2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第一次月考数学理试题(解析版)
江西省赣州市南康中学2016-2017学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)
2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1} D．R2．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+233．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）4．在等比数列{a n}中，若a4a5a6=27，则a1a9=（）A．3 B．6 C．27 D．95．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．6．已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A． B．C．D．7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln28．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．29．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．010．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）11．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y ≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n=（）A．1936 B．2016 C．2017 D．220812．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．．14．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．15．命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．16．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx在x=1及x=2时取得极值，则b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．19．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）当k=2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．20．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF ∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a=1时，求函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间上的最小值为﹣2，求a的值．22．已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2=4y 的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1} D．R【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解：由得，即，解得﹣1＜x≤2，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x≤2}，故选：B．2．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+23【考点】数学归纳法．【分析】通过表达式的特点，直接写出结果即可．【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，左侧的特点是，由1一直加到2n+1项结束．所以在验证n=1时，左端计算所得的项为：1+2+22．故选：C．3．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（）D．（）【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线化简得x2=y，解出，结合抛物线标准方程的形式，即得所求焦点坐标．【解答】解：∵抛物线的方程为y=4x2，即x2=y∴2p=，解得因此抛物线y=4x2的焦点坐标是（0，）．故选：D4．在等比数列{a n}中，若a4a5a6=27，则a1a9=（）A．3 B．6 C．27 D．9【考点】等比数列的性质．【分析】直接根据等比数列中的：m+n=p+q⇒a m•a n=a p•a q这一结论即可得到答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，a4a5a6=27，∵a4a6=a5•a5，∴（a5）3=27，∴a5=3，∴a1a9=a5•a5=9，故选D．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选D．6．已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，c关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=∴一个焦点到一条渐近线的距离为d==，即7b2=2a2，由此可得双曲线的离心率为e==．故选：C．7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln2【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】阴影部分E由两部分组成，矩形部分用长乘以宽计算，曲边梯形的面积，利用定积分计算．【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2故选D．8．若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．9．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（）A．B．2C．3D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：y=ln（2x﹣1）的导函数为y′=，设与曲线y=ln（2x﹣1）相切且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为：2x﹣y+m=0，设切点为（x0，y0）∴=2，解得x0=1，∴y0=ln（2x0﹣1）=ln1=0，∴切点为（1，0）∴切点（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离为=．即曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故选：A．10．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间，求出导函数，解不等式【解答】解：∵数f（x）=（x﹣3）e x∴f′（x）=（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A11．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{（x，y）|x≥0，y ≥0}内植树，第1棵树在点A1（0，1）处，第2棵树在点B1（1，1）处，第3棵树在点C1（1，0）处，第4棵树在点C2（2，0）处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n棵树所在点的坐标是（46，0），则n=（）A．1936 B．2016 C．2017 D．2208【考点】归纳推理．【分析】将OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，归纳出第二个正方形，第三个正方形种植的棵树，由第n棵树所在点坐标是（46，0），可求n．【解答】解：OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，构成等差数列，由第n棵树所在点坐标是（46，0），则n=46×3+×2=2208棵树．故选D12．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf'（x），则不等式的解集为（）A．（0，4）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令辅助函数F（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式＞的关系，利用不等式的性质得到结论．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）=为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＜0，得：＞＜，∴＞x，∴0＜x＜1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．．【考点】定积分．【分析】利用定积分的运算性质及定积分的几何意义，分别求得x2dx和dx的值．【解答】解：由=x2dx+dx，由x2dx=x3=，由定积分的几何意义可知：dx表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的一半，则dx=，=x2dx+dx=，故答案为：．14．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5e x，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．15．命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题⇔命题“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”为真命题．