第七章方差分析法
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第七章方差分析与F检验
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第七章 方差分析
第七章方差分析
1、从三个总体中各抽取容量不同的样本数据，得到数据见下表。
检验3个总体的均值之间是否有显著差异？(α=0.01)
2三个电池生产企业愿意供货，为比较它们生产的电池质量，从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（小时）数据见下表。
试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异？ (α=0.05)
3、某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。
通过对每个工人生产的产品数进行方差分析得到下面的结果：
（1）完成上面的方差分析表。
（2）检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异？(α=0.05)
4、有5种不同品种的种子和4种不同的施肥方案，在20快同样面积的土地上，分别采用5种种子和4种施肥方案搭配进行试验，取得的收获量数据见下表。
检验种子的不同品种对收获量的影响是否有显著差异？不同的施肥方案对收获量的影响是否有显著差异？(α=0.05)
5、为研究食品的包装和销售地区对其销售量是否有影响，在某周的三个不同地区中用三种不同包装方法进行销售，获得的销售量数据见下表。
(α=0.05)
检验不同的地区和不同的包装方法对该食品的销售量是否有显著影响？
6、为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获得的销售量数据见下表。
(α=0.05)
检验广告方案、广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显著？。
第七章 1单因素方差分析
j 1
s
s
因为
nj [ nj ( X j X )] nj ( X j X )
j1
j1
s nj
Xij nX 0
j1 i1
所以 SA 的自由度为s 1.
SA与SE独立 , H0为真时,
S
A 2
～
2
(
s
1).
四、假设检验问题的拒绝域
检验假设 H1 : 1 2 s 0,
H0 :
1,
2,
,
不全为零
s
.
构造检验统计量 因为H0为真时,
F SA (s 1) . SE (n s)
S
E2～
2
(n
s
),
S
A2～
2
(
s
1),
SA (s 1) SA 2
SE (n s) (s 1)
SE 2 ～F (s 1, n s).
j1 i1
s
nj
2 ( X j X )[ ( Xij X j )]
j 1
i 1
s
nj
2 ( X j X )[ Xij nj X j ]
j 1
i 1
0
于是ST可分解为 ST SE SA，
s nj
其中 SE
( Xij X j )2
X n11
A2
X12 X 22
X n2 2
T1
T2
X 1
X2
1
2
As
X1s
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
第七章 方差分析
第三节 平均数的多重比较
F检验是一种整体性检验，当经方差分析鉴别 多个正态总体的平均数有显著时，并不能说明 各组水平之间都存在显著差异，只是说至少有 一对差异显著，究竟哪些均数差异显著，哪些 差异不显著，则还需进行均数的多重比较。
一、图凯法
是一种能将所有各对平均值同时比较的方法。 设因素A分成两组，每组有相等的含量，并经
第二节 单因素方差分析
概念
观察的因素只有一个的实验叫单因素实验。对 此种实验结果进行方差分析的方法叫单因素方 差分析。
单因素方差分析所讨论的是k个总体标准差皆 相等的条件下，解决k个总体平均数是否相等 的问题。
一、计算步骤（见P140~142）
１、依据表中数据,计算各组内的 x,x2, xi,n ２、然后计算 x,x2,n, 并令
过方差分析判别各组之间存在显著性差异，为 了比较两者之间差异显著性，可按下式计算T
值： T QS x
其中Q值按预先确定的α水平，组数K和组内 自由度（N－k）查附表获得。
任何一对平均值之差，只要超过T值，就表明 这一对平均值之间的差别是显著的。
图凯法要求所有的样本含量都相等。
例题：P147~148 当各组被试不相等时，可采用S法检验进行两
X x, X 2 x2, N n
３、计算离差平方和：（总离差平方和、组间 离差平方和和组内离差平方和）
４、计算方差：（组间方差和组内方差） ５、计算F值
二、方差分析的计算
见课本P142~143
方差分析计算的两种情况：
当样本含量相等时：
当样本含量不等时： 例题7.2，P144~146
二、实验误差与条件误差
在方差分析的试验中，即使各水平的试验条件 完全相同，但由于随机抽样或试验过程中随机 因素的影响，其试验结果（指标）仍然会存在 偏差，我们称这种偏差为试验误差或随机误差。
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
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三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
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第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
第七章方差分析法
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24
单因素方差分析的数据结构
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25
试验数据变异原因（误差来源）分析
同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素
和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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2
学习内容
第一节 方差分析简介
常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想
分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析
有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
7.1.1 方差分析中的基本概念 7.1.2 方差分析中的基本假设与检验
i= 1 j= 1
邋k
=
n 轾 犏 臌(xi.- x..)2 + 2(xi.- x..)(xij - xi.) + (xij - xi.)2
i= 1 j= 1
邋 邋 ? k
k
n
kn
= n (xi.- x..)2 + 2 [(xi.- x..) (xij - xi.)] +
(xij - xi.)2
i= 1
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22
7.2. 单因素方差分析
7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析ppt课件
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13
4、各种方差、F值的计算：
各种方差的计算： （1）组间方差：
s
2 A
SS A df A
（2）组内方差：
s
2 e
SS e df e
F检验及其实质： F
s
2 A
s
2 e
本质差异
＝ —————
试验误差
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14
第二节 单方面分类的方差分析
例：整地深度（A,cm）对比试验，试分析不同的 整地深度对苗木的高生长有否显著的影响？
5*5拉丁方设计
D BC A E E DACB A CBED B AEDC C EDBA
