人教A版高中数学必修五第一轮复习强化训练等比数列新人教

5.3等比数列【考纲要求】1、理解等差数列、等比数列的概念.2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 【基础知识】1、等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的商都等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数q 就叫做这个数列的公差。

即1(2,,0)nn a q n n N q a *-=≥∈≠ 2、等比中项若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做,a b 的等比中项。

两个实数,a b 的等比中项有两个，就是这两个数的算数平均数 3、等比数列的性质①等比数列的通项公式： 111(0)n n m n m a a q a q a q --==≠②其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩③等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项。

④ 等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即232,,n nn n n S S S S S --成等比数列。

4、等比数列性质的判断和证明 方法一：定义法，1(2,)nn a q n n N a *-=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列方法二：中项法， 211(2,)n n n a a a n n N *-+=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列5、等比数列有5个基本量，1,,,,n n a d n a S ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。

注意要弄准它们的值。

6、三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+，三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++，四个数成等比数列一般设为33,,,a a aq aq q q【例题精讲】例1 等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解： (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋329＝0的两根，解得x ＝13或x ＝323.又0＜q ＜1，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12，从而a n ＝a 6·q n －6＝13·⎝⎛⎭⎫12n －6.(2)令323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝21，得⎝⎛⎭⎫12n ＝164， ∴n ＝6.例2 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++3451212341222222n n n n n T +++=+++++相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-5.3等比数列强化训练【基础精练】1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.33.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)24.等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.105.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)， 第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于 ( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D. 12n －17.等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为8.等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .9.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为 .10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数. (1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值.11.已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列.(1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式.12.在数列{a n }中，a 1＝a ，且a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *)(1)若a 1，a 2，a 3－5成等比数列，求a 的值； (2)求通项公式a n .【拓展提高】1.已知等比数列{a n}的首项为a1＝13，公比q满足q＞0且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)令b n＝log31a n，求1b1b2＋1b2b3＋…＋1b n b n＋1的值．2.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且3a n＋1＋2S n＝3(n为正整数)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S＝a1＋a2＋…＋a n＋…，若对任意正整数n，kS≤S n恒成立，求实数k的最大值．【基础精练参考答案】1.D【解析】当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.2.C【解析】∵4a1，a5，－2a3成等差数列，∴2a5＝4a1＋(－2a3).设数列{a n}的公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2，∴2a1q4＝4a1－2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1.3.C 【解析】由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.4.C 【解析】由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.5.B 【解析】设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. 6.C 【解析】∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.7. a n ＝24－n【解析】由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得 a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n .8.152【解析】∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为 a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0. ∵q ＞0，∴q ＝2.a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12.∴S 4＝14(1)1a q q --＝12(1－24)1－2＝152.9.1【解析】如图：∴a ＝12，2b ＝14＋38，∴b ＝516，又3·c ＝(34)2，∴c ＝316，∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.10.【解析】(1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1， a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2).a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *. (2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得 (4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0，或k ＝1.11.【解析】(1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n2，∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1， ∴b n ＋1b n ＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n ＋n2－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n －n 2＋1(n ＋1)a n －n ＋2＝12. ∴数列{b n }是等比数列.(2)由(1)得b n ＝－ (12)n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－(12)n －1.∴a n ＝－1n ＋1(12)n －1＋n －2n ＋1. 12.【解析】(1)a 1＝a ，a 2＝2S 1－21－12＝2a －3， a 3－5＝2(a 1＋a 2)－22－22－5＝6a －19， ∵a 1，a 2，a 3－5成等比数列，∴(2a －3)2＝a (6a －19)，解得a ＝－1或a ＝92.(2)∵a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *)，①∴a n ＝2S n －1－2n －1－(n －1)2(n ≥2，n ∈N *)，② ∴当n ≥2时，①－②得 a n ＋1－a n ＝2a n －2n －1－2n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2n －1－2n ＋1.设a n ＋1＋p 2n ＋1＋q (n ＋1)＝3(a n ＋p 2n ＋qn )， 由－4p ＋6p ＝－1，得p ＝－12，由3qn －q (n ＋1)＝－2n ＋1，得q ＝－1.故n ≥2时，数列{a n －2n －1－n }是以3为公比的等比数列∴21(1).(27)32()n n n an a a n --=⎧=⎨-+⎩≥2【拓展提高参考答案】1.【解析】 (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5， ∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4， ∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n .(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.2.【解析】 (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0， ∴a n ＋1a n＝13(n ≥2)．又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝1 3.。