【解答】解：命题“存在x∈R，x2+2ax+1＜0”为假命题⇔命题“∀x∈R，x2+2ax+1≥0”为真命题．△=4a2﹣4≤0⇒﹣1≤a≤1故答案为：16．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx在x=1及x=2时取得极值，则b的值为4．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，通过在x=1及x=2时取得极值，列出方程组，然后求出a，b的值．【解答】解：∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx，∴f′（x）=6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．即，解得a=﹣3，b=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：实数a满足不等式3a≤9，命题q：x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R．已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或．（1）求条件r的等价条件（用a的取值范围表示）；（2）若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．【分析】（1）求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围（2）结合r是￢t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．【解答】解：（1）由3a≤9，得a≤2，即p：a≤2．由△=9（3﹣a）2﹣4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．∵“p∧q”为真命题，∴，解得1≤a≤2．（2）又t：a＜m或，从而．∵r是¬t的必要不充分条件，即¬t是r的充分不必要条件，∴，解得，∵m∈N*，∴m=118．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．【解答】解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，∴sin=0．而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）=，得sin（2α+）+sin（2α﹣）=，即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．∴（sinα+cosα）2=1+=．∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．19．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）当k=2时，求函数的单调增区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（2）问题转化为在（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）当k=2时，f（x）=lnx﹣2x+1，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由，所以函数的单调增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即在（0，+∞）上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以g（x）在（0，1）为增区间，在（1，+∞）为减区间，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以当x=1时，g（x）max=g（1）=1．故k≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF ∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a=1时，求函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间上的最小值为﹣2，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）a=1时，函数f（x）=lnx+x2﹣2x，利用导数分析其单调性，结合函数零点的存在定理可得答案；（II）令f′（x）=0，则x=1，或x=，对a进行分类讨论，可得满足条件的答案．【解答】解：（I）a=1时，函数f（x）=lnx+x2﹣2x，（x＞0）则f′（x）=+x﹣2==≥0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）=﹣＜0，f（4）=ln4＞0，故函数y=f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）∵f（x）=lnx+x2﹣（a+1）x（a＞0），∴f′（x）=+ax﹣（a+1）=，令f′（x）=0，则x=1，或x=，当≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间上恒成立，函数y=f（x）为增函数，此时当x=1时，函数取最小值﹣（a+1）=﹣2，解得：a=2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f′（x）＜0在区间上恒成立，函数y=f（x）为减函数，f′（x）≥0在区间hslx3y3h．e1．e hslx3y3h上恒成立，函数y=f（x）为减函数，此时当x=e时，函数取最小值1+e2﹣e（a+1）=﹣2，解得：a=（舍去）；综上可得：a=222．已知椭圆C的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆C的一个焦点和抛物线x2=4y 的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，说出点T的坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出抛物线焦点的坐标为（0，1），设椭圆方程为，求出a，b，c，即可求解椭圆方程．（2）若直线l与x轴重合，求出以AB为直径的圆的方程，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是，联立两个圆的方程，得到切点坐标，然后证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理以及=0，推出，得到结果．【解答】解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C的焦点在y轴上设椭圆方程为由题意可得c=1，，，∴椭圆方程为…（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是由即两圆相切于点（1，0）…因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x 轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴…又∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）====0…∴即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．…2017年4月24日。
江西省南康中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第一次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设()sin cos f x x x =-，则()f x 在4x π=处的导数()4f π'=（ ）AB ．C ．0D 2、双曲线2221x y -=的离心率为（ ）AB CD 3、下列3个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”； ②若2:(2)0,:log 1p x x q x -≤≤，则p 是q 的充要条件；③若命题:p x R ∃∈，使得22x x <，则:p ⌝x R ∀∈，均有22x x ≥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4、利用数学归纳法证明22111(1,)1n n a a a aa n N a+++-++++=≠∈-时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++5、如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算6、抛物线28y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，则MFO ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．67、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则18()4xy -的最大值为（ ）A ．64B ．32C ．D ．18、如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =--B ．2sin 41x x y x =+C ．ln x y x=D ． 2(2)x y x x e =-9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+C ．123π+D ．223π+10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点对称点为B ，F 为其右焦点，若,6AF BF ABF π⊥∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．2B 1C ．12D ．211、已知球的直径2SC =，,A B 是该球球面上的两点，1,45AB ASC BSC =∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积为（） AB ．4C ．3D ．612、已知函数21()xax f x e+=（e 为自然对数的底数），函数()g x 满足()()2()g x f x f x ''=+，其中(),()f x g x ''分别为函数()f x 和()g x 的导函数，若函数()g x 在[1,1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）正视图俯视图A ．1a ≤B ．113a -≤≤ C ．1a >D ．13a ≥-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在题中相应的横线上. 13、函数4()3(0)f x x x x=+>的最小值为 14、函数()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是15、已知()sin(1)f x x =-，若{}1,3,5,7p ∈，则()0f p ≤的概率为 16、若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别是,A B ，点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，那么αβ+=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。