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20
第二节 三方面分类的方差分析
分析造成差异的原因？ 1、横行间 2、直行间 3、处理间（类间） 4、机误
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21
第二节 三方面分类的方差分析
三方面分类的方差分析：
SS总=SS横行间+SS直行间+ SS类间+SS误差 即
小：0.05
结论的可靠性
低：统计量的自由 高：统计量的自由度大 度小（df =18） （df =45）
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3
第一节 方差分析的基本原理
二、方差分析的种类：
1、单因子试验的方差分析 （1）单方面分类的方差分析----完全随机排列、成组法等 （2）双方面分类的方差分析----随机区组设计、配对法等 （3）三方面分类的方差分析----拉丁方设计 2、复因子试验的方差分析 （1）无交互作用的方差分析 （2）有交互作用的方差分析
d
m
LS 0.0D 5t0.05 sd
LS 0.0D 1 t0.01 sd
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
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2013-9-5 版权所有 BY 统计学课程组 27
方差分析的实质与分析目的
方差分析的实质：观测值变异原因的数量分析。 方差分析的目的：系统中是否存在显著性影响 因素
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28
7.2.1 单因素方差分析模型（1）
单因素方差分析: 模型中有一个自变量（因素）和一 个因变量。 在失业保险实验中，假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 + 随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
第七章
方差分析13-9-5 版权所有 BY 统计学课程组 1
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
2013-9-5
7.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
2013-9-5
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19
（1）正态性的检验
各组数据的直方图 Q-Q图， K-S检验*
奖金水平 1
2013-9-5
7.2. 单因素方差分析
7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
2013-9-5
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23
7.2.1 单因素方差分析模型
2013-9-5
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2013-9-5 版权所有 BY 统计学课程组 11
ANOVA (analysis of variance)
由于方差分析法是通过比较有关方差的大小而 得到结论的，所以在统计中，常常把运用方差 分析法的活动称为方差分析。 方差分析的内容很广泛，既涉及到实验设计的 模式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。 本章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模 型方差分析的基本原理与方法，重点介绍单因 素方差分析及两因素方差分析的内容。
2013-9-5
7.1.1 ：固定效应与随机效应模型 为便于理解，在单因素方差分析中，将因 A 素 A 的任何一个水平（处理） i i 1,2,, k 看作是一个总体，该水平（处理）下试验 得到的数据可看成是从总体 Ai 中抽出的 一个样本，处理的重复数即为样本容量。
2013-9-5
21
版权所有 BY 统计学课程组
(3) 其它说明
方差分析对前两个假设条件是稳健的，允许一 定程度的偏离。
独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集过 程的控制来保证。 如果确实严重偏离了前两个假设条件，则需要 先对数据进行数学变换，也可以使用非参数的 方法来比较各组的均值。
版权所有 BY 统计学课程组 22
2013-9-5
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10
方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA）的主要目 的是通过对方差的比较来同时检验多个均值之间差异 的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等 价。 20世纪20年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最 早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在 许多学科中得到了广泛应用。
24
单因素方差分析的数据结构
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25
试验数据变异原因（误差来源）分析
同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素 和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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26
2013-9-5
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17
方差分析与回归分析的联系*
回归分析主要用来研究定量自变量和定量因变 量之间的关系（第八章学习）。 回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的 整体显著性。 回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归 模型与方差分析模型是等价的。
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差
2013-9-5
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32
总变差（离差平方和）分解的图示
组间变异
组内变异
总变异
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33
总变差
SST ( xij x)2
i 1 j 1
k
n
组间离差平方和
SSA n ( xi x)
i 1 k 2
固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者 审慎安排而不是随机选择的。
版权所有 BY 统计学课程组 16
2013-9-5
7.1.1 ：随机效应模型
若只对因素 A 的部分水平（处理）做试验，相 当于对 A 进行了抽样调查，此种情形下，方差 分析目的在于：对因素 A 的总体变量所服从的 2 N , A 进行差异性检验和参数估计，即样 分布 本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。 随机效应模型：因素的水平是从多个可能的水平 中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设臵和参数估 计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。
2013-9-5 版权所有 BY 统计学课程组 7
各个总体的均值相等吗？
f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
