下列各角与1200角终边重合的是（）A 65πB -32πC - 65πD -34π 12、若-)cos ,cot ,02αααπ则（<<在（）密封线内不要题答。

上海浦东区2015年度-2016年度学年度高一第二学期期中联考数学试题和规范标准答案

2016学年度上海市重点中学高一数学联考试题（满分100分考试时间90分钟） 1．求值：52log 35________.+=2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为。

12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan ____________.α=二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（）A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)baN a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）4个（D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18.（每小题各4分，满分8分）已知tan 2α=-，求下列各式的值. （1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2016学年度第二学期高一数学联考试题参考答案（满分100分考试时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分） 1．求值：52log 35+= 752. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是43π 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a+. 6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1-8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞U10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,312. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan α=4330433t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ C ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)ba N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）（A ）1个（B ）2个（C ）4个（D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+解：954(32)xx-=-————————2分()234330x x -⋅+=———————2分313xx==或301x x ∴==或——————————2分经检验0x =是增根，舍去—————1分 ∴原方程的解是1x =————————1分18.（每小题各4分，满分8分）已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分（2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分=12---------分 =224tan 31tan 1αα+--------+分 =1915---------分（不同解法相应给分） 19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<Qcos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------2分（不同解法相应给分）20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分）已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）. 解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分281313232r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分233αα∴==圆心角或----------------------------------1分（2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭-------------------2分当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分 max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分（其他方法相应给分）21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==----Q ----------2分对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U --------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--Q 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（4）123x a a <<-∴>Q()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,log 1,410,22a a f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。

15学年高一年级下学期期中考试数学试题(附答案)

2014-2015学年度第二学期中联考试题高一数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （） A. 输出a=10 B. 赋值a=10 C. 判断a=10 D. 输入a=12. 0600cos 的值为（）A.23 B.23- C.21 D 21- 3. 一个扇形的圆心角为︒120，半径为3，则此扇形的面积为（） A.π B.45πC. 33π D.2932π 4．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数是（） A ．15,16,19 B ．15,17,18 C ．14,17,19 D ．14,16,205.某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则这射手在一次射击中不够9环的概率是（）A.0.48B.0.52C.0.71D.0.296.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．3 7.将二进制数10001(2)化为十进制数为（）A ．17B ．18C ．16D ．19 8．设角θ的终边经过点P （-3，4），那么sin θ+2cos θ=（）A ．15 B ．15- C ．25- D ．259.已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是( )A. 函数)(x f 的最小正周期为2πB. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数10．函数)20)(sin()(πϕϕω<>+=，A x A x f 其中的图象如图所示，为了得到xx g 2sin )(=的图象，则只需将)(x f 的图象（）A.向右平移6π个长度单位B.向右平移3π个长度单位C.向左平移6π个长度单位D.向左平移3π个长度单位11.函数()1f x kx =+,实数k 随机选自区间[－2,１].对[0,1],()0x f x ∀∈≥的概率是（） A ．13B ．12C ．23D ．3412．定义在R 上的函数()f x ，既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）Ａ．12-Ｃ．Ｄ．12第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13..图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________ .08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14.．函数tan()3y x π=-的单调递减区间为15．已知正边形ABCD 边长为2，在正边形ABCD 内随机取一点P ，则点P 满足||1PA ≤的概率是16．已知sin (0),()(1)1(0),x x f x f x x π⎧=⎨--⎩<> 则111166f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 三．解答题：(本大题共6个小题.共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．（本题满分10分）已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简()fα。