江西省赣州市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试仿真卷(A卷)理科数学试题
20172018学年下学期高二年级期中考试仿真测试卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·汇文中学]若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】()()()21i 21i 1i1i 1i z +===+--+，则复数的共轭复数为1i -，故选B ．2．[2018·人大附中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【解析】由函数的解析式可得：()ln 1f x x '=+，则()00ln 12f x x '=+=，0ln 1x ∴=，0e x =，本题选择B 选项．3．[2018·北京工大附中]函数332e x y x x -=+-，则导数y '=（ ）A ．2236e xx x-+-B ．22312e 3xx x-++此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22316e 3xx x-++D ．22316e 3+x x x--+【答案】D【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，()2222331161633+ee xx y x xx x----=+-⨯-=+'，故选D ．4．[2018·山西一模]完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数．） A ．()22πV - B ．()22πF -C ．()2πE -D ．()4πV F +-【答案】A【解析】用正方体（8V =，6F =，12E =）代入选项逐一检验，可排除B ，C ，D 选项． 故选：A5．[2018·湖北联考]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．34【答案】B【解析】由题可知建立以AB 为X 轴，AD 为Y 轴的直角坐标系，则抛物线方程为214y x =，:2232011414123y x dx x x =-=-=⎛⎫⎪⎝⎭⎰，则此点落在阴影部分内的概率为42323=． 6．[2018·北京工大附中]函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()21ln 2f x x x =-得()211x f x x xx'-=-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 在()0,+∞上的最大值为()1102f =-<，故选B ．7．[2018·豫西名校]已知函数()222e xf x x ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞ B ．(],1-∞ C ．[),e +∞ D ．[)1,+∞【答案】A【解析】()()()()()212121e e x x f x x a x x a =+-+=+-'，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，所以导函数在区间[)1,+∞上上()0f x '≥，即0e x a -≥，e xa ≤，e a ≤，选A ．8．[2018·淮北一中]将正整数排成下表： 1 234 56789 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n ．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上； 又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选D ．9．[2018·人大附中]若函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由函数的解析式可得：()232f x x a '=-，函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则()0f x '=在区间()01，内没有实数根， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 无极值，满足题意，当0a >时，由()0f x '=可得x =1≥，解得：32a ≥， 综上可得：实数a 的取值范围是(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，本题选择D 选项．10．[2018·中山期末][]0,3的最大值与最小值之积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】结合函数的解析式有：()()()2422f x x x x '=-=+-，当()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当()2,4x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增， 且：()04f =，()423f =-，()31f =，据此可得函数的最大值为()04f =，函数的最小值为()423f =-，则最大值与最小值之积为416433-⨯=-．本题选择B 选项．11．[2018·南阳一中]从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．23【答案】B【解析】阴影部分的面积为()()121222221xx dx xx x-----+--=-⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12．故选B ．12．[2018·豫西名校]偶函数()f x 定义域为ππ,22-⎛⎫⎪⎝⎭，其导函数是()f x '．当0π2x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()2cos 4πf x f x >⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππππ,,2442-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ,44-⎛⎫⎪⎝⎭D ．πππ,0,442-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题意构造函数()()cos f x F x x=，()()()2cos sin cos f x x f x xF x x+''=，所以函数()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0F x '<，()F x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()π2cos 4f x f x >⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22x ∈-⎛⎫⎪⎝⎭时，可变形为()π4cos 22f f x x >⎛⎫⎪⎝⎭，即()π4F x F >⎛⎫⎪⎝⎭，即ππ44x -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·首师附中]若复数z 满足，则复数z 的模为__________．【解析】14．[2018·百校联盟]函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为__________． 2【解析】设与直线y x =平行的且与()ln g x x =相切的直线切点为()00,ln x x ，因为()1ln 'x x=，则011x =，01x ∴=，则切点为()1,0，∴最短距离为切点到直线yx =的距离：2d ==，故答案为2．15．[2018·上饶模拟]二维空间中，圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；三维空间中，球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312πV r =，则其四维测度W =__________． 【答案】43πr 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；观察发现S l '=，三维空间中球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）发现V S '=，∴四维空间中“超球”的三维测度38πV r =，猜想其四维测度W ，则312πW V r '==，43πW r ∴=，故答案为43πr ．16．[2018·烟台诊断]直线y b =分别与直线21y x =+和曲线ln y x =相交于点A 、B ，则AB 的最小值为____________________． 