2013-9-5 版权所有 BY 统计学课程组
X
8
失业保险案例：实验结果……
110 100 90 80 70 1 2 3 4
失 业 时 间
奖金水平
1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根据实验 结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？
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研究方法：两样本的t检验？
如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显 著性检验 ，会出现如下问题：
全部检验过程烦琐，做法不经济 无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低 犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降 低
82
68 72
6
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要研究的问题
总体1，μ1 （奖金=1） 总体2，μ2 （奖金=2） 总体3，μ3 （奖金=3） 总体4，μ4 （奖金=4）
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
H 0 : 1 2 3 4 ??
X ij i ij i ij
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7.2.1 单因素方差分析模型（2）
ì x = m+ a + e i = 1,2, , k ; j = 1,2, , n (可加性假定) ï ij ï i ij ï ï k ï ï a = 0 约束条件 ( ) íå i ï i= 1 ï ï ï e 相互独立，且均服从N 0,s 2 ï ij ( ) (独立性、正态性、方差齐性假定) ï î
2013-9-5
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2
学习内容
第一节 方差分析简介 常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想 分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析 有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
4
2
3
4
Frequency
3 2 1 0
60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110
失业时间
失业时间
失业时间
失业时间
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（2）等方差性的检验
实验数据误差类型
随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一奖金水平下不同不同人的失业时间是不同的 这种差异可以看成是随机因素影响的结果，称为随机误
差
系统误差
因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同奖金水平之间的失业时间之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是 由于奖金本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性 因素造成的，称为系统误差
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个 或多个定性自变量的关系
只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分 析。 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为 多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素 方差分析。
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变量， 例如失业持续时间。因变量也称试验指标，其 不同的取值常称为观察值或试验数据。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组 以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称 为因素的水平。
方差分析的实质与分析目的
方差分析的实质：观测值变异原因的数量分析。 方差分析的目的：系统中是否存在显著性影响 因素
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7.2.1 单因素方差分析模型（1）
单因素方差分析: 模型中有一个自变量（因素）和一 个因变量。 在失业保险实验中，假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 + 随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
第七章
方差分析13-9-5 版权所有 BY 统计学课程组 1
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
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7.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
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（1）正态性的检验
各组数据的直方图 Q-Q图， K-S检验*
奖金水平 1
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7.2. 单因素方差分析
7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
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7.2.1 单因素方差分析模型
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ANOVA (analysis of variance)
由于方差分析法是通过比较有关方差的大小而 得到结论的，所以在统计中，常常把运用方差 分析法的活动称为方差分析。 方差分析的内容很广泛，既涉及到实验设计的 模式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。 本章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模 型方差分析的基本原理与方法，重点介绍单因 素方差分析及两因素方差分析的内容。
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7.1.1 ：固定效应与随机效应模型 为便于理解，在单因素方差分析中，将因 A 素 A 的任何一个水平（处理） i i 1,2,, k 看作是一个总体，该水平（处理）下试验 得到的数据可看成是从总体 Ai 中抽出的 一个样本，处理的重复数即为样本容量。
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(3) 其它说明
方差分析对前两个假设条件是稳健的，允许一 定程度的偏离。
独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集过 程的控制来保证。 如果确实严重偏离了前两个假设条件，则需要 先对数据进行数学变换，也可以使用非参数的 方法来比较各组的均值。