2015-2016年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是．2．（3分）若角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），则cosα=．3．（3分）若扇形的中心角，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为．4．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第象限．5．（3分）已知，且α在第二象限角，则tanα=．6．（3分）已知，α在第二象限，则=．7．（3分）求值：=．8．（3分）已知sin（2x+）=，x∈[，]，则cos2x=．9．（3分）在△ABC中，sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，则角B的最小值是．10．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，则B=．11．（3分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（3分）如果满足B=45°，AC=10，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是．二、选择题13．（3分）“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）等于（）A．cos2B．﹣cos2C．cos D．﹣cos15．（3分）△ABC中，三边长分别为、、，且x2+y2=z2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断16．（3分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，a＞b＞0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）①存在x∈R+，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边②对一切x∈（﹣∞，1），都有f（x）＞0③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③三、解答题17．已知α为第二象限角，化简．18．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求t an2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）＞0对任意x∈R恒成立，且对任意实数x1，x2，有lg[g（x1+x2）]＜lg[g（x1）]+lg[g （x2）]，则称为“对数V形函数”．（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论．21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]=﹣c4+2（a2+b2）c2﹣（a2﹣b2）2=﹣[c2﹣（a2+b2）]2+4a2b2而﹣[c2﹣（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．（注：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）2015-2016学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．【解答】解：由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=2．（3分）若角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），则cosα=±．【解答】解：∵角α的终边上一点P（﹣3a，4a）（a≠0），∴x=﹣3a，y=4a，当a＞0时，r=|OP|=5a，则cosα==﹣，当a＜0时，r=|OP|=﹣5a，则cosα==，故答案为：．3．（3分）若扇形的中心角，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为20：3．【解答】解：设扇形的半径为R，内切圆半径为r，∵扇形的中心角，∴R﹣r=2r，∴3r=R，∴扇形的面积==内切圆面积为πr2∴扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2：3．故答案为：2：3．4．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．【解答】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．5．（3分）已知，且α在第二象限角，则tanα=．【解答】解：∵=sinα，且α在第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==．故答案为：．6．（3分）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．7．（3分）求值：=．【解答】解：∵tan60°=tan[θ+（60°﹣θ）]==，∴tanθ+tan（60°﹣θ）=﹣tanθtan（60°﹣θ），∴=﹣tanθtan（60°﹣θ）+ tanθtan（60°﹣θ）=，故答案为：．8．（3分）已知sin（2x+）=，x∈[，]，则cos2x=．【解答】解：∵x∈[，]，∴2x+∈[，]．∵sin（2x+）=，∴cos（2x+）=﹣，∴cos2x=cos[（2x+）﹣]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=﹣×+=，故答案为：．9．（3分）在△ABC中，sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，则角B的最小值是．【解答】解：∵sin2B+sinAsinC≥sin2A+sin2C，∴由正弦定理，可得：b2+ac≥a2+c2，∴a2+c2﹣b2≤ac，∴cosB=≤=，∵B∈（0，π），y=cosB在（0，π）是单调递减的，∴角B的最小值是．故答案为：．10．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，则B=．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．11．（3分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（3分）如果满足B=45°，AC=10，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是0＜k≤10或k=10．【解答】解：△ABC中，B=45°，AC=10，BC=k，∴高CD=BCsin45°=k，当AC=CD=k=10，即k=10时，△ABC只有一个；当AC≥BC，即10≥k时，∴0＜k≤10时，△ABC只有一个；∴满足条件的k的取值范围是0＜k≤10或k=10．故答案为：0＜k≤10或k=10．二、选择题13．（3分）“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sin（x+θ）=cosx，则θ=+2kπ，即k∈Z，当k=0时，θ=，则“θ=”是“sin（x+θ）=cosx”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）等于（）A．cos2B．﹣cos2C．cos D．﹣cos【解答】解：==|cos2|=﹣cos2．故选：B．15．（3分）△ABC中，三边长分别为、、，且x2+y2=z2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断【解答】解：由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为θ，∵由已知可得：x2+y2=z2，可得：z=≥，（当且仅当x=y时等号成立），又∵x+y≥2，（当且仅当x=y时等号成立），∴由余弦定理可得：cosθ==≥=1﹣＞0，∴θ为锐角．故选：A．16．（3分）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，a＞b＞0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）①存在x∈R+，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边②对一切x∈（﹣∞，1），都有f（x）＞0③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：在①中，令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16却不能构成三角形，故①正确．在②中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=a x+b x﹣c x=cx[（）x+（）x﹣1]＞cx（﹣1）=cx•＞0，故②正确．在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故选：D．三、解答题17．已知α为第二象限角，化简．【解答】解：∵α为第二象限角，∴原式=．18．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…（2分）∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（6分）（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…（8分）又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===；…（10分）由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=．…（13分）19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．20．若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）＜f（x1）+f （x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）＞0对任意x∈R恒成立，且对任意实数x1，x2，有lg[g（x1+x2）]＜lg[g（x1）]+lg[g （x2）]，则称为“对数V形函数”．（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2，∴，，当x1、x2同号时，，不满足f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∴函数f（x）=x2不是“V形函数”；（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，∴a≥0，根据题意，g（x1+x2）＜g（x1）•g（x2）恒成立，即，去括号整理得，∴a≥1；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，则f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∵f（x1）＞2，∴f（x1）﹣1＞1，同理f（x2）﹣1＞1，∴[f（x1）﹣1][f（x2）﹣1]＞1，去括号整理得f（x1）f（x2）＞f（x1）+f（x2），∴f（x1+x2）＜f（x1）f（x2），即lg[f（x1+x2）]＜lg[f（x1）]+lg[f（x2）]，是“对数V形函数”．21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]=﹣c4+2（a2+b2）c2﹣（a2﹣b2）2=﹣[c2﹣（a2+b2）]2+4a2b2而﹣[c2﹣（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．（注：16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）【解答】解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12﹣x，斜边长为y，则，∴两直角边长为6时，周长p的最小值为．（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为，则周长p=，∴，即．又S=，∴为．（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（﹣a+b+c）=[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b﹣c）2]=﹣a4+2（b2+c2）a2﹣（b2﹣c2）2 =﹣[a2﹣（b2+c2）]2+4b2c2而﹣[a2﹣（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16，其中等号成立的条件是a2=b2+c2，b=8，c=4，则．∴当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．（另解：）。