【答案】ln 212+【解析】两个交点分别为1A ,2b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()e ,b B b ，1e 2bb AB -=-， 设函数()1e 2xx g x -=-，()1e 2xg x '=-，()0g x '=的根为ln 2x =-，所以()g x 在区间(),ln 2-∞-单调递减，在区间()ln 2,-+∞上单调递增， 所以()()ln 2min g x g =-=ln 212+．填ln 212+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·石嘴山中学]已知复数1Z 2ai =+（其中a ∈R 且a 0>，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值； （2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ． 【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）2221(2i)44i z a a a =+=-+，因为21z 为纯虚数，所以2400 0a a a ⎧-=≠>⎪⎨⎪⎩，解得：2a =．·······6分 （2）122i z =+，22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z +++====--+，2z =．·······12分 18．[2018·西城156中]已知函数()32133f x x x x =--．（）求()f x 的单调区间．（）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-；（2）的最大值为53，最小值为9-．【解析】（）由题得()()()22313f x x x x x '=--=+-．令()0f x '>，解得1x <-或3x >，令()0f x '<，解得13x -<<，∴()f x 的单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．·······6分（）由（）可知，()f x 在区间()3,1--上单调递增， 在()1,3-上单调递减，且()39f -=-，()39f =-， ∴()f x 在区间[]3,3-上的最大值为5(1)3f -=， 最小值为()()339f f -==-．·······12分19．[2018·豫西名校]（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-； （2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证211n n n n +-+<+-， 即证221n n n ++<+，只要证()()22221n nn ++<+，即证()222244n n n n +++<+，即证()21n n n +<+， 只要证22221n n n n +<++，而上式显然成立， 所以211n n n n +-+<+-成立．·······6分 （2）假设0a <且0b <，由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0．·······12分 20．[2018·天津联考]已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ． 【答案】解：（1）22212y xy x==⎧⎪⎨⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，(2,2)P ∴，221()22x k x ='==，∴所求切线方程为：220x y --=．·······6分（2）2322320200011142(2)2363xdx x dx x x -=-=⎰⎰，·······12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求．【解析】略．21．[2018·北京八中]若函数()34f x ax bx -=＋，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()31443f x x x =-＋；（2）42833k -＜＜．【解析】（1）由题意可知()23f x ax b '=－，于是()423f =-，()20f '=解得13a =，4b =故所求的解析式为()31443f x x x =-＋． (5)分（2）由（1）可知()2()()422f x x x x =--'+=，令()0f x '=，得2x =或2x =-． 当x 变化时()f x '、()f x 的变化情况如下表所示：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x ' + 0 0 +()f x单调递增283单调递减43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-． 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围是42833k -<<．·······12分22．[2018·贺州调研]已知函数()()()ln f x x a x a =+-∈R ，直线22:ln 333l y x =-+-是曲线()y f x =的的一条切线． （1）求a 的值；（2）设函数()()2e 22g x x x f x a a =----+，证明：函数()g x 无零点． 【答案】（1）1a =；（2）见解析． 【解析】（1）()11f x x a'=-+，设切点为()00,P x y ，则()0000121322ln ln 333x a x a x x -=-++-=-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得02x =，1a =，∴1a =为所求．·······4分（2）由（1）知()()e 2112e ln xxg x x x f x x x x =----+=--，()()()()111e 1e1xxx g x x x xx+=+--=-'，令()e 1x G x x =-，∵当0x >时，()()1e 0xG x x =+>'，∴函数()G x 在()0+∞，上单调递增， 又()010G =-<，()1e 10G =->，∴()G x 存在唯一零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0g x '<；当(),x c ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，∴()()g x g c ≥． ∵()10e x G c c =+-=，01c <<，∴()ln 1ln 0x g c c c c c c c =+--=-->， ∴()()0g x g c ≥>，∴函数()g x 无零点．·······12分。
江西省南康中学20172018学年高二数学下学期第一次月考试题理
江西省南康中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}240,8M x x x N x m x =->=<<，若{}6M N x x n =<<，则m n +=（ ）A ．10B ．12C ．14D ．162．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)13z i i +=-，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+3．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p 为（ ） A ．x R ∃∈，使得210x x ++< B ．,x R ∀∉使得210x x ++<C ．x R ∃∈，使得210x x ++≥D ．x R ∀∈使得210x x ++≥4．在ABC ∆中，sin cos A B >是ABC ∆为锐角三角形的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（ ）A ．15B ．31C ．63D ．1276．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边增加了（ ）A ．221121+-+k k B ．12(1)k +C ．11212(1)k k +++D ．11k + 7．若曲线ln y x x =在P 点处的切线平行于直线210x y -+=，则P 点的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（e ，1）C ．(,)e eD ．(1,0)8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）A ．3125B ．5625C ．0625D ．81259．从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为（ ） A ．13B ．12 C ．14D ．2310．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=，2BC =，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（ ） A 2B 22C 2D 4211．已知圆221:(1)16C x y -+=及圆2222:(1)(01)C x y r r ++=<<，动圆M 与两圆相内切或外切，动圆M 的圆心M 的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1212,()e e e e >，则122e e +的最小值为（ ）A 322+ B ．32C 2D ．3812．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有2()()f x f x x +-=且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-则实数a 的取值范围为（ ）A ．),1[+∞B ．]1,(-∞C ．),1()0,(+∞⋃-∞D ．))