2010-2011海淀区高三期末考试理科数学答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDDCABDC第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 5 12． MP N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2c o s 3s i n2s i n 3c o s2c o s -+=ππ.......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62s i n (π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分 ]1,21()62s i n (-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(-. .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62s i n (=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0 ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b acos 2222-+= ，.....................................10分 把73a b ==，代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ，故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯. ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分36.3> ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为ξ24p11001810081100.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：.......................................5分3E η∴=， .......................................6分 ηξE E > ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C = ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分 则：12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ） 棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，1A O BD ∴⊥ . .......................................2分又1AC A O O = ，1,AC A O ⊂平面11ACC A ，⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分ABC1B 1C 1A DF1D O⊂1AA 平面11ACC A ，∴ BD ⊥1A A . .......................................4分（Ⅱ）连结1BC四边形ABCD 为菱形，AC BD O =O ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又 点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//O F 平面11BCC B .......................................8分 （III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 侧棱1A A 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,3,AO A O ==在R t A O B ∆中，22413OB AB AO =-=-=得1(1,0,0),(0,3),(0,3,0),(0,3,0)A A D B ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n = ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴00111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=AD AA11113030x z x ⎧-+=⎪∴⎨--=⎪⎩可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又 B D ⊥平面11ACC A所以，平面11A AC C 的法向量为23,0)n OB ==.......................................12分55353,cos 212121-=⋅-=>=<∴n n n n ,二面角D —1A A —C 为锐角，故二面角D —1A A —C 的余弦值是55 . ....................................14分18. （共13分） 解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分 （I ）由题意可得13(1)24a f -'==-，解得3a =， ....................................3分因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln 24)2(1)y x --=--， 即2ln 22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分 （II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ，由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分① 即12a =时，12120x x a=-==.所以,2'2()0,(1,)2(1)xf x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a -<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a--和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得：当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞；当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2p x =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p p M F =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. ......................................3分（Ⅱ）联立2124y x by x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=. 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分 又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-=+-=+-+. 所以 ||25(6432)8A B r b ==+=， .........................................7分 解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-.故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分方法二：联立2124y x b y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-，因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44AB x x y y x x x x x x b =-+-=+-+-+ ，又||28AB r ==5(6432)8b +=， .............................................7分 解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-.故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分（Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离55d ==， .................................................11分所以321||422222AOB S AB d b b b∆==-+=+ ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()3g b b b b b '=+=+， b4(2,)3--43-4(,0)3-()g b ' ＋ 0 － ()g b极大由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，A O B ∆3239. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000， 不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000． 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉ .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈ , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S = 时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ，都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。