上海市2015_2016学年高一数学下学期期中试题(含答案)

上海市2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1．若2016α=︒，则α在第__________象限．2．已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3．已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4．已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8．设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为第11题___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x……………………………… ( )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=．（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．（1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．C第19题（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟满分：100分命题人：刘雪孝审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1．若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2．已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3．已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4．已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x ……………………………… ( C )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=．（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分（2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(min -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．（1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分（2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．解：（1）因为c o s ADB ∠=，所以sin ADB ∠=第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………6分（2）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tan θ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]．即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sin θ+cos θ=t ，则 sin θcos θ=，由于θ∈[，]，∴sin θ+cos θ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。

2014-2015年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第象限．2．（3分）若cosα=﹣，且α∈（0，π），则tanα=．3．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．4．（3分）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=．5．（3分）把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式．6．（3分）若≤α≤，则+=．7．（3分）函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为．8．（3分）函数（x∈R）的最小值为．9．（3分）已知，，，则的值=．10．（3分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．11．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∠A=60°，．则c+2b的最大值为．12．（3分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则函数h（t）的最大值是．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）若α为第一象限角，则为（）A．第一象限的角B．第一或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第四象限的角14．（3分）若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=m，且β为钝角，则c osβ的值为（）A．B．C．D．15．（3分）若满足∠A=30°，BC=10的△ABC恰好有不同的两个，则边AB长的取值范围为（）A．（5，10）B．（10，20）C．[20，+∞）D．（5，10）∪[20，+∞）16．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（）（1）cosα＞sinβ（2）（3）cosα+cosβ＞1（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．（8分）已知α是第三象限角，化简：．18．（10分）已知（1）求tanα的值（2）求的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，b=5，求sinBsinC的值；（3）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．20．（10分）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知a＜0，函数，其中．（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g （t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）设a=﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．【解答】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．2．（3分）若cosα=﹣，且α∈（0，π），则tanα=．【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（0，π），∴sinα==．则tanα==．故答案为：．3．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α•r=2×=，故答案为．4．（3分）若sin（π+x）+cos（π+x）=，则sin2x=．【解答】解：∵，∴，平方得，∴．故答案为：．5．（3分）把化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式2sin（2x+）．【解答】解：==sin2x﹣cos2x=2×=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=2sin（2x+）．故答案为：2sin（2x+）．6．（3分）若≤α≤，则+=．【解答】解：由题意，令+=W，（W≥0）可得1+sinα+1﹣sinα+=W2，有：2+|cosα|=W2，∵≤α≤，∴|cosα|=﹣cosα，故得W=，故答案为：．