1,0(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 是虚数单位，i 2018=_____14．()____1112=-+⎰-dx x x15．已知点12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线的离心率为 16．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c（1）若,,a b c 成等差数列，证明：sinA sinC 2sin(A C)+=+ （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值 .18．（本小题满分12分）如图，已知五面体CD AB E ，其中C ∆AB 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DC BE 为平行四边形，且DC ⊥平面C AB ．（1）证明：平面ADC ⊥平面DCBE ；（2）若4AB =，C 2B =，且二面角D C A-B -所成角θ的余弦值为5，试求该几何体CD AB E 的体积．19．（本小题满分12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和.x (个)2 3 4 56y (百万元) 2.5344.5 6(1)来自同一区的概率(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；(3)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为z ＝y －0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：()()()^^^121,niii ni i x x y y b a y b x x x==--==--∑∑20．（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=x x a x f . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）对任意的),0(,21+∞∈x x ，若12x x >,有)(4)()(2121x x x f x f -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知椭圆 C: 离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线l （与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．22. （本小题满分12分）已知函数ax xxx f -=ln )(。
江西省赣州市南康中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析
南康中学2017～2018学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】为第三象限角，则，点在位于第三象限角，故选C.2. 在等比数列中，，且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为数列公比为，，且，解得或，当时，则；当时，则，故选B.3. 若函数同时具有以下两个性质：①是偶函数；②对任意实数，都有.则的解析式可以是 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，函数是偶函数，且它的图象关于直线对称，是偶函数，当时，函数，不是最值，故不满足图象关于直线对称，故排除；函数，是奇函数，不满足条件，故排除B；函数，是偶函数，当时，函数，是最小值，故满足图象关于直线对称，故满足条件；函数是偶函数，当时，函数，不是最值，故不满足图象关于直线对称，故排除，故选C.4. 若在一次试验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由四组数值，可得，则，，，，与之间的回归直线方程是，故选B.5. 某公共汽车的班车在三个时间发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则小明等车时间不超过分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设小明到达时间为，当在至，或至时，小明等车时间不超过分钟，故由几何概型概率公式可得小明等车时间不超过分钟的概率是，故选B.............6. 执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由程序框图可知.输出.故本题答案应选D.考点：程序框图．7. 已知满足（为常数），若最大值为，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：由，解得，将转化为，显然直线过时，最大，的最大值为，解得，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高，几何体的体积，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 抛一颗均匀的正方体骰子三次，则向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛一颗均匀的正方体骰子三次，共有种情况，构成公差为的等差数列只能是四种情况，因此由古典概型概率公式可得向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是，故选A.10. 已知函数，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以ab=1，又因为，所以a－b>0,=,故选A.考点：1.对数的性质；2.基本不等式的性质.11. 过正方体的顶点作直线，使直线分别与三条棱所成的角都相等，则这样的直线有（）条A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：由于平面，平面，平面上不存在满足条件的直线，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知在平面内的射影为的角平分线,在平面内的射影为的角平分线，则在正方体内部的情况为体对角线；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另条棱夹角度数相等，有条.所以共有条满足条件的直线,故选D.12. 已知数列：，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项；第二组有二项；第项有项，前项组共有，，故选A.【方法点晴】本题主要考查归纳推理及等比数列的求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量，若向量与垂直，则_____________【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充要条件有：，解得： .点睛：(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.14. 在边长为的正方形内任取一点，则小于的概率为_____________ 【答案】。
江西省赣州市南康区高二数学下学期第一次月考(3月)试
江西省赣州市南康区2016-2017学年高二数学下学期第一次月考（3月）试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式201xx -≥+的解集为（ ） A ．{}|02x x <≤ B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|1x x >- D ．R 2．用数学归纳法证明212122221()n n n N ++*++++=-∈的过程中，在验证1n =时，左端计算所得的项为（ ） A ．1B ．1+2C ．1+2+22D ．1+2+22+233．抛物线24y x =焦点坐标为（ ）A 、（1,0）B 、(0，1)C 、(161, 0) D 、(0，161) 4．在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ）A ．3B ．6 C.27 D ．9 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.636．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．7．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln2B ．1﹣ln2C ．2﹣ln2D ．1+ln28．若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，则a 的值是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．29．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A B ． C ． D ．0 10．函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是（ ）A ．(,2)-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2,)+∞11．某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图所示，在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥内植树，第1棵树在点1(0,1)A 处，第2棵树在点1(1,1)B 处，第3棵树在点1(1,0)C 处，第4棵树在点2(2,0)C 处，接着按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树．第n 棵树所在点的坐标是(46,0)，则n =（ ）A ．1936B ．2116C ．2017D ．220812．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为（ ） A ．(0,4)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．