数学第23讲

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(讲义)人教版小学数学五年级下册第23讲《分数的基本性质》练习训练版

一个分数的分子加上1，这个分数就等于1，如果把这个数的分母加上1就等于89。

原分数是( )。

答案：16 17解析：根据题意，可知这个分数的分子分母只相差1，并且分母不是8。

所以，把89化成1618，再用分母减去1即可。

8 9＝1618，18－1＝17所以，原分数是1617。

五年级数学下册人教版《分数的基本性质》精准讲练分数的分子加上5，要使分数的大小不变，分母也要加上5。

( )5的分子加上15，要使分数的大小不变，分母应该（）。

9A．加上12 B．乘3 C．加上15 D．乘4一个分数，如果分子加7，分数值就是自然数1，已知这个分数和1相2等，这个分数是多少？答案：7÷（2﹣1）＝7÷1一、填空题1．4÷5＝8()＝()20()(40)==（此空填小数）。

2．27的分母加14，要使分数的大小不变，分子应加上( )。

3．把49的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应该乘( )。

4．分子是9的最大真分数是( )，若将分子加上18，要使这个分数的大小不变，那么分母应该( )。

5．把73的分母加上9，要使分数值不变，分子应该乘______。

二、判断题1．与23相等的分数有无数个。

( )2．大于14而小于34的分数只有1个。

( )3．23的分子加上6，要使分数的大小不变，分母也应该加上6。

( ) 4．一个分数的分子不变，分母乘8，这个分数就扩大到原来的8倍。

( )5．34的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，分母应该加上16。

( ) 6．如果a ＞0，那么1a 一定小于1。

( ) 三、选择题1．把38的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（）。

A ．6B ．8C ．12D ．162．下列说法中哪些是正确的？（）①自然数中除了质数就是合数。

②自然数中除了奇数就是偶数。

③真分数都比1小。

④大于15且小于35的分数只有1个。

A ．②③④B ．①②③④C ．②③D ．①②③3．下列等式不成立的是（）。

小升初数学思维训练第23讲：逻辑推理

小升初数学思维训练第23讲：逻辑推理解答题某地质学院的三名同学对一种矿石进行分析。

甲判断：不是铁，不是铜。

乙判断：不是铁，而是锡。

丙判断：不是锡，而是铁。

经化验证明，有一个人判断完全正确，有一个人只说对了一半，而另一个人则完全说错误了。

你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对了一半的吗？【答案】甲一半正确，乙全错误，丙全正确【解析】此题属于真假推断题型，应该用假设法，但要注意按照什么来假设。

这里有两种假设思路，一种是根据矿石的成分来假设，有四种可能性：铁、铜、锡以及其它。

一种是根据甲、乙、丙的判断来假设，三种可能性：完全正确、一半正确一半错误、完全错误。

但是由第二种假设不能直接推断矿石的成分，不符合假设的两个原则之一，所以这里选择第一种假设。

方法一：四种假设：矿石为铁、铜、锡以及其它。

从表格中可看出只有假设一符合甲一半正确，乙全错误，丙全正确的已知条件，其它均不合题意。

解法二：“矛盾分析法”。

通过观察发现乙，丙两个人说的话完全相反，所以通过矛盾分析法可知：乙，丙两个人肯定一个全对，一个全错，这样可推断出矿石为锡或铁，再根据甲一半对一半错可知矿石为铁是正确的答案，这样即甲一对一错，乙全错误，丙全正确。

解答题一次全校数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学取得了前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：A说：“B是第三名，C是第五名。

”B说：“D是第二名，E是第四名。

”C说：“A是第一名，E是第四名。

”D说：“C是第一名，B是第二名。

”E说：“D是第二名，A是第三名。

”最后，他们都补充说：“我们的话半真半假。

”请你判断一下他们每个人的名次。

【答案】A” />因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连，因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图），因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过，由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛，答：小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛．解答题A、B、C、D、E五位选手进行乒乓球循环赛，每两人都只赛一盘。