7．（3分）函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为．【解答】解：函数f（x）=sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．8．（3分）函数（x∈R）的最小值为0．【解答】解：∵∴=2cos（）cos（）=1+cos（2x+）≥0故答案为：09．（3分）已知，，，则的值=﹣．【解答】解：∵α，β∈（，π），∴α+β∈（，2π），β﹣∈（，），∵sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，∴cos（α+β）==，cos（β﹣）=﹣；∴sin（α+）=sin[（α+β）﹣（β﹣）]=sin（α+β）cos（β﹣）﹣cos（α+β）sin（β﹣）=﹣×（﹣）﹣×=﹣．故答案为：﹣．10．（3分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．11．（3分）已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，∠A=60°，．则c+2b的最大值为2．【解答】解：令c+2b=t，则c=t﹣2b，∴cosA===，整理得7b2﹣5tb+t2﹣3=0，要使方程有根，则△=25t2﹣28（t2﹣3）≥0，解得t≤2，当t=2时，求得方程有一个根大于0，符合．∴t最大值为2．故答案为：2．12．（3分）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则函数h（t）的最大值是2．【解答】解：A t={y|y=f（x），表示函数f（x）的值域，点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}的含义为：表示以P点为圆心，为半径的圆及其内部函数y=sin的图象上所有的点的纵坐标的集合，∵f（﹣2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（﹣1）=﹣1，设O（0，0），A（1，1），B（2，0），则AO=AB=，∴M t=，k∈Z，其中，x0是最高点Q的横坐标，同理，m t=，k∈Z．其中x1是最低点Q的横坐标．∴函数h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），故答案为：2．二、选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）若α为第一象限角，则为（）A．第一象限的角B．第一或第四象限的角C．第一或第三象限的角D．第二或第四象限的角【解答】解：∵α是第一象限角，则，k∈Z，kπ，k∈Z，则为第一或第三象限的角，故选：C．14．（3分）若sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=m，且β为钝角，则cosβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=sin（α﹣α+β）=sinβ=m，∵β为钝角，∴cosβ=﹣．故选：D．15．（3分）若满足∠A=30°，BC=10的△ABC恰好有不同的两个，则边AB长的取值范围为（）A．（5，10）B．（10，20）C．[20，+∞）D．（5，10）∪[20，+∞）【解答】解：如图，要使△ABC恰好有不同的两个，则ABsin300＜BC＜AB⇒10＜AB＜20．故选：B．16．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（）（1）cosα＞sinβ（2）（3）cosα+cosβ＞1（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于（1），∵α+β＜90°，∴00＜β＜90°﹣α＜90°⇒sinβ＜sin（90°﹣α）=cosα，正确；对于（2），∵α+β＜90°，∴00＜β＜90°﹣α＜90°⇒sinβ＜sin（90°﹣α）∴sinα+sinβ＜sinα+sin（90°﹣α）=sinα+cosα=sin（α+45°）≤，即sinα+sinβ＜成立；正确；对于（3），cosα+cosβ＞cosα+cos（90°﹣α）=cosα+sinα=sin（α+45°）而00＜α＜90°⇒45°＜α+45°＜135°⇒sin（α+45°）＞⇒cosα+cosβ＞sin（α+45°）＞1，故正确；对于（4），举个例子，假如α=30°，β=30°，则×tan（α+β）=×tan60°=×=；而tan=tan30°=比小，故等式不成立．即不成立．故选：C．三、解答题（8分+10分+12分+10分+12分）17．（8分）已知α是第三象限角，化简：．【解答】解：===cosα．18．（10分）已知（1）求tanα的值（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴=，解得．（2）====．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，b=5，求sinBsinC的值；（3）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．因为0＜A＜π，所以A=；（2）根据题意，S=bcsinA=bc=5，即bc=20，又由b=5，则c=4；由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=，又由正弦定理得===2，sinB=，sinC=，sinBsinC=×=；（3）根据题意，周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）A=，则有1=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即b2+c2=bc+1，∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（）2，解可得b+c≤2，又由b+c＞a=1，即1＜b+c≤2，故有2＜l≤3，△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．20．（10分）如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA 按米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，请说明理由．第11页（共13页）【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，OC=SCtan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）∵cos∠MOS=﹣cos∠NOS∴=﹣，于是得SM2+SN2=26从而cos∠MSN=≥=，∵∠MSN为锐角，∴∠MSN最大值为arccos，21．（12分）已知a＜0，函数，其中．（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g （t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）设a=﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由，第12页（共13页）得t2=1+sinx+1﹣sinx+2=2+2cosx ∵∴cosx∈[0，1]，故t∈[，2]，由上得cosx=，f（x）表示为t的函数g（t），g（t）=，（t）；（2）由（1）得，g（t）=，（t）二次函数g（t）的对称轴是t=﹣＞0，①当﹣＞2，即﹣＜a＜0时，g（t）mnx=g（2）=a+2；②当﹣，即a时，g（t）mnx=g （）=；③当，﹣≤a ≤﹣时，g（t）mnx=g （﹣）=f（x）mnx =（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．a=﹣1时，g（t）=﹣+t+1，g（t）mnx=g（1）=，g（t）min=g（2）=1在区间内f（x）max =，f（x）min=1，（|f（x1）﹣f（x2）|）max=f（x）max﹣f（x）min=1，m ≥实数m的取值范围：[，+∞）．第13页（共13页）。