220[x dx +=⎰．14．曲线53xy e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 ．15．命题“存在2,210x R x ax ∈++<”为假命题，则a 的取值范围是 ．16．设函数32()233f x x ax bx =++在1x =及2x =时取得极值，则b 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题:p 实数a 满足不等式39a≤，命题()2:3390q x a x +-+≥的解集为R .已知“p q ∧” 为真命题，并记为条件r ，且条件:t 实数a 满足a m <或12a m >+. （1）求条件r 的等价条件（用a 的取值范围表示）； （2）若r 是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值.18．已知函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<一个周期的图像如图所示.（1）求函数()f x 的表达式； （2）若24()()325f f παα+-=，且α为ABC ∆的 一个内角，求sin cos αα+的值.19．已知函数()ln 1.f x x kx =-+（1）当2k =时，求函数的单调增区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围．O FECBA20．如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(1) 求证：AO BE ⊥； (2) 求二面角F AE B --的余弦值；21．已知函数21()ln (1)().2f x x ax a x a R =+-+∈ （I ）1a =时，求函数()y f x =的零点个数；（Ⅱ）当0a >时，若函数()y f x =在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的值．22．已知椭圆C，椭圆C 的一个焦点和抛物线24x y =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，说出点T 的坐标，若不存在，说明理由．数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在相应答题卷内） 1—5：BCDDD6—10：CDDAA11—12：BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．832π+ 14．5x+y+2=0 15．[﹣1，1] 16．4三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）由39a≤，得2a ≤，即:2p a ≤． 由()293490a ∆=--⨯≤，解得15a ≤≤，即:15q a ≤≤．∵“p q ∧”为真命题，∴21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩． ……………………5分（2）又:t a m <或12a m >+，从而1:2t m a m ⌝≤≤+． r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，1122m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，解得31,,12m m N m *≤≤∈∴= ……………………10分 18．解：（1）从图知max ()1f x =，则1A =函数()f x 的周期为4()126T πππ=⨯+= 2ω∴=又6x π=-时0y = sin[2()]06πϕ∴⨯-+=而22ππϕ-<<，则3πϕ=∴函数()f x 的表达式为()sin(2)3f x x π=+………………6分（2）由24()()2sin 2cos 3325f f ππααα+-== 得242sin cos 025αα=> 又(0,)απ∈ sin 0,cos 0αα∴>>22247(sin cos )1()255αα∴+=+= 而sin cos 0αα+> 7sin cos 5αα∴+=………………12分 19．解：函数y=f （x ）的定义域为（0，+∞）（1） 当k=2时，f （x ）=lnx ﹣2x+1，则由，所以函数的单调增区间为． …………6分（2）由f （x ）≤0得kx ≥lnx+1，即在（0，+∞）上恒成立．令，问题⇔max()k g x ≥ ∵．由g'（x ）＞0得0＜x ＜1，由g'（x ）＜0得x ＞1． ∴g （x ）在（0，1）为增区间，在（1，+∞）为减区间，∴当x=1时，g （x ）max =g （1）=1．故k ≥1为所求．…………………………12分 20．解：(1)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点， 则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.……………6分 (2)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z轴建立空间直角坐标系，)A，(,0,0),,0),(,0,)E a B AE a -=，(2,0)EB a =--，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =，2,0,n AE ax x ⊥==2n EB ⊥，(2))0a x y -+-=，1y =-，则2n=1,1)-，二面角F AE B --的余弦值1212121cos ,55n n n n n n ⋅〈〉===-⋅，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为-…………………………12分21．解：（1）a=1时，函数f （x ）=lnx+x 2﹣2x ，（x ＞0）则f′（x ）=+x ﹣2==≥0恒成立，故函数f （x ）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）=﹣＜0，f （4）=ln4＞0，故函数y=f （x ）有且只有一个零点；…………………………6分（2）∵f （x ）=lnx+x 2﹣（a+1）x （a ＞0），∴f′（x ）=+ax ﹣（a+1）=(1)(1)x ax x--=，令f′（x ）=0，则x=1，或x=，当≤1，即a ≥1时，f′（x ）≥0在区间[1，e]上恒成立，函数y=f （x ）为增函数，此时当x=1时，函数取最小值﹣（a+1）=﹣2，解得：a=2；当1＜＜e ，即＜a ＜1时，f′（x ）＜0在区间[1，]上恒成立，函数y=f （x ）为减函数， f′（x ）≥0在区间[，e]上恒成立，函数y=f （x ）为增函数， 此时当x=时，函数取最小值﹣lna+﹣=﹣2，由1ln 1[1,]2y x y x e ==-与在上无交点知此时不存在满足条件的a 值；当≥e ，即0＜a ≤时，f′（x ）≤0在区间[1，e]上恒成立，函数y=f （x ）为减函数，此时当x=e 时，函数取最小值1+e 2﹣e （a+1）=﹣2，解得：a=<0（舍去）；综上可得：a=2 …………………………12分22．解：（1）抛物线焦点的坐标为（0，1），则椭圆C 的焦点在y 轴上设椭圆方程为由题意可得c=1，，，∴椭圆方程为…………………………6分（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是由即两圆相切于点（1，0）…因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），事实上，点T（1，0）就是所求的点．…证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），若直线l不垂直于x轴，可设直线l：设点A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴…又∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）====0∴即：TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．综上可知：在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．………………12分。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第一次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设()sin cos f x x x =-，则()f x 在4x π=处的导数()4f π'=（ ）AB ．C ．0D 2、双曲线2221x y -=的离心率为（ ）AB CD 3、下列3个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”；②若2:(2)0,:log 1p x x q x -≤≤，则是的充要条件；③若命题:p x R ∃∈，使得22x x <，则:p ⌝x R ∀∈，均有22x x ≥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4、利用数学归纳法证明22111(1,)1n n a a a aa n N a+++-++++=≠∈-时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ） A ．B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++5、如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算6、抛物线28y x =的焦点为，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，则MFO ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．67、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则18()4xy -的最大值为（ ）A ．64B ．32C ．D ．