数学培优竞赛新方法-第23讲几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解【例1】（1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点．（1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．【例4】如图，扇形OAB 的半径3=OA ，圆心角︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上异于B A ,的动点，过点C 作OA CD ⊥于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点H G ,在线段DE 上，且HE GH DG ==.（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在弧AB 上运动时，在DG CG CD ,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：223CH CD +是定值．【例5】如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于B A 、的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于B A ,两点，交y 轴于D C ,两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为()8,0,2=-AE ．（1）求点C 的坐标；（2）连接BC MG ,，求证：BC MG ∥；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PFOF 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．学力训练基础夯实1. 阅读下列材料，然后解答问题．2. 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 3. 如图，已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ，以圆心O 为顶点作MON ∠，使︒=∠90MON ，将MON ∠绕点O 旋转，ON OM ,分别与⊙O 相交于点F E ,，分别与正四边形ABCD 的边相交于点H G ,．设由,,OF OE 弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S . （1）当OM 经过点A 时（如图①），则21,,S S S 之间的关系为：=S （用含1S 、2S 的代数式表示）；（2）当AB OM ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON ∠旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．4. 如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB ,相切，切点分别为E D ,．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB ,于N M ,．求证：CN BM ⋅为定值。

小学数学五年级奥数第23讲分解质因数（一）

小学数学五年级奥数第23讲分解质因数（一）第23讲分解质因数（一）一、专题简析：1、一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。

2、我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。

其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

二、精讲精练例题1 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。

一共有多少种不同的分法？分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

练习一1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。

有哪几种分法？2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。

共有多少种分法？分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

练习二把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。

2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲正(余)弦定理

1 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 4
2
1 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ，所以－ <2A－ < ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－＝，即 A＝时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (SR，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．
a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝，sinB＝，sinC＝， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝＝，于是 C＝，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab· sinC 2
π π π asin －C 2RsinAsin －C sinAsin －C 6 6 6 (3) ＝＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 cosC－ sinC 2 2 2 ＝ π sin －C－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2
1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝＝＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2RsinA＋sinB＋sinC 所以＝＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.

(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点．（1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。

【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。

2014版高考数学一轮总复习第23讲三角函数的性质课件理新人教A版

素材1
1 π 函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ＋，0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x－ )＝0， 2 8 1 π π 得 x－＝kπ＋ (k∈Z)， 2 8 2 5π 即 x＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 1 π 所以函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称中心是(2kπ＋ 2 8 5π ，0)(k∈Z)． 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立， 4
a－4≤0 只需 3 9 a－ ≥ 4 4
⇔3≤a≤4，所以 a∈[3,4]为所求．
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y＝ sin( － )的最小正周期和单调区间； 2 4 3 (2)函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A．( ， ) 2 2 3π 5π C．( ， ) 2 2 B．(π，2π) D．(2π，3π)
x π A．y＝2sin( ＋ ) 2 3 π C．y＝2sin(2x＋ ) 6
2π 【解析】根据 T＝，容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π，然后可利用求对称轴的表达式 ωx＋φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得答案 B 符合题意．
4.将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数， φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：
1 首先看定义域是否关于原点对称； 2 在满足 1 后，再看f x 与f x 的关系．