上海市高一数学下学期期中试题

2016学年第二学期高一数学期中测试卷(完卷时间：90分钟,满分：100分）一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1。

已知角的终边经过点，则__ __.2.若在扇形中，圆心角所对弧长等于半径，则这个圆心角的弧度数为。

3。

若则．4.不等式的解集为．5。

已知，，则．6.行列式中元素3的余子式的值是________________.7.函数的单调减区间为________________。

8。

关于x的不等式的解是 ___________.9.计算：10。

已知有意义，实数x的取值范围是 ___________。

11。

已知，则12.关于函数，有下列命题：（1）函数的图像关于轴对称（2）当时，为增函数；当时,函数为减函数(3）没有最小值,也没有最大值（4)当或时，为增函数其中正确命题的序号是二、选择题（本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分,否则一律得零分.13．“”是“”成立的………（）．充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分又非必要条件14．设，则化简的结果是………（）．15．行列式中，元素的代数余子式的值为___________.……（ )16．给出下列函数：（1）（2）（3）（4）其中为奇函数的是………（）.(1）与(2）（2)与（3）（3）与（4）（1）与（3）三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题，写出必要的步骤。

17．(本题满分8分,第(1）小题满分4分，第(2）小题满分4分)已知函数．(1)求函数的定义域；(2）判断的关系，并说明函数图像的特点;解：18．(本题满分10分，第（1)小题满分4分,第(2）小题满分6分）已知（1）求（2)求。