8、如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．221xy x =--B ．2sin 41x xy x =+C．ln x y x=D ． 2(2)x y x x e =-9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+B ．23π+C ．123π+D ．223π+ 10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点对称点为B ，F 为其右焦点，若,6AF BF ABF π⊥∠=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B 1C ．12D 11、已知球的直径2SC =，,A B 是该球球面上的两点，1,45AB ASC BSC =∠=∠=︒，则棱锥S ABC-的体积为（ ） AB C D 12、已知函数21()xax f x e+=（为自然对数的底数），函数()g x 满足()()2()g x f x f x ''=+，其中正视图俯视图(),()f x g x ''分别为函数()f x 和()g x 的导函数，若函数()g x 在[1,1]-上是单调函数，则实数的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．113a -≤≤ C ．1a >D ．13a ≥-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在题中相应的横线上. 13、函数4()3(0)f x x x x=+>的最小值为 14、函数()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是15、已知()sin(1)f x x =-，若{}1,3,5,7p ∈，则()0f p ≤的概率为16、若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别是,A B ，点是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，那么αβ+=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。
江西省南康中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文(含答案)
江西省南康中学2017～2018学年高二下学期第一次月考数学试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,2A =-，集合{}210B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,1-D ．{}02.设复数z满足(1)1i z -= （i 是虚数单位），则||z 等于（ ）AB ．2C ．12D．23. 已知复数()()()是虚数单位，i R a i a a z ,242∈++-=，则“2a =”是“z 为纯虚数”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4.已知直线a ，b 及平面α，β，βα⊆⊆b a ,.命题p ：若αβ⊥，则 a ，b 一定不平行；命题://q αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5.命题“0x ∃∈R ，3210x x -+>”的否定是（ ）A.0x ∃∈R ，3210x x -+<B.x ∀∈R ，3210x x -+≤C.0x ∃∈R ，3210x x -+≤D.不存在x ∈R ，3210x x -+>6.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( )A.()()()320log 2log 3f f f >>-B.()()()32log 20log 3f f f >>-C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>8.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定理，西方又称之为“中国剩余定理”. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北 朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则 记为()m n N mod ≡，例如()6mod 583≡.若 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A. 2019 B. 2023 C. 2031D. 20479.函数2()sin f x x x x =-在区间[-,]ππ上的图象大致为( )10.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b ，直角顶点到斜边的距离123,,S S S ，类比推理可得底面积为232221S S S ++，则三棱锥顶点到底面的距离为( ) A.3232221321S S S S S S ++ B.232221321S S S S S S ++C. 2322213212S S S S S S ++ D. 2322213213S S S S S S ++11.已知复数z 满足等式i z z 21+=- (i 是虚数单位)，则i z --1的最小值是( )A.9B.79C.55D. 105912.设点()()11,M x f x 和点()()22,N x g x 分别是函数()212x f x e x =-和()1g x x =-图象上的点，且120,0x x ≥>，若直线//MN x 轴，则,M N 两点间的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．某企业有员工750人，其中男员工有300人，为做某项调查，拟采用分层抽样方法抽取容量为45的样本，则女员工应抽取的人数是_______.14．用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第10个图形中有白色地砖________块15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积______________16．已知βα,均为锐角，且()βαβαsin sin cos =+，则αtan 的最大值是________________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，,3sin 5sin 3A B C π==．（Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）ABC ∆的面积S =ABC ∆的边BC 的长．18.（本小题满分12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验。
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A. 3 = 125 9C . e=ie ）D. f4 = l （,.0）a 2 +b~ >2(a-b-l) :®- + -> 2这四个式子中一定成立的有()b aB. 3个A. 4个 C. 1个 D. 2个二、填13、22椭圆方程—+ ^ = 1的一个焦点为(0, 5),则1!!= 29 m14、 直线/经过点A (-2, 1),方向向量为〃 = (2,1),则点B (-1,15、 不等式\x-a\ + \x-3\>5对一切实数x 恒16、若圆(工一3)2+3 + 5)2 =「2上有且只有两个点到直线4x-3y-半径r 的取值8、 方程4X 2+7?J 2= 1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是()A. R>0B. 0<R<2C. 0<R<4D. 2<R<49、 直线x + y + a=O 与半圆y = -71-x 2有两个不同的交点，则a 的取值范围是()A. [1,72)B. [1,V2]C. [-V2-1]D. (-72,-1)10、 在直线y = -2上有点P,它到点A(-3,l)和点8(5,-1)的距离之和最小，则点P 的坐标是()19A.(l,—2)B.(3,—2)C. (—2)D. (9, — 2 )411、 \ABC 的两个顶点坐标A(-4,0), 8(4,0), AA3C 的周长为18,顶点C 的轨迹方程是()22B. ——F= l （y A 0） 25 912、若 a,b € R 且 a = b ,则在① a 2 +ab> 2b 2;®a 5 +b 5 > a 3b 2 +a 2b 3\ ③为（）B. 5C. 4D. 3命题人：审题钟才1、若avbvO,则下列不等式不能成立的是1 1 A. 一 > —a bB.a 2 >b 2 C \a\1 1D. --------- > —a-b a2、 若两直线破+ 2y — l = 0与x + (q — l)y + / 0平则实数a 等于3、4、5、A. B. CD. 0设曲线FQ 、y ） = O 和跖,y ） = 0的交点为P,那么曲线§（x,y ） —",y ） = 0必定A.经过PB.经过原点C.经过P 点和原点D.不一定直线l:y = kx-y/3与直线2尤+ 3y - 6 = 0的交点在第B •(涪 o 2直线 l x : mx - y + n = 0 12 :nx- y + m = 0^.同一坐标系中, yC6、已知X 、y 满足A. 3面x-y+5>0 x+y>0B. 3而1则z = x 2 +y 2-12y + 37C. D.2008-2009学年度第一学期高二第一次月考 理科数学试卷（A 卷）—、选择题。