江苏省数学竞赛提优教案：第23讲_正弦定理与余弦定理

第三讲正弦定理与余弦定理本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用．A 类例题例１在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B的值．（１９９８年全国高考卷）分析化角为边转化为三角关系处理．解由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B BA C ππ=-=-，所以 21sin sin()sin 32222B B BA π=-=+，1sin sin()sin 32222B B BC π=-=-，又sin 2sincos 22B BB =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得4sin cos 222B B B =，由cos 02B>得sin 2B =，从而cos2B =sin B = 例２．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=，11cos cos A C +=cos 2A C-的值．（１９９６年全国高考卷）分析通过角换元，利用两角和差公式得方程求值．解由题设知060B =，0120A C +=，设2A Cα-=，则2A C α-=，可得0060,60A C αα=+=-代入条件中得0011cos(60)cos(60)αα+=-+-=-化简得22cos 13cos sin44ααα=--即22cos0αα+-=，从而求出cos α=即cos 2A C -=例３在ABC ∆中，已知AB B ==AC 边上的中线BD =sin A 的值．（２００５湖北高考卷）分析用坐标和向量方法求解．解以B为原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 在第一象限．由sinB =，得4()BA B B =4(3=．设(,0)BC x =，则43(6x BD +=，由BD =2x =（另一负值舍去）．于是由数量积得314cos BA CA ABA CA⋅==sin A =情景再现１．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =．（１）求cot cot AC +的值；（２）设32BA BC ⋅=，求a c +的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ）２．已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角,,A B C 的大小．B 类例题1分析用正弦定理化边为角转化为三角式处理．解如图连接，则12sin()2A AA B =+2=，故1cos2cos cos sin sin 222A B C AAA C -==+，同理1cos sin sin 2B BB A C =+，1cos sin sin 2CCC A B =+，2(sin sin sin )sin sin sin A B C A B C++==++．222分析综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解．解由已知得222199b c +=，又由余弦定理，得 222cos 2a b c C ab +-=，所以259c C ab ==所以5sin 5sin()9sin sin 9sin sin C A B C A B A B+==5sin cos cos sin 5(cot cot 9sin sin 9A B A B A B A B +==+=情景再现３．在ABC ∆中，求证：2222220cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A---++=+++．C 类例题例６．设非直角ABC ∆的重心为G ，内心为I ，垂心为H ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．求证（１）sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=；（２）tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=；（３）cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =-+-．分析利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．证明（１）由定比分点的向量形式得11BD ABIB IC IB ICb IBc IC DC AC ID BD AB b c DC AC++⋅+⋅===+++，由,IA ID 共线得AIIA ID ID=-⋅，即AB IA ID BD =-⋅，又acBD b c=+，所以b c b IB c ICIA ID a a+⋅+⋅=-=-图１即0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=，由正弦定理可得sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=．（２）由tan ,tan AD AD B C BD DC ==，得tan tan BD CDC B=式有tan tan tan tan tan tan tan 1tan C HB HCB HBC HC B HD C B C B +⋅+⋅==++．又HA HA HD HD =-．下面求HAHD，tan tan BDHD BD HBD C=⋅∠=，tan AD BD B =⋅， B C所以HA AD HD HD HD-=tan tan tan tan 1tan BDBD B C B C BD C ⋅-==-．由tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-得tan tan tan tan 1tan B C B C A +-=．所以tan tan tan HA B CHD A+=代入即得证．（３）由（２）知tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=，所以tan ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ⋅++⋅++⋅+=，由G 是三角形的重心有0GA GB GC ++=得()GA GB GC =-+代入并利用：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=整理即得．例７在非直角ABC ∆中，边长,,a b c 满足a c b λ+=(1)λ>．（１）证明：1tantan 221A C λλ-=+；（２）是否存在函数()f λ，使得对于一切满足条件的λ，代数式cos cos ()()cos cos A C f f A Cλλ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()f λ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．（２００４年河南省高中数学联赛预赛）分析（１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数．