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方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA）的主要目 的是通过对方差的比较来同时检验多个均值之间差异 的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等 价。 20世纪20年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最 早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在 许多学科中得到了广泛应用。
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单因素方差分析的数据结构
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试验数据变异原因（误差来源）分析
同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素 和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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方差分析与回归分析的联系*
回归分析主要用来研究定量自变量和定量因变 量之间的关系（第八章学习）。 回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的 整体显著性。 回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归 模型与方差分析模型是等价的。
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差
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总变差（离差平方和）分解的图示
组间变异
组内变异
总变异
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总变差
SST ( xij x)2
i 1 j 1
k
n
组间离差平方和
SSA n ( xi x)
i 1 k 2
固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者 审慎安排而不是随机选择的。
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7.1.1 ：随机效应模型
若只对因素 A 的部分水平（处理）做试验，相 当于对 A 进行了抽样调查，此种情形下，方差 分析目的在于：对因素 A 的总体变量所服从的 2 N , A 进行差异性检验和参数估计，即样 分布 本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。 随机效应模型：因素的水平是从多个可能的水平 中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设臵和参数估 计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。
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各个总体的均值相等吗？
f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
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X
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失业保险案例：实验结果……
110 100 90 80 70 1 2 3 4
失 业 时 间
奖金水平
1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根据实验 结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？
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研究方法：两样本的t检验？
如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显 著性检验 ，会出现如下问题：
全部检验过程烦琐，做法不经济 无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低 犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降 低
82
68 72
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要研究的问题
总体1，μ1 （奖金=1） 总体2，μ2 （奖金=2） 总体3，μ3 （奖金=3） 总体4，μ4 （奖金=4）
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
H 0 : 1 2 3 4 ??
X ij i ij i ij
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7.2.1 单因素方差分析模型（2）
ì x = m+ a + e i = 1,2, , k ; j = 1,2, , n (可加性假定) ï ij ï i ij ï ï k ï ï a = 0 约束条件 ( ) íå i ï i= 1 ï ï ï e 相互独立，且均服从N 0,s 2 ï ij ( ) (独立性、正态性、方差齐性假定) ï î
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学习内容
第一节 方差分析简介 常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想 分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析 有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
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失业时间
失业时间
失业时间
失业时间
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（2）等方差性的检验
实验数据误差类型
随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一奖金水平下不同不同人的失业时间是不同的 这种差异可以看成是随机因素影响的结果，称为随机误
差
系统误差
因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同奖金水平之间的失业时间之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是 由于奖金本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性 因素造成的，称为系统误差
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个 或多个定性自变量的关系
只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分 析。 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为 多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素 方差分析。
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变量， 例如失业持续时间。因变量也称试验指标，其 不同的取值常称为观察值或试验数据。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组 以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称 为因素的水平。