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南康中学2017～2018学年度第二学期高二第一次大考数学试卷（理科）一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，若，则（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】C【解析】∵,且，据此可得本题选择C选项.2. 已知是虚数单位，复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，则=.本题选择D选项.3. 对于命题：使得，则为（）A. 使得B. 使得C. 使得D. 使得【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，改量词，否定结论，故为“使得”.本题选择D选项.4. 在中，是为锐角三角形的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若B为钝角，A为锐角，则sinA>0，cosB<0，则满足sinA>cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，充分性不成立；故“”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.本题选择B选项.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是（）A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】C【解析】执行循环得：结束循环，输出，选C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到时,不等式的左边增加了（）A. B. C. D.【答案】A【解析】时,左边，时,左边为：不等式的左边增加了.本题选择A选项.7. 若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为（）A. （1，1）B. （，1）C.D. (1,0)【答案】C【解析】由题意，设点P坐标为，则有则，所以P点的坐标为.本题选择C选项.8. 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（）A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125【答案】B【解析】根据题意,55=3125，其末四位数字为3125，56=15625，其末四位数字为5625，57=78125，其末四位数字为8125，58=390625，其末四位数字为0625，59=1953125，其末四位数字为3125，510=9765625，其末四位数字为5625，511=48828125，其末四位数字为8125，512=244140625，其末四位数字为0625，…分析可得：54k+1的末四位数字为3125,54k+2的末四位数字为5625,54k+3的末四位数字为8125,54k+4的末四位数字为0625,(k⩾1).又由2018=4×504+2,则52018的末四位数字为5625.本题选择B选项.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．9. 从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阴影部分面积，由几何概型性质可知.本题选择B选项.10. 在三棱锥中，底面是等腰三角形，，，平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，将三棱锥补形为直三棱柱，取的中点，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取的外心，作平面，与平面交于点，则为外接球的球心，设球的半径为，由球的表面积公式可得：，由正弦定理可得：，则，则棱锥的高：，由正弦定理可得：该三棱锥的体积为.本题选择B选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 已知圆及圆，动圆与两圆相内切或外切，动圆M的圆心的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设动圆M的半径为，当动圆与均内切时，有：，故：，其离心率，当动圆与内切，与外切时，有：，故：，其离心率，则：，整理可得：，，故：当且仅当时等号成立，故.本题选择A选项.12. 设函数在上存在导函数，对任意，都有且时，，若则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令,，∴函数g(x)为奇函数.时,.时,,故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数,由,可得在R上是增函数.,等价于，即，，解得.本题选择B选项.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知是虚数单位，i=_____【答案】【解析】结合复数的运算法则和虚数单位i定义可得：.14. _________【答案】【解析】，其中，表示以为圆心，1为半径的圆的面积的，.15. 已知点是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为___________【答案】【解析】过焦点F且垂直渐近线的直线方程为，联立渐近线方程与，可得故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得，即：，故，,故可得.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．16. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是____________【答案】【解析】试题分析：的定义域这，且在定义域内为单调递增函数，因此有，即，即是方程的两个不同的实数根，所以，令，，所以函数的极大值为，又当时，，当，因此当时，有两个不同的解，所以实数的取值范围是.考点：1.导数与函数的极值、单调性；2.新定义下函数数的值域与最值问题；【名师点睛】本题考查新定义下函数的值域问题和函数极值、最值问题，属中档题；对于新定义问题，要根据题意将问题适当转化为熟悉的问题求解，旨在考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 的内角A,B,C所对的边分别为（1）若成等差数列，证明：（2）若成等比数列，且，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)由等差数列的结论可得,结合正弦定理边化角可得.(2)由等比数列的结论结合题意可得，结合余弦定理计算有.试题解析：(1)由等差数列的结论可得,正弦定理得，.(2)由等比数列的结论可得，据此可得：，则.18. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】试题分析：(1)由圆的性质可得，由线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判断定理有平面，故平面平面 .（2）设，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合(1)的结论可得平面的一个法向量是，结合方向向量可得平面ABD的一个法向量为，利用空间向量的结论解方程可得，则结合体的体积.试题解析：(1)是圆的直径，，又平面又平面，且，平面，又平面，平面平面 .（2）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示，则，，，，由（1）可得，平面，平面的一个法向量是，设为平面的一个法向量，由条件得，，，即不妨令，则，，，，，得，.19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和.(1)在年收入之和为2.5（百万元）和3（百万元）两区中抽取两分店调查，求这两分店来自同一区的概率(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；(3)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为z＝y－0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？参考公式：【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由题意结合古典概型公式可知满足题意的概率值为.（2）首先计算样本中心点：，然后结合回归方程系数公式可得y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.(3)结合(2)中的结论可得z＝－0.05x2＋0.85x－0.8，则A区平均每个分店的年利润，结合均值不等式的结论可得该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.试题解析：（1）结合古典概型公式可知，满足题意的概率值为：.（2）＝x＋，;，∴.∴y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.(3)z＝y－0.05x2－1.4＝－0.05x2＋0.85x－0.8，A区平均每个分店的年利润t＝＝－0.05x－＋0.85＝－0.01＋0.85，故当，即x＝4时，t取得最大值，故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）对任意的，若,有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)函数f(x)的定义域为且，据此分类讨论可得：当时，在区间上单调递增；当时，函数在区间上递减，在上递增.(2)原问题即，令，则单调递增，结合导函数的性质和二次函数的性质可得实数的取值范围是.试题解析：(1)定义域为当时，恒成立，所以当时，在区间上单调递增，当，若，；若，，即当时，函数在区间上递减，在上递增.(2)若恒成立即：恒成立,令，则，即为递增函数，即恒成立，，再令，只需，故.21. 已知椭圆 C:离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可得，结合离心率可得，则椭圆方程为.（2）设，结合直线方程可得，则以MN为直径的圆的方程为，点P,Q在椭圆上，则，据此计算可得圆恒过定点.试题解析：（1）由短轴长为，得，由，得．∴椭圆的标准方程为．（2）以为直径的圆过定点．证明如下：设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，则直线方程为：，则，以为直径的圆为即，其中，，令，则，解得.∴以为直径的圆过定点．点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数。