证明（１）由a c b λ+=得sin sin sin A C B λ+=，和差化积得2sincos 2sin cos 2222A C A C B Bλ+-= 因为222A C B π+=-，所以有cos cos22A C A C λ-+=，展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cλλ+=-，故1tan tan 221A C λλ-=+．（２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求cos cos A C +与cos cos A C 之间的关系．由1tan tan 221A C λλ-=+及半角公式得221cos 1cos (1)1cos 1cos (1)A C A C λλ---⋅=+++，对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos A C A C λλλ-++=- 即 242(1)(cos cos )4cos cos A C A Cλλλ-++=-，即222cos cos 21cos cos 1A C A C λλλλ+-+=+，即222cos cos 112cos cos 1A C A C λλλλ+-+=--+ 与原三角式作比较可知()f λ存在且22()1f λλλ=-+．例８在非钝角ABC ∆中，0,45AB AC B >=，,O I 分别是ABC ∆的外心和内心，且AB AC =-，求sin A ．分析化边为角，利用三角形中的几何关系求值．解由已知条件及欧拉公式得222OI R Rr ==-，其中,R r 分别为外接圆和内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得tan tan )2228c a b B c a b r c a b π+-+-===+- 结合正弦定理消去边和,R r 得212(sin sin )2(sin sin sin 1)C B A C B --=+-，又3sin sin()cos )4B C A A A π==-=+，代入并分解因式得1)0A A -+=即sin A =cos 1A =sin A =sin A =，经验证这两个值都满足条件．情景再现４．在ABC ∆中，求证222sin sin sin 4cos cos cos 222a Ab Bc C a b c A B C a b c ++++=++．习题１．在ABC ∆中，,4c a b C π=>=，且有tan tan 6A B =，求,a b 及ABC ∆的面积．２．在ABC ∆中，0280,()A a b b c ==+，求角C ．３．已知圆内接四边形ABCD 的边长分为2,6AB BC ==，4CD DA ==，求四边形ABCD 的面积．（２００１年全国高考卷）４．在ABC ∆中，若c a -等于AC 边上的高h ，求sin cos22C A C A-++的值．５．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A（１）求证：B A tan 2tan =；（２）设AB=3，求AB 边上的高.６．在ABC ∆中，29cos ,52210A b c c c +===，求ABC ∆内切圆的半径．７．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且12cos 2sin 22=++C BA ．（１）求角C 的大小；（２）若22221c b a +=，试求sin （A-B ）的值．８．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若（１）求角A 的大小；（２）若，求b 和c 的值．９．已知向量→a =（2，2），向量与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos 2,(cos ,)0,1(2CA c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围.１０．如图在等边三角形ABC 中，,AB a O =为中心，过O 的直线交AB 于,M 交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值．１１．在ABC ∆中，已知3331tan tan tan 6181tan tan tan 216A B C A B C ⎧++=-⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩，求ABC ∆的三个内角的大小．１２．ABC ∆中2,A B C =是钝角，三边长均为整数，求ABC ∆周长的最小值．本节“情景再现”解答：１．解化弦变形和余弦定理求角．（１）由3cos 4B =得sin B =由2b ac =得，2sin sin sin B A C =，于是cot cot A C +cos sin cos sin sin sin A C C A A C +2sin()sin A C B+=2sin 1sin sin BB B ===．（２）由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B =，又3cos 4B =所以2ca =，即22b =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2222cos 5a c b ac B +=+=，所以2()9a c +=，即3a c +=．２．解消元化简．由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=消去角C 得sin sin sin cos sin()0A B A B A B +-+=，即sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B +--=，即sin (sin cos )0B A A -=，从而有sin cos A A =，即4A π=．所以34B C π+=，再消去角C 得3sin cos 2()04B B π+-=，即sin sin 20,sin (12cos )0B B B B -=-=，1cos ,23B B π==．最后角512C π=．３．证明由正弦定理化边为角．222222224(sin sin )4(cos cos )cos cos cos cos cos cos a b R A B R B A A B A B A B ---==+++24(cos cos )R B A =-，同理2224(cos cos )cos cos b c R C B B C-=-+，2224(cos cos )cos cos c a R A B C A-=-+，上面三式相加即得证．４．证明由正弦定理sin sin sin A B Ca b c==得 sin sin sin sin A B C C a b c c ++=++即cos cos222sin 2A B a b c C c ++=，① 将①式左边分子分母同乘以2cos 2C得2cos cos cos222sin 2A B C a b c C c ++=,即2sin 4cos cos cos 222c C c A B C a b c =++，同理可得2sin 4cos cos cos222a A a A B C a b c =++， 2sin 4cos cos cos222b B b A B C a bc =++，三式相加即得证． “习题”解答：１．解由tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-tan (1tan tan )C A B =--得tan tan 5A B +=，又a b >，从而tan 3,tan 2A B ==．