解：19．（本题10分，第(1)小题5分,第(2）小题2分，第（3)小题3分）判断实数m为何值时，二元一次方程组．(1）有唯一解,并求出该解；（2)无解；（3)无穷多解．解：20．（本题10分,第（1)小题4分，第（2)小题6分）(1)把写成形式（2）若有意义，求的取值范围解:21。

建平中学高一期中(2016.04)

建平中学高一数学期中试卷2016.04一. 填空题1. 幂函数()f x 的图像经过点，则()f x 的解析式是2. 若角α的终边上一点(3,4)P a a -（0a ≠），则cos α=3. 若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 4. 已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第象限5. 已知sin()πα-=α为第二象限角，则tan α=6. 已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=7. 求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ︒︒+--=8. 已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = 9. 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 10. ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则B = 11. 已知函数1()()2xf x =，12()log g x x =，记函数()()()()()()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为12. 如果满足45B ︒=，10AC =，BC k =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是二. 选择题 13. “2πθ=”是“sin()cos x x θ+=”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.的值等于（）A. cos 2B. 1cos 2C. cos 2-D. 1cos 2-15. ABC ∆中，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0a b >>，若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（）① 存在x R +∈，使x a 、x b 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ② 对一切(,1)x ∈-∞，都有()0f x >③ 若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③三. 解答题17. 已知α；18. 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求：（1）tan 2α；（2）cos β；19. 如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA km =，2DB km =，AB 两端之间的距离为6km ；（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置；20. 若函数()f x 定义域为R ，且对任意实数1x 、2x ，有1212()()()f x x f x f x +<+，则称 ()f x 为“V 形函数”，若函数()g x 定义域为R ，函数()0g x >对任意x R ∈恒成立，且对任意实数1x 、2x ，有1212lg[()]lg[()]lg[()]g x x g x g x +<+，则称为“对数V 形函数”；（1）试判断函数2()f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若1()()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈，有()2f x >，问()f x 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论；21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值；（3）为了研究边长a 、b 、c 满足9843a b c ≥≥≥≥≥≥的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=1()2p a b c =++，三角形面积的海伦公式），∴216()()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++22224222222[()][()]2()()a b c c a b c a b c a b =+---=-++--222222[()]4c a b a b =--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36S ≤，但是，其中等号成立的条件是222c a b =+，9a =，8b =，于是2145c =与34c ≤≤矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值；以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案；建平中学高一数学期中试卷2016.04一. 填空题1. 幂函数()f x的图像经过点，则()f x 的解析式是【解析】()kf x x =，34(3)33k f ==，∴34()f x x = 2. 若角α的终边上一点(3,4)P a a -（0a ≠），则cos α= 【解析】3x a =-，5||r a =，33cos 5||5x a r a α-===± 3. 若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为【解析】设扇形半径为3，结合图像及定理“直角三角形中30︒所对边等于斜边的一半”，可知内切圆半径为1，∴S π=内，9362S ππ==扇，∴:2:3S S =内扇 4. 已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第象限【解析】tan 0α<，在二、四象限，cos 0α<，在二、三象限，综上，在第二象限5.已知sin()5πα-=α为第二象限角，则tan α=【解析】sin()sin 5παα-==，∵α为第二象限角，∴1tan 2α=-6. 已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=【解析】2222sincos2tan3222sin 5sin cos tan 1222ααααααα===++，解得tan 32α=或1tan 23α=，∵α在第二象限，222222cos sin 1tan 4222cos 5cos sin 1tan 222ααααααα--===-++，检验得tan 32α= 7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ︒︒+--=【解析】tan tan(60)tan 60tan(60)1tan tan(60)θθθθθθ︒︒︒︒+-=+-==-⋅-，∴t a n t a n (60)θθ︒+-tan(60)θθ︒=⋅-，即tan tan(60)tan(60)θθθθ︒︒+--8. 已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x =【解析】cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+++=9. 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是【解析】即222b ac a c +≥+，∴2221cos 22a cb B ac +-=≤，∴B 最小值为3π 10. ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则B =【解析】3sin cos 2sin cos A C C A =，∴3tan 2tan A C =，1tan 3A =，∴1tan 2C =，∴tan tan tan tan()tan()1tan tan 1A C B B A C A C π+=--=-+==--，即34B π=11. 已知函数1()()2xf x =，12()log g x x =，记函数()()()()()()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为【解析】由于1()()2xf x =与12()log g x x =互为反函数，∴根据()h x 的定义可知()h x 的图像关于直线y x =对称，()h x 与5y x =-的交点也关于y x =对称，∴零点之和为512. 如果满足45B ︒=，10AC =，BC k =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是【解析】根据正弦定理，10sin sin 45k A ︒=，即k A =，(0,135)A ︒︒∈，结合图像可知，当(0,45]{90}A ︒︒︒∈ 时，一个k 只对应一个A ，∴(0,10]{k ∈二. 选择题 13. “2πθ=”是“sin()cos x x θ+=”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】sin()sin()cos 22x x x ππθθ=⇒+=+=，反之不一定，选A14.的值等于（）A. cos 2B. 1cos 2C. cos 2-D. 1cos 2-cos 2=-，选C15. ABC ∆中，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断【解析】22222()cos 0x y z x y z θ+=⇒+>⇒=>，选A16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0a b >>，若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（）① 存在x R +∈，使x a 、x b 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ② 对一切(,1)x ∈-∞，都有()0f x >③ 若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【解析】①②③均正确，选D三. 解答题17. 已知α；【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-===--18. 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求：（1）tan 2α；（2）cos β；【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=19. 如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA km =，2DB km =，AB 两端之间的距离为6km ；（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置；【解析】（1）张角相等，∴::1:2AP PB CA DB ==，∴2AP =，4PB =（2）设AQ x =，∴6QB x =-，∴ tan C x =，6tan 2xD -=，tan tan()C D θ=+= 2tan tan 61tan tan 62C D x C D x x ++=--+，设6t x =+，(0,6)x ∈，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈，∴1tan (,(3,)7418t tθ=∈-∞+∞+-，(arctan 3,θπ∈-，当且仅当t =6x =，即6AQ20. 若函数()f x 定义域为R ，且对任意实数1x 、2x ，有1212()()()f x x f x f x +<+，则称()f x 为“V 形函数”，若函数()g x 定义域为R ，函数()0g x >对任意x R ∈恒成立，且对任意实数1x 、2x ，有1212lg[()]lg[()]lg[()]g x x g x g x +<+，则称为“对数V 形函数”；（1）试判断函数2()f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若1()()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈，有()2f x >，问()f x 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论；【解析】（1）21212()()f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时， 2221212()x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x +<+，∴不是“V 形函数” （2）1()()02xg x a =+>恒成立，∴0a ≥，根据题意，1212()()()g x x g x g x +<⋅恒成立，即1212111()[()][()]222x x x x a a a ++<++，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1212()()()f x x f x f x +<+，∵1()2f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x >+，∴1212()()()f x x f x f x +<，1212lg[()]lg[()]lg[()]f x x f x f x +<+，是“对数V 形函数”21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值；（3）为了研究边长a 、b 、c 满足9843a b c ≥≥≥≥≥≥的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=1()2p a b c =++，三角形面积的海伦公式），∴216()()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++22224222222[()][()]2()()a b c c a b c a b c a b =+---=-++--222222[()]4c a b a b =--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36S ≤，但是，其中等号成立的条件是222c a b =+，9a =，8b =，于是2145c =与34c ≤≤矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值；以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案；【解析】（1）设两直角边为a 、b ==∴12p a b =+++12+（2）设夹α的两边为a 、b ，则第三边p a b --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴33)0p p ≥，∵3)0p <，∴30p ≤，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p（3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即21641664S ≤⨯⨯，16S ≤，此时22280a b c =+=，a =16。