所以sin A B ==，由正弦定理，得a =，b =245．２．解 2()a b b c =+化边为角为2sin sin (sin sin )A B B C =+，即22sin sin sin sin A B B C -=，所以1cos 21cos 2sin sin 22A BB C ---=，即1(cos 2cos 2)sin sin 2A B B C --=，即sin()sin()sin sin A B A B B C +-=，由sin()sin A B C +=得sin()sin A B B -=，由三角形内角的范围可知只能有,2A B B A B -==，所以040B =，从而060C =．３．解利用余弦定理构造等量关系求角的三角函数值．如图，连接BD ，则有四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD CDB S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⋅+⋅ 由0180A C +=，得sin sin A C =，从而四边形ABCD 的面积16sin S A =．由余弦定理，在ABD ∆中2222cos 2016cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-，同样在CDB ∆中2222cos 5248cos BD CB CD CB CD C C =+-⋅=-，所以2016cos 5248cos A C -=-，及cos cos A C =-，求得1cos 2A =-，0120A =，所以16sinS A ==．４．解 AC 边上的高sin h a C =，故sin c a a C -=，化边为角即sin sin sin sin C A A C -=，12cossin [cos()cos()]222C A C A A C A C +-∴=--+ 2212cos sin [(1sin )(2cos 1)]22222C A C A C A C A+--+∴=---整理得22sin 2sin cos cos 12222C A C A C A C A--++++=，即2(sin cos )122C A C A -++=，从而sin cos 122C A C A -++=．５．解（１）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（２）ππ<+<B A 2 ，33sin(),tan(),54A B A B +=∴+=- 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CD B CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.６．解由21cos cos 222A A b c c ++==得cos b A c=，又由余弦定理得222cos 2b c a b A bc c+-==，即222a b c +=，从而ABC ∆是直角三角形．又95,210b c c c +==得3,4a b ==，所以12a b c r +-==．７．解（１）由12cos 2sin 22=++C B A 得 11cos 2)cos(12=-++-C B A ，又由A+B+C=π，将上式整理得01cos cos 22=-+C C ，即(2cosC-1)(cosC+1)=0∴21cos =C 或cosC=-1（舍去）由0<C<π，得3π=C ．（２）设△ABC 外接圆半径为R ，由22221c b a += 有C B A 222sin sin 2sin 2=-，即432cos 12cos 1=+--B A 432cos 2cos -=-B A ∴43)sin()sin(2-=-⋅+-B A B A 又32π=+B A ∴43)sin(23)2(-=-⋅⋅-B A ∴43)sin(=-B A ．８．解（１）在△ABC 中，由已知有：2sin cos 04cos 3222B C B C B C +-+≠∴= 即，（舍负）．（２）由得即又，代入上式得：由，得：或９．解（1）设=（x ,y ），则222,x y +=-且||13||cos 4a bb a π⋅===∴解得)1,0()0,1(,1001-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=b b y x y x 或或（2）)1,0(),0,1(,,3-=∴=⊥=B 且 π. ∴),cos ,(cos )12cos 2,(cos 2C A C A =-=+ ∴)2cos 2(cos 211cos cos ||222C A C A ++=+=+ =1+1cos()cos()1cos(),2A C A C A C +-=-- 22,33A C ππ-<-<∴,1)cos(21≤-<-C A ∴.25||22<+≤ １０．解设00,60120MOA θθ∠=≤≤，在MOA ∆、NOA ∆中分别得OM =，ON = 所以2211OM ON +2222212[sin (30)sin (30)]a θθ=++-26(2cos 2)a θ=-，由θ角的范围可知11cos 22θ-≤≤-，所以其最大值是218a ，最小值为215a ．１１．解构造方程求解．在ABC ∆中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，因为333tan tan tan 3tan tan tan A B C A B C ++-2(tan tan tan )[(tan tan tan )A B C A B C =++++3(tan tan tan tan tan tan )]A B B C C A -++从而求得2tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++=-，所以tan ,tan ,tan A B C 是方程 321210636x x x +-+=即326410x x x +-+=的三个根．由32641(1)(21)(31)x x x x x x +-+=+--得tan ,tan ,tan A B C 的值分别是111,,32-，从而三个内角为311,arctan ,arctan 432π．１２．解利用正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->,cos 6B B π∴<>cos B 是有理数，令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m=>∈=，由6778<<，故8m ≥．又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B=⋅=-=-224(1)n b m =-，故224bn m 是整数，又(,)1m n =，故24b m 为整数，由8m ≥知16b ≥，再由cos B >21]32,c >-=故32c ≥．sin 22cos 21627sin b B a b B B ==≥⋅=>，故28a ≥，即28163377a b c ++≥++=．即周长的最小值为77．此时28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==，故cos cos 2A B =，即满足2A B =，又171cos 322A =>7,cos 8B =>,63B A ππ<<，从而角C 是钝角，满足条件．故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===．。

河北省201x年中考数学复习三角形第23讲等腰三角形试题（含解析）

则满足上述条件的△PMN 有(D)
第4题图 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上【解析】只需要满足∠MPN ＝60°即可．如答图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，PD ⊥OA 于点D ，则PC ＝PD ，∠DPC ＝ 360°－90°×2－120°＝60°.∵∠DPC ＝∠DPM ＋∠MPC ＝60°，∠MPN ＝∠MPC ＋∠CPN ＝60°，∴∠DPM ＝∠CPN .在△DPM 和△CPN 中，?????∠MDP ＝∠NCP ，PD ＝ห้องสมุดไป่ตู้C ，∠DPM ＝ ∠CPN ， ∴△DPM ≌ △CPN .∴PM ＝PN .∴∠PMN ＝∠PNM .∵∠MPN ＝60°，∴△PMN 为等边三角形，而满足∠MPN ＝60°的△PMN 有无数个．
第3题图
A. 2 B. 4 C. 2 5 D. 45 【解析】∵点A，D分别表示实数－2，2，∴AD＝4.∵等腰三角形ABC的底边BC与底边上的高AD相等，∴BC＝4.∴CD＝2.在 Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝42＋22＝2 5. 4. (xx，连云港东海县二模)已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，在下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是(C)
这个等腰三角形的周长为11或8. 等腰三角形的判定例2 (xx ，桂林)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是 3 .
例2题图【解析】 ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝∠C ＝180°－36°2 ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.∵在△ABD 中，∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠ABD ＝ ∠A ＝36°，∴∠BDC ＝72°.∵在△BDC 中，∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BDC 是等腰三角形．所以共有3个等腰三角形. 针对训练3 (导学号5892921)如图，在△ABC 中，BC ＝4，BD 平分∠ABC ，过点A 作AD ⊥BD 于点D ，过点D 作DE ∥CB ，分别交AB ，AC 于点E ，F .若EF ＝2DF ，则AB 的长为(B)

最新整理三年级下册数学试题-暑假三升四：第23讲除法3 北师大版

第23讲乘法（三）班级姓名得分【学习目标】掌握商不变的规律。

【知识要点】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数(零除外)，商不变。

【经典例题】例1．你发现了什么250÷50=5（250 ÷）÷（50 ÷）=5（250×）÷（50 ×）=5（250×）÷（50× 4）=5（250 ）÷（50 ）=5①如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( )。

②如果除数缩小10倍，要使商不变,那么被除数要( )。

③如果被除数和除数都缩小20倍,那么商就( )。

④要使商不变，那除数和被除数要( ) 【课堂练习】一、我会填。

（25分，每空1分）1.两个数的商是15，被除数和除数同时扩大100倍，则商是（）。

2.甲数除以乙数，相除乙数缩小100倍，甲数应（），它们的商不变。

3、一个因数不变,另一个因数扩大若干倍,积（）。

4、25×16，如果第一个因数25扩大4倍，要使积不变，第二个因数16应（）。

5、3500÷700,如果除数缩小100倍,被除数不变,商会6.420分=（）时 720分=（）时 840秒=（）分 360时=（）日7.在○内填上“>”“<”或“=”。

543÷56○10 20○802÷41 524÷17○30 45○454÷118.最大能填几？30×（）<170 60×（）<400 80×（）<31550×（）<75 78×（）<774 38×（）<2459.根据56÷4=14，请试一试运用商不变规律写出两道除法算式。

（）（）二、我来判断。

对的打“√”，错的打“×”。

（5分，每题1分）1.280÷70=（280×5）÷（70÷5）。

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第23讲还原问题（一）
姓名班级

1、某数加上10，乘上10，减去10，除以10，结果等于10，这个数是多少？

2、《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，
最后减去25，正好是55.这个俱乐部成立于哪一年？

3、小明在做一道加法计算题时，把个位上的4看做7，十位上的8看做2，结果和是306.正确的
答案应该是多少？

4、王大爷去粮店买米，粮店的陈叔叔因为粗心，错把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算了3
千克，合计卖给王大爷60千克米。王大爷实际购买了多少千克米？

5、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去了余下的一半多5米，还剩下7米。这
捆电线原来长多少米？
6、某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半多50元，第二次取了余下的一半还少100元，
这时还剩1250元。他原有存款多少元？

7、甲、乙、丙三个小朋友各有邮票若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么
他们每人各有40张。原来三人各有邮票多少张？

8、 16只麻雀停在两棵树上，不久有2只麻雀从第二棵树飞到第一棵树，又有5只麻雀从第一棵树
上飞到第二棵树上，这时两棵树上的麻雀数正好相等。原来两棵树上各停有几只麻雀？

9、小刚带了钱去商店，买毛巾用去所带的钱的一半，买手帕用去2元钱，买香皂用去剩余钱的一
半，这时还剩4元钱。小刚买毛巾用去多少钱？一共带了多少钱？

10、仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二次运出余下的一半，第三次运出前两次运完
后余下的一半，最后剩下的原料分给甲、乙两个工厂，甲厂得6吨，是乙厂的2倍。仓库